不等式的基本理论
解不等式的理论依据和常用方法
解不等式的理论依据和常⽤⽅法解不等式是⾼中学⽣必须掌握的基本知识，理清解不等式的理论依据和需要注意的问题，对于解不等式是很有帮助的。
中学数学中涉及到的解不等式的理论依据和需要注意的问题主要有：不等式中代数式的取值范围，函数的单调性，函数的图象，符号法则。
1、不等式成⽴的前提条件是不等式要有意义，不等式中的代数式都要满⾜取值范围的要求，也就是要满⾜函数定义域的要求。
例如，解不等式lnx<0时，如果没有注意到对数函数定义域的要求，就会得出x<1这样的错误结论。
忽视取值范围的要求就有可能导致错误的结论。
例1．若不等式lnx<0不成⽴，求实数x的取值范围。
错误解法：不等式lnx<0不成⽴，则有lnx≥0；解不等式lnx≥0，得x≥1，所以，实数x的取值范围为[1，+∞)。
错误解法：错解分析：使得不等式lnx<0不成⽴的实数x，除了满⾜lnx≥0成⽴的x之外，还有当x≤0时使得lnx⽆意义的情况。
错解分析：正确解法：解不等式lnx<0，得0，所以，使得不等式lnx<0不成⽴的实数x的取值范围为(-∞，0]∪[1，+∞)。
正确解法：例2．若不等式x2>1不成⽴，求实数x的取值范围。
解：不等式x2>1不成⽴，则有x2≤1，解之得-1≤x≤1，所以实数x的取值范围为[-1，1]。
例1中不等式lnx<0不成⽴与不等式lnx≥0不同解，但是，例2中不等式x2>1不成⽴与不等式x2≤1同解，为什么？例1是关于对数函数的不等式，对数函数的定义域是正实数集，不等式lnx<0不成⽴还有使得lnx⽆意义的情况；例2是关于⼆次函数的不等式，⼆次函数的定义域是全体实数，不等式x2>1不成⽴，没有x2⽆意义的情况。
对于不等式f(x)>0来说，如果函数f(x)的定义域是全体实数，那么，不等式f(x)>0不成⽴与不等式f(x)≤0同解；如果f(x)的定义域不是全体实数，那么，不等式f(x)>0不成⽴包括f(x)⽆意义和不等式f(x)≤0两种情况。
不等式原理
不等式原理
不等式原理是数学中的一种基本理论，它涉及到数学中的不等关系。
不等式原理可以
帮助我们在解决问题时确定数值的相对大小关系，从而推导出一些重要的结论。
不等式原理的基本思想是，当两个数或两个量之间存在比较大小的关系时，我们可以
通过一些运算或推理得出它们之间的相对大小关系。
不等式原理的重要性体现在以下几个方面：
1. 加法原理：如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。
2. 减法原理：如果a > b，那么a - c > b - c，其中c是任意实数。
3. 乘法原理：如果a > b，且c > 0，那么a * c > b * c；如果a > b，且c < 0，那么a * c < b * c。
4. 除法原理：如果a > b，且c > 0，那么a / c > b / c；如果a > b，且c < 0，那么a / c < b / c，不过在使用除法原理时需要注意c不能为0。
不等式原理也可以扩展到多个数或多个量之间的关系。
对于三个实数a、b、c，如果
a > b，且
b > c，那么a > c。
不等式原理在数学中的应用非常广泛。
它可以用于解决方程组的不等式解、证明数学
定理以及分析各种数学问题。
不等式原理是一种重要的数学理论，它可以帮助我们确定数值之间的相对大小关系，
从而推导出一些重要的结论。
在应用不等式原理时，我们需要注意遵循不等式原理的要求，以确保推导的正确性。
基本不等式(二)
基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析 由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42， 当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立． 二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |， 又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析 二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25， 年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立． 三、解答题11．解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。
基本不等式推论
基本不等式推论此外还要附上一份参考文献基本不等式是指简单的不等式，可以以不同的方式定义和分析。
它们主要是用于表明一个数值的近似大小、边界等，也可用于证明一些定理、猜想或者不等式推论。
它们是衡量数学分析性质和理论性质的重要工具，也是工程分析和计算中重要的研究内容。
一、经典不等式1．最简单的不等式如基本算术不等式如a≥b，它表明一个数的边界条件大于另一个数的边界条件。
