信号检测与估计理论 第六章 波形估计
信号检测与估计理论
平方检测算法是一种简单而有效的信 号检测算法，它通过比较输入信号的 平方和与阈值来判断是否存在信号。
信号估计理论
02
信号估计的基本概念
信号估计
利用观测数据对未知信号或系统状态进行推断或预测 的过程。
信号估计的目的
通过对信号的处理和分析，提取有用的信息，并对未 知量进行估计和预测。
信号估计的应用
在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有 广泛应用。
阈值设置
03
在信号检测中，阈值是一个关键参数，用于区分信号和噪声。
通过调整阈值，可以控制错误判断的概率。
信号检测的算法
最大后验概率算法
最大后验概率算法是一种常用的信号 检测算法，它基于贝叶斯决策准则， 通过计算后验概率来判断是否存在信 号。
平方检测算法
多重假设检验算法
多重假设检验算法是一种处理多个假 设的信号检测算法，它通过比较不同 假设下的似然比来确定最佳假设。
医学影像信号处理
X光影像处理
通过对X光影像进行去噪、增强、分割等处理，可以提取出 病变组织和器官的形态特征，为医生提供诊断依据。
MRI影像处理
磁共振成像（MRI）是一种无创的医学影像技术，通过对MRI 影像进行三维重建、分割、特征提取等技术处理，可以更准确
地诊断疾病。
超声影像处理
超声影像是一种实时、无创的医学影像技术，通过对超声影像 进行实时采集、动态分析、目标检测等技术处理，可以为临床
03
估计的精度和效率。
深度学习在信号检测与估计中的应用
01
深度学习是人工智能领域的一种重要技术，在信号检
测与估计中信号进行高效的特征
提取和分类，提高信号检测的准确性和稳定性。
7-波形估计2013
gx
(t, , ξ ) dξ
• 时变滤波器的脉冲响应h(t, ξ)求解困难。
维纳法求解积分方程：
假定 x ( t )和g ( t ) 平稳且 x ( t )和g ( t ) 联合平稳：
也即对系统有两个限制： ① 观测时间自t=-∞即开始，因此，系统过渡过程对输出 的非平稳影响已经消失； ② 系统是时不变的； 此时求解积分方程所得到的滤波器称为Wiener滤波器
A) B) C)
ˆ ( t + α ), S ˆ ( t ), S ˆ ( t + α ), S
α >0 α =0 α <0
预测
滤波
平滑
线性估计器的分类
线性最小均方估计、最小二乘估 计等都是直接的线性估计。 当观测噪声是高斯分布时，从波 形中估计非随机参量的最大似然估 计、估计高斯随机参量的最大后验估 计，都实现为线性估计器。
(j=k,
or
j=k-l,
or
j=k+l )
最佳线性滤波的起源
最佳线性滤波理论起源于四十年代美国科学家维纳 （Wiener）和前苏联科学家柯尔莫哥洛夫等人的研究工 作，后人统称为维纳滤波理论。维纳滤波的基本思想 是：寻找线性滤波器的最佳冲激响应或传递函数，使得 滤波器的输出波形作为输入波形的最佳估计，这种估计 使估计的均方误差达到最小。 从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限的 过去数据，因而不适合于实时处理。为了克服这一缺 点，以及当时航空航天科技发展的需要，60年代卡尔曼 把状态空间模型引入滤波理论，得到一套递推估计的方 法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波的基本思 想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻 的估计值和现时刻的观察值，来更新对状态变量的估 计，求出现时刻的估计值。卡尔曼的方法适合于实时应 用和计算机处理。
信号检测与估计PPT课件
is unbiase ˆdm2 l if E[
] = σ 2. That is,
E [K 1k K 1 (y k m )2 ] K 1E [K m 2 k K 1 Y k 2 2 m k K 1y k]2
Hence,
ˆ
2 m
l
is unbiased.
可编辑课件PPT
21
6.4 贝叶斯估计
(a) Assuming the constant m is not known, obtain the ML estmiˆ mm late
of
the mean.
(b) Suppose now that the mean m is known, but the variance σ 2 is unknown.
