上海大学量子力学教学PPT第三章

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量子力学讲义第三章讲义详解

量子力学讲义第三章讲义详解

第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义:算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v , Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â,称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数,ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如:动量算符ˆpi =-∇, 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同,即ˆˆA B ψψ=,则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有:ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=,则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+,ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积,记为ˆˆAB ,定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= 是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律,即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠,则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=,则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-, 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如:算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明:(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等,所以:ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为是体系的任意波函数,所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=,ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。

量子力学(全套) ppt课件

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1 n2

人们自然会提出如下三个问题:
1. 原子线状光谱产生的机制是什么? 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律?
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考: 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前,希腊人有一种思想认为:
•2.电子的能量只是与光的频率有关,与光强无关,光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论,光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
(3) 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv,
而且具有动量。根据相对论知,速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出:
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外


RH
C

1 m2
自然之美要由整数来表示。例如:
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题,经典物理学不能给于解释。首先,经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学,电子环绕原子 核运动是加速运动,因而不断以辐射方式发射出能量,电子的 能量变得越来越小,因此绕原子核运动的电子,终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去,原子就“崩溃”了,但是, 现实世界表明,原子稳定的存在着。除此之外,还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的,这里不再累述。

量子力学课件03

量子力学课件03


1 3/2 i � Ψ(r ,t ) = ( ) exp( ( p x x + p y y + p z z − Et ) 2πℏ ℏ ∂Ψ 1 对时间求导,得 = EΨ ∂t iℏ
但这不是我们所要求的方程,因为它含有状态量 E 。将波函数对坐标变量求导
∂Ψ 1 ∂2 Ψ 1 2 = − pxΨ ; 2 = − px Ψ ∂x iℏ ∂x ℏ2
=
∞ 1 ∞ ∞ i Ψ( x, t )Ψ ∗ ( x '.t ) dxdx' ∫ exp[ p( x ' − x) dp ∫ ∫ 2πℏ − ∞ − ∞ ℏ −∞ ∞ ∞ ∗ ∞
=
−∞ − ∞

' ' ' 2 ∫ Ψ ( x, t) Ψ ( x , t )δ ( x − x ) dxdx = ∫ | Ψ ( x , t) | dx = 1 −∞
因此 Ψ (r , t) 和 c ( p , t) 一一对应,互为 Fourier 变换。它们是对同一量子状态的不同描述方式。


� Ψ ( r , t ) 是以坐标 r 为自变量的波函数,称之为坐标空间波函数,或坐标表象波函数; � c ( p , t ) 是以动量 p 为自变量的波函数,称之为动量空间波函数,或动量表象波函数;二者描
所以,
同理可
∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ 1 = − 2 p y 2 Ψ ; 2 = − 2 pz 2 Ψ 2 ∂y ℏ ∂z ℏ
∂2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ p2 2 + + = ∇ Ψ = − Ψ ∂x 2 ∂y 2 ∇ z 2 ℏ2
利用自由粒子能量动量关系
3
E=
p2 2µ

量子力学 第三章 课件

量子力学 第三章 课件

可以看出,相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时,本征值间隔可任意小;当 L 时 Px 0 ,即离散谱→连续谱
(3)在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中, 粒子动量有确定值,该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
(1)算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例:
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2)算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上,等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 (1)轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明:
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1)若粒子处在无限空间中,则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ,即

量子力学3-1

量子力学3-1
ˆB ˆ A
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立

(特例:若I ,则I 称为单位算符)
(2)算符相加: ˆB ˆ B ˆ ) A ˆ (A 这是算符最基本的运算。
5
交换律和结合律:
ˆB ˆ ˆB ˆA A ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆ C ˆ) C A
(3)算符乘积:
ˆ (B ˆB ˆ ) ( A ˆ ) A
运算依次从右向左进行
注意算符的乘积一般不对易:
ˆB ˆ ˆB ˆA A
6
(4)算符对易
ˆ 、B ˆ 满足关系 如果算符A
即 A ˆB ˆ 0 ˆB ˆ ˆB ˆA ˆ B ˆA A ˆ ,B ˆ] 0 ˆ 、B ˆ 对易, 并记作 [ A 则称算符A
d2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 d
x
18
( ) e
2 / 2
u( )
求解厄米方程,得到厄米多项式解 u ( )
最终得到一维谐振子哈密顿算符的本征能量
1 E n (n ),n 0,1,2, 2 及相应的本征波函数
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理 1)微观粒子体系的状态可以用波函数来表示; 2)描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程; 这里介绍量子力学的另一个基本原理 3)量子力学中的力学量可以用算符来表示
ˆ 即 F ( p, r ) ~ F (i, r )
对易关系的一般运算法则
ˆ, B ˆ] B ˆ, C ˆ][A ˆ, B ˆ ˆC ˆ [A ˆ ]C 最常用的运算法则 [ A
ˆB ˆ] A ˆ [B ˆ][A ˆ, C ˆ ]B ˆ, C ˆ, C ˆ [A

