高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文科)(立体几何

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高三毕业班总复习立体几何平行性试卷(文)

2016高三毕业班总复习立体几何平行性试卷（文）闽清一中数学组一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) (1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中假命题的序号是( )(A )① (B )②③ (C ) ①②③ (D ) ③④(2)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )(A) 56+ （B ）526+（C ）58+ （D ）528+(3)设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )(A)若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α (B)若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β(C)若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α(D)若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β(4)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )(A)168+π (B)168-π (C)88+π (D)816-π(5)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC =90︒，AC BC ⊥1，则1C 在平面ABC 上的投影H 必在( )(A)直线AB 上 (B)直线BC 上 (C)直线AC 上 (D)△ABC 的内部(6)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )(A) 63+ (B) 53+ (C) 62+ (D) 52+(7)如图，在正四面体ABC P -中， D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，下列四个结论不成立的是( )(A) BC ∥平面PDF (B) DF ⊥平面PAE(C) 平面PDF ⊥平面PAE (D) 平面PDE ⊥平面ABC第（2）题第（4）题第（5）题第（6）题第（7）题(8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )(A) 216 (B) 64 (C)364(D) 16(9)如图，直三棱柱111C B A ABC -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AC AB =，侧面11B BCC 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11A ABB 的面积为( )(A) 2 (B) 1(C) 2(D)22(10)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 (11)在三棱锥BCD A -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、23、26，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为( ) (A) π6 (B) π62 (C) π63 (D) π64(12)用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如下图形，对这个几何体，下列说法正确的是( )(A)这个几何体的体积一定是7 (B)这个几何体的体积一定是10(C)这个几何体的体积的最小值是6，最大值是10 (D)这个几何体的体积的最小值是5，最大值是11 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)(13)一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为 cm. （精确到0.1cm ）第（8）题第（9）题第（12）题第（13）题(14)已知△ABC 的斜二测直观图是边长为2的等边△111C B A ，那么原△ABC 的面积为________．(15)已知正四棱锥ABCD S -中，SA ＝32，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．(16)如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知BC AB 3=，将直角△ABE 沿BE 边折起，A 点在面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2； ②ACE B V -的体积是261a ； ③AB ∥CD ；④平面EAB ⊥平面ADE ；⑤直线BA 与平面ADE 所成角的正弦值为33. 其中正确的叙述有________(写出所有正确结论的编号)．三、解答题(17) (10分)如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面S B C ,BC AB ⊥,1==AB AS , 2=BC ,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.(I)求证:(1)平面//EFG 平面ABC ;(II)求C 到平面SAB 的距离.(18) (12分)在三棱柱111C B A ABC -中，棱1AA 与底面ABC垂直，△ABC 为等腰直角三角形，1AA AC AB ==， D 、E 、F 分别为A B 1，C C 1， BC 的中点． (I)求证：DE ∥平面ABC ；(II)求证：平面F AB 1⊥平面AEF .第（16）题A B C SG FE 第（17）题(19) (12分)如图，在四棱台1111CD C D AB -A B 中，1DD ⊥底面CD AB ，四边形CD AB 为正方形，1DD D 2=A =，111A B =，1C //E 平面11DD A A ． (I)证明：E 为AB 的中点；(II) 求点E 到平面1DC A 的距离．(20) (12分)如图1，⊙O 的直径4=AB ，点C 、D 为⊙O上两点，且∠CAB ＝45°，F为弧BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)． (I)求证：OF ∥平面ACD ； (II)设E 为AD 中点，求证：平面OCE ⊥平面ACD .(21) (12分)已知四棱锥ABCD P -的直观图和三视图如图所示，E 是PB 的中点． (I)求三棱锥PBD C -的体积；(II)若F 是BC 上任一点，求证：PF AE ⊥.(22) (12分)如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE(I)求证：AE ⊥平面BCE ；(II)求证：//AE 平面BFD ； (Ⅲ)求三棱锥C BGF -的体积.第（19）题第（20）题 GB A DC F E 第（22）题第（21）题图[解析] 底面是矩形的平行六面体的侧棱不一定与底面垂直，故①错；棱长相等的直四棱柱中若底面是菱形则不是正方体，故②错；如果两条平行的侧棱都垂直于底面一边显然不是直平行六面体，③错．对角线相等则对角面均为矩形，易知侧棱垂直底面，④显然正确。

立体几何基础检测卷(文科)(含详解)

