第01讲-三角形的证明-教案
下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。
在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。
第一章三角形证明导学案
D
C
A D B
A
（3）请同学们阅读教材 2 页～3 的内容，并完成教材 4 页的随堂练习 （4）预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题； ⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。 2.预习交流：能用所学知识进行规范证明 （1）等腰三角形性质定理： （画图、写出已知、求证、证明过程） （等边对等角） ；
A
模块三 形成提升 1、 如图，在△ABC 中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE 是等腰三角形。
E B
D
D A
E
C
B
C
第一节 等腰三角形（四）
2.已知五个正数的和等于 1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 1/5. 模块四 小结反思 这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
3
3、如图，在 Rt ABC 中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求 DC 的长。
A
30¡ ã
B
D
C
3） 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。 已知： 求证： 证明：
模块三 形成提升 1、 填空： （1）如图 1，BC = AC，若 ，则△ABC 是等边三角形。 （2）如图 2，AB = AC，BC⊥AD，BD = 4，若 AB = ，则△ABC 是等边三角形。 （3）如图 3，在 Rt ABC 中，∠B = 30°，AC = 6cm，则 AB = ；若 AB = 7，则 AC =
（5）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题 称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 （6）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理， 其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 模块二 合作探究 1、如图，BA⊥DA 于 A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA∥DC。
三角形的证明教案
三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如 SSS（边边边）、SAS （边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和RHS（直角、斜边、边）。
2、培养学生运用三角形全等的证明解决实际问题的能力。
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和逻辑思维能力。
二、教学重难点1、重点（1）掌握三角形全等的判定方法，并能熟练运用。
（2）能够准确地找出全等三角形的对应边和对应角。
2、难点（1）灵活运用三角形全等的判定定理进行证明。
（2）理解证明的思路和方法，规范书写证明过程。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入同学们，大家还记得我们之前学过的三角形吗？今天呀，老师要带大家走进三角形的神秘世界，一起来探索三角形的证明。
我先给大家讲个小故事。
前几天我去逛街，路过一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个三角形的架子。
我就好奇地问他们：“师傅，你们怎么能保证这个架子是稳固的呀？”其中一个师傅笑着说：“这你就不懂了吧，我们是根据三角形的特性来搭建的，只要三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了，绝对稳固！”同学们，你们想想，为什么三条边确定了，三角形就稳固了呢？这就涉及到我们今天要学习的三角形的证明啦！（二）新课讲授1、三角形全等的定义两个三角形能够完全重合，就说这两个三角形全等。
2、三角形全等的判定定理（1）SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，我们有两个三角形，一个三角形的三条边分别是3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边也是 3cm、4cm、5cm，那么这两个三角形就是全等的。
（2）SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
举个例子，一个三角形的两条边分别是 6cm 和 8cm，它们的夹角是60°，另一个三角形的两条边也是 6cm 和 8cm，夹角也是 60°，那么这两个三角形就是全等的。
三角形的证明教案
三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）。
2、能够运用三角形全等的判定定理进行简单的证明和计算。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间观念。
二、教学重难点1、重点掌握三角形全等的判定定理。
能够运用判定定理进行证明。
2、难点灵活运用判定定理解决复杂的几何问题。
正确书写证明过程，逻辑清晰，推理严谨。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同但大小不同的三角形，引发学生思考如何判断两个三角形全等。
2、知识讲解（1）“边边边”（SSS）判定定理给出两个三角形，三条边对应相等，让学生观察并猜测它们是否全等。
通过几何画板进行演示，验证学生的猜测，得出“边边边”判定定理：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（2）“边角边”（SAS）判定定理展示两个三角形，两条边及其夹角对应相等，引导学生思考它们是否全等。
同样利用几何画板演示，得出“边角边”判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理以类似的方式，分别介绍“角边角”和“角角边”判定定理。
3、例题讲解给出一些简单的例题，如已知三角形的某些边和角的条件，要求学生判断两个三角形是否全等，并说明理由。
详细讲解例题的解题思路和证明过程，强调书写规范。
4、课堂练习让学生完成一些课堂练习题，巩固所学的判定定理。
巡视学生的练习情况，及时给予指导和纠正。
5、小组讨论安排学生分组讨论一些较复杂的几何问题，鼓励他们运用所学的判定定理进行分析和证明。
每组选派代表进行发言，分享小组的讨论结果。
6、总结归纳与学生一起回顾三角形全等的判定定理，并强调在证明过程中需要注意的事项。
解答学生在学习过程中遇到的疑问。
7、布置作业布置适量的课后作业，包括书面作业和拓展性作业，让学生进一步巩固所学知识。
