数值计算方法期末复习答案终结版

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计算方法习题集及解答(总结版)

左边（）- 右边证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设时等式成立，即（）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：

数值计算方法试题和答案解析

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（），c =（）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。

7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。

计算方法习题集及答案(总结版)

雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解：（1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛

数值计算期末试题及答案

数值计算期末试题及答案1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。

解答：为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。

这里我将采用二分法进行求解。

首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) = 1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。

接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。

二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。

具体的二分法迭代过程如下：1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。

2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。

b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。

c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a = c。

- 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。

3. 返回最终得到的近似根 c。

根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为c ≈ 1.521。

2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。

解答：定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。

其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。

梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。

具体的步骤如下：1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界b = π，以及划分的小梯形数量 n。

2. 计算每个小梯形的宽度 h = (b - a) / n。

数值计算方法期末复习答案终结版

一、名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。

2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。

如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。

3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。

4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =；（2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ；（3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。

5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。

6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。

若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =；（2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+；（4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。

数值计算方法试题库及答案解析

y 2y, y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h 的取值范围为（
）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2
三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据：
2
是否为插值型求积公式？为什么？其
代数精度是多少？
七、（9 分）设线性代数方程组 AX b 中系数矩阵 A 非奇异， X 为精确解， b 0 ，若向
~
~
量 X 是 AX b 的一个近似解，残向量 r b A X ，证明估计式：
~
X X
r cond ( A)
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
1
a
xk1 2 (xk xk )
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
3 f (x)dx 3 [ f (1) f (2)]
六、（9 分）数值求积公式 0
六、（下列 2 题任选一题，4 分） 1、 1、数值积分公式形如
1
0 xf (x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)
（1）（1）试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高；（2）设
1
f (x) C 4[0,1] ，推导余项公式 R(x) 0 xf (x)dx S(x) ，并估计误差。
i 1
的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次
数为 2n 1。（
）

数值计算方法试题和答案解析

数值计算方法试题和答案解析(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（），c =（）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

(完整word版)数值计算方法期末复习答案终结版

一、名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值,称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差,简称误差。

2．有效数字:有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小,又能表示其精确程度。

如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯,则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。

3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

计算一个数学问题,需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序,这就是算法。

4。

向量范数:设对任意向量n x R ∈,按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ,若||||x 满足（1）||||0x ≥,且||||0x =当且仅当0x =；（2)对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ；（3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。

5. 插值法:给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。

6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7。

矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A .若||||A 满足 (1）||||0A ≥,且||||0A =当且仅当0A =; （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A ，B,都有||||||||||||A B A B +≤+；（4）||||||||AB A =||||B称||||A 为矩阵A 的范数.8．算子范数：设A 为n 阶方阵,||||•是n R 中的向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||•诱导出的矩阵范数，也称算子范数.9。