第三章量子力学精品PPT课件

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1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率,对于多于一个电子的氦原子, 理论完 全不适 用,且不能计算谱线的强度。


2、角动量量子化条件
h
p n 2
无理论根据。
3、轨道的概念不正确。
• 1、理论内在的不统一,不是自洽的。一方 面提出了与经典理论完全矛盾的假设。
另一方面又认为经典理论(牛顿定律,
库仑定律)适用。所以不是一贯的量子

理论,也不是一贯的经典理论,而是量
子论 + 经典理论的混合物。

• 2、没有抓住微观粒子的根本特性:波粒 二象性,仍然把微观粒子看作经典理 论 中的质点。
第三章 量子力学初步
思维世界的发展,从某种意义上说, 就是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
• §3.1 物质的二象性 • §3.2 测不准关系 • §3.3 波函数及其物理意义 • §3.4 薛定谔波动方程 • §3.5 量子力学的几个简例 • §3.6 量子力学对氢原子的描述
4、电子波动性的实验验证
目 的 证明电子具有波动性
(1)电子波长的估计
原 理
12.25 A
V
(2)衍射波具有极大值
的条件
2dSinn 戴威逊—革末实验装置示意图
可用实验检验的公式:
v n12.5 2dsin
nk
在镍单晶上的衍射实验结果
实验中和d不变, =800 , d=2.03(镍单晶)
• q 缝宽:坐标的不确定量;α衍射 角;p 动量的不确定量; p q =h
q α0
p P
用电子衍射说明不确定关系
电子经过缝时的位置
不确定 xb.
x
一级最小衍射角

量子力学课件第三章.pptx

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b f (x)*g(x)dx b f (x) 2dx b g(x) 2dx.
a
a
a
你自己可以验证一下 3.6 式满足内积所有条件(习题 3.4(b))。注意到特别有
gf fg*.
[3.7] [3.8]
此外, f (x) 与自己的内积:
f f b f (x) 2dx, a
[3.9]
它是一个非负实数,仅当 f (x) 0 时为零。6
此,即使对大多数的术语和符号比较熟悉,仍要十分谨慎。
所有 x 的函数的集合构成了一个矢量空间,但对于我们的目的来说它太大了。为了表示
可能的物理状态,波函数 必须是归一化:
2
dx 1
所有在特定区域 2 的平方可积函数的集合,
f (x) 满足
b f (x) 2dx
a
[3.4]
构成一个(非常小)的矢量空间(参看习题 3.1(a))。数学家称之为 L2(a,b) ;而物理学家
1
波函数是处于希耳伯特空间中.
[3.5]
我们定义两个函数 f (x) 和 g(x) 的内积如下:
b
f g
f (x)* g (x)dx.
[3.6]
a
如果 f 和 g 都是平方可积(也就是说,如果两者都在希耳伯特空间中),它们的内积将肯定
存在(3.6 式中的积分收敛于一个有限值)。4 这可从 Schwarz 不等式得出:5
t2
N
2a.
[3.3]
tN1tN2tNNNa但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数(绝大多数情况下),它们存在于无穷维
空间中,对于它们,用 N 行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙,以及在有限维下有很好行为的矩
阵乘法可能存在问题。(其理由是,尽管 3.2 式的有限求和总是存在的,而对于无限求和或

量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8

量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8


ˆ |2 d | F
0
可把常数记为Fn,把状态 记为ψn,于是得:
(2)力学量的本征方程
若体系处于一种特殊状态, 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的,即:
(F) 0
2
则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。
ˆ F ) (F 0 或 ˆ 常 数 F
ˆ n Fn n F
m m m
m
ˆm )*nd Fm m *nd (F
二式相 减 得:
(Fm Fn ) m *nd 0
若Fm≠Fn, 则必有:
ˆm )*nd m * F (F ˆnd Fn m *nd
(2)分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为: 3. 正交归一系
Ylm ( ,) Nlm Pl (cos ) eim
m
构成正交归 一函数系