初二-第01讲-三角形的证明(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；②掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；③掌握各种思想的运用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。
即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
体系搭建2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。
即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形第1课时课题: §1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又sin 1c C c==,A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
八年级(上)培优讲义：第1讲-三角形的初步知识(1)
第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。
（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。
5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。
(2)直角三角形两锐角互余。
(3)同位角相等。
(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。
9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。
第一章三角形的证明(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用模型或工具来直观展示全等三角形的判定过程。
-通过对比不同判定方法，让学生找出它们之间的异同点，形成直观认识。
-利用动画或实物模型，展示全等三角形在变化过程中保持不变的元素，加深学生对判定方法的理解。
-设计不同难度的练习题，让学生在具体操作中体会各个判定方法的应用场景，增强实践能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《第一章三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明两个三角形全等的情况？”比如，在拼接图形或设计图案时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
3.等腰三角形的性质：引导学生探讨等腰三角形的性质，如等腰三角形的两底角相等，等腰三角形的底边中线等于底边一半等。
4.直角三角形的性质：学习直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半等。
5.三角形证明的应用：通过实际例题，让学生运用所学知识进行三角形证明，提高学生的几何证明能力。
4.培养学生的数学抽象素养：让学生从具体实例中抽象出三角形的一般性质，形成数学概念，提高数学抽象素养。
5.培养学生的团队合作意识：通过小组讨论与合作完成证明题目，增强学生的沟通与协作能力，培养团队合作精神。
八年级下数学第一章(三角形的证明)-讲义
知识点一全等三角形的性质及判定1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。
例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？知识点二等腰三角形的性质和判定1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。
3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。
4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。
例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50º，则这个等腰三角形的底角是。
例:在等腰三角形ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。
例:如图，在ABA 1中，∠B=20º，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。
知识点三等边三角形的性质和判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
2、三个角都相等，且都等于60º.3、有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。
例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.M C B A 例：如图1，已知：∠MON=30º，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为 ．图1 图2例：如图2，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60º，得到△BAE ，连接ED ，若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是 。
三角形证明培优教案
三角形证明培优教案引言：三角形作为几何学中的基础形状之一，具有广泛的应用。
在学习三角形的过程中，学生不仅需要掌握基本的定义和性质，还需要学会用证明的方法来分析和解决相关的问题。
本教案将介绍一种培优的教学方法，帮助学生在三角形证明方面有更好的理解和应用。
一、教学目标：1. 理解与应用三角形的基本定义和性质；2. 学会运用证明的方法来解决三角形相关的问题；3. 培养学生的逻辑思维和分析能力。
二、教学准备：1. 教师准备白板、黑板、彩色粉笔等教学工具；2. 学生准备三角板、直尺、铅笔等绘图工具。
三、教学过程：1. 导入：通过简单的问题引导学生思考，例如，给定一个三边长分别为3、4、5的三角形，如何证明它是一个直角三角形？2. 讲解基本概念：教师讲解三角形的基本定义和性质，例如，三角形的内角和为180度、三边长的关系等。
3. 示范证明：教师示范如何进行三角形的证明，例如，用割尺法证明两边长相等的三角形的两个对应角也相等。
4. 练习演练：学生根据教师给出的问题，分组进行证明练习，例如，证明等腰三角形的底角相等、证明相似三角形的对应边成比例等。
5. 精讲难点：教师针对学生在练习中出现的问题和难点进行详细讲解和解答。
6. 拓展拔高：给学生一些拓展题目，鼓励他们用自己的思维进行证明，例如，证明平行四边形的对角线相等、证明正方形的对角线互相垂直等。
7. 总结归纳：教师引导学生总结和归纳三角形证明的思路和方法，强调重要的定理和技巧。
8. 课堂评价：教师设计相关的评价方式，例如，学生进行小组展示和讲解自己的证明过程。
9. 课后作业：布置相应的作业，要求学生进行更多的证明练习，加深对概念和定理的理解和掌握。
四、教学小结：通过本教案的教学，学生可以有效地掌握三角形证明的方法和技巧，提高解决三角形问题的能力。
