第2周 勾股定理应用(最短路径)

第2周 勾股定理解决路径最短问题

姓名：

题型一：勾股定理解决直线上一动点到（直线同侧）两定点距离之和最小问题

例1． 如图，A 、B 两个村庄在河CD 的同侧，A 、B 两村庄到河的距离分别是AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。现在要在河边CD 上修建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管

的工程费用为每千米2万元，请你在CD 上选择水厂的位置O ，使铺设水管的费用最省，并

求出铺设水管的总费用。

例2、在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝BE ，P 是AC 上一动点，则2

3

PB ＋PE 的最小值是

___。

题型二：勾股定理解决直线上一动点到（直线同侧）一定点距离之和最小问题

例1、如图，在锐角△ABC 中，AB=2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___

例2、（1）如图1，等腰Rt△ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ；

（2）如图2，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值 。

A

C

D

B

e a

例3、在矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为多少？

题型三：勾股定理解决曲面路线最短问题

例1．有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线.在AA 1上

有一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm . （取π=3）

例1 变式练习

变式练习：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

例2、如图，一个长、宽、高的仓库，在其内壁A （长的四等分点）处有一只壁m 8m 6m 5虎，B （宽的中点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为 .

m 变式练习：如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20

cm ，点B 离点C 5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 .

例3：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是

这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶

面爬到B 点的最短路程是多少？

20

3

2A

B

变式练习：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？

B

A D

E

P

B

C

巩固练习：

1、如图，梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC ＝2AB AB 为边向梯形外作正方形，其面积为S ，已知AD=2，BC=3，则S= 。

2、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形

ABCD ABE △E 内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ABCD AC P PD PE 3、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

4、已知：如图，ΔABC 是等腰直角三角形，AB=BC ，∠ABC=90o ，P 是三角形ABC 内一点，且PA=1，PB=2，PC=3。求边BC 的长。

2

5、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，且∠QPN=30°，在点A 处有一所中学，AP=160m ，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上

沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？

D

A

C

Ｃ

D

A 6、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边．现将直角边

6cm AC =，8cm BC =沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）

AC AD AB AE CD A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm

6题 7题 8题

7、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已

知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）

A 、450a 元

B 、225a 元

C 、150a 元

D 、300a 元

8、如图，C 是AB 上一点，BC =2AC =2 cm ，以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 与等边

△BCE ，则DE 长的平方为______。

9、如图，已知AB=10，AC=6，边BC 上的中线AD=4.则CD 2=__________.

10题

10、一只蚂蚁从长为6，宽为5，高为10的长方体纸箱的点，沿纸箱表面爬到C 点，问

A '它爬行的最短路线的平方是__________

11、若a 、b 、c 是直角三角形三边，h 为斜边c 上的高，则以下判断是否正确。（1）以a 2、b 2、c 2为边的三条线段能够成直角三角形( )

A

B

'

C

B

9题图