立体几何基础检测卷（文科）一、选择题（每题4分）1.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ．其中真命题的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2.已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β=m ，α∩γ=n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α3.一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( ).A ．1BC D4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 72C. 80D.1125.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A ．B ．C ．1D ． 1232136、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB ．25πC ．50πD ．200π7、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（）A ．1 B．2 D．8、教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直9、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）（A ）316 （B ） 916 （C ） 38 （D ） 93210、.如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是（）(A)点P 到平面QEF 的距离 (B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥QEF P -的体积 (D)QEF ∆的面积二、填空题（每题4分）1.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2．2.某几何体的三视图如图，则它的体积是________ π1203、已知正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的体积为．4.设α，β为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，n 是平面α内任意的直线，则m ⊥α； ②若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m 则n ⊥β； ③若α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β．其中正确命题的序号为．5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是．三、解答题（每小题10分）1．如图所示， PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， ,M N 分别是AB PC 、的中点.（1）求证： //MN 平面PAD .（2）MN CD ⊥2．如图，已知PA O ⊥所在的平面， AB 是O 的直径， 4,AB C =是O 上一点，且0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点， F 为PB 中点．（1）求证： //EF 面ABC ；（2）求证： EF ⊥面PAC ；（3）求三棱锥B PAC -的体积．3．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形， 060BCD ∠=， PA ⊥平面ABCD ， E 是AB 的中点.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ；（2）棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.4、如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=．（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；（2）若BC=2，求点A到平面SBD的距离h的值．立体几何基础检测卷（文科）一、选择题（每题4分）1.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ．其中真命题的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④答案：.C2.已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β=m ，α∩γ=n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α答案：C3.一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( ).A ．1B ．3CD ．3答案：.B4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 72C. 80D.112答案 .C5.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A ．B ．C ．1D ．答案：.A6、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB ．25πC ．50πD ．200π答案：.C7、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（）A ．1 B．2 D．答案：.B8、教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案：.A9、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）（A ）316 （B ） 916 （C ） 38 （D ） 932答案：.A 10、.如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是（）(A)点P 到平面QEF 的距离 (B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥QEF P -的体积 (D)QEF ∆的面积答案：.B二、填空题（每题4分）1.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2． 123213π120答案：.2.某几何体的三视图如图，则它的体积是________答案：.2 83π-3、已知正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的体积为．答案：8 34.设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，n是平面α内任意的直线，则m⊥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m则n⊥β；③若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确命题的序号为．答案：①②5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是．答案：.②④三、解答题（每小题10分）1．如图所示， PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， ,M N 分别是AB PC 、的中点.（1）求证： //MN 平面PAD .（2）MN CD ⊥解析：（1）证明：取PD 的中点E ，连接,AE EN ,,E N 分别是,PC PD 的中点,1//2EN CD ∴, //AM EN ∴,∴四边形AMNE 是平行四边形， //MN AE ∴ MN ⊄平面PAD ， AD ⊂平面PAD ,∴ //MN 平面PAD .（2） PA ⊥平面ABCD ， ∴ PA CD ⊥,又CD AD ⊥,∴ CD ⊥平面PAD ,∴ CD AE ⊥,又//MN AE ， CD MN ∴⊥.2．如图，已知PA O ⊥所在的平面， AB 是O 的直径， 4,AB C =是O 上一点，且0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点， F 为PB 中点．（1）求证： //EF 面ABC ；（2）求证： EF ⊥面PAC ；（3）求三棱锥B PAC -的体积．试题解析：（1）证明：在三角形PBC 中， E 是PC 中点， F 为PB 中点，∴//EF BC ， BC ⊂平面,ABC EF ⊄平面ABC ，∴//EF 面ABC ；（2）证明：∵PA ⊥面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥，又∵AB 是O 的直径，∴BC AC ⊥，又PA AC A ⋂=，∴BC ⊥面PAC ，∵//EF BC ，∴EF ⊥面PAC ；（3）∵045PCA ∠=，∴PA AC =，在Rt ABC ∆中，∵,4AC BC AB ==，∴AC BC ==∴1·33B PAC P ABC ABC V V S PA --∆===． 3．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形， 060BCD ∠=， PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ；（2）棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.解析：（1）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=︒,所以ABD ∆为正三角形.因为E 是AB 的中点, 所以DE AB ⊥,因为PA ⊥面ABCD , DE ABCD ⊂面，∴DE PA ⊥，因为DE AB ⊥， DE PA ⊥， AB PA A ⋂=,所以DE PAB ⊥面.又DE PDE ⊂面, 所以面PDE ⊥面PAB .（2）当点F为PC的中点时，BF∥面PDE.事实上，取PC的中点F,PD的中点G，连结FG，GE，∵FG为三角形PCD的中位线，∴FG∥CD且1=2FG CD，又在菱形ABCD中，E为AB的中点，∴BE∥CD且1=2BE CD，∴FG∥BE且=FG BE，所以四边形BEGF为平行四边形.所以BF∥GE，又GE⊂面PDE，BF⊄面PDE，∴BF∥面PDE，结论得证.4、如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=．（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；（2）若BC=2，求点A到平面SBD的距离h的值．【解答】（1）证明：侧面SDC⊥底面ABCD，有AD⊥SC，AD⊥SD故△ADS为Rt△，有SD2+AD2=SA2且AD=BC，SD=，故2+BC2=SA2即BC2=SA2﹣2连接AC，易得AC2=BC2+AB2=BC2+4即BC2=AC2﹣4那么SA2﹣2=AC2﹣4，整理后有AC2=SA2+2又SC=，故AC2=SA2+SC2所以△ASC为Rt△，有SA⊥SC所以SC⊥平面SAD，那么平面SBC⊥平面SAD；（2）解：由题意，BC⊥SC，SB=，DB=2，∴DB2=SD2+SB2，∴SB⊥SD，∴S△SBD==．由等体积可得，∴h=，即点A到平面SBD的距离h的值为．。

福建省2016届高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文理科)(几何选讲——福州市数学组供稿)(