2．Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式定义为$\displaystyle \left| \sum_i^n t_is_i\right|^2\leq \left(\sum_i^nt_i^2\right)\left(\sum_i^ns_i^2\right)$。
它通常用于表示两个多元函数的近似关系，即使它们差距较大，也可以在一定程度上得到改善。
3．AM-GM不等式AM-GM不等式表明，$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^na_i}{n} \geq(a_1a_2...a_n)^{\frac{1}{n}}$，也就是说，平均数不会低于几何平均数。
4． Lagrange不等式Lagrange不等式定义为$\displaystyle f^{'}(c)\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，也就是函数在$[a,b]$内某一点的导数的绝对值，不能超过函数的变化量与变化范围的比值。
二、修正的不等式修正的不等式是指基本不等式的另一种表示方式。
它们比基本不等式更复杂、更精确，可以用来对更复杂的问题展开更深入的分析。
1．Jensen不等式Jensen不等式定义为$\displaystyle \log \left( \int_{\Omega} f(x)\mathrm{d}\mu(x) \right) \geq \int_{\Omega} \log f(x) \mathrm{d}\mu(x)$，它用于证明多元函数在某一给定范围内的局部稳定性。
基本不等式的概念
基本不等式的概念1. 定义基本不等式是数学中用于描述数值之间大小关系的基本规则。
它是不等式理论的基础，由一些基本的不等式组成，可以通过这些不等式来推导和证明其他更复杂的不等式。
基本不等式通常涉及到数的比较，包括大于、小于、大于等于和小于等于等关系。
它们可以用符号表示，如“>”表示大于，“<”表示小于，“>=”表示大于等于，“<=”表示小于等于。
2. 重要性基本不等式在数学中具有重要的作用和意义，它们不仅是推导和证明其他不等式的基础，还广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率论等。
以下是基本不等式的重要性的几个方面：(1) 推导和证明其他不等式基本不等式是推导和证明其他不等式的基础。
通过对基本不等式的运用和变形，可以得到更复杂的不等式，从而解决更复杂的数学问题。
(2) 描述数值之间的大小关系基本不等式可以用于描述数值之间的大小关系。
在实际问题中，我们经常需要比较不同数值的大小，基本不等式提供了一种简单而有效的方法来进行比较和判断。
(3) 解决优化问题基本不等式在解决优化问题中起着重要的作用。
优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
基本不等式可以用于建立约束条件，并通过对不等式的变形和运用，找到最优解。
(4) 概率论中的应用基本不等式在概率论中有重要的应用。
例如，切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它描述了随机变量与其均值之间的关系。
切比雪夫不等式可以用于估计随机变量的概率分布，从而对随机事件的发生概率进行分析和计算。
3. 应用基本不等式在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：(1) 代数中的应用在代数中，基本不等式可以用于求解方程和不等式。
通过对不等式进行变形和运算，可以得到方程的解集或不等式的解集。
(2) 几何中的应用在几何中，基本不等式可以用于证明几何问题。
例如，通过对三角形的边长进行比较，可以利用基本不等式证明三角形的性质和定理。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
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基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。
当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。
在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。
高一数学不等式公式
高一数学不等式公式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：(1) 对称性：a>bb<a;(2) 传递性：若a>b，b>c，则a>c;(3) 可加性：a>ba+c>b+c;(4) 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc;当c<0时，ac<bc。