等式两边同取对数得 利用式6.1.2 解似然方程得到似然估计得
得到 the ML estimator is
。 Thus,
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6
6.1 最大似然估计
(b) 最大似然估计式为
方程两边取对数得
其中对lnL(σ 2)最大化等价于对σ 2最小化
由似然函数的不变性得
可编辑课件PPT
7
6.1 最大似然估计
可编辑课件PPT
24
6.4 贝叶斯估计
Figure 6.3.1 Density function of the unbiased estimator θˆ .
可编辑课件PPT
19
6.3 优良估计评价标准
无偏最小方差： ˆ 是θ的最小方差和无偏估计，对所有的参数θ'都有E(θ')=θ,则对所有 ˆ
var( )≤var(θ')
也就是说，对于所有θ无偏估计， 具有最小的方差。
现代信号处理技术-6信号检测与估计理论(估计理论)
ˆ
使条件平均代价最小，应该使
p2
ˆ
x
d
取到最大值
2
当 很小时，为保证上式最大，应当选择估计量 ˆ ，
使它处于后验概率密度函数 p x 最大值的位置。
6.2 随机参量的贝叶斯估计
4. 最大后验估计
根据上述分析，得到最大后验概率估计量为
两种等价形式
p x
0
ˆmap
ln p x
0
ˆmap
ln px ln p
0 ˆmap
p
x
px p
px
6.2 随机参量的贝叶斯估计
5. 条件中值估计
选定的代价函数为
c~ ˆ
C ˆ x
c ~
p
x d
ˆ p x d
ˆ ˆ
p
x d ˆ ˆ
p
x d
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
6.1 引言
1. 通信系统中的估计问题
载波频率 信号的幅度 信道噪声的均值和方差
2. 参量估计的数学模型和估计量的构造
参量空间 θ
观测空间 R
px θ
估计规则
θˆ x
6.1 引言
➢参量空间： 需要接收端作出估计的参量集合 ➢观测空间： 接收端收到的观测信号的集合
➢概率映射： 信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参数的
x d
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
6.2 随机参量的贝叶斯估计
第6章信号检测与估计理论(2)
最佳线性滤波问题，就是根据观测信号 x t ，按照线性最小均方
ˆ t 。 误差准则，对 g t 进行估计，以获得波形估计的结果 g
设 x t 和 g t 都是零均值的随机过程，则 g t 的线性估计可以
表示为
ˆ t lim g
其中，x
uk 是 t k 时刻 x t 的采样，h t, uk u是加权系数。 ˆ t 是采样 x uk 的线性加权和。 g
于滤去某些干扰频率谱线有较好的效果。对于混在随机信号中的
噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是因为 信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应 K(j) ，均不可
能做到噪声完全滤掉，使信号波形的不失真恢复。因此，需要寻 找一种使误差最小的最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。
维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则下的最佳线性 滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向）
由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波基础上发展
了一种基于状态空间方法的最佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼 滤波。这种滤波器特别适用于对离散时间序列的实时滤波，可以 很方便用计算机处理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动 控制领域起到了重要作用。
滤波器物理不可实现，但估计的均方误差达到最小，为性能 比较提供了度量标准，因此解是有意义的。
rxg h rx d ,
是一个线性卷积，因此在频域上求解方程。两边进行傅里叶变换：
Pxg H Px
则|H()|<1，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因此
随着增加，Pn()逐渐加大，|H()|逐渐减小，直至为零。
第6章 信号波形的估计
基于以下假设
μ δ = 0 C = 0 C = wk−1
w j nk
w j wk
jk
2. s~k｜k1 和 x~k｜k1 的计算 0
3 E（） 将观测方程代入
4. 状态一步预测均方误差阵 Mk｜k1 的计 算
5. E（x~k｜k1x~Tk｜k1）项的计算 6. 状态滤波值 s^k 的计算
6.2.4 维纳滤波器的因果解
当滤波器的输入为一个白色过程，积分方程 就可直接求解
