基本不等式常用的配凑技巧
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基本不等式常用的配凑技巧
基本不等式是高中数学的重要内容，是高考重点考查的内容之一．对初学者来说，经过 教师的讲解很容易的从宏观上掌握运用基本不等式 时应该注意的三个方面即 “一正” “二
例 7． 已知 x,
1 4 y ∈ (0,+∞) ， 且 x + y = 4，则要使不等式 + ≥ m恒成立的实数 m x y
的取值范围．
（ 解析：
1 4 1 4 y 4x + ） ×4 = （ + ）（x + y） =5+ + ≥ 5 + 4 = 9． x y x y x y
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评注：本题有两个变量，无法直接运用基本不等式，可考虑消掉一个变量．思路 1 和思路 2 在解题的过程中实际上都两次运用均值不等式， 要注意等号的连续性， 即每个思路中两个等 号必须同时成立． 五．从“结构特征”上调节 运用基本不等式解题时首先必须满足基本不等式的基本结构， 然后再看是否符合 “一正” “二 定” “三相等”这三个方面．
≥ 1 + 1 + 2 = 4, 当且仅当 x = y =
2 取等号．式子的最小值为 4． 2
评注：本题给定的式子表面上不符合基本不等式的结构如果把式子稍加以变形就可以运用 了． 六．注意“常数”的整体代换作用． 例 6．函数
f ( x) =
1 2 π + (0 p x p ) 的最小值． 2 2 sin x cos x 2
(当且仅当
1 y 4x = 时取等号)即： x y x
+
4 9 ≥ ．所以 m ≤ 9 ． 4 y 4
评注：上述两个题目巧妙的运用常数的变换，使上述两个题经过变形可以运用均值不等式， 使题得以解决．
9
−
4 6 4 6， ≤y≤ 9 9
原函数的值域为： − 4 6 , 4 6 ．
9
评注：本题不能直接运用基本不等式，原因有(1)“正”不满足即 x 的符号不确定；(2)本题 是“积”的形式，要想运用基本不等式“和”必为定值，经过观察函数式的特点，两边平方 再把等式的两边乘以 2 即可． 四．消元与变元 例 5．设 a
= x2 + 2x +
1 的最小值． x + 2x + 3
2
解析： y
= x2 + 2x + 3 +
1 − 3 ，设 t = x 2 + 2 x + 3 ，则 t ≥ 2 ， 2 x + 2x + 3
1 3 t 1 3 3 y = t + − 3 = t + ( + ) − 3 ，因为 t ≥ 2 ， t ≥ . 所以 t 4 4 t 4 2
y≥
3 t 1 1 t 1 + 2 • − 3 = − ，当且仅当 t = 2 且 = 时，取“= ”号．由 4 t 2 4 t 2
1 1 的最小值为 ． − x2 + 2x + 3 2
x 2 + 2 x + 3 = 2 得 x = −1． y = x 2 + 2 x +
评注：本题以“和”的形式给出，要求其最小值必须“积”为定值，且必须满足“一正” “二 定” “三相等”这三个条件，解答本题时注意在配凑成
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y = x2 + 2x + 3 +
1 − 3， x2 + 2x + 3
虽然满足了定值，但是等号不能成立．必须再进行变形方可解决． 三．从“次数”上调节 例 3．求函数 y 解析：
2
解析：注意到： sin
x + cos 2 x = 1 ，可把原函数变为：
f ( x) = 1 × (
1 2 2 1 2 2 + = x + x + ) (sin cos ) 2 2 sin 2 x cos 2 x sin x cos
x
2 2 cos 2 x 2 sin 2 x tan x = x = arctan = ( 即 时取等号)． 3+ + ≥ 3 + 2 2 2 2 sin 2 x cos 2 x
定” “三相等” ，但如何保证这三个方面，学生有时把握的不够好，下面结合自己的教学实际 举例加以说明． 一.从“系数”上调节； 例1 ． 已知 0 < x <