同时，培养学生的逻辑思维和分析能力，为今后更深入的几何学习打下坚实的基础。
五、教学反思：在教学过程中，应注重培养学生的动手操作能力，教师可多使用教具和实物来辅助教学。
三角形的证明教案
三角形的证明教案教案标题：三角形的证明教案目标：1. 学生能够理解三角形的定义和性质。
2. 学生能够运用相关的定理和公式进行三角形的证明。
3. 学生能够运用逻辑推理和几何知识解决与三角形证明相关的问题。
教学步骤：1. 引入（5分钟）- 向学生介绍三角形的定义和性质，包括三边和三角形内角的关系。
- 提问学生，你们对三角形有什么了解？它有哪些性质？2. 探究（15分钟）- 教师给出一个三角形的图形，并提出一个证明问题，如证明三角形的两边之和大于第三边。
- 引导学生思考如何证明这个问题，鼓励他们用逻辑推理和几何知识来解决。
- 学生分组或个人进行讨论，尝试找到证明方法。
3. 指导（20分钟）- 教师向学生介绍一些常用的三角形证明定理和公式，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。
- 通过示例和练习，指导学生如何运用这些定理和公式来解决三角形的证明问题。
- 强调证明过程的逻辑性和准确性，鼓励学生进行严谨的推理和演算。
4. 实践（15分钟）- 学生个人或小组进行实践活动，选择一个三角形的证明问题，并尝试用所学的知识进行证明。
- 教师在此过程中提供必要的指导和帮助，鼓励学生积极探索和思考。
5. 总结（5分钟）- 教师与学生一起回顾本节课的学习内容，总结学生在三角形证明方面的收获和困惑。
- 解答学生提出的问题，并对他们的努力和成果给予肯定和鼓励。
- 鼓励学生在日常生活中运用所学的知识，发现和解决与三角形证明相关的问题。
教学资源：1. 三角形的图形和相关定理的示意图。
2. 练习题和实践活动的材料。
3. 教师提供的解答和指导材料。
评估方法：1. 观察学生在探究和实践活动中的表现，包括他们的思考过程、证明方法和解决问题的能力。
2. 批改学生完成的练习题和实践活动，评估他们对三角形证明的理解和应用能力。
3. 学生之间的互评和自评，鼓励他们分享和讨论自己的证明思路和策略。
拓展活动：1. 鼓励学生在课后进一步探索和研究三角形证明的相关问题，拓宽他们的数学视野。
第一章三角形的证明三(垂直平分线、角平分线)(培优教案)
初二数学VIP一对一第三次课授课教师：时间：学生姓名：评价：三角形的证明（三）一、主要内容：（本次课主要知识、例题、练习）知识点一线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（外心）例1 如图，已知在三角形ABC中，∠BAC等于115°，BC=15cm，EF、MN分别为AB,AC的垂直平分线，则△FAN 的周长是多少cm，∠FAN等于多少度？例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．例3 如图，∠A=52°，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=______．例4 如图,靠近河边有一块三角形菜地,要分给赵、钱、孙、李四家,为了分配公平合理,要求所分四份面积大小相同，而且每家都要有靠河边的位置,便于取水浇地,你能想办法将菜地合理分配吗？知识点二角平分线1、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（内心）例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE⊥AB于点E，AC=7cm，△DEB的周长为12cm．（1）求证：AC=AE；（2）求△ABC的周长．例2 BP、CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上。
例3如图所示，两个班的学生分别在C，D两处参加植树劳动，现要在道路OB，OA的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使P到C，D两处的距离相等，如果对，请你在示意图上找出这个点的位置，如果不对，说明为什么（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．例 4 如图所示，在△ABC中，∠=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E,F在AC上，BD=DF.证明:(1)CF=EB.(2)AB=AF+2EB。
新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案
第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。
运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。
【单元目标】1.知识与技能（1）等腰三角形的性质和判定定理；（2）直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。
【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
第一章三角形证明教案
第一讲等腰与等边三角形【优异学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。
2、等腰三角形是三角形家族中最为均匀、俊美的成员，等腰三角形的基天性质有：①等腰三角形的底角相等且必为锐角。
即为“等边平等角”。
②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的均分线重合。
即有“三线合一”，且重心，外心，心里，垂心共线。
③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分红两部分，以这条直线为轴，把此中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一同。
等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60° .2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角均分相互重合。
（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的均分线所在的直线。
4、等边三角形重心、心里、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
5、等边三角形内随意一点到三边的距离之和为定值。
（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的全部性质。
（等边三角形是特别的等腰三角形）【优选精讲】例题 1. 如下图，△ABC中，AB=AC，点 D、E、F 分别在三边上，且 CE=BD，CD=BF,若∠ A=40°，求∠ EDF。
例题 2、如图，△ ABC中，∠ B=2∠C，∠ BAC的均分线 AD交 BC于 D，求证： AB+BD=AC例题 3、如图，在△ ABC中， AB=3AC，∠ A 的均分线交 BC于点 D，过 B 作 BE⊥ AD，垂足为 E，求证： AD=DE。
