浅谈幂等矩阵的性质

例 1 设 A 为 n×n 矩阵，且 R （A） = r，证明：A2=A 当且仅当
A=CB，其中 C 为 n×r 矩阵，秩为 r，B 为 r×n 矩阵，秩也为 r，且有
BC= Er。 证明：必要性：由于 A2=A，由性质 （1） 则 A 必 （下转第 13 页）
文化艺术
碧桃苑：位于小区西北角。该组团的楼间环境设计主要采用规则 式和自然式相结合布局手法，设计了园路、景观小广场、老年儿童活动 场地、花架、景观休憩亭等元素形成流动式的点状空间，通过条石，绿 篱和场地铺装样式达到最终的联系和统一。
作者简介：赵文斌，1977 年生，男，江西吉安人，北京林业大学 城市规划 （含风景园林） 07 级在读研究生，中国建筑设计研究院环艺 院景观所副所长；温亚玲，1982 年生，女，四川乐山人，中国建筑设 计研究院环艺院景观所设计师。
（上接第６页）
! " ! " Er 0
Er
相似于矩阵
。那么存在可逆矩阵 T，使 A=T- 1
层乔灌木：以亚乔木和大灌木为主，同时结合观花、叶、果、杆及芳香 物种，形成主要植物景观感受界面空间。下层是耐阴的低矮花灌木，地 被及缀草草地。在植物群落的空间围合形态上，注重人在不同空间场所 中的心理体验与感受的变化，从林窗，密林小径，林中空地，疏林草地 到缓坡草坪，形成疏密、阴暗、动静对比，并充分利用自然力，如： 光、影、雾，阳光等因素，在富有生命的自然中创造出具有生命活动的 多元化感悟空间。最终创造出生态野趣极浓，环境功能极强，季相变化 极明显和具有生态可持续发展的园林景观。
（E- P） 2= （E- P） （E- P） =E2- EP- PE+P2=E- 2P+P2=E- P
故 E- P 为幂等矩阵
（E- P）T 2= （E- P）T （E- P）T = E2- EPT- PTE+ （P）T 2= E- PT
故 E- PT为幂等矩阵
（E- P）H 2= （E- P）H （E- P）H = E2- EPH- PHE+ （P）H 2= E- PH
换句话说 A的特征值不是 1 就是 0，再由定理 7，存在正交阵 r 使
! " Er
T- 1AT= 0
上式中，对角线元素中，1 的个数为 A 的特征值的 1 个数，0 的个 数为 A的特征值 0 的个数。
综上所述，幂等矩阵的种常规的正定性，虽然在几何学，物理学 以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩 阵的其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，现代经济数学等众 多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应 用上都是有意义的。
i
i
i
i
C-
1PC=
J
=
i i
·
i
ii，J
i=
i i
i
i
i i
·
i i
i i
iFra Baidu bibliotek
i
i
ii i
Js
ii i
ii i
1
i i
i
λi
1
i i
i
·
ni
i
i×n
i
i
·i i
i
λ ii ii
J i是 J ordan 块。由于 P2=P，则 J 2i=J i （i=1，2，3…s）。
欲使
J
2 i
=
J
i，必须
n i= 1。因此
结论的几何意义是 P 的特征值为 1 的特征子空间就是 P 的值域。
定理 2 秩为 r 的 n 阶。矩阵 P 是幂等矩阵的充要条件是存在 C∈
Cn×n 使得
Er
C- 1PC=
（1）
0
证明：必要性：设 J 是 P 的 J ordan 标准形，C∈Cn×n，且
iiJ1
i i
λi
ii
i
i
i
i i
J2
i
i
i
证明：设 V为 n 维线性空间，其基 ε1，ε2…εn 定义下述线性变 换 A：V→V，A （ε1，ε2…ε）n = （ε1，ε2…ε）n A （E- A） （ε1， ε2…ε）n = （ε1，ε2…ε）n （E- A），dim （AV） =R （A），dim （[ E- A） ]=R （E- A） 由题设，则dim AV+dim （E- A） =n … （1）