中
为冲击函数
因此，将因果解分为两部分
2
信号检测与估计理论
1、 通过白化滤波器将输入信号白化
2、设计最小均方滤波器
当观测信号是具有有理功率谱密度的平稳 随机过程，则用复频域（相关函数的傅立叶 变化对应复数域，拉普拉斯变换对应复频 域）表示为 （分成左右平面）
6.10.2 线性化离散卡尔曼滤波
信号检测与估计理论
9
6.10.3 推广的离散卡尔曼滤波
10
习题
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
11
12
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
13
14
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
15
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信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
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18
信号检测与估计理论
第 6 章 信号波形的估计
6.1 引言
静态估计：参量不变化 随时间变化的参量进行估计，连续信号情况 下信号波形的估计，或离散信号情况下信号 状态的估计
6.1.1 信号波形估计的基本概念 只考虑加性噪声
将观测信号输入滤波器，完成以下工作 已知： x(t) 滤波： x(t) → sˆ(t) 预测： x(t) → sˆ(t + a) 平滑： x(t) → sˆ(t − a)
检测、估计与调制理论
检测、估计与调制理论
Detection, Estimation and Modulation Theory
课程代号：学时：45
开课单位：203教研室学分：3
一、课程的目的与地位
检测与估计的统计理论是当代信息科学的一个重要组成部分。
主要研究在噪声背景下消息的提取。
其中，检测问题是研究在噪声中如何判断信号的有无；估计问题是研究在噪声中如何精确提取信号的参数或波形。
本课程可为电子通讯系统中信号接受与处理、参数测量、波形估计、滤波预测等工程问题提供理论依据和指导。
在雷达、导航、遥控遥测、通讯和信息处理中都要涉及到信号的检测和估计问题，因此本课程是一门应用广泛的、与工程问题结合紧密的理论课程。
二、课程主要章节、学时分配
第一章概述2学时
第二章经典检测和估计理论12学时
第三章随机过程的表示法4学时
第四章信号的检测和信号参数估计12学时
第五章连续波估计6学时
第六章最佳线性估计9学时
三、讲授和学习方法
课堂讲授、自学例题、选做习题。
注重物理概念和数学工具，掌握基本理论并联系工程实际，培养独立分析问题和解决问题的能力。
四、考核方式
笔试（闭卷）。
五、先修课程
线性系统、概率与随机过程。
六、主要参考书
[1] H.L.范特里斯著毛士艺等译“检测、估计与调制理论”（卷I）国防工业出版社1983 原文 H.L.Van Trees Detection, Estimation and Modulation Theory
[2] 陈炳和“随机信号处理”国防工业出版社1996。
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
第六章估计基本理论—参数估计
Cramer-Rao下界定义：任何一个无偏估计子方差 的下界常叫做Cramer-Rao下界。
第六章估计基本理论—参数估计
8/58
第六章 估计的基本理论—参数估计 6．1估计子的性能
主讲:刘颖 2009年秋
定理1.1：令 X（ x1,x2, ,xN)为 一 个 样 fX 本 /是 向 量
X的 条 件 密 ˆ是 度 的一个。 无偏若 估计子，且
即 ln fX|Kˆ
其K 中 （ ）是 的某个 x的 不正 包整 含数。
主讲:刘颖 2009年秋
1．1估计子的性能 令x(t)是一个与未知参数θ有关的随机信号，
x1,x2,,xN 是采样值，
θ的估计子记为 ˆg(x1,x2, ,xN )
其g中 (x1,x2, ,xN)是用来 的估 一计 个样本函
1. 无偏性
无偏估计定义：若Eˆ,则 ˆ就是 的一个无
否则就是有偏估计子。
参数估计：利用样本数据来估计待定的参数。 参数估计方法： （1）点估计：需求一个估计子，它将给出待定参数的单个估 计值，这个估计值叫点估计值。 （2）区间估计：确定的是待定参数可能位于某个区间，这个 区间叫做置信区间估值。
第六章估计基本理论—参数估计
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第六章 估计的基本理论—参数估计 6．1估计子的性能
主讲:刘颖 2009年秋
渐进无偏估计定义：
ˆ是 的一个有l偏 ib m 估 ˆ0 ， 计则 ˆ子 是 称 ，若
N
的渐进无偏估计子。
例题6.2 线性平稳过程的自相关函数的估计子为
R ˆ(m)1Nmx(n)x(nm)
Nn1 若假设观测数据 x(m)是独立的。判断它是否为无偏估 计，若是有偏估计，再判断是否为渐进无偏估计。
《信号检测与估计》简明讲义#优选.