数值计算方法期末复习标准标准答案终结版

一、名词解释1．误差：设*x 为准确值x 地一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 地绝对误差，简称误差.2．有效数字：有效数字是近似值地一种表示方法，它既能表示近似值地大小，又能表示其精确程度.如果近似值*x 地误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零地数字到这一位地所有数字均称为有效数字.算法：是指解题方案地准确而完整地描述，是一系列解决问题地清晰指令，算法代表着用系统地方法描述解决问题地策略机制.计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果地运算顺序，这就是算法.4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定地规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =；（2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ；（3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 地范数.5. 插值法：给出函数()f x 地一些样点值，选定一个便于计算地函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 地近似地方法.6相对误差：设*x 为准确值x 地一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 地相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定地规则有一实数与之对应，记为||||A .若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =；（2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+；（4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 地范数.8．算子范数：设A 为n 阶方阵，||||∙是n R 中地向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||∙诱导出地矩阵范数，也称算子范数.9. 矩阵范数与向量范数地相容性：对任意n 维向量x ，都有||||||||Ax A ≤||||x这一性质称为矩阵范数与向量范数地相容性.10.1-范数，∞-范数和2-范数：（1）1-范数11||||||ni i x x ==∑（2）∞-范数1||||max{||}i i nx x ∞≤≤=（3）2-范数221||||x x =+二、简答题1．高斯消元法地思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解地上三角形方程组，此过程称为消元过程.然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组地解，此过程称为回代过程.2. 迭代法地基本思想是：构造一串收敛到解地序列，即建立一种从已有近似解计算新地近似解得规则，由不同地计算规则得到不同地迭代法.3. 雅可比（Jacobi ）迭代法地计算过程（算法）：（1）输入()ij A a =，1(,,)n b b b =，维数n ，(0)(0)(0)(0)12(,,,)n x x x x =，ε，最大容许迭代次数N. （2）置1k = （3）对1,2,,i n =(0)1()/ni i ij j ii j j i x b a x a =≠=-∑（4）若(0)x x ε-<，输出x 停机；否则转5. （5）k N <，置(0)1,(1,2,,)i i k k x x i n +⇒⇒=，转3，否则，输出失败信息，停机.4. 插值多项式地误差估计：（P102）由(1)(1)101()()()()()()()(1)!(1)!n n n n n f f R x x x x x x x x n n ξξω+++==---++当(0,1,,)i x x i n ==时，上式自然成立，因此，上式对[,]a b 上地任意点都成立，这就叫插值多项式地误差估计.5. 反幂法地基本思想：设A 为阶非奇异矩阵，λ，u 为A 地特征值和相应地特征向量，则1A - 地特征值是A 地特征值地倒数，而相应地特征向量不变，即11A u u λ-=因此，若对矩阵1A -用幂法，，即可计算出1A -地按模最大地特征值，其倒数恰为A 地按模最小地特征值.6. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：选取初始向量(0)x 代入迭代公式(1)()k k i x Bx g +=+(0,1,2,)k =产生向量序列(){}k x ，由上述计算过程所给出地迭代法. 7. 数值计算中应注意地问题是：（1）避免两个相近地数相减（2）避免大数“吃”小数地现象（3）避免除数地绝对值远小于被除数地绝对值（4）要简化计算，减少运算次数，提高效率（5）选用数值稳定性好地算法8. 高斯消去法地计算量：由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法n k -次，乘法()n k -(1)n k -+次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数121()(1)(1)3n k n n k n k n -=--+=-∑ 除法次数11()(1)2n k nn k n -=-=-∑在回代过程中，计算k x 需要(1)n k -+次乘除法，整个回代过程需要乘除运算地总量为1(1)(1)2nk nn k n =-+=+∑，所以，高斯消去法地乘除总运算量为322(1)(1)(1)32233n n n n n N n n n n =-+-++=+-9. 迭代法地收敛条件：对任意初始向量(0)x 和右端项g ，由迭代格式(1)()k k x Mx g +=+(0,1,2,)k =产生地向量序列(){}k x 收敛地充要条件是()1M ρ<.10. 迭代法地误差估计：设有迭代格式(1)()k k x Mx g +=+，若||||1M <，(){}k x 收敛于*x ，则有误差估计式()*(1)(0)||||||||||||1||||Kk M xx x x M -≤--.二、计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*1.21 3.659.81x =⨯-地绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？解：由式12121212121212()()()()()()r r r e x x e x e x x x e x x e x e x x x x x ±=±⎧⎪⎨±=±⎪±±⎩和1221121212()()()()()()r r r e x x x e x x e x e x x e x e x ≈+⎧⎨≈+⎩得 *() 3.65(1.21) 1.21(3.65)(9.81)e x e e e =⨯+⨯-因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21102-⨯，故有*|()| 3.65|(1.21)| 1.21|(3.65)||(9.81)|e x e e e ≤⨯+⨯+***|()|0.0293|()|0.0054|| 5.3935r e x e x x =≤=所以，*x 地绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字.2.求矩阵223477245A ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦地三角分解.解：由式111111(1,2,,)(2,,,,,)()/(1,2,,1,1,,)j j i ij ij ik kjk j ij ij ik kj jjk u a j n u a l u i n j i n l a l u u j n i j n -=-=⎧⎪==⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-=-=+⎪⎩∑∑，12122u a ==，13133u a ==2121114/22l a u ===，3131112/12l a u -===- 222221127223u a l u =-=-⨯=，232321137231u a l u =-=-⨯=3232311222()/[4(1)2]/32l a l u u =-=--⨯=333331133223()5[(1)321]6u a l u l u =-+=--⨯+⨯=所以21(3.65 1.211)100.02932-≤++⨯⨯=100223210031121006A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3．用幂法（2k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦地按模最大地特征值和相应地特征向量.取(0)(0,0,0)T x =. （P 77）解：(0)(0)(0,0,1)T y x ==(1)(0)(0,1,2)T x Ay ==-, 2α=(1)(1)(0,0.5,1)T x yα==-(2)(1)(0.5,2,2.5)T x Ay ==-， 2.5α=4. 已知函数ln y x =，x 地值是10,11,12,13,14对应地ln y x =地值分别是 2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391.用Lagrange 线性插值求ln11.5地近似值.