玉兰苑：位于小区西南角。该区组团的楼间环境设计主要通过使 用一些与其它组团相似而不相同的造景要素，包括场地铺装，条石座 椅，树阵林荫广场、花架、雕塑等元素来营造亲切宜人的休息和游戏空 间。位于组团中心的景观轴线、健身步道、活动场地共同组成了该组团 的景观中心，闲时走入静谧浓荫，邀邻居们一起去健身舞步。
J
是对角阵。又由
P2= P
。
知
λi
=0
或 1，故 r=rankJ =trP。
Er Er
充分性：由 2=
知 P2=P。
0
0
推论[1] rankP=trP
证明：由上题的 （1） 知幂等矩阵的特征值非 1 即 0。且 r=rankP
又有式 （1） 知
征值
trP= λ1+ λ2+…+ λN=r 其中 λ1，λ2…λN 是 P 的 n 个特
紫薇苑：位于小区东北角，强化一条景观轴线，将水引入组团， 通过高差处理形成跌水。组团花园中开辟儿童活动场地和老年人活动场 地，并辅以其它休憩设施，最终营造一个富有特色的邻里休息交流空 间。
海棠苑：位于小区西南角，强调组团与其他组团及与滨水景观带 的视觉对位关系。将水引入组团，形成一种规则与自然相结合的景观效 果。轴线处理统一采用方形树阵、圆形的小广场与自然式道路相结合的 方式，通过灵活加设休息场地和小品来体现差异和变化。错落的树林排 列生活的节奏，繁忙之后，邻里之间对弈、品茗，同享盛事闲情。
定理 1 若 P 是幂等矩阵，则
1） PT，PH，E- PT，E- PH是幂等矩阵。
2） P （E- P)= （E- P） P=0
3） Px=x 的充要条件是 x∈R （P）
证明：1） P2=P=> （P）T 2= （P）2 T= PT=>PT为幂等矩阵
P2= P=> （P）H 2= （P）2 H= PH=>PH 为幂等矩阵
浅谈幂等矩阵的性质
侯君芳 黄丽莉
（郑州旅游职业学院，河南郑州 450009）
［摘 要］ 幂等矩阵的种常规的正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的 其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，现代经济数学等众多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应用 上都是有意义的。 ［关键词］ 幂等矩阵；高等代数；线性变换
α∈V，α=Aα+ （α- Aα） ∈AV+ （E- A） V，则 V=AV+
（E- A） V
则 V=AV + （E- A） V。 下 证 A2=A ， 其 实 α ∈V， 有
A2α- Aα=A （A- E） α∈AV∩ （E- A） α={0}。 因此 A2α =A，则
A2=A，从而 A2=A。
下面通过三个例题说明幂等矩阵的性质与应用
= CErB= CB= A。 例 2 设 А 是 n 级实对称阵 ，且 A2=A，证明：存在正角阵 T 使得
! " Er
T- 1AT= 0
证明：设 λ 是 А 的任一特征值，ξ 是属于 λ 的特征向量，那么
Аξ=λξ， А2ξ=A (λξ)=λАξ=λ2ξ 由 于 А2=А，
A2ξ=λξ， （λ2- λ） ξ=0，∵ξ≠0 ∴λ2- λ=0 λ=0 或1
在高等代数的研究中，矩阵占有重要的地位，线性变换中的许多
问题都是通过矩阵来解决的。幂等矩阵是一类特殊的矩阵，本篇文章探
讨的就是幂等矩阵的性质，研究过程中运用的特殊符号说明如下：AT
矩阵 A 的转置，AH矩阵 A 的共轭转置 R （A） 矩阵 A 的值域，N （A）
矩阵 A的核空间。
幂等矩阵
定义[1]设 A∈Cn×n，若 A2=A 则称 A 是幂等矩阵。
A A
A
Aα=A2β=β=α。又 Aα=0，则 α=0，则AV+A- 1 （0） 为直和。所