信号检测与估计讲义一、课程目的：了解随机信号分析基本手段，掌握信号检测与参数估计的基本概念、方法及其应用。
二、主要内容：第一部分：随机信号分析1、随机信号处理基础信号分类、信号的频谱分析、随机变量及其数字特征、随机变量的特征函数、信号处理新方法2、随机信号分析随机过程及其相关概念、随机过程的数字特征、线性系统与非线性系统对随机信号的作用、随机信号的高阶谱第二部分：信号检测1、信号检测的基本理论假设检验的基本概念、判决法则、M择一假设检测、序列检测—瓦尔德检测2、确知信号检测匹配滤波器、卡享南—洛维修展开、高斯白噪声中的信号检测3、随机参量信号检测复合假设检测、随机相位信号的非相检测、最优接收机、随机相位和振幅信号检测、随机频率信号检测、随机到达信号检测、随机频率和随机到达信号检测4、脉冲串信号检测确知脉冲串信号检测、随机参数脉冲串信号的检测5、非参量检测6、鲁棒性检测第三部分：信号估计1、参数估计贝叶斯估计、最大似然估计、伪贝叶斯估计、线性均方估计、最小二乘估计2、信号波形估计维纳滤波、离散线性系统模型、正交投影、卡尔曼滤波3、功率谱估计经典谱估计方法4、随机信号的双谱估计三、学习方法和方式：课堂讲授与课后讨论相结合，注意从内容学习到方法学习和思想学习的升华四、考核方式：开卷书面考试第一部分：随机信号分析第一章信号处理基础§ 1.1 信号处理概述一、信号及其分类信号是承载信息的物理量，信息是指消息中所包含的有效内容，或者说受信者预先不知而待知的内容。
音频，视频，语音，图像，地震波，通信信号，雷达信号，声纳信号，医学图像和音乐信号等都是常见的信号。
根据不同的标准，信号可以分为以下几种: 1、确定性：确定信号：是指其取值在任何时间都是确知的或可预知的信号，通常可用数学表达式表示它在任何时间的取值。
例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。
随机信号：是一类随时间作随机变化的信号。
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论介绍信号检测与估计理论是数字通信和统计信号处理中的一个重要领域。
它研究的是如何准确地检测到信号的存在以及对信号进行估计。
该理论在许多实际应用中具有重要意义，包括雷达系统、通信系统、生物医学信号处理等。
信号检测在信号检测中，我们的目标是从观测到的信号中确定是否存在某个特定的信号。
通常情况下，我们将信号检测问题建模为一个假设检验问题，其中有两个假设：零假设H0表示没有信号存在，备择假设H1表示信号存在。
在信号检测中，我们通过设计一个检测器来根据观测到的信号样本进行决策。
常用的检测器包括最大似然检测器、贝叶斯检测器等。
这些检测器利用观测到的信号样本的统计特性，通过最大化某个准则函数（如似然比）来做出决策。
信号估计信号估计是根据观测到的信号样本，估计出信号的参数或者信号本身的过程。
信号估计有多种方法，包括参数估计和非参数估计。
在参数估计中，我们假设信号遵循某个已知的参数化模型，并通过观测到的信号样本去估计这些参数。
常用的参数估计方法有极大似然估计、最小二乘估计等。
这些方法基于最优准则来选择最优参数估计。
非参数估计不需要对信号满足某个特定的参数化模型的假设，它们通常利用样本的统计特性来进行估计。
常用的非参数估计方法有最小二乘法、核方法等。
检测与估计的性能评价在信号检测与估计中，我们需要对检测与估计的性能进行评价。
通常情况下，我们使用概率误差、均方误差等作为评价指标。
在信号检测中，我们常用的评价指标有误报概率和漏报概率。
误报概率指当信号不存在时，检测器判定信号存在的概率；漏报概率指当信号存在时，检测器未能正确判定信号存在的概率。
在信号估计中，我们常用的评价指标有均方误差和偏差方差平衡等。
均方误差指估计值和真实值之间的平均平方误差；偏差方差平衡则是指在估计和真实值之间平衡偏差和方差。
应用领域信号检测与估计理论在许多领域都有广泛的应用。
其中，雷达系统是一个重要的应用领域。
在雷达系统中，我们需要通过检测和估计来实现目标检测、目标定位等功能。
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
现代信号处理是一门涉及到研究信号及其处理的众多领域的复杂学科，它将信号检测
理论应用于数据的采集、分析和编码，以实现更高的信号保真和传输效率。
信号检测理论
是指以信号检测及其具体实现方法为内容的理论，是一门研究信号以及信号检测算法应用
于实践中新信号几率和信号模型、信号处理系统设计、系统评价指标和系统优化等问题的
理论。
信号检测理论包括信号检测和信号估计两个主要研究领域。
信号检测即在信号实际存
在且满足特定条件的情况下，将其从噪声中识别出来的技术。
信号检测的理论基础是概率
理论，研究的内容一般包括判决准则的设计、概率传输理论、灵敏度指标的计算、检测误
差最优化等。
信号估计是从检测信号中恢复信号参数值和状态信息的技术，它是根据信号
的内容和自身特性进行分析，重构信号形式，从而恢复和克服噪声干扰，最终使信号达到
某种需求尺度以达到预先设定的信号识别、显示、记录等目标。
