线段和最小值问题

线段和最小值问题

问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点．

问题：在直线上确定一点，使的值最小．

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．

题型一：两定一动一线

例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______．

方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和

对称点，和线的交点即为所求。

跟踪练习：

如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为______．

题型二：一定两动一线

例2：如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N 分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______．

方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最

小值。

跟踪练习

如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和

AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______．

拓展提升

题型三：三动一线（做法参照题型二）

例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于______．

题型四：一定两动两线

例4：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求

△PQR周长的最小值______．

方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。

题型五：两定两动两线

例5：如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_______.

方法总结：分别作两定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。

随堂练习：

1.如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值是______．

2.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上

一点，若AE=2，EM+CM的最小值为______．

3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E

在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使的和最小，则PD+PE这个最小值为______．

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．

5.如图，五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周长最小

值为______．