不等式运算性质：(1) 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d;(2) 异向相减：，.(3) 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。
(4) 乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则;(5) 开方法则：若a>b>0，n∈N+，则;(6) 倒数法则：若ab>0，a>b，则。
2、基本不等式定理：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)推论：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)算术平均数;几何平均数;推广：若，则当且仅当a=b时取“=”号;3、绝对值不等式|x|0)的解集为：{x|-a|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x<-a}。
附：不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
高一数学知识点：不等式的基本性质
高一数学知识点：不等式的基本性质
知识点是关键，为了能够使同学们在数学方面有所建树，小编特此整理了高一数学知识点：不等式的基本性质，以供大家参考。
1.不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) abb
(2) acac (传递性)
(3) ab+c (cR)
(4) c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0N, n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式的基本理论
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
• ⑴ 上式中的左边部分反映的是实数的运算性质，而右边部分的 则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序 之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且 是推导不等式的性质，不等式的证明，解不等式的主要依据。
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其与不然乎。火出，於夏为三月，於商为四月，於周为五月。夏数得天，若火作，其四国当之，在宋、卫、陈、郑乎。宋，大辰之虚。陈，太昊之虚。郑，祝融之虚。皆火房也。星孛及汉。汉，水祥也。卫，颛顼之虚，其星为大水。水，火之牡也。其以丙子若壬午作乎。水火所以合也。 若火入而伏，必以壬午，不过见之月。”明年“夏五月，火始昏见，丙子风。梓慎曰：是谓融风，火之始也。七日其火作乎。戊寅风甚，壬午大甚，宋、卫、陈、郑皆火”刘歆以为，大辰，房、心、尾也，八月心星在西方，孛从其西过心东及汉也。宋，大辰虚，谓宋先祖掌祀大辰星也。 陈，太昊虚，虙羲木德，火所生也。郑，祝融虚，高辛氏火正也。故皆为火所舍。卫，颛顼虚，星为大水，营室也。天星既然，又四国失政相似，及为王室乱皆同。哀公十三年“冬十一月，有星孛於东方”。董仲舒、刘向以为，不言宿名者，不加宿也。以辰乘日而出，乱气蔽君明也。明 年，《春秋》事终。一曰，周之十一月，夏九月，日在氐。出东方者，轸、角、亢也。轸，楚。角、亢，陈、郑也。或曰角、亢大国象，为齐、晋也。其后楚灭陈，田氏篡齐，六卿分晋，此其效也。刘歆以为，孛，东方大辰也，不言大辰，旦而见与日争光，星入而彗犹见。是岁，再失闰， 十一月实八月也。日在鹑火，周分野也。十四年冬，“有星孛”，在获麟后。刘歆以为不言所在，官失之也。高帝三年七月，有星孛於大角，旬馀乃人。刘向以为，是时项羽为楚王，伯诸侯，而汉已定三秦，与羽相距荥阳，天下归心於汉，楚将灭，故彗除王位也。一曰，项羽坑秦卒，烧 宫室，弑义帝，乱王位，故彗加之也。文帝后七年九月，有星孛於西方，其本直尾、箕，末指虚、危，长丈馀，及天汉，十六日不见。刘向以为，尾宋地，今楚彭城也。箕为燕，又为吴、越、齐。宿在汉中，负海之国水泽地也。是时，景帝新立，信用晁错，将诛正诸侯王，其象先见。后 三年，吴、楚、四齐与赵七国举兵反，皆诛灭云。武帝建元六年六月，有星孛於北方。刘向以为，明年淮南王安入朝，与太尉武安侯田蚡有邪谋，而陈皇后骄恣。其后，陈后废。而淮南王反，诛。八月，长星出於东方，长终天，三十日去。占曰“是为蚩尤旗，见则王者征伐四方”其后， 兵诛四夷，连数十年。元狩四年四月，长星又出西北。是时，伐胡尤甚。元封元年五月，有星孛於东井，又孛於三台。其后江充作乱，京师纷然。此明东井、三台为秦地效也。宣帝地节元年正月，有星孛於西方，去太白二丈所。刘向以为，太白为大将，彗孛加之，扫灭象也。明年，大将 军霍光薨，后二年家夷灭。成帝建始元年正月，有星孛於营室，青白色，长六七丈，广尺馀。