水力学 第六章 量纲分析和相似原理

（1）一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验 公式的正确性和完整性。
（2）量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数——量 纲分析的基础。
（3）可用来建立物理方程式的结构形式。
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（三）量纲分析法
1、雷利法（Rayleigh）——是量纲和谐原理的直接应用。 2、雷利法的计算步骤：
5个未知量，3个方程，取a4、a5为待定系数。 可解得： a1 = 2 – a4 a2 = -1 – a4 – a5 a3 = 1 – a4 故可得关系：
p 1 a 4 a 5 1 a 4 a 4 a 5 2a4 C 0v D L
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3 ; D
g 4 2 1 u D
Δp/L π1 2 1 ; uD ρ
即：
1 2 ; uD R e
f ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 0
显示标示为：
即有：
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1 f1 ( 2 , 3 , 4 )
p / L 1 g f1 ( , , 2 1 ) 2 1 Re D u D u D
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第六章 量纲分析和相似原理
本章内容
一、概述
二 、定性分析与实验量化
（一）量纲和单位 （二）量纲和谐原理 （三）量纲分析法 （四）实验量化
三、相似准数与模型实验
（一）基本概念 （二）相似准数方程 （三）模型相似律——相似准则的适用
本章小结
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1 λ( , ) D Re
则有：
式中：Re——雷诺数，λ ：沿程损失系数，由实验确定。 定义沿程水头损失：h f
1 式中： ( , ) D Re
p

Re
vDρ μ
Lv hf λ D 2g
2
上式称为达西公式，也称为达西系数。 可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关 系还要通过实验以确定公式中的系数。 量纲分析还给出了试验途径。
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一、概述
（一）流体力学研究问题的方法
1、解析法； 2、试验法； 3、数值分析法
（二）定量分析与定性分析
1、定量分析 （1）可建立数学模型：1）对数学模型的求解（解析解、数值解）； 2）针对模型进行试验研究，得出用于生产或研 究所需要的数据。 （2）对不能建立数学模型：实验或原形观测，得出统计（经验）规律。 2、定性分析 在不能给出数学模型时，建立各相关参数间的关系。 量纲分析法——根据量纲和谐原理建立各参量间的关系。
（2）定理的解题步骤
1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各
个物理量及其关系式：
f ( x1 ,x 2 , xn ) 0
2）确定基本量纲：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为 基本量纲的代表，对流体力学问题，在不考虑温度时，取m=3，即所选三 个基
本物理量应包含长度[L]，质量[M]和时间[T]。
（1） 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量，如管道流体输送中 单位长度的压强损失：
p F (u, D, , , ) L
（2） 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
p a1 a2 a3 a 4 a5 C0u D L
（3） 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的 指数a1、a2、a3、a4、a5，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。
（三）本章的内容用于解决以下问题
1、定性分析：建立各相关参数间的关系。 2、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进 行实验，形成定量关系。 3、模型实验设计——相似准数与相似律
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二、定性分析与实验量化
பைடு நூலகம்
4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的 量纲。
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（一）量纲与单位
5、 量纲公式:
对任何一个物理量，其量纲可表示成基本量纲的组合，即物理量x，有：
[ x] [ L , T , M ]
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2、布金汉（Buckingham）定理及应用
3）确定
数的个数：N =（n-m），并写出其余物理量与基本物
理量组成的 表达式
xi i a1i a 2 i a mi x k1 x k 2 x km
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4~5个。
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1、雷利法（Rayleigh）应用举例
例1：管中紊流，单位管长压强损失⊿p/L，取决于下列因
素：平均流速v，管径D，重力g，粘度，管壁粗糙高度和密度， 试用瑞利法分析确定方程的一般形式。
解： 1）设单位压强损失可表成如下的形式
Δp C 0v a1 D a 2 ρa 3 μ a 4 Δa 5 L
2） 给定参数的量纲列表如下：
p dim{ } [ M 1 L 2T 2 ]; L dim {v} [ L1T 1 ]; dim{ D} [ L1 ]; dim{} [ M L T ]; dim{} [ L ];
（一）量纲与单位
（二）量纲和谐原理
（三）量纲分析法
（四）实验量化
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（一）量纲与单位
1、单位（Unit） ：量度各种物理量数值大小的标准量，称 单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。 2、量纲（Dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理 量的性质和类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。 3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不能 由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度[L]、时间 [T]、质量[M]。
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(3)π定理应用举例
例1：管中紊流，单位管长沿程水头损失⊿p/L，取决于下列
因素：流速u，管径D，重力g，粘度，管壁粗糙高度和密度， 试用定理分析确定方程的一般形式。
解：
f ( , u, D, , , , g) 0
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1、雷利法（Rayleigh）应用举例（续）
整理得： Δp C Δ μ v 2 ρD 1 0 vDρ L D a4 a5 令： Δ Δ μ
a5 a4
λ 2C 0 vDρ D
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(3)π定理应用举例（续）
则
L: -2-(x1 +y1 -3z1 )=0 T: -2- (- x1 )=0 M： 1 - z1 =0
由此解的x1 = 2， y1 = -1， z1 = 1。即：
1
p / L u 2 D 1 1
与μ 对应的π 2为：
(i 1,2,3, n m )
4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出
各项的指数a1，a2，….，am；从而定 出各无量纲参数。
5）写出描述现象的关系式
f( 1 , 2 , n - m ) 0
或显解一个参数，如：
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1 f( 2 , 3 , n - m )
解：函数式为
p f ( , Q, D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8 -3 = 5个 数,即：
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
p L
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则 与⊿p/L的π 1为：
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
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4 L /( Q D1 )
x4 y4 z4
17
5 /( Q D1 )
x5 y5 z5
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(3)π定理应用举例（续）
ML
1
1
T
2
/{ML L T L
2

u x2 D y2 z2
2= μ/(u x2Dy2 z2 )= [ML-1T-1]/{[L T-1 ] x2[L ]y2 [ML-3 ]z2 }
则有：
L: -1-(x2 +y2 -3z2 )=0 T: -1- (- x2 )=0 M： 1 - z2 =0
由此解得：x2 = 1， y2 = -1， z2 = 1。即： 2
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u1 D 1 1