2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（文理科）几何选讲福州市数学组一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图，在梯形中，，若，，，则梯形与梯形的面积比是（）A. B. C. D.【答案】D.........考点：平面几何中的相似三角形.2. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，要使BC边上至少存在一点P，使△PBA，△APD，△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足( )A. a≥bB. a≥bC. a≥bD. a≥2b【答案】D【解析】结合图形易知，要使△PBA，△APD，△CDP两两相似，必须满足＝．即＝，BP·CP＝b2．设BP＝x，则CP＝a－x，∴(a－x)x＝b2，即x2－ax＋b2＝0，要使BC边上至少存在一点P，必须满足Δ＝a2－4b2≥0，所以a≥2b，故选D．3. 如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过 B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠BAD=（）A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】试题分析：根据同弧所对的圆周角和弦切角相等，得到∠DAE=∠B，根据AE平分∠BAD，BD⊥AC，得到要求的角的三倍等于直角，得到结果．解：∵AC是圆O的切线∴∠DAE=∠B∵AE平分∠BAD，BD⊥AC∴3∠B=90°∴∠B=30°∴∠BAD=60°故选D．点评：本题考查弦切角，本题解题的关键是在直角三角形中进行有关角的计算，注意三角形内角和的应用，本题是一个基础题．4. 如图所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（）A. 10B. 16C. 10D. 18【答案】C【解析】试题分析：根据切线的性质得∠AED=90°，然后利用已知条件根据勾股定理即可求出AE．解：∵AE切⊙D于点E，∴∠AED=90°，∵AC=CD=DB=10，∴AD=20，DE=10，∴AE==="10"．故选C．点评：此题主要是综合运用了切线的性质以及勾股定理等知识解决问题．5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝( )A. 4∶10∶25B. 4∶9∶25C. 2∶3∶5D. 2∶5∶25【答案】A【解析】由题意可知，△DEF与△BAF相似，且DE∶AB＝2∶5，所以△DEF与△ABF的面积之比为4∶25．△DEF与△BEF的底分别是DF，BF，二者高相等，又DF∶BF＝2∶5，所以△DEF与△BEF的面积之比为2∶5．综上S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25，故选A．6. 如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点．在上述条件下，给出下列四个结论：则所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④【答案】D【解析】①正确．由切线长定理知：，故②正确．在和中，由相交弦定理得，③错误．在和中，④正确．综上可知①②④正确，故选（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

高中数学《立体几何(文科)》练习题

高中数学《立体几何》练习题1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.1222．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是A ．P D DC 11⊥B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3.5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 .6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD.(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q ABCD 的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值．[来9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．（1）求证://BCF AED 平面平面.（2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。