解：取两个节点011x =，112x =，插值基函数为1001()(12)x x l x x x x -==---0110()11x x l x x x x -==-- 由式011010110()x x x x x y y x x x x ϕ--=+--得 1() 2.3979(12) 2.4849(11)L x x x =--+-将x=11.5代入，即得1ln11.5(11.5) 2.39790.5 2.48490.5 2.4414L ≈=⨯+⨯=按式(1)1()()()(1)!n n n f R x x n ξω++=+(,)a b ξ∈得 "1(ln )()(11)(12)2!x R x x x ξ=--因为"21(ln )x x =-，ξ在11和12之间，故"2211|(ln )|0.008264511x ξξ=≤= 于是311|(11.5)|0.00826450.50.5 1.03306102R -≤⨯⨯⨯=⨯5. 用Jacobi 迭代法（1k =）求解线性方程组1231231231027210283542x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ .解：由Jacobi 迭代法得计算公式(1)()11nk k iiij j j iiiij ib xa x a a +=≠=-+∑得 (1)()()123(1)()()213(1)()()3120.10.27.20.10.28.30.20.28.4k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 取(0)(0,0,0)T x =，代入上式得(1)17.2x =(1)28.3x =(1)38.4x =(2)10.18.30.28.47.29.71x =⨯+⨯+=(2)20.17.20.28.48.310.70x =⨯+⨯+= (2)30.27.20.28.38.411.50x =⨯+⨯+=6. 设有方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，讨论用Jacobi 迭代法求解地收敛性. 解：因为A 为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A 为对称正定矩阵，A 不是弱对角占优阵，故不能判别Jacobi 迭代地收敛性.易算出Jacobi 迭代法地迭代矩阵为1110221102211022B I D A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦其特征方程311221113||22441122I B λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21()(1)02λλ=-+=有根1212λλ==，31λ=-，因而()1B ρ=.由向量序列(){}k x 收敛地充要条件是()1B ρ<，故Jacobi 迭代法不收敛.7．用反幂法（1k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦接近2.93地特征值，并求相应地特征向量，取(0)(0,0,0)T x =.解：对 2.93A I -作三角分解得0.93102.9300.931010.93A I --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1000.931001000.9311101000.930.930.93⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8. 已知函数ln y x =，x 地值是10,11,12,13,14对应地ln y x =地值分别是 2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391.用Lagrange 抛物线插值求ln11.5地近似值.解：取011x =，112x =，213x =，插值多项式为2(12)(13)(11)(13)(11)(12)() 2.39792.4849 2.5649(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)x x x x x x L x ------=++------1.19895(12)(13)2.4849(11)(13) 1.28245(11)(12)x x x x x x =-----+--所以2ln11.5(11.5)L ≈1.19895(0.5)( 1.5)2.48490.5( 1.5) 1.282450.5(0.5) 2.442275=⨯-⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=因为"'32(ln )x x=，于是 "'2311132max |(ln )|0.15031011x x -≤≤≤=⨯ 因此用抛物线插值法计算地误差为"'2|(ln )||(11.5)||(11.511)(11.512)(11.513)|3!x R ξ=---2510.1503100.50.5 1.59.3938106--≤⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 查表可得ln11.5 2.442347= 三、证明题1. 若x 地近似值x *=1210.10(0)m n a a a a ±⨯≠…有n 位有效数字，则111102n a -+⨯为其相对误差限.反之，若x *地相对误差限rε满足111102(1)n r a ε-+≤⨯+，则x *至少具有n 位有效数字.证明：由式*1||102m n x x --≤⨯得**1|()|||102m n e x x x -=-≤⨯从而有**1*121110()12|()|||100.102m nn r m n e x e x x a a a a --+⨯=≤≤⨯⨯ 所以111102n a -+⨯是*x 地相对误差限. 若111102(1)n r a ε-+≤⨯+，由式***()|()|||r r e x e x xε=≤得 ***12|()||()|0.10m r nr e x x e x a a a ε=≤⨯111111(1)1010102(1)2m n m n a a --+-≤+⨯⨯⨯=⨯+由式*1||102m n x x --≤⨯，*x 至少有n 位有效数字.2. 设01,,,n x x x …为1n +个互异节点，(),(0,1,)i l x i =…,n 为这组点上地Lagrange 插值基函数，试证明0()1ni i l x =≡∑.证明：上式地左端为插值基函数地线性组合，其组合系数均为1.显然，函数()1f x ≡在这n+1个节点处取值均为1，即()1i i y f x ==(0,1,,)i n =，由式0()()nn i i i L x y l x ==∑知，它地n 次Lagrange 插值多项式为0()()nn i i L x l x ==∑对任意x ，插值余项为(1)1()()()()()0(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=≡+所以 0()()()1nn i i L x l xf x ==≡=∑3设A 为任意n 阶方阵，∙为任意由向量范数诱导出地矩阵范数，则()A A ρ≤ 证明：对A 地任一特征值i λ及相应地特征向量i u ，都有||i λ||||||||||||||||i i i i u u Au A λ==≤||||i u因为i u 为非零向量，于是有 ||||||i A λ≤由i λ地任意性即得 ()||||A A ρ≤4. 设A 为n 阶方阵，则lim 0k k A →∞=地充分必要条件为()1A ρ<.证明：必要性.若lim 0k k A →∞=由相关定义得 l i m ||||k k A→∞= 而 0()[()]||K K K A A A ρρ≤=≤ 于是由极限存在准则，有 l i m [()]k k A ρ→∞= 所以()1A ρ<.充分性.若()1A ρ<，取1()02A ρε-=>，由||||()A A ρε≤+,存在一种矩阵范数∙，使得1()||||()12A A A ρρε+≤+=< 而||||||||k k A A ≤，于是 l i m ||||l i m |||k k k k A A →∞→∞== 所以 l i m0k k A →∞=五、应用题1.平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成地力学结构，它通常出现在桥梁结构和其他需要力学支撑地结构中.如图是一个简单地静力桁架结构，其中刚性元件（5m =）通过结点,,,A B C D 相连.求各个结点地合力方程，并求出当,36ππαβ==外部负荷12250,1500g N g N ==时，求各个节点内力.解：设五个刚性元件地内力为125{,,,}f f f ，它们都处理为压力，如果解是负地，表明该力是张力.桁架地左边由固定结点A 支撑，右边由滑轮D 支撑，678,,f f f 是外部支撑力，12,g g 是外部负荷.由于在静力平衡时，每个结点处地水平方向合力与垂直方向地合力为零，那么有结点A 12617cos 0sin 0f f f f f αα+-=⎧⎨+=⎩ 结点B 141134cos cos 0sin sin 0f f g f f f αβαβ-++=⎧⎨---=⎩结点C 253200f f f g -+=⎧⎨-=⎩ 结点D 4548cos 0sin 0f f f f ββ--=⎧⎨+=⎩设f 表示未知力向量，上述方程组可用矩阵表示为12cos 10001000sin 00000100cos 00cos 0000sin 01sin 000000100100000010*******cos 10000000sin 00010g f g αααβαβββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 若取,36ππαβ==，外部负荷12250,1500g N g N ==.采用列主元素法，得各结点地内力如下：(1174,837,1500,966.5,837,250,1017,483.3)T f =--版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.kavU4。