信号检测和估计是现代信号处理理论的重要基础，应用于实际工程中，检测的精确性
和准确性，或估计的准确性，对信号处理结果的质量也是至关重要的。
因此，信号检测估
计理论的研究，涉及到信号检测的实现方法、检测决策的准则，以实现信号的恢复、显示、记录等操作，及信号估计指标计算、估计误差最优化等内容，是提高实际工程研究质量和
信号处理效率、增强应用竞争力的重要实现方式。
《波形估计》PPT课件
2
1
0
1
2
3
u
性能
Ee2t0.732
正交性
滤波器输出误差：
t
e t s t y t s t g u s t u n t u du 0
t1时 刻 滤 波 器 输 入 与 t时 刻 滤波 器 误差 的 数 学 期 望：
E
x
t1
e
t
E
s
t1
n
t1
s
t
t
g
u
S
x
s
G
s
1
S
x
s
S xs s e s
S
x
s
维纳-霍夫方程_频域解法
Gs
1
Sx s
Sxs ses Sx s
1.求
Sxs Sx
s的逆变换，并保留所有的正时间、负时间部分 s
2.因为有es，把步骤1的结果时间上平移
3.对步骤2的结果取单边拉氏变换，就求得
Sxs ses Sx s
例
线性估计器
xt st nt g(t)
y t sˆt
α=0，则称为滤波。 α>0，则称为预测（或预测） α<0，则称为平滑（或内插）
线性估计器
课程中讨论的准则：
线性最小均方误差准则
典型的有:
维纳滤波 卡尔曼滤波
维纳滤波
线性滤波器 对平稳随机过程的最小均方误差意义下
的最佳估计。 适用于从噪声中分离出有用信号的整个
标量卡尔曼预测
Q维向量信号的一阶自回归模型
sk Ask 1 w k 1
q维 向 量 ：
s1 k
Sx
S
x
S
x
信号检测与估计理论
6.2 连续随机信号的维纳滤波
平稳输入信号 x(t) s(t) n(t)
gˆ (t)
h(t) / H ()
图6.2.2 线性时不变滤波器
gˆ (t) t h(t u)x(u)du
6.5 正交投影原理
6.5.1 正交投影的概念 采用线性最小均方误差准则进行信号波形进行估计时,
信号估计的误差信号与观测信号具有正交性,估计信号是被 估计信号在观测信号上的正交投影。
10
第6章 信号波形的估计 6.4 随机信号的自适应滤波 6.5 正交投影原理
设 s 和 x 是分别具有前二阶矩的M维和N维随机矢量, 如果存在一个与s 同维的随机矢量 s ,具有如下三个性质：
复频域解维纳- 霍夫方程
(6.2.9)H源自(s)1 Px (s)
Pxg (s) Px (s)
(6.2.32)
式中
Px (s) Pxg (s) Px (s) Px (s)
x(t)的功率谱密度 x(t )与g (t )的互功率谱密度
Px (s)零极点在平面左半平面的部分 Px (s)零极点在平面右半平面的部分
1.状态方程
s Φ s B u Γ w k
k|k 1 k 1
k 1 k 1
k 1 k 1
k 1,2,
观测方程 xk hk sk ek nk k 1,2,
其中,Bk u 1 k1是非随机外加矢量,ek是非随机观测误差；
第6章 信号波形的估计
6.6 离散卡尔曼滤波的信号模型
观测方程 xk Hk sk nk k 1,2,
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6.1.1 信号波形估计的基本概念
From Steven page 323
信号波形估计理论又称为信号波形滤波理论(抑噪声，提信号)。
➢ 波形滤波， x(t) sˆ(t)
➢ 波形预测， x(t) sˆ(t ), 0 ➢ 波形平滑， x(t) sˆ(t ), 0
2、离散信号情况（只考虑加性噪声）
xk Hk sk nk , k 1, 2,L
信号状态估计理论又称为信号状态滤波理论(抑噪声，提信号)。
E[s(t )s(t ) as(t)s(t )] 0
rs
(0)
ars
(
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t) bs&(t) minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ] a
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t))s(t)] 0 a rs ( )
rs (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t)
rs (0)
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t))s(t )] E[(s(t ) as(t))as(t)]
ars
(
)
br&s (
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
r&s2 ( )
&r&s (0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 （续）例题相关结论的证明
r&s (
)