10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，FG 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥；(2) 求证：//FG 平面BCP ；SFCB AD EF GPDCBA11．如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，N M ,分别为BC AF ,的中点．（1）求证：//MN 平面CDEF ； (2）求多面体CDEF A -的体积．NMFEDCBA直观图俯视图正视图侧视图22222212．如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABC ，E ,F 分别为PB ,PC 的中点. （1）求证：//EF 平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .A13．如图，在三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8,DF=5.求证：（1）直线PA ∥平面DFE ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．14．如图. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，A 1B 1= A 1C 1,点D 、E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1 （2）直线A 1F ∥平面ADE ．BA 1C 1 E C DAB 1F参考答案1．C 【解析】试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为045角，则面积为：2645sin 260=⨯⨯. 考点：直观图与立体图的大小关系.2．C 【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B 中由n m n ⊥⊥,β可得β//n ,则α,β可以为任意角度的两平面,A,B 均错误.C,D 中由n m n //,β⊥可得β⊥m ，则有βα//,故C 正确，D 错误.考点：线，面位置关系. 3．C 【解析】试题分析：⊥1DC 面11BCD A ，∴A 正确；⊥11A D 面11A ABB ，∴B 正确；当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，∴C 错；将面B AA 1与面11A ABB 沿B A 1展成平面图形，线段D A 1即为1PD AP +的最小值，解三角形易得D A 1=22+， ∴D 正确.故选C. 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直. 4．4 【解析】试题分析：已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示：，所以其体积为：4211112=⨯⨯+⨯⨯=V ，故应填入：４．考点：三视图． 5．24 【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.考点：三视图. 【答案】12 【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形体积为12262V =⨯⨯⨯＝12考点：三视图，几何体的体积. 7．2723 【解析】试题分析：过DE 作截面平行于平面ABC ,可得截面下体积为原体积的27193213=-）（，若过点F ，作截面平行于平面SAB ,可得截面上的体积为原体积的278323=）（，若C 为最低点，以平面DEF 为水平上面，则体积为原体积的27233132321=⨯⨯-，此时体积最大. 考点：体积相似计算. 8．(1)祥见解析； (2)１．【解析】试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA ⊥平面ABCD ，所以有平面PDAQ ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又因为四边形ABCD 为正方形，由面面垂直的性质可得DC ⊥平面PDAQ ，从而有PQ ⊥DC ，又因为PD ∥QA ，且QA ＝AB ＝12PD ，所以四边形PDAQ 为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ ⊥QD ；从而可证 PQ ⊥平面DCQ ；(2)设AB ＝a ，则由(1)及已知条件可用含a 的式子表示出棱锥Q －ABCD 的体积和棱锥P －DCQ 的体积从而就可求出其比值．试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ.可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ，则PQ ⊥QD.所以PQ ⊥平面DCQ.(2)设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ a ，△DCQ 的面积为2a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3. 故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 考点：１．线面垂直；２．几何体的体积．9．（1）证明过程详见解析；（2）36a . 【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于ABCD 是菱形，得到//BC AD ，利用线面平行的判定，得//BC ADE 面，由于BDEF 为矩形，得BF//DE ，同理可得BF//面ADE ，利用面面平行的判定，得到面BCF//面AED ；第二问，通过证明得到AO BDEF ⊥面，则AO 为四棱锥A BDEF -的高，再求出BDEF 的面积，最后利用体积公式13V Sh =，计算四棱锥A-BDEF 的体积.试题解析：证明：（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面 //BC ADE ∴面 3分由BDEF 是矩形//BF DE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面 //BF ADE ∴面,,BC BCF BF BCF BCBF B ⊂⊂=面面∴//BCF AED 平面平面. 6分（2）连接AC ，ACBD O =由ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面 ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF EDBD D ⊂=面 AO BDEF ∴⊥面， 10分则AO 为四棱锥A BDEF -的高由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则3,2AD a AO a ==，2BDEF S a =， 23133326A BDEF V a a a -=⋅⋅=14分考点：线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.10．(1)见解析；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）；（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线.此题也可以采用空间向量证明，即证明FG 的方向向量垂直于平面BCP 的法向量n 即可. 试题解析：（1）证明：底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ , PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴ABCD PC 平面⊂ PC AD ⊥∴H F GPD CBA（2）证明：取H BP 中点，连接CH GH ,中点分别为DC AP F G ,,GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21 GH ∴=//FC GFCH 四边形∴是平行四边形， FG ∴//CH ，BCP CH 平面⊂，BCP FG 平面⊄ FG ∴//BCP 平面考点：（1）线线垂直；（2）线面平面.11．（1）证明：见解析；（2）多面体CDEF A -的体积83．【解析】试题分析：（1）由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰直角三角形，2==AE DA ，⊥DA 平面ABEF ,侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形．连结EB ，则M 是EB 的中点，由三角形中位线定理得EC MN //，得证. （2）利用⊥DA 平面ABEF ，得到EF AD ⊥, 再据EF ⊥AE ，得到EF ⊥平面ADE ，从而可得：四边形 CDEF 是矩形,且侧面CDEF ⊥平面DAE .取DE 的中点,H得到AH =且⊥AH 平面CDEF ．利用体积公式计算.所以多面体CDEF A -的体积383131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF ． 12分试题解析：（1）证明：由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰直角三角形，2==AE DA ，⊥DA 平面ABEF ,侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形．连结EB ，则M 是EB 的中点，在△EBC 中，EC MN //，且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF ． 6分FDA（2）因为⊥DA 平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF , AD EF ⊥∴,又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ，∴四边形 CDEF 是矩形,且侧面CDEF ⊥平面DAE 8分取DE 的中点,H ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH ,且⊥AH 平面CDEF ． 10分所以多面体CDEF A -的体积383131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF ． 12分考点：三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积. 12．（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由E 、F 分别为PB 、PC 中点根据三角形中位线定理知EF ∥BC ，根据线面平行的判定知EF ∥面ABC ；（2）由PA ⊥面PABC 知，PA ⊥BC ，结合AB ⊥BC ，由线面垂直的判定定理知，BC ⊥面PAB ，由（1）知EF ∥BC ，根据线面垂直性质有EF ⊥面PAB ，再由面面垂直判定定理即可证明面AEF ⊥面PAB.试题解析：证明:（1）在PBC ∆中，F E , 分别为PC PB ,的中点BC EF //∴ 3分又⊂BC 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC 7分（2）由条件，⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABCBC PA ⊥∴︒=∠90ABC ，即BC AB ⊥， 10分由//EF BC ，∴EF AB ⊥，EF PA ⊥又A AB PA =⋂，AB PA ,都在平面PAB 内 EF ∴⊥平面PAB又⊂EF 平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB 14分考点:线面垂直的判定与性质；面面垂直判定定理；线面平行判定；推理论证能力13．(1)详见解析; (2) 详见解析. 【解析】试题分析：(1) 由线面平行的判定定理可知,只须证PA 与平面DEF 内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE,由三角形的中位线的性质易知: DE ∥PA ,从而问题得证；注意线PA 在平面DEG 外,而DE 在平面DEF 内必须写清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE 垂直平面ABC 较好,由(1)可知:DE ⊥AC,再就只须证DE ⊥EF 即可；这样就能得到DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，从面而有平面BDE ⊥平面ABC ．试题解析：(1)因为D ，E 分别为PC,AC 的中点，所以DE ∥PA. 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF.(2)因为D ，E ，F 分别人棱PC,AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝21PA ＝3，EF ＝21BC ＝4．又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2+EF 2，所以∠DEF=90。