刘向、谷永以为，营室为后宫怀任之象，彗星加之，将有害怀任绝继嗣者。一曰，后宫将受害也。其后，许皇后坐祝诅后宫怀妊者废。赵皇后立妹为昭仪，害两皇子，上遂无嗣。赵后姊妹卒皆伏 辜。元延元年七月辛未，有星孛於东井，践五诸侯，出河戍北率行轩辕、太微，后日六度有馀，晨出东方。十三日夕见西方，犯次妃、长秋、斗、填，蜂炎再贯紫宫中。大火当后，达天河，除於妃后之域。南逝度犯大角、摄提，至天市而按节徐行，炎入市，中旬而后西去，五十六日与仓 龙俱伏。谷永对曰“上古以来，大乱之极，所希有也。察其驰骋骤步，芒炎或长或短，所历奸犯，内为后宫女妾之害，外为诸夏叛逆之祸”刘向亦曰“三代之亡，摄提易方。秦、项之灭，星孛大角”是岁，赵昭仪害两皇子。后五年，成帝崩，昭仪自杀。哀帝即位，赵氏皆免官爵。徙辽西。 哀帝亡嗣。平帝即位，王莽用事，追废成帝赵皇后、哀帝傅皇后，皆自杀。外家丁、傅皆免官爵，徙合浦，归故郡。平帝亡嗣，莽遂篡国。釐公十六年“正月戊申朔，陨石於宋，五。是月，六鶂退飞过宋都”。董仲舒、刘向以为，象宋襄公欲行伯道将自败之戒也。石，阴类。五，阳数。 自上而陨，此阴而阳行，欲高反下也。石与金同类，色以白为主，近白祥也。鶂，水鸟，六，阴数。退飞，欲进反退也。其色青，青祥也，属於貌之不恭。天戒若曰，德薄国小，勿持炕阳，欲长诸侯，与强大争，必受其害。襄公不寤，明年齐桓死，伐齐丧，执滕子，围曹，为盂之会，与 楚争盟，卒为所执。后得反国，不悔过自责，复会诸侯伐郑，与楚战於泓，军败身伤，为诸侯笑。《左氏传》曰：陨石，星也。鶂退飞，风也。宋襄公以问周内史叔兴曰“是何祥也。吉凶何在”对曰“今兹鲁多大丧，明年齐有乱，君将得诸侯而不终”退而告人曰“是阴阳之事，非吉凶之 所生也。吉凶繇人，吾不敢逆君故也”是岁，鲁公子季友、鄫季姬、公孙兹皆卒。明年，齐威死，適庶乱。宋襄公伐齐行伯，卒为楚所败。刘歆以为，是岁岁在寿星，其冲降娄，降娄，鲁分野也，故为鲁多大丧。正月，日在星纪，厌在玄枵。玄枵，齐分野也。石，山物。齐，大岳后。五 石象齐桓卒而五公子作乱，故为明年齐有乱。庶民惟星，陨於宋，象宋襄将得诸侯之众，而治五公子之乱。星陨而鶂退飞，故为得诸侯而不终。六鶂象后六年伯业始退，执於盂也。民反德为乱，乱则妖灾生，言吉凶繇人，然后阴阳冲厌受其咎。齐、鲁之灾非君所致，故曰“吾不敢逆君故 也”。京房《易传》曰“距谏自强，兹谓却行，厥异鶂退飞。適当黜，则鶂退飞”惠帝三年，陨石绵诸，一。武帝征和四年二月丁酉，陨石雍，二，天晏亡云，声闻四百里。元帝建昭元年正月戊辰，陨石梁国，六。成帝建始四年正月癸卯，陨石槀，四，肥累，一。阳朔三年二月壬戌，陨 石白马，八。鸿嘉二年五月癸未，陨石杜衍，三。元延四年三月，陨石都关，二。哀帝建平元年正月丁未，陨石北地，十。其九月甲辰，陨石虞，二。平帝元始二年六月，陨石巨鹿，二。自惠尽平，陨石凡十一，皆有光耀雷声，成、哀尤屡。[标签:标题] 昔在黄帝，作舟车以济不通，旁行天下，方制万里，画野分州，得百里之国万区。是故《易》称“先王建万国，亲诸侯”，《书》云“协和万国”，此之谓也。尧遭洪水，褱山襄陵，天下分绝，为十二州，使禹治之。水土既平，更制九州，列五服，任土作贡。曰：禹敷土，随山刊木，奠 高山大川。冀州既载，壶口治梁及岐。既修太原，至於岳阳。覃怀底绩，至於衡章。厥土惟白壤。厥赋上上错，厥田中中。恒、卫既从，大陆既作。鸟夷皮服，夹右碣石，入於河。泲、河惟兖州。九河既道，雷夏既泽，雍、沮会同，桑土既蚕，是降丘宅土。厥土黑坟，草繇木条。厥田中
初中数学不等式解应用题的难点突破策略
初中数学不等式解应用题的难点突破策略初中数学不等式解应用题是中学数学教学中的重要部分，是考查学生分析问题和解决问题能力的重要手段之一。
但是，初中生在解不等式运用题时常常遇到许多困难：题目涉及面广，涉及面积、速度、花费等各个方面，多种量的关系复杂；题目难度大，有些题目需要多个不等式结合减法、乘法、加法等运算才能求解；题目抽象性强，有些问题形式上看起来非常简单，实则需要深刻的数学思想。
为了解决这些问题，我们提出以下策略。
一、熟练掌握不等式基本理论不等式基本理论是解不等式应用题的关键。
掌握基本理论，才能更好地解决应用题。
而基本理论包括：同侧取等、异侧取反、加减变形、乘除变形等。
学生应正确掌握不等式基本理论，启迪他们的思维，提高解题的效率。
二、善于抓住不等式题目的特征在解不等式运用题时要善于抓住题目的特征，例如：是否存在最值，是否存在取等条件，是否存在最小值最大值等等。
只有抓住题目的特征，加以分析，才能快速写出解题思路，从而解决问题。
三、准确分析应用题中的数据应用题中的数据非常重要，准确分析这些数据，可以帮助我们更好地把握应用题的含义。
例如，对于面积问题，应该尽可能多地说明各个数据之间的关系，包括比例、和、差和乘积等，从而推导出合适的不等式。
四、善用图像为了更好地理解题意，我们可以通过画图来研究问题。
例如，对于不等式问题可以画出数轴，根据数轴上数的大小可以推出不等式的范围；对于面积问题可以画出图形，从形状方面分析其属性，推导出数据之间的关系。