【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A、 30°B、30°或150°C、 120°或 150°D、30°或120°或150°2、等腰三角形的周长为 a cm, 一腰的中线将周长分红5:3 ，则三角形的底边长为（）A、aB、3a C、a或3a D、4a 656553、如图 3，△ ABC中， AB=AC，D、E、F 分别在 BC、 AC、AB上，若 BD=CE， CD=BF，则∠ EDF等于（）A、90°－1∠A B、90°－∠ A 2C、180°－∠ AD、180°－2∠ A4、如图 4，已知△ ABC中，∠ B 与∠ C 的均分线交点 P 恰幸亏 BC边的高 AD上，那么△ ABC一定是（）A、直角三角形C、等腰三角形5、如图 5 所示，在△B、等边三角形D、等腰直角三角形ABC中， AB=AC，BD是角均分线，∠BDC=75°，则∠ BAC=。
三角形的证明教案
三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并能运用这些方法证明两个三角形全等。
2、通过对三角形全等的证明，培养学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、让学生在探索三角形全等的过程中，体会数学的严谨性和科学性，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1、教学重点掌握三角形全等的判定方法。
能正确运用三角形全等的判定方法进行证明。
2、教学难点灵活运用三角形全等的判定方法解决实际问题。
证明过程的书写规范和逻辑推理的严谨性。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同、大小相等的三角形模型，让学生观察并思考如何证明这两个三角形全等。
引导学生回忆之前学过的三角形的相关知识，为学习三角形全等的判定方法做好铺垫。
2、知识讲解边边边（SSS）判定方法展示三根长度分别相等的小木棒，让学生动手拼成一个三角形。
然后，再让学生用同样长度的小木棒拼成另一个三角形。
观察两个三角形是否能够完全重合。
从而得出边边边（SSS）判定方法：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
边角边（SAS）判定方法画出两个三角形，其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角相等。
让学生通过测量、裁剪等方式，验证这两个三角形是否全等。
得出边角边（SAS）判定方法：如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
角边角（ASA）判定方法展示两个三角形，其中一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边相等。
让学生思考如何证明这两个三角形全等。
引导学生通过作辅助线等方法，得出角边角（ASA）判定方法：如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。
角角边（AAS）判定方法通过对前面判定方法的推导和总结，引导学生思考如果两个三角形的两个角分别相等，其中一条边相等，这两个三角形是否全等。
《三角形的证明》公开课课件
# 三角形的证明公开课课件大纲
本课程主要介绍三角形方法证明三角形的相关性质。
课程介绍
基本定义
探索三角形的定义及其基本 元素：边、角、顶点。
性质和特点
深入研究三角形的性质和特 点，了解不同类型的三角形 和命名。
证明方法
学习使用证明方法证明三角 形的相关性质，如视角法、 重心法和对称性。
三角形的基本定义
1 定义
详细解释三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
2 种类与命名
探讨不同类型三角形的命名规则，如等边三角形、等腰三角形等。
3 基本元素
了解三角形的基本元素，包括边、角和顶点。
三角形的几何性质
1
内切圆和外接圆的性质
总结与回顾
1 基本定义和性质
概括总结三角形的基本定义和性质，巩固所学知识。
2 证明方法和应用实例
回顾三角形的证明方法和应用实例，加深理解和掌握。
谢谢观看！
希望本次三角形的证明公开课能够帮助大家更好地理解三角形的定义和性质， 提高解决实际问题的能力。
2
了解内切圆和外接圆与三角形的关
系，探索它们的性质和特点。
3
三角形内角的性质
研究三角形内角的和为180度的性质， 并探讨角的种类和特征。
等腰三角形和等边三角形的性 质
研究等腰三角形和等边三角形的特 征和性质，并解释它们在几何学中 的重要性。
三角形的证明方法
视角法
学习使用视角法证明三角形 的相关性质，通过观察角的 大小和位置关系。
重心法
探究使用重心法证明三角形 的性质，了解重心与三角形 各顶点的关系。
对称性
研究对称性在证明三角形性 质中的应用，探讨对称关系 和对称图形的特点。
三角形证明教案
全方位教学辅导教案ON上滑动，）5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识．●勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；●勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；●在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等AD是∠BAC的平分线，．8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）．（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．【知识点六：线段的垂直平分线】●线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
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第01讲 三角形的证明温故知新三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。
②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。
符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。
在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE AB∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。
符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 证明：在△ABD 和△ACE 中，∠D=∠E AD=AE ∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ≌△ACE （ASA ）（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。
符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE证明：在△ACD 和△ABE 中．∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB∴△ACD ≌△ABE （AAS ）．注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。