高考数学分类练习 G单元立体几何(文科)含答案1

数学 G 单元立体几何G1 空间几何体的结构19．G1 如图18，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图1819．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确．18．G1，G4，G5 如图15，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．图1518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为3 3.18．G1、G5如图14，直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F AEC的体积．图1418．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD . 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 9．G1 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3 B.42π3C ．22πD ．42π9．B 由条件知该直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，故围成的几何体的体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.18．G1，G4，G5 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.10．G1、G2一个几何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1310.83π 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V ＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m 3)．G2 空间几何体的三视图和直观图9．G2 一个四面体的三视图如图12所示，则该四面体的表面积是( )图12A ．1＋ 3B ．1＋2 2C ．2＋ 3D ．2 29．C 四面体的直观图如图所示，设O 是AC 的中点，则OP ＝OB ＝1，因此PB ＝2，于是S △PAB ＝S △PBC ＝34×(2)2＝32，S △PAC ＝S △ABC ＝12×2×1＝1，故四面体的表面积S ＝2×1＋2×32＝2＋ 3.11．G2 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图14A ．1B ．2C ．4D ．811．B 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r ，高为2r 的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r 的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋πr ·2r ＋2πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.6．G2 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图12，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图12A.18B.17 C.16 D.156．D 由剩余部分的三视图可知，正方体被截去一个三棱锥，剩余部分如图所示，设正方体的棱长为a ，则被截去的三棱锥的体积为13×12a 2×a ＝16a 3，而正方体的体积为a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.7．G2 某四棱锥的三视图如图12所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )图12A ．1 B. 2 C. 3 D ．27．C 根据三视图可得，此四棱锥是底面是正方形，有一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，所以最长棱的棱长为PC ＝12＋12＋12＝3，故选C.9．G2 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的表面积等于( )图13A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．159．B 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(1＋1＋2＋2)×2＋12×(1＋2)×1×2＝11＋2 2.10．G2、G7、K3 某工件的三视图如图13所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )图13A.89πB.827πC.24（2－1）3πD.8（2－1）3π10．A 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x＝223，故V正＝x3＝16227，又V圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.5．G2一个几何体的三视图如图12所示，则该几何体的表面积为()图12A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋45．D 该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱，其表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4.14．G2，G7 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．14.124 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为12，三棱锥A 1PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱锥P A 1MN 的体积为13×12×14＝124.10．G1、G2 一个几何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1310.83π 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V ＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m 3)．2．G2 某几何体的三视图如图11所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )图11A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3 D.403cm 3 2．C 该几何体为一个正方体和一个四棱锥的组合体，故所求体积为23＋13×2×2×2＝323.G3 平面的基本性质、空间两条直线6．G3 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交6．D 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选D.5．A2、G3 l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件5．A 由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.G4 空间中的平行关系18．G4，G5，G11 如图13，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图1318．G1，G4，G5如图15，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．图1518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为3 3.18．G4、G5如图13，三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.18．证明：(1)证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)如图，连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC，又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.18．G1，G4，G5一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.图1218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11如图14，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．图1417．解：(1)证明：如图所示，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°，所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m4．A 由两平面垂直的判定定理知，A 正确；对于B ，直线l ，m 相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C ，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D ，l ，m 平行和异面都有可能，故不正确．16．G4、G5 如图12，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.图1216．证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.G5 空间中的垂直关系18．G4，G5，G11如图13，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．图1320．G5、G12 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图14所示的阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．图1420．解：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE . 又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC . 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB . (2)由已知，PD 是阳马P ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ；由(1)知，DE 是鳖臑D BCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD . 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE＝4.18．G5 如图15，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC, 三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．图1518．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6，所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.18．G1，G4，G5 如图15，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．图1518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为3 3.20．G5、G12如图15，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．图1520．解：方法一：(1)证明：在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ⊂平面PDO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO . (2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为 12×2×1＝1. 又因为三棱锥P ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2. 同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P, 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而OC′＝OE＋EC′＝22＋62＝2＋62，亦即CE＋OE的最小值为2＋62.方法二：(1)(2)同方法一．(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以∠OPB＝45°，PB＝12＋12＝ 2.同理PC＝ 2.所以PB＝PC＝BC，所以∠CPB＝60°.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．所以在△OC′P中，由余弦定理得，OC′2＝1＋2－2×1×2×cos(45°＋60°)＝1＋2－2 2×22×12－22×32＝2＋3.从而OC′＝2＋3＝2＋62.所以CE＋OE的最小值为22＋62.18．G1、G5如图14，直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F AEC的体积．图1418．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD . 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 18．G4、G5 如图13，三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .18．证明：(1)证法一：如图，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH . 在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点，所以HM ∥BD .又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形HBEF 为平行四边形，可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB .又GH ∩HF ＝H ，AB ∩BE ＝B ，所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ，所以BD ∥平面FGH .(2)如图，连接HE ，GE .因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC ，又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH . 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .18．G5 如图15(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1 BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1 BCDE 的体积为362，求a 的值．图1518．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)知，A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1 BCDE 的高．由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1 BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6. 18．G1，G4，G5 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11如图14，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．图1417．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°，所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m4．A 由两平面垂直的判定定理知，A正确；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D，l，m平行和异面都有可能，故不正确．18．G5，G11如图14，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．图1418．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF . 因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E . 因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE . 所以BC ⊥A 1F ，所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78. 20．G5、G7 如图14，三棱锥P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S四边形DFBC＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC 的高．在直角三角形PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 所以V 四棱锥P DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13×718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.G6 多面体与球 G7 棱柱与棱锥10．G2、G7、K3 某工件的三视图如图13所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )图13A.89π B.827πC.24（2－1）3π D.8（2－1）3π10．A 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x ＝223，故V 正＝x 3＝16227，又V 圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.14．G2，G7 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．14.124 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为12，三棱锥A 1PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱锥P A 1MN 的体积为13×12×14＝124.5．G2、G7、G8 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25．B 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6.20．G5、G7 如图14，三棱锥P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S四边形DFBC＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC 的高．在直角三角形PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 所以V 四棱锥P DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13×718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.9．G7 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．9.7 设新的底面半径为r ，则13π×52×4＋π×22×8＝13πr 2×4＋πr 2×8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.G8 多面体与球5．G2、G7、G8 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为( )图12A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25．B 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6.10．G8 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．C 因为V 三棱锥O ABC ＝V 三棱锥C OAB ，所以三棱锥O ABC 体积的最大值即三棱锥C OAB 体积的最大值，所以当C 到平面OAB 的距离最大时，即CO ⊥平面OAB 时，体积最大，设球的半径为r ，则V 三棱锥O ABC＝V三棱锥C OAB＝16r 3＝36，所以r ＝6，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝144π.图12A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π2G9 空间向量及运算G10 空间向量解决线面位置关系G11 空间角与距离的求法17．G4、G5、G11 如图14，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．图1417．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°，所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.18．G5，G11如图14，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．图1418．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78. 18．G4，G5，G11 如图13，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图13 图1422．G11、G12 如图16，在四棱锥P ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)，设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，所以m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1，所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)由BP →＝(－1，0，2)，可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910，当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.G12 单元综合6．G12 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图11，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图11。