五、善用举例法有些不等式问题较为抽象，不容易理解，此时我们可以通过举例分析问题，把问题转化为具体问题再进行分析。
例如，将某个数变化时不等式的变化过程以图表方式呈现，然后对应各类问题，求解应用题。
总之，初中数学不等式解应用题的难点在于建立正确的数学模型和灵活运用相关知识和技巧。
希望以上几个方面会给学生提供一些灵感和解题思路，让他们更好地提高解决问题的能力，加强数学素养的提高。
不等式的基本理论
•= (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2
•
= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)
•
= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
• = (x－1) [2x3 - (x +1) ]
• = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)]
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
• ⑴ 上式中的左边部分反映的是实数的运算性质，而右边部分的 则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序 之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且 是推导不等式的性质，不等式的证明，解不等式的主要依据。
不等式的基本理论
• 观察以下四个不等式：
• a+2 > a+1----------------(1) • a+3>3a-------------------(2) • 3x+1<2x+6--------------(3) • x<a------------------------(4)
一.基本概念
• ⑵ 判断两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a - b 的符号， 从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：①作差；②变形； ③定号.
基本不等式的性质
基本不等式的性质
基本不等式是数学中一个重要的内容，它能够确定两个数之间的关系，是被广泛应用于数学理论中的基本概念。
在这里，我们将探讨基本不等式的基本性质。
首先，我们来看一下基本不等式的定义。
基本不等式是一种简单的数学定义，它指出在范围内，两个数之间的大小关系，或者可以指出一个数的范围。
具体来说，如果有两个数a>b，则称a是b的基本不等式，反之，如果a≤b，则称a是b的基本不等式；如果a∈[c,d]的范围内，则称a是[c,d]的基本不等式。
其次，我们来看看基本不等式的基本性质。
假设a>b，则有：
1.a>b时，a+b>b+b，即a-b>0；
2.a>b时，ab>ba；
3.a>b时，a>bn，对于任意的正整数n；
4.a>b时，a/b>1；
5.a>b时，b/a<1；
6.a>b时，a的n次方>b的n次方，对于任意的正整数n；
7.a>b时，ab>ac，对于任意的非零数c。
综上所述，基本不等式的性质可以用上述方式表示出来，它在数学中有着重要的意义。
基本不等式对于数学分析和应用也有着重要的作用。
比如，基本不等式常常被用来判断函数的增减性，定界问题，统计学中的抽样分析，以及复杂函数的求解等等。
归纳总结，基本不等式是一个重要的数学概念，它不仅指出了两个数之间的大小关系，而且它的性质也能够为数学分析和应用提供重要的指导作用。
熟悉了基本不等式的性质，我们可以更好地理解和应用它，从而促进我们对数学的深入理解。
不等式的性质和求解方法
不等式的性质和求解方法不等式在数学中占据重要地位，它与方程一样，是数学中研究的基本对象之一。
不等式的理论及求解方法在实际问题中具有广泛的应用，尤其在函数、几何和优化等领域。
本文将介绍不等式的性质以及常用的求解方法。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性对于不等式 A < B 和 B < C，根据传递性可知，A < C。
这意味着如果一个不等式的两边分别与另一个不等式的两边相等，那么这两个不等式可以合并为一个不等式。
例如，对于不等式组 x < 4 和 4 < y，我们可以将其合并为 x < y。
2. 不等式的加减性对于不等式 A < B 和 C > 0，根据加减性质可知，A+C < B+C。
即不等式两边同时加上或减去一个正数，不等式的方向不变。
例如，对于不等式 x < 4，我们可以将其变形为 x+3 < 7。
3. 不等式的乘除性对于不等式 A < B 和 C > 0，根据乘除性质可知，AC < BC。
即不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变。
当乘以或除以一个负数时，不等式的方向则相反。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以将其变形为 x < 3。
