单调性与最大(小)值(二) (导)学案 (3)

课题：1.3.1函数的最大(小)值

一、三维目标：

知识与技能:（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义；

（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一。

过程与方法：借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单

调性求解函数最值问题。

情感态度与价值观：在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解

途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。

二、学习重、难点：

重点：应用函数单调性求函数最值。

难点：理解函数最值可取性的意义。

三、学法指导：

通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念， 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法。

四、知识链接：

1.增函数的定义?减函数的定义?函数单调性的定义?

2. 判断函数单调性的方法步骤：

五、学习过程：

1.画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○

1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○

2 指出图象的最高点或最低点。 （1）32)(+-=x x f

（2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x

（3）2)(x x f = （4）2

)(x x f -=

2.函数最大（小）值定义

(1)．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；

（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。

(2). 最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）_______________________________________________；

（2）________________________________________________

那么，称M是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）。

注意：

○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

六、达标训练：

A1. （1）．函数f(x)＝2x－x2的最大值是

( ) A．－1 B．0

C．1 D．2

(2)．已知函数f(x)＝3x－2＋x，则它的最小值是

( ) A．0 B．1

C.2

3

D．无最小值

(3)．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为

( ) A．0 B．1或2

C．1 D．2

B2.已知函数y =

2

1

x-

(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值。

C3. 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；

(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数。

D4. 已知函数f (x )＝－12

x 2＋x ，是否存在实数m 、n ，m

七、学习小结：

1. 概念：最大值与最小值；

2. 求最大值与最小值的方法：

1）图象法 2）配方法（二次函数） 3）判别公式法

（二次函数）

3. 数形结合是研究函数性质的常用方法。

八、课后反思：

1.3.1(2)函数的最大(小)值 参考答案

达标训练:

1、(1)C (2)C (3) C

2、解：设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个数，且x 1＜x 2，则

f(x 1)－f(x 2)＝121221---x x ＝)

1)(1()(22112---x x x x 则2＜x 1＜x 2＜6得：012>-x x ，)1)(1(21--x x ＞0

所以，f(x 1)＞f(x 2)，因此，函数1

2-=x y 在区间［2,6］上是减函数。 当x ＝2时，函数取得最大值为2；

当x ＝6时，函数取得最小值为0.4。

3、解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2的图象的对称轴为直线x ＝1.

∴f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－5)＝37.

(2)∵函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上是单调函数，∴区间[－5,5]一定都在抛物线

的对称轴x ＝－a 的同一侧．

∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.

∴所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

4、解：假设存在m 、n 使当x ∈[m ，n ]时，y ∈[2m,2n ]．则在[m ，n ]上函数的最大值为2n .

而f (x )在x ∈R 上的最大值为12

， ∴2n ≤12，∴n ≤14

. 而f (x )在(－∞，1)上是增函数，

∴f (x )在[m ，n ]上是增函数．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n .

∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，或m ＝－2，n ＝0，或n ＝－2.

∵m

∴存在实数m ＝－2，n ＝0，使当x ∈[－2,0]时，f (x )的值域为[－4,0]．