2021届高三毕业班总复习(计数原理、概率统计)单元过关平行性测试卷(文科)数学试题

福建省2021年高三毕业班总复习（计数原理、概率统计）单元过关平行性测试卷（文科）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样2．从装有5粒红球、5粒白球的袋中任意取出3粒球，以下三组事件：①“取出2粒红球和1粒白球”与“取出1粒红球和2粒白球”；② “取出3粒红球”与“至少取出1粒白球”；③“至多取出2粒红球”与“取出3粒白球”．其中组内的两个事件是对立事件的为( )A．①②B．②③C．②D．③3．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为( ) A．32 B．24 C．18 D．124．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A ．B ．C ．D ． 6．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n adbc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得附表：参照附表，得到的正确结论是（）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”7．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【根底学问点】一、平行问题1．直线及平面平行的断定及性质定义断定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2. 面面平行的断定及性质断定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线及平面垂直1．直线与平面垂直的定义：直线l及平面α内的都垂直，就说直线l及平面α相互垂直．2．直线及平面垂直的断定定理及推论文字语言图形语言符号语言断定定理一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直推论假如在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线及平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线与平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，那么垂直于平面内随意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面及平面垂直1．平面及平面垂直的断定定理【典例探究】类型一、平行及垂直例1、如图，三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

〔Ⅰ〕求证：DM ∥平面APC ；〔Ⅱ〕求证：平面ABC ⊥平面APC ；〔Ⅲ〕假设BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

F D C1B1A1C例2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.〔Ⅰ〕求证：CN ⊥平面11ABB A ；〔Ⅱ〕求证：//CN 平面1AMB ；〔Ⅲ〕求三棱锥1B AMN -的体积．【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。

高三立体几何题(文科含答案)

23正视图图1侧视图图22 俯视图 2图3立几习题21若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．24.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） A.283π- B.83π-C.8-2πD.23π5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD的中点求证：（1）直线E F ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD5（本小题满分13分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=，2OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

1∥；（Ⅰ）证明直线BC EF Array -的体积.（Ⅱ）求棱锥F OBED6.（本小题共14分）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；.（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由Array7．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

高考数学复习专题过关检测—立体几何(含解析)