二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种直观且常用的求解不等式的方法，特别适用于线性不等式。
其基本思想是将不等式转化为图像，并通过观察图像中的区域来确定不等式的解集。
并表示在数轴上小于3的所有实数。
2. 辅助方程法辅助方程法是一种将不等式转化为方程来求解的方法。
通过构造一个与原不等式等价的方程，然后求解该方程，最后根据方程的解来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x^2 - 4 > 0，我们可以构造辅助方程 x^2 - 4 = 0，并求解该方程得到 x = -2 或 x = 2。
根据辅助方程的解，我们可以确定原不等式的解集为 x < -2 或 x > 2。
2.2不等式的基本性质(教案)
-举例：若a>b且c<0，则ac<bc。需要通过具体的例子和练习，让学生掌握负数在乘法性质中的影响。
-难点3：将不等式性质应用于实际问题。学生需要能够从实际问题中抽象出不等关系，并正确应用基本性质。
-举例：在解决实际问题时，如购物预算问题，学生需要将预算限制转化为不等式，并利用性质进行求解。
2.2不等式的基本性质（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第二章“不等式与不等式组”中的2.2节“不等式的基本性质”。教学内容主要包括以下几点：
1.不等式的定义及其表示方法；
2.不等式的基本性质：
（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c；
（2）对称性：如果a>b，那么b<a；
（3）加法性质：如果a>b，那么a+c>b+c（c为任意实数）；
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们能够将不等式的基本性质应用到解决实际问题中，这让我很欣慰。但在小组讨论中，我也注意到有的学生在表达自己的观点时不够自信，这可能是因为他们对知识点的掌握还不够熟练。我会在以后的课堂中多给予这些学生鼓励和支持。
学生小组讨论的环节让我看到了学生们的思维火花。他们在讨论不等式在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点和问题。但在引导讨论的过程中，我发现自己对一些开放性问题的设计还不够精准，有时会导讨论更加高效。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示不等式的基本性质。
高三数学第一轮复习：4-5 第一章 不等式的基本性质(理)人教实验B版 知识精讲
高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
不等式公式大全
不等式公式大全不等式在数学中占据着重要的地位，它不仅是解决实际问题的数学工具，也是许多数学问题的基础。
本文将为大家详细介绍不等式的基本概念、性质和常见的不等式公式，希望能帮助大家更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
不等式是指两个数或两个代数式之间大小关系的一种表示方法。
通常用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2. 不等式的解。
解不等式就是找出使不等式成立的未知数的取值范围。
对于一元一次不等式，可以通过移项、合并同类项等方法求解；对于一元二次不等式，可以通过配方法或者判别式法求解。
二、不等式的性质。
1. 不等式的传递性。
若a>b，b>c，则有a>c。
这是不等式的一个基本性质，也是我们在解不等式问题时常常会用到的性质。
2. 不等式的加减性。
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
这说明不等式两边同时加（减）一个数，不等式的大小关系不变。
3. 不等式的乘除性。
若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
这说明不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式的大小关系不变；而同时乘（除）一个负数，不等式的大小关系则会颠倒。
三、不等式公式大全。
1. 一元一次不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键是通过移项和合并同类项将x的系数提取出来，然后根据系数的正负情况确定不等式的解集。
2. 一元二次不等式。
一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx+c>0（或<0），其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的关键是通过配方法或者判别式法将不等式化为二次函数的解析式，然后根据二次函数的图像确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式。
