递归方程解法

递推关系解法补充

(取自[美]C.L.Liu 著，刘振宏译《离散数学基础》，•邮电出版社，1982.2,••P258)

一、有关定义及术语

1. 递推关系或差分方程：对于序列a 0,a 1,...,a n ,...，一个关系到a n 与几个a i (i

为刻划该序列的递推关系或差分方程。

2. 边界条件或初始条件：只要给定了一个序列在一个或几个时刻的值，按递推关系，我们就可以逐步地由a n-1,a n-2,...求出a n ，再由a n ,a n-1,...求出a n+1等等。这些给定的值即称为边界条件或初始条件。

3. 具有常系数的线性递推关系：形如 c 0a n +c 1a n-1+c 2a n-2+...+c k a n-k =f(n) (1) 的递推关系称为k 阶常系数的线性递推关系。其中，所有的c i 为常数，c 0和c k 均不为0。

二、解法

通解＝齐次解（方程右边等于0时的解）＋特解（方程右边有f(n)时的解） （一）齐次解的求法

形如 c 0αk ＋c 1αk-1＋c 2α

k-2

＋...＋c k ＝0 (2) 的方程称为差分方程(1)

的特征方程。若1α是其特征根，则n

1A α就是(1)的一个齐次解。

1. k 阶特征方程有k 个特征根，假定特征方程的根都不相同，那么，可以验证

n

n

n

n 1122k k a =A α+A α++A α (3) 也是差分方程的一个齐次解（通项）。其

中k 21,,,ααα 是不同的特征根，A 1,A 2,...,A K 是由边界条件所确定的常数。 例：回顾斐波那契数列，其递推关系是：a n =a n-1+a n-2，对应的特征方程为

12

=-α-α

,n n

12n 1122α=

α=

a =A α+A α2

2

⇒⇒是一个齐次解。其

中A 1,A 2可由边界条件a 0=1,a 1=1来确定。

2. 某些根是重根，不妨令1α是m 重根（m=1时下式就是(3)式的第一项），•则与1α对应的

齐次解为： a n =(A 1n

m-1

+A 2n

m-2

+...+A m-1n 1+A m n 0)n

1α (4)

整个方程的齐次解由形如(4)式的齐次解相加而成。 例：a n ＋6a n-1＋12a n-2＋8a n-3=0

特征方程：α3＋6α2＋12α＋8＝0 ⇒ (α＋2)3

＝0 α＝-2•是三重根，故a n =(A 1n 2+A 2n+A 3)(-2)n 是给定方程的一个齐次解。 （二）特解的求法

寻求特解，没有一般的方法。然而，在一些简单的情况下，用观察的方法可以得到特解，下面讨论两种常见形式。

1. 当差分方程的右端属于n t

形式时，那么对应的特解属于下述形式：

t

t-1

n 12t t+1a =p n +p n

++p n+p

其中p 1,p 2,...,p t ,p t+1是待定常数。

例：用此法可得a n +5a n-1+6a n-2=3n 2的一个特解为2

n 117115a =

n +

n+

424

288

2. 当差分方程的右端属于n β形式时，若β不是差分方程的特征根，则对应的特解是n p β形

式；若β是m 重根(m>=1)，则对应的特解是如下形式：

a n =(p 0n m +p 1n m-1+p 2n m-2+...+p m )n β

例：用此法可得a n +5a n-1+6a n-2=42n 4⨯的一个特解为n n+2n a =164=4⨯ （三）通解的求法

假定差分方程的特征根是不同的，那么通解的形式为

n

n

n

n 1122k k a =A α+A α++A α+p(n) 其中p(n)是一特解,k 21A ,,A ,A 为任意常数。

有m 重根时的通解可类似写出，只是相应项的系数不是常数，而是关于n 的一个m-1次多项式。 （四）满足边界条件的特解的求法

将k 个边界条件代入通解，得到关于待定系数k 21A ,,A ,A 的k 阶线性方程组，从中解出待定常数，代回通解所得的特解即为原差分方程满足边界条件的解。

例：n n n

n 12a =A (-2)+A (-3)+164⨯ 是方程a n +5a n-1+6a n-2=42n 4⨯的通解，假定边界条件

为962a ,278a 32==，则解方程组⎩⎨

⎧+--=++=1024

A 27A 8962256A 9A 42782121我们得到A 1=1,A 2=2,因此,

差分方程满足边界条件的特解是：n n n

n a =(-2)+2(-3)+164⨯