以 V=A + A- 1 （0）。在子空间 AV中取基 η1η2…ηr，在子空间 A- 1(0)
取基 ηr+1ηr+2…ηn ，则向量组 η1，η2…ηrηr+1…ηn就是 V的一组
基 。 又 Aη1= η1， Aη2= η2 … Aηr= ηr 且 Aηr+1= 0， Aηr+2= 0 …
6 2009 年 7 月 ( 上 )
矩阵的性质通常从以下几方面来研究：矩阵的秩，矩阵的相似对
角化，矩阵的特征值对于幂等矩阵我们也从这几方面入手，讨论其具有
的性质。
Er 性质 1 若 A为 n×n 矩阵且 A2=A，则 A相似于一对角阵
0
证明：取一线性空间 V（n 维） 及一组基 ε1，ε2…εn 定义一线 性变换 A：V→V， Aα=Aα 则 A （ε1，ε2，…ε）n =(ε1，ε2…εn) A。 由 A2=A，则 A2=A。 α∈A∩A- 1 （0），设 α=Aβ，β∈V，
Aα=0 为方程组 A2x=0 的解，由 （1） 则 Aα 为 Ax=0 的解，则有 A2
α=0，即 α 也为 A2x=0 的解，所以 A2x=0 与 A3x=0 同解。因此，照
此方法类推，则必有 R （A）p )=R （A）。
性质 3 若 A为 n 阶方程，且 R （A） + （E- A） =n，则 A2=A
七、 结语 小区景观设计的好坏，首先应看它是否具有合理的景观空间条件， 其次应看它是否拥有一个好的景观设计理念，最后应看它是否具备一个 贯彻始终的设计手法和执行力度。本项目的自然条件和建筑规划给景观 设计预留了一个良好的空间条件，景观方案依据给定条件，因地制宜的 提出了合理的景观设计理念，并通过一系列空间轴线和景观元素的巧妙 运用，形成一个个宜人的场所。
Er
Aηn= 0，A （η1，η2…η）n = （η1，η2…η）n
所以 А 相似于 0
Er
0
性质 2 若 А 为 n×n 幂等矩阵，且 R （A）2 =R （A） 则有以下结
论成立
1） Ax=0 与A2x=0 同解
2） 对于任意自然数P，均有R （A）p =R （A）
证明：设 R （A） =r显然 Ax=0 的解均为 A2x=0 的解；设有一基础
13 TECHNOLOGY TREND
T= T- 1
00
0
! " ! " Er
Er
0
（Er，0） T，记 C=T- 1 0
B= （Er，0） T，则秩 （C） =r，秩
! " Er
（B） =r，并且 A=CB，也有 BC= （Er，0） T·T- 1 0 =Er
充分性：设 A=CB，且 BC=Er那么 A2= （CB） （CB） =C （BC）
解系 η1，η2…ηn- r则此基础解系也为 A2x=0 的解，并且线性无关，而 R （A）2 =r，所以 η1，η2…ηn- r 也为 A2x=0 的基础解系，那么 Ax=0 与 A2x=0 同解
若 α 为 A2x=0 的解，则 A2α=0=>A3α=0， 则 α 为 A3E=0 的
解，反之，若 α 为 A3x=0 的解，则 A3α=0 即 A2Aα=0 ，说明向量
六、 种植设计 植物景观设计在整个环境规划设计中处于极其重要的地位，是整 个环境设计的核心内容之一。要形成“以人为本”的休闲、娱乐、交流 运动的环境空间与场所，最重要的就是植物生态景观群落的适当构成， 它是自然化景观再现的基础。因而，在滨河花园的植物景观设计上注入 “户户倚林”的设计理念，并本着“适地适树”，“三季有花，四季常 青”的原则，模拟自然的生态群落，按照上、中、下三层进行设计。上 层乔木：以落叶乔木和常绿树为主，形成上层界面空间，其中落叶乔木 与常绿树的比例为 6∶4 最宜，以保证夏景的浓荫与冬季有景可观。中
故 E- PH为幂等矩阵
2） P （E- P） =PE- P2=P- P2=0
（E- P） P=EP- P2=P- P2=0
故 P （E- P） = （E- P） P=0
3） 设 x 满足 Px=x，则 x∈R （P）。反之，若 x∈R （P），则必存在
y∈Cn，使得 Py=x，于是，Px=P （Py） =Py