绝对值不等式的一般形式为|ax+b|>c（或< c），其中a、b、c为已知数，x为未知数。
常用的不等式
常用的不等式
摘要：
1.不等式的基本概念
2.不等式的符号表示
3.常用不等式的类型
4.如何解不等式
5.不等式在实际生活中的应用
正文：
不等式是数学中常见的一种比较方法，用于表示两个数或者式子之间的大小关系。
在代数学中，不等式是重要的研究对象，其基本概念和性质构成了不等式理论的基础。
不等式的符号表示主要包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
通过这些符号，我们可以清晰地表示出两个数之间的大小关系。
常用不等式的类型主要有以下几种：
1.一元一次不等式：形如ax+b>c 或ax+b<c 的不等式，其中a、b、c 为已知数，x 为未知数。
2.一元二次不等式：形如ax+bx+c>0 或ax+bx+c<0 的不等式，其中
a、b、c 为已知数，x 为未知数。
3.绝对值不等式：形如|x|>a 或|x|<a 的不等式，其中a 为已知数，x 为未知数。
4.复合不等式：由多个不等式组合而成的不等式，如(x+2)(x-3)>0。
解不等式的方法主要有以下几种：
1.移项法：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，然后合并同类项。
2.符号法：通过分析符号的变化，判断未知数的取值范围。
3.图形法：画出函数图像，观察函数与坐标轴的交点，从而得到不等式的解集。
4.代入法：将未知数表示为另一个已知数的函数，然后代入不等式求解。
不等式在实际生活中的应用非常广泛，例如经济学中的成本与收益分析、物理学中的力学问题、生物学中的生态系统平衡等。
基本不等式和为定值(1)
基本不等式和为定值引言：基本不等式和为定值是数学中一个重要的概念，它涉及到不等式和的最小值和最大值的问题。
通过研究基本不等式和为定值，我们可以揭示不等式的性质，解决优化问题，以及在实际问题中应用不等式的原理。
本文将详细介绍基本不等式和为定值的概念、相关定理的推导以及在不等式理论和实际问题中的应用。
一、基本不等式和为定值的概念：基本不等式和为定值是指在给定一组数的情况下，求它们的和的最小值或最大值。
在数学中，我们常常用符号∑来表示一组数的和。
二、基本不等式和为定值的定理：在基本不等式和为定值的研究中，有一些重要的定理和结论，包括以下两个：1.积分不等式：对于给定的函数f(x) 和区间[a, b]，积分不等式可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≥(b-a)·f(c)其中c 是[a, b] 上的某一点，且f(c) 是f(x) 在[a, b] 上的平均值。
2.加权平均不等式：对于给定的一组正数a₁, a₂, ..., aₙ和对应的权重w₁, w₂, ..., wₙ，加权平均不等式可以表示为：(w₁a₁+ w₂a₂+ ... + wₙaₙ) / (w₁+ w₂+ ... + wₙ) ≥(a₁^w₁* a₂^w₂* ... * aₙ^wₙ)^(1/(w₁+ w₂+ ... + wₙ))其中权重满足w₁+ w₂+ ... + wₙ≠0。
三、推导基本不等式和为定值的定理：1.积分不等式的推导：通过利用积分的性质以及函数的平均值定理，可以推导出积分不等式的形式。
2.加权平均不等式的推导：通过利用加权平均的性质，以及对数函数和幂函数的性质，可以推导出加权平均不等式的形式。
四、基本不等式和为定值的应用：基本不等式和为定值的概念和定理在数学和实际问题中具有广泛的应用，包括以下几个方面：1.优化问题：通过基本不等式和为定值的思想，可以解决最大值和最小值问题，如寻找函数在给定条件下的最大值或最小值。
2.约束条件下的最优化问题：在一些实际问题中，存在多个变量之间的约束条件。
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例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合
• ⑴ 上式中的左边部分反映的是实数的运算性质，而右边部分的 则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序 之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且 是推导不等式的性质，不等式的证明，解不等式的主要依据。 • ⑵ 判断两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a - b 的符号， 从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：①作差；②变形； ③定号.
