第01讲-三角形的证明-教案

第01讲 三角形的证明

温故知新

三角形全等的条件

（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。

符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。

在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩

⎪

⎨⎧===DF AC EF BC DE AB

∴△ABC ≌△DEF （SSS ）

（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等

②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。 符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 证明：在△ABD 和△ACE 中，

∠D=∠E AD=AE ∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ≌△ACE （ASA ）

（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。

符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE

证明：在△ACD 和△ABE 中．

∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB

∴△ACD ≌△ABE （AAS ）．

注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。

（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

符号语言：在△ABC 与△DEF 中，

AB DE B E BC EF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．

注意：①应用“SAS ”时，必须满足相等的角是对应相等两边的

夹角，即“两边夹一角”。

（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”

或“HL”。 符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，

∠ABC=∠DEF=90°，

AB DE BC EF

AC DF

==⎧⎨

=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）．

注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”

②“HL ”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。

课堂导入

知识要点一

等腰三角形

1、等腰三角形的性质定理

（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）

（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

典例分析

例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）

A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°

【解答】选B．

例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°

【解答】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，

又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，

∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，

∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．

例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）

A．44°B．66°C．88°D．92°

【解答】∵PA=PB，∴∠A=∠B，

在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，

∴∠AMK=∠BKN，

∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．

例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC

于点D，连接AD，若AD=4，则DC=5．

【解答】过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF=BC，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴BD=AD=4，

设DF=x，∴BF=4+x，∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，即16﹣x2=36﹣（4+x）2，

∴x=0.5，∴DF=0.5，∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案为：5．

举一反三

1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为55°．

【解答】AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，

∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，

∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故答案为：55°．

2、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．

【解答】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，

又知BD将三角形周长分为15和21两部分，

∴可知分为两种情况

①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；

②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．

经验证，这两种情况都是成立的．

∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．

3、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．