2 ，求函数 y 3
= x (2 − 3x ) 的最大值．
2
1 3x + 2 − 3x 解析： 3 y = 3 x( 2 − 3 x) ≤ = 1，解得 y ≤ ， 3 2
2
= 2, b =
2 )． 2
− b，
a2 +
2 1 1 1 2 = (b + a − b ) + ≥ 2 b( a − b) + b( a − b ) b(a − b ) b ( a − b)
(
)
≥ 4b( a − b) +
2 1 )． ≥ 4 (等号成立的条件为 a = 2 , b = 2 b( a − b)
1 1 + + x + y 例 5．若 x, y ∈ (0, +∞) ，求 2y 2x
解析：
2 2
2
2
的最小值．
1 2 1 x y 1 1 2 y + + x + 2 + 2 + y + 2x = x + 2y y + x x y 4 4
> b > 0，求 a 2 +
1 的最小值． b( a − b)
解析：思路 1．消去 b
a2 +
1 4 4 1 2 2 = + ≥ 2 • =4 ≥ a2 + a a 2 b( a − b) a2 a2 b + a −b 2
(等号成立的条件为 a 思路 2：把 a 中的 a 换成 b + a
2
= x( 2 − x 2 ), x ∈ − 2 , 2
2 2 2
[
]的值域．
3Biblioteka Baidu
64 2x2 + 2 − x2 + 2 − x2 (当且仅当 2 y = 2 x (2 − x )(2 − x ) ≤ = 27 3
2x2 = 2 − x2 即 x = ±
6 时取等号，解得： 3
函数 y
= x (2 − 3x ) 的最大值为
1 1 ．( x = 时取等号)． 3 3
“和必为定值” ，要想使 = x (2 − 3x ) 的最大值，
评注：本题是“积”的形式，要求函数 y “和”为定值，只需把 y
．但在配凑时要注意运用均 = x (2 − 3x ) 中“ x ”变为“ 3x ”
值不等式的三个条件即： “一正” “二定” “三相等” 二．从“项”上调节 例 2．求函数 y
基本不等式常用的配凑技巧
基本不等式是高中数学的重要内容，是高考重点考查的内容之一．对初学者来说，经过 教师的讲解很容易的从宏观上掌握运用基本不等式 时应该注意的三个方面即 “一正” “二
例 7． 已知 x,
1 4 y ∈ (0,+∞) ， 且 x + y = 4，则要使不等式 + ≥ m恒成立的实数 m x y
的取值范围．
（ 解析：
1 4 1 4 y 4x + ） ×4 = （ + ）（x + y） =5+ + ≥ 5 + 4 = 9． x y x y x y
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评注：本题有两个变量，无法直接运用基本不等式，可考虑消掉一个变量．思路 1 和思路 2 在解题的过程中实际上都两次运用均值不等式， 要注意等号的连续性， 即每个思路中两个等 号必须同时成立． 五．从“结构特征”上调节 运用基本不等式解题时首先必须满足基本不等式的基本结构， 然后再看是否符合 “一正” “二 定” “三相等”这三个方面．
≥ 1 + 1 + 2 = 4, 当且仅当 x = y =
2 取等号．式子的最小值为 4． 2
评注：本题给定的式子表面上不符合基本不等式的结构如果把式子稍加以变形就可以运用 了． 六．注意“常数”的整体代换作用． 例 6．函数
f ( x) =
1 2 π + (0 p x p ) 的最小值． 2 2 sin x cos x 2
(当且仅当
1 y 4x = 时取等号)即： x y x
+
4 9 ≥ ．所以 m ≤ 9 ． 4 y 4
评注：上述两个题目巧妙的运用常数的变换，使上述两个题经过变形可以运用均值不等式， 使题得以解决．
9
−
4 6 4 6， ≤y≤ 9 9
原函数的值域为： − 4 6 , 4 6 ．
9
评注：本题不能直接运用基本不等式，原因有(1)“正”不满足即 x 的符号不确定；(2)本题 是“积”的形式，要想运用基本不等式“和”必为定值，经过观察函数式的特点，两边平方 再把等式的两边乘以 2 即可． 四．消元与变元 例 5．设 a