不等式的基本理论
• 观察以下四个不等式：
• • • •
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
一.基本概念
• 同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大 于右边,或每一个的左边都小于右边. • 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边 大于右边,而另一个的左边小于右边.
• 例、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大 小. • 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 • 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
小结
• • • • • • • • • • • 主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号 变形是关键： 1°变形常用手段:配方法，因式分解法 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积
• x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若 (x -1)2 > 0 即 x≠1 则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 (x -1)2 = 0 即 x =1 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 若 x≠1 则 2x4+1 > 2x3+x2
二.基本理论:
• • • • • •
1.实数在数轴上的性质: 有序排列 2.基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
课外作业
• 课本 P2 练习1 , 2 , 3 • 补充: • 已知：a>o , b>o . 比较 a2/b+b2/a 与 a+b的 大小.
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当的要求？！她要他好好地善待凝儿，他就反过来要自己等他；她要他履行诺言，允许她们姐妹相见，他就反过来要自己改称“玉盈”。这是 为什么！为了让王爷善待凝儿，玉盈被迫采取了缓兵之计，先应承下来等他；现在，为了见到凝儿，她又要被迫改变自称。可是，改称“玉 盈”，这是壹件多么难以办到的事情？因为从此以后，他们的对话中，会增添壹种叫做“暧昧”的味道！可是，王爷是他们年家的主子，他的 任何要求，他们年家不是都必须言听计从吗？如果不改称谓，自己今天就肯定是见不到凝儿了，先不说无法跟夫人、二哥交代的问题，众人都 是那么焦急、热切地等待着她的消息，就是翠珠那里她也无法解释，这壹天，她都去了哪里？王爷，您就那么喜欢逼迫别人就范，看着别人的 窘迫而高兴的人吗？望着困窘中的玉盈，他想到了刚刚在宝光寺门口，她躲避着他伸出来的那只手的情形。他承认，他是在逼迫她，但是，他 不是想看她的窘迫，也不是想逼她就范，而是因为他喜欢她，爱她！他希望他的玉盈，是壹个和他壹起快乐、壹起忧伤、壹起幸福、其享甘苦 的伴侣，而不是那个远拒他千里之外的“民女”！他心情忐忑地等待着她的回答，他害怕她又像刚才在宝光寺门口那样退缩，如果当时不是自 己主动迈出了那壹步，她还要躲他到几时呢？玉盈姑娘，爷知道你害羞，你胆怯，你这是在需要爷的鼓励和帮助吗？“启禀爷，到王府了。” 秦顺儿的声音在车外响起，马车也越来越慢，直至渐渐地停了下来。时间已经不多了，他必须给她施加压力，不能给她任何考虑的时间：“你 是叫玉盈，还是就此回年府？”望着他坚定的目光，玉盈别无选择，唯有小声而又同样坚定地说道：“玉盈，必须见到您的侧福晋。”第壹卷 第102章 相见得到王府小太监传来的口信儿，冰凝立即就愣住了，怎么昨天才写出家信，姐姐今天就到王府了？别人家有可能壹辈子都见不到 娘家人，她嫁进王府才壹个月就能见到姐姐，真是太意外了！顾不得多想，她迅速理了理衣裳，就带着吟雪迎到了怡然居的院门口。不多时， 就见玉盈姐姐还有翠珠主仆两人的身影出现在小路上，身边由秦顺儿陪伴着。昨天刚刚认识了这个秦公公，今天就又见到了。“姐姐！”“凝 儿，啊不，侧福晋吉祥！”“快快进来吧。”把玉盈迎进了院子，冰凝赶快吩咐小柱子关上了院门，她没有注意到，秦顺儿也跟着进了院子。 她壹门心思都在姐姐的身上，只有赶快进了院子，才能再也没有什么侧福晋不侧福晋的了，她只是姐姐的凝儿！绕过影壁墙，出现在玉盈面前 的，是壹个巨大的花园，有她们年府整整两进院子那么大的壹个花园，玉盈被震惊了！简直就是人间仙境啊！王爷果然没有食言，给了凝儿这 么美的壹个