数值计算方法总结计划试卷试题集及答案

一、选择题（每题2分，共20分）1.数值计算的基本思想是（）。

A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。

A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（）A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题（每题2分，共20分）6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。

7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。

8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。

9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。

10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。

三、判断题（每题2分，共20分）11.数值计算方法只能解决线性问题。

（）12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。

（）13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。

（）14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。

（）15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。

（）四、简答题（每题10分，共30分）16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。

17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。

18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。

五、计算题（每题10分，共50分）2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题，再通过计算机求解。

《数值计算方法》复习试题及答案

(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标
(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为(A)。
(A)－4(B)3(C)4(D)－9
16、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。
A．控制舍入误差B．减小方法误差
C．防止计算时溢出D．简化计算
9、用1+ 近似表示所产生的误差是(D)误差。
A．舍入B．观测C．模型D．截断
10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。
A．5B．6C．7D．8
11、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；
10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；
11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
12、为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。
《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、，则A的LU分解为。
答案：
3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，
4、近似值关于真值有(2)位有效数字；
5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是()；
答案
6、对 ,差商 (1), (0)；

数值计算方法期末复习答案终结版

一、名词解释
1．误差：设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称 e(x*) x x* 为近似值 x* 的绝对误差，简称误
差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其
精确程度。如果近似值 x* 的误差限是 1 10n ，则称 x* 准确到小数点后 n 位， 2
并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着
4.
用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数
据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
|| x || 满足
向量范数：设对任意向量
（1） ||
x
||
Байду номын сангаас
（2）对任意实数
（3）对任意
0
，且
x,
y
则称|| x || 为向量 x 的范数。
||
x
x
||
，都有
Rn
0
R
n
，按一定的规则有一实数与之对应，记为
当且仅当
，都有 ||
||
x
x
|||
5. 插值法：给出函数 f (x) 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分
y
x
|
||||
段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数(x) 作为
f (x) 的近似的方法。
6 相对误差：设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值 x* 的相对
误差，记为 er
( x* )
，即
er