（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
符号语言：在△ABC 与△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．注意：①应用“SAS ”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。
（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠ABC=∠DEF=90°，AB DE BC EFAC DF==⎧⎨=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）．注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”②“HL ”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。
课堂导入知识要点一等腰三角形1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。
即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。
即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形典例分析例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°【解答】选B．例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=5．【解答】过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF=BC，∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴BD=AD=4，设DF=x，∴BF=4+x，∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，即16﹣x2=36﹣（4+x）2，∴x=0.5，∴DF=0.5，∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案为：5．举一反三1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为55°．【解答】AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故答案为：55°．2、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．3、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵锐角三角形的两条高BD、CE 相交于点O，∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，∴∠EBO=∠DCO，又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．知识要点二直角三角形1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
5、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
6、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
典例分析例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（）A．50° B．45°C．40° D．25°【解答】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=50°，故选A．例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C【解答】选：D．例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．【解答】（1）∵在△ ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ ACB，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30°（2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB．∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB．例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．【解答】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC，DM=AC，∴DM=BM；（2）由（1）可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．举一反三1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B． C． D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．3．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 2 ．【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POD，又∠AOP=∠BOP=15°，∴∠CPO=∠BOP=15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，∴PE=PC=2，则PD=PE=2．故答案为：2．4．在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为7 ．【解答】解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2=36，又∵AC+BC=8，∴AC2+2AC•BC+BC2=64，∴2AC•BC=64﹣（AC2+BC2）=64﹣36=28，又∵S△ABC=AC•BC，∴S△ABC==7．5．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，∠B=15°，则S△ABC= 25 ．【解答】解：如图，过点C作CD⊥BA的延长线于点D，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠C=15°，∴∠CAD=∠B+∠C=15°+15°=30°，∴CD=AC=×10=5，∴S△ABC=AB•CD=×10×5=25．故答案为：25．6．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．知识要点三垂直平分线与角平分线1、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。