信号检测与估计理论 第六章 波形估计

E[s(t )s(t ) as(t)s(t )] 0
rs
(0)
ars
(
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t) bs&(t) minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
ars
(
)
br&s (
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
r&s2 ( )
&r&s (0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 （续）例题相关结论的证明
r&s (
)
drs ( d
)
,
&r&s ( )
d2rs ( d 2
)
s&(t) lim s(t t) s(t) , &s&(t) lim s&(t t) s&(t) , s&(t) lim s(t t) s(t)
估计理论与信号检测
第六章 信号波形的估计
内容提要
6.1 引言 6.2 连续过程的维纳滤波 6.3 离散过程的维纳滤波 6.4 正交投影原理 6.5 离散卡尔曼滤波的信号模型 6.6 离散卡尔曼滤波 6.7 状态为标量时的离散卡尔曼滤波
6.1 引言
研究内容：
信号的波形估计(状态估计)
若被估计的量是随机过程或未知的非随机过程，则称这种 估计为信号的波形估计或状态估计。
)
E[s&(t)s&(t
)]
E
lim
t1 0
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t1 ) t1
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lim
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t2 ) t2
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=
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t2 0
lim
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t1) t1t2
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r&s ( t2
t 0
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t 0
t
t 0
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E[s&(t)s(t
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E
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E[s(t)s&(t
)]
E
lim
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s(t
t) t
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rs&s&(
理论基础：
随机过程及其统计描述(2.3, P.30) 线性系统对随机过程的响应(2.5, P.44) 随机噪声理论(2.6, P.46) 正交投影原理(6.4, P.400)
6.1.1 信号波形估计的基本概念
1、连续信号情况（只考虑加性噪声）
x(t) s(t) n(t)
x(t)
sˆ(t )
H ()
卡尔曼滤波（庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划）
采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型； 可解决多输入多输出非平稳随机信号的估计问题； 采用递推算法非常适合于计算机处理，计算效率高。
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.1 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
信号波形（状态）估计准则：线性最小均方误差准则。 维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完 成信号波形（状态）估计的两种线性最佳估计方法。 维纳滤波
要求知道随机信号的统计特性，即相关函数或功率普密度， 得到的结果是封闭解（解析式）；
由于采用频域设计方法，仅适用于一维平稳随机信号。
a,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) E[(s(t)
as(0) as(0)
bs(T ))s(0)] bs(T ))s(T )]
0 0
rs
rs (t) (T
t)
ars (0) brs (T ) ars (T ) brs (0)
0
0
a rs (0)rs (t) rs (T )rs (T t) , b rs (0)rs (T t) rs (t)rs (T )
信号波形估计理论又称为信号波形滤波理论(抑噪声，提信号)。
➢ 波形滤波， x(t) sˆ(t)
➢ 波形预测， x(t) sˆ(t ), 0 ➢ 波形平滑， x(t) sˆ(t ), 0
2、离散信号情况（只考虑加性噪声）
xk Hk sk nk , k 1, 2,L
信号状态估计理论又称为信号状态滤波理论(抑噪声，提信号)。
a ,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t)] 0 E[(s(t ) as(t) bs&(t))s&(t)] 0 rs&s ( ) r&s ( ), rs&s&( ) &r&s ( ), r&s ( ) 0 0
a rs ( ) ,
rs (0)
b r&s ( )
&r&s (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t) r&s ( ) s&(t)
rs (0)
&r&s (0)
见习题6.1
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t )] 0 0
rs
(0)
minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ] a
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t))s(t)] 0 a rs ( )
rs Fra Baidu bibliotek0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t)
rs (0)
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t))s(t )] E[(s(t ) as(t))as(t)]
)
lim
t2 0
r&s (
t2 ) t2
r&s (
)
&r&s (
)
rs ( ) rs ( ) 为偶函数，其导数 r&s ( ) 为奇函数，故有 r&s () 0 r&s (0) 0
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.3 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（平滑）
sˆ(t) as(0) bs(T ) minimize E[(s(t) sˆ(t))2 ]
➢ 状态滤波， xkm ,L , xk1, xk sˆk ➢ 状态预测， xkm ,L , xk1, xk sˆ(kl)|k , l 0 ➢ 状态平滑， xkm ,L , xk1, xk sˆ(kl)|k , l 0
6.1.1 信号波形估计的基本概念
From Steven page 323