高考数学复习专题过关检测—立体几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·山东济宁二模)“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021·重庆八中月考)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成角的余弦值为()A.√55B.2√55C.√510D.√95103.(2021·江西上饶三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是线段BC1上一点,且A1G⊥B1D,则()A.BG=12BC1B.BC1=3GC1C.BG=3GC1D.G为线段BC1上任意一点4.(2021·辽宁葫芦岛一模)某保鲜封闭装置由储物区与充氮区(内层是储物区,用来放置新鲜易变质物品,充氮区是储物区外的全部空间,用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能)构成.如图,该装置外层上部分是半径为2的半球,下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合,内层是一个高度为4的倒置小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,为了保存更多物品,充氮区的体积最小为()A.4πB.16π3C.28π3D.4π35.(2021·天津三模)在圆柱O1O2内有一个球O,球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为() A.4π B.5πC.6πD.7π6.(2021·广东深圳模拟)已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,M为棱DD1的中点,则平面AMC截球O所得截面的面积为()A.π3B.2π3C.πD.4π37.(2021·福建师大附中模拟)过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,若AB=AP,则平面ABP与平面CDP的夹角的余弦值为()A.13B.√22C.√32D.√338.(2021·山东滨州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,若MP∥平面A1BC1,则异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是()A.(0,π3] B.[π6,π3]C.[π3,π2] D.[π3,π)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·广东广州三模)对于空间中的两条不同直线a,b和两个不同平面α,β,下列说法正确的是()A.若a⊥α,b⊥α,则a∥bB.若a⊥b,b⊥β,则a∥βC.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥bD.若a∥α,α⊥β,则a⊥β10.(2021·湖北荆门月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,下列结论正确的是()A.三棱锥A-D1PC的体积不变B.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变C.直线AP与直线A1D所成角的大小不变D.二面角P-AD1-C的大小不变11.(2021·福建龙岩三模)在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶,得到圆锥SO(其中S为顶点,O为底面圆心),母线SA的长为6 m,C是母线SA上靠近点S的三等分点.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,灯光带的最小长度为2√13 m.下面说法正确的是()A.圆锥SO 的侧面积为12π m 2B.过点S 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18 m 2C.圆锥SO 的外接球的表面积为72π m 2D.棱长为√3 m 的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动12.(2021·新高考Ⅰ,12)在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AA 1=1,点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )A.当λ=1时,△AB 1P 的周长为定值B.当μ=1时,三棱锥P-A 1BC 的体积为定值C.当λ=12时,有且仅有一个点P ,使得A 1P ⊥BP D.当μ=12时,有且仅有一个点P ,使得A 1B ⊥平面AB 1P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·辽宁大连期中)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 .14.(2021·河北石家庄期末)如图,已知二面角A-EF-D 的大小为45°,四边形ABFE 与四边形CDEF 都是边长为1的正方形,则B ,D 两点间的距离是 .15.(2021·浙江绍兴二模)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是棱A 1A 上的动点,N 是棱BC 的中点.当平面D 1MN 与平面ABCD 的夹角最小时,A 1M= .16.(2021·广东汕头二模)在菱形ABCD 中,AB=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 沿DE 翻折成△A 1DE ,当三棱锥A 1-DEC 的体积最大时,三棱锥A 1-DEC 的外接球的表面积为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021·广东韶关期中)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ABB 1A 1,BCC 1B 1,ACC 1A 1的面积依次为16,12,20,E ,F 分别为A 1C 1,BC 的中点.求证:(1)平面ABE⊥平面BB1C1C;(2)C1F∥平面ABE.18.(12分)(2021·河北张家口一模)如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=PB=3.(1)求证:CE∥平面PAD;PA,求直线PD与平面PCE所成角的正弦值.(2)若BE=1319.(12分)(2021·北京石景山区模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,PB⊥AM.(1)求证:平面PAM⊥平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.20.(12分)(2021·山东淄博三模)如图①,在平面图形ABCD中,△ABD是边长为4的等边三角形,DB是∠ADC的平分线,且BD⊥BC,M为AD的中点,沿BM将△ABM折起,得到四棱锥A1-BCDM,如图②.图①图②(1)设平面A1BC与平面A1DM的交线为l,在四棱锥A1-BCDM的棱A1C上求一点N,使直线BN∥l;(2)若二面角A1-BM-D的大小为60°,求平面A1BD与平面A1CD的夹角的余弦值.21.(12分)(2021·湖南长沙模拟)如图,C是以AB为直径的圆上异于点A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,设平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)求证:直线l⊥平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2021·重庆蜀都中学月考)如图①,在菱形ABCD 中,∠ABC=120°,动点E ,F 分别在边AD ,AB 上(不含端点),且存在实数λ,使EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ,使得平面PEF ⊥平面BCDEF ,如图②所示.图①图②(1)若BF ⊥PD ,设三棱锥P-BCD 和四棱锥P-BDEF 的体积分别为V 1,V 2,求V1V 2.