drs ( d
)
,
&r&s ( )
d2rs ( d 2
)
s&(t) lim s(t t) s(t) , &s&(t) lim s&(t t) s&(t) , s&(t) lim s(t t) s(t)
)
E[s&(t)s&(t
)]
E
lim
t1 0
s(t
t1 ) t1
s(t)
lim
t2 0
s(t
t2 ) t2
s(t
)
=
lim
t2 0
lim
t1 0
rs
(
t2
t1) t1t2
rs
(
t2
)
lim
t1 0
rs
(
t1) t1t2
rs
(
)
lim
t2 0
r&s ( t2 t2
)
r&s ( t2
rs (0)
b r&s ( )
&r&s (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t) r&s ( ) s&(t)
rs (0)
&r&s (0)
见习题6.1
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t )] 0 0
rs
(0)
理论基础：
随机过程及其统计描述(2.3, P.30) 线性系统对随机过程的响应(2.5, P.44) 随机噪声理论(2.6, P.46) 正交投影原理(6.4, P.400)
6.1.1 信号波形估计的基本概念
1、连续信号情况（只考虑加性噪声）
x(t) s(t) n(t)
x(t)
sˆ(t )
H ()
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
信号波形（状态）估计准则：线性最小均方误差准则。 维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完 成信号波形（状态）估计的两种线性最佳估计方法。 维纳滤波
要求知道随机信号的统计特性，即相关函数或功率普密度， 得到的结果是封闭解（解析式）；
由于采用频域设计方法，仅适用于一维平稳随机信号。
t 0
t
t 0
tt 0trss()E[s&(t)s(t
)]
E
lim
t 0
s(t
t) t
s(t
)
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rss&(
)
E[s(t)s&(t
)]
E
lim
t 0
s(t)
s(t
t) t
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rs&s&(
a,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) E[(s(t)
as(0) as(0)
bs(T ))s(0)] bs(T ))s(T )]
0 0
rs
rs (t) (T
t)
ars (0) brs (T ) ars (T ) brs (0)
0
0
a rs (0)rs (t) rs (T )rs (T t) , b rs (0)rs (T t) rs (t)rs (T )
)
lim
t2 0
r&s (
t2 ) t2
r&s (
)
&r&s (
)
rs ( ) rs ( ) 为偶函数，其导数 r&s ( ) 为奇函数，故有 r&s () 0 r&s (0) 0
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.3 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（平滑）
sˆ(t) as(0) bs(T ) minimize E[(s(t) sˆ(t))2 ]
估计理论与信号检测
第六章 信号波形的估计
内容提要
6.1 引言 6.2 连续过程的维纳滤波 6.3 离散过程的维纳滤波 6.4 正交投影原理 6.5 离散卡尔曼滤波的信号模型 6.6 离散卡尔曼滤波 6.7 状态为标量时的离散卡尔曼滤波
6.1 引言
研究内容：
信号的波形估计(状态估计)
若被估计的量是随机过程或未知的非随机过程，则称这种 估计为信号的波形估计或状态估计。
a ,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t)] 0 E[(s(t ) as(t) bs&(t))s&(t)] 0 rs&s ( ) r&s ( ), rs&s&( ) &r&s ( ), r&s ( ) 0 0
a rs ( ) ,
卡尔曼滤波（庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划）
采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型； 可解决多输入多输出非平稳随机信号的估计问题； 采用递推算法非常适合于计算机处理，计算效率高。
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.1 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t)