0

2
0
* Ylm ( ,)Ylm ( ,)sindd ll
ˆ 的本征函数 (4)氢原子能量算符H
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm (,) 组成正交归一函数系
i 1
方程的归一化条件有 f 个,正交条 件有f(f-1)/2 个,所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
Fn A jini
i 1

nj
* nj ji A j i ni * ni d jj
构成正交归一系



m(x) n(x)dx mn
ˆ z 的本征函数 (2)角动量分量算符 L
1 i m m() e (m 0, 1, 2, ) 2

第三章 量子力学初步ppt课件

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――自由粒子的波函数,描写动量为 p 、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性,其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量,却处在一个描写波的函数中。
.
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了 微观粒子的共同特性,而且 它并不是由微观粒子相互作 用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
微观粒子和光子一样,在一定的条件下显示出波 动 性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子,相当于具有 一定频率和一定波长的平面波,二者之间的关系为:
p h Eh ----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波,称为德 布罗意波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
p
hn
k
式中,2:角频率;n :传播方向上的单位矢量
就愈不确定。因此,微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x0
xpxh/2
.
px
二、不确定关系 1927年,海森堡首先推导出不确定关系:
xpx/2 ypy/2 zpz/2
p/2 Et/2
.
三、讨论 1.不确定关系只适用于微观粒子
例1: 设电子与 m0.01kg的子弹均沿x方向运动, x5,0m0/s 精 确度为 0.01,%求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
.
(4)戴维孙-革末实验
1927年,戴维逊和革末,电子衍射实验,测量了电 子波的波长,证实了德布罗意假设。
1.实验装置
.
2.实验结果
(1)当U不变时,I与的 关系如图
不同的,I不同;在有 的上将出现极值。
(2)当不变时,I与U的 关系如图
当U改变时,I亦变;而 且随了U周期性的变化
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在什么情况下两个算符相互对易呢?
ˆ和B ˆ 有不止一个共同本征函数,且这些本 若线性厄米算符 A 征函数构成完备系,则 ˆ 和 ˆ 对易. A B
证明:
ˆ A n n n ˆ B
n
n n
假定这些共同本征函数构成分立谱本 征函数系 n
任意一个波函数 均可展开为:
ˆ 的本征函数,它们所属的本征 证:设 1 , 2 , n 是厄米算符 A 值 , , 1 2 n 都不相等,要证明当 k 时,有 l k d 0
ˆ 已知: A k k k ˆ A
(3.1) (3.2)
当 k 时,k
因 A 是厄米算符,它的本征值是实数,即 k k ˆ ) (3.3) (A k k k k k
以 右乘上式(3.3.3)两边,并对变量整个区域积分:
ˆ ) d d ( A k k k
(3.4)
以 k 左乘式(3.3.2)两边,并对变量整个区域积分:
1 ( 2 L )3 1 V A
周期性条件:
( L) ( L)
p ( L) p ( L)
x x
e e
i px L 2i px L
e 1
i px L
写成三角形式:
2 px L 2 px L sin 0, cos 0 n 0,1,2
ˆ dr A A ( A ) dr ˆ ( Adr )

A


由于力学量的观测值应为实数,一般地力学量在任何状态下的 观测量就是在该状态下的平均值
2. 厄米算符的本征值为实数
厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。
ˆ 得: 证: 由本征方程 A
ˆ 满足: 若算符 A
ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 是线性算符 其中, 1 , 2是任意两函数, c1 , c2 是两个常数,则 A
2. 厄米算符
ˆ 满足: 对于任意两个函数 和 ,如果算符 A
ˆ ˆ ] dx A dx [ A
L p ( x) p ( x)dx
x x
L

L
Ae
2
L
i px x
Ae
i px x
dx
A 1 2L
A (2 L)
p (r ) p (r )dv L
L
对于三维平面波

L
Ae
2
L
i p r
Ae
i p r
dxdydz
A (2 L) 3
r r (r ) dr (r )r (r )dr
1 (2)
3 2
c ( p, t )
(r, t )e
i ( Et pr )
ˆ c( p, t )dp dr , p c ( p, t ) p
) (r , t )dr x p y (r , t )(i ) (r , t )dr y p z (r , t )(i ) (r , t )dr z p x (r , t )( i
二、 动量算符 1. 对易关系
ˆ i p
ˆ p i x x ˆ p i y y ˆ p i z z
a 它的各个分量之间是对易的
ˆx, p ˆx] [p ˆx, p ˆy] [p ˆx, p ˆz] 0 [p ˆy, p ˆx] [p ˆy, p ˆy] [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] [p ˆz, p ˆy] [p ˆz, p ˆz] 0 [p ˆ, p ˆx] [p ˆ, p ˆy] [p ˆ, p ˆz] 0 [p
一、 算符的对易关系
ˆ,B ˆB ˆ 之差为: ˆ 是两个算符,记 A ˆ和 B ˆA A
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆB ˆA [A
上式称为算符 A ˆ和 B ˆ 的对易关系.
ˆ和B ˆ和 B ˆ 的对易关系为零,则称算符 A ˆ 对易,此时之 若算符 A 积满足交换律
ˆB ˆ ˆB ˆA A
利用对易关系的定义,存在下列恒等式
ˆ, B ˆ] ˆ ] [ B ˆ, A [A ˆ, A ˆ] 0 [A ˆ , c] 0 [A
(C为常数)
ˆ, B ˆ] [A ˆ, B ˆ,C ˆ] ˆ C ˆ][A [A ˆ, B ˆ] B ˆ,C ˆ][A ˆ, B ˆ ˆC ˆ[ A ˆ ]C [A ˆB ˆ] A ˆ[ B ˆ][A ˆ,C ˆ ]B ˆ,C ˆ,C ˆ [A
2 px L 2n
px n L
三、 能量算符 1. 动能算符
2 2 ˆ p ˆ T 2 2m 2m
2 2 2 其中, 2 2 2 2 是拉普拉斯算符,用这一算 x y z