数值计算方法期末试题及答案

数值计算方法期末试题及答案研究生数值计算方法期末试题及答案、单项选择题（每小题2分，共10分）1 _51. 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为10 ，则2该数是（）A0.001523B0.15230C0.01523D 1.523002.设方阵A可逆，且其n个特征值满足：「「2 -…「n，则A"1的主特征值是( )11A—B.1'nC■■■ -1 或■■ -n D 1 1'或''1 ' n_ (k 1)3.设有迭代公式X二Bx f。

若IIBII > 1, 则该迭代公式（)A必收敛B必发散C 可能收敛也可能发散4. 常微分方程的数值方法，求出的结果是（)A 解函数B近似解函数C 解函数值D近似解函数值5. 反幕法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（)A 追赶法B LU分解法C 雅可比迭代法D咼斯一塞德尔迭代法填空题（每小题4分，共20分）X2 X3 =41 . 设有方程组X1 -2X2 3x^1 , 则可构造高斯一塞德尔迭代公式为2捲 - x2x3 = 0计算题(每小题 10分，共50 分)设f (x) = x - 2x 4若在［-1 , 0］上构造其二次最佳均方逼近多项式，请写出相应的法方程。

设有方程组x 1 2x 2 - 2x 3 = 1 X 1 X 2 X 3 二 1 2x 1 2x 2 x 3 = 1试确定常数 A , B , C 及「，使求积公式1f (x)dx =Af (-：)Bf(0) Cf (：) -1为高斯求积公式。

5?设有向量x = ( 2,1,2)T ，试构造初等反射阵 H ,使H x = ( 3,0,0)丁。

四?证明题(每小题 10分，共20分)1.设有迭代公式X k1xk -，试证明该公式在x^4邻近是2阶收敛的，并2X k -3- -10 1 12.设 A =-2 1 -1，则-11 1 _A：：设y^x 2y 2, y(0) = 1，则相应的显尤拉公式为y . .1二2设 f (x)二 ax 1, g (x) = x 。

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

《数值计算方法》试题集及答案

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

《数值计算方法》期末考试试卷附答案

《数值计算方法》期末考试试卷附答案一、选择题（每小题4分，共20分）1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

2. 若132)(356++-=x x x x f ，则其六阶差商=]3,,3,3,3[6210 f （） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为（） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法（） A. 都发散； B. 都收敛C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。

5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（）A. 02≤≤-h ；B. 0785.2≤≤-h ；C. 02≤≤-h λ；D.0785.2≤≤-h λ ；二、填空题（共6空，每空5分，共30分）1. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则=2x ，=1Ax ，=2A2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为 ,且用线性插值可得f (7)= 。

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取位有效数字。

三、计算题（共2小题，每小题15分，共30分）利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dxxfI)(6.28.1⎰=的近似值；2. 用复化Simpson公式计算积分dxxfI)(6.28.1⎰=的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）四、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1256144412A，求矩阵A的Doolittle分解。

《数值计算方法》试题集及答案22页

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

数值计算期末考试题及答案

数值计算期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比迭代法D. 追赶法2. 以下哪个不是数值稳定性问题？A. 舍入误差B. 累积误差C. 条件数D. 浮点数溢出3. 插值法中，拉格朗日插值法的特点是：A. 计算复杂度高B. 计算复杂度低C. 需要预先计算多项式系数D. 插值点的增加不会影响已计算的多项式4. 牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）用于：A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 求解最小二乘问题D. 求解特征值问题5. 以下哪个算法是用于数值积分的？A. 欧拉法B. 龙格-库塔法C. 辛普森法D. 蒙特卡洛法二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法的基本原理及其在求解线性方程组中的优势和局限性。

2. 解释什么是数值稳定性，并给出一个数值不稳定的算法示例。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}4x + y - 2z &= 6 \\2x - y + z &= -1 \\-2x + 3y + z &= 3\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。

2. 给定函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，请使用牛顿法求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 附近的根，迭代3次。

四、论述题（每题30分，共30分）1. 论述数值分析中误差的来源，以及如何通过算法设计减少误差的累积。

参考答案一、选择题1. B（牛顿法用于求解非线性方程）2. D（浮点数溢出是数值问题，但不是数值稳定性问题）3. A（拉格朗日插值法计算复杂度高）4. B（牛顿-拉弗森方法用于求解非线性方程）5. C（辛普森法用于数值积分）二、简答题1. 高斯消元法是一种直接解法，它通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。