= x2 + 2x +
1 的最小值． x + 2x + 3
2
解析： y
= x2 + 2x + 3 +
1 − 3 ，设 t = x 2 + 2 x + 3 ，则 t ≥ 2 ， 2 x + 2x + 3
1 3 t 1 3 3 y = t + − 3 = t + ( + ) − 3 ，因为 t ≥ 2 ， t ≥ . 所以 t 4 4 t 4 2
y≥
3 t 1 1 t 1 + 2 • − 3 = − ，当且仅当 t = 2 且 = 时，取“= ”号．由 4 t 2 4 t 2
1 1 的最小值为 ． − x2 + 2x + 3 2
x 2 + 2 x + 3 = 2 得 x = −1． y = x 2 + 2 x +
评注：本题以“和”的形式给出，要求其最小值必须“积”为定值，且必须满足“一正” “二 定” “三相等”这三个条件，解答本题时注意在配凑成
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y = x2 + 2x + 3 +
1 − 3， x2 + 2x + 3
虽然满足了定值，但是等号不能成立．必须再进行变形方可解决． 三．从“次数”上调节 例 3．求函数 y 解析：
2
解析：注意到： sin
x + cos 2 x = 1 ，可把原函数变为：
f ( x) = 1 × (
1 2 2 1 2 2 + = x + x + ) (sin cos ) 2 2 sin 2 x cos 2 x sin x cos
x
2 2 cos 2 x 2 sin 2 x tan x = x = arctan = ( 即 时取等号)． 3+ + ≥ 3 + 2 2 2 2 sin 2 x cos 2 x
定” “三相等” ，但如何保证这三个方面，学生有时把握的不够好，下面结合自己的教学实际 举例加以说明． 一.从“系数”上调节； 例1 ． 已知 0 < x <
2 ，求函数 y 3
= x (2 − 3x ) 的最大值．
2
1 3x + 2 − 3x 解析： 3 y = 3 x( 2 − 3 x) ≤ = 1，解得 y ≤ ， 3 2
2
= 2, b =
2 )． 2
− b，
a2 +
2 1 1 1 2 = (b + a − b ) + ≥ 2 b( a − b) + b( a − b ) b(a − b ) b ( a − b)
(
)
≥ 4b( a − b) +
2 1 )． ≥ 4 (等号成立的条件为 a = 2 , b = 2 b( a − b)
1 1 + + x + y 例 5．若 x, y ∈ (0, +∞) ，求 2y 2x
解析：
2 2
2
2
的最小值．
1 2 1 x y 1 1 2 y + + x + 2 + 2 + y + 2x = x + 2y y + x x y 4 4
> b > 0，求 a 2 +
1 的最小值． b( a − b)
解析：思路 1．消去 b
a2 +
1 4 4 1 2 2 = + ≥ 2 • =4 ≥ a2 + a a 2 b( a − b) a2 a2 b + a −b 2
(等号成立的条件为 a 思路 2：把 a 中的 a 换成 b + a
2
= x( 2 − x 2 ), x ∈ − 2 , 2
2 2 2
[
]的值域．
3Biblioteka Baidu
64 2x2 + 2 − x2 + 2 − x2 (当且仅当 2 y = 2 x (2 − x )(2 − x ) ≤ = 27 3
2x2 = 2 − x2 即 x = ±
6 时取等号，解得： 3
函数 y
= x (2 − 3x ) 的最大值为
1 1 ．( x = 时取等号)． 3 3
“和必为定值” ，要想使 = x (2 − 3x ) 的最大值，
评注：本题是“积”的形式，要求函数 y “和”为定值，只需把 y
．但在配凑时要注意运用均 = x (2 − 3x ) 中“ x ”变为“ 3x ”
值不等式的三个条件即： “一正” “二定” “三相等” 二．从“项”上调节 例 2．求函数 y