三、 算符的本征值方程,本征值和本征函数
ˆ 作用于一个函数 ,结果等于 乘以一个常数 如果算符 A
ˆ A
ˆ 的本征值,为属于 ˆ 的 的本征函数,方程为算符 A 则称 为 A 本征值方程。
§3-3 厄米算符的本征值、本征函数 1. 厄米算符的平均值是实数
反过来,在任何状态下的平均值为实数的算符 必为厄米算符。
b 位置算符和动量算符之间的对易关系
ˆ x ] [ y, p ˆ y ] [ z, p ˆ z ] i [ x, p ˆ y ] [ x, p ˆz] 0 [ x, p ˆ x ] [ y, p ˆz] 0 [ y, p ˆ x ] [ z, p ˆy] 0 [ z, p
对于每一个表示成粒子的位置和动量的函数的力学量 A(r , p) , 对应着一个量子力学的算符 A(r ,i) ,它是用 i 代替p而得 到的,在波函数表示的状态中,力学量A的平均值为:
ˆ (r , t )dr A (r , t )A
物理意义:
ˆ 的所有测量值的平均 ; 当体系处于 态时, A 就等于对于 A
cnn
n
ˆB ˆ ) c ( A ˆB ˆ ) ˆB ˆA ˆ ˆ (A B A n n
n
cn (n n n n )n
n
0
所以
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆB ˆA [A
逆定理:如果两个算符对易,则这两个算符有组成完全系的共 同本征函数.
ˆ A d k k d
(3.5)
由厄米算符定义得:
ˆ ) d d ( A k k
即式(4.3.4)和(4.3.6)两式相减得:
(3.6)
(k ) k d 0
(3.7)
ˆ 的一个本征态,则 A就等于对应的本征值; 如果 为 A
如果可以在经典力学与量子力学间建立对应关系,那么 与经典力学量对应的便是量子力学中的力学量的平均 值;
§3-2 算符的基本性质
算符就是代表某种运算的符号,把算符 F 作用到某个函数 u 上, 就是表示对函数 u进行某种运算,结果将会得出一个新的函数 ,不管这种具体运算是什么,都可以把它抽象地表示为:
2. 动量算符的本征值和本征函数
本征值方程
ˆ p (r ) p p (r ) p
ˆ x p (r ) p x p (r ) p ˆ y p (r ) p y p (r ) p ˆ z p (r ) p z p (r ) p
解为:
p (r ) Ae
2
i ( p r )
因 k ,则:
k d 0
(3.8)
设 k 已归一化
k k d 1
k d k
(3.9) (3.10)
1 k 0
k l k l
4. 厄米算符本征函数系具备完备性
设 n ( x) 是厄米算符的本征函数系,n即可以是连续也可以 是分立的,可以证明,任何与 n ( x)满足同样边界条件且在同样区 域内定义的波函数 ( x) 可按 n ( x) 展开.
结论:在状态 (r , t ) 中求动量分量 px , p y , pz 的平均值,只需要 (r , t ) 以相应的微算符 i x ,i y ,i z ,作用在 (r , t ) 上,然后乘以 ,再对全空间积分.
ˆ i p (r , t )(i) (r , t )dr , p ˆ (r , t )dr p (r , t ) p
第三章 量子力学中的力学量
力学量的平均值
算符的基本性质
厄米算符的本征值、本征函数
力学量算符
氢原子
测不准关系
§3-1 力学量的平均值
用算符表示力学量是由于量子体系所固有的波粒二象性所要求 的,表示量子态的波函数是一种几率波,即使在一确定量子态中 也并非各种力学量都有完全确定值,而表现为不同数值的统计 分布.从力学量的平均值的表示式出发,来说明引入算符的必要 2 性.
p (r ) p (r ) p (r )
归一化:


p
(r ) p (r )dr A解决这个问题有两个方法:
a 箱归一化,b 归一化为 函数的方法
3. 箱归一化
实际上是把本征值组成连续谱时本征函数的归一化问题变成分 立谱情况下的归一化问题. 对于一维平面波
2. 算符之积
ˆB ˆ ) ,定义为: ˆ和 B ˆ 之积 ( A 算符 A
ˆB ˆ (B ˆ ) A ˆ ) (A
算符之积与算符的前后次序有关,不满足交换律
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