(2)当点E 的位置变化时,二面角E-PF-B 是否为定值?若是,求出该二面角的余弦值;若不是,说明理由.答案及解析1.B解析由直线m垂直于平面α内的无数条直线不能推出m⊥α,但是由m⊥α一定能推出直线m垂直于平面α内的无数条直线,所以“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B.2.C解析连接AE,BE(图略),设AB=1,则PA=2,AE=√12+12-2×1×1×cos120°=√3,PE=√4+3=√7,BE=√3+1=2,PB=√4+1=√5.易知CD∥BE,所以∠PBE是直线CD与PB所成的角(或其补角).又cos∠PBE=2×2×√5=√510,所以直线CD与PB所成角的余弦值为√510.故选C.3.D解析如图,∵AD⊥平面ABB1A1,∴AD⊥A1B.又AB1⊥A1B,AB1∩AD=A,∴A1B⊥平面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理BC1⊥B1D.又A1B∩BC1=B,∴B1D⊥平面A1BC1.又A1G⊂平面A1BC1,∴A1G⊥B1D.故G为线段BC1上任意一点.故选D.4.B解析由题意可知内层小圆锥底面半径最大为√22-12=√3,所以充氮区的体积最小为12×43π×23+13π×22×3-13π×(√3)2×4=16π3.故选B.5.C解析依题意,圆柱O1O2的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱O1O2的表面积S=2πr·h+2πr2=4π+2π=6π.故选C.6.A解析设球心O到截面的距离为d,截面圆的半径为r,由V O-ACM=V M-AOC,得1 3·S△ACM·d=√23S△AOC.因为S△ACM=12×2√2×√3=√6,S△AOC=12×2√2×1=√2,所以d=√63.又d2+r2=1,所以r=√33,所以平面AMC截球O所得截面的面积为πr2=π3.故选A.7.B 解析设AP=AB=1,以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则P (0,0,1),D (0,1,0),C (1,1,0),所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). 设平面CDP 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y -z =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =y -z =0,取y=1,则x=0,z=1,所以m =(0,1,1)为平面CDP 的一个法向量.易知n =(0,1,0)为平面ABP 的一个法向量.设平面ABP 与平面CDP 的夹角为θ,则cos θ=|m ·n ||m ||n |=√2×1=√22.故选B .8.C 解析如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则B (2,2,0),A 1(2,0,2),C 1(0,2,2),M (0,0,1),取AD 的中点E ,DC 的中点F ,连接ME ,EF ,MF ,则E (1,0,0),F (0,1,0).因为ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2)=2ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以C 1B ∥ME.同理EF ∥A 1C 1.又ME ⊄平面A 1BC 1,C 1B ⊂平面A 1BC 1,所以ME ∥平面A 1BC 1.同理MF ∥平面A 1BC 1.又MF ∩ME=M ,所以平面MEF ∥平面A 1BC 1.因为P 是底面ABCD 内(包括边界)的一个动点,MP ∥平面A 1BC 1,所以点P 在线段EF 上.因为EF ∥A 1C 1,所以异面直线MP 与A 1C 1所成的角即是直线MP 与EF 所成的角.当MP ⊥EF 时,异面直线MP 与A 1C 1所成的角最大为π2,当点P 与点E 或点F 重合时,异面直线MP 与A 1C 1所成的角最小为π3.故所求角的取值范围为[π3,π2].9.AC 解析对于A,由线面垂直的性质定理知A 正确;对于B,若a ⊥b ,b ⊥β,则a ∥β或a ⊂β,所以B 错误;对于C,由a ⊥α,α⊥β,可知a ∥β或a ⊂β,又b ⊥β,所以a ⊥b ,所以C 正确;对于D,若a ∥α,α⊥β,则a ∥β或a ⊂β或a 与β相交,所以D 错误.故选AC .10.ACD 解析对于A,因为BC 1∥平面AD 1C ,所以BC 1上任意一点到平面AD 1C 的距离都相等,所以三棱锥A-D 1PC 的体积不变,故A 正确;对于B,因为BC 1∥平面AD 1C ,所以点P 到平面ACD 1的距离不变,但AP 的长度随着点P 的移动而变化,所以直线AP 与平面ACD 1所成角的大小会改变,故B 错误;对于C,因为直线A 1D ⊥平面ABC 1D 1,AP ⊂平面ABC 1D 1,所以A 1D ⊥AP ,所以直线AP 与直线A 1D 所成角的大小不变;故C 正确;对于D,二面角P-AD 1-C 也就是二面角B-AD 1-C ,其大小不变,故D 正确.故选ACD .11.AD 解析如图,设圆锥底面半径为r m,将圆锥侧面展开得到扇形ASA',在△A'SC 中,A'S=6 m,SC=2 m,A'C=2√13 m,则cos ∠A'SC=36+4-522×6×2=-12,所以∠A'SC=2π3,所以2πr=2π3×6=4π,r=2,所以圆锥的侧面积为π×2×6=12π(m 2),故A 正确.在△ASB 中,cos ∠ASB=SA 2+SB 2-AB 22SA ·SB=79,sin ∠ASB=√1-4981=4√29,易知过点S 的平面截此圆锥所得截面面积最大为S △SAB =12SA·SB·sin ∠ASB=12×6×6×4√29=8√2(m 2),故B 错误.设圆锥SO 的外接球的半径为R m,则R 2=(SO-R )2+r 2,又SO=√SA 2-r 2=√36-4=4√2,所以R 2=(4√2-R )2+4,解得R=9√24,所以圆锥SO 的外接球的表面积为4πR 2=81π2(m 2),故C 错误.设圆锥SO 的内切球的半径为t m,则4√2-t=13,解得t=√2,设棱长为√3 m 的正四面体的外接球的半径为r 1 m,将该正四面体放在棱长为√62的正方体中,可知该正四面体的外接球也是该正方体的外接球,易知r 1=12√3×(√62)2=3√24,因为r 1<t ,所以棱长为√3 m 的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动,故D 正确.故选AD . 12.BD 解析图①A 项中,当λ=1时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +u BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =u BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故点P 在线段CC 1(包括端点)上,如图①所示.在△AB 1P 中,|AB 1|=√2,|AP|=√1+u 2,|B 1P|=√1+(1-u )2, 故△AB 1P 的周长L=|AB 1|+|AP|+|B 1P|不为定值,故A 错误;图②B 项中,当u=1时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故点P 在线段B 1C 1(包括端点)上,如图②所示.由图②可知B 1C 1∥平面A 1BC ,即B 1C 1上的每一点到平面A 1BC 的距离都相等,因此三棱锥P-A 1BC 的体积为定值,故B 正确;图③C 项中,当λ=12时,分别取线段BC ,B 1C 1的中点D ,D 1,连接DD 1,可知点P 在线段DD 1(包括端点)上,如图③所示.取AC 的中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ,则B √32,0,0,C 0,12,0,A 10,-12,1,P (√34,14,u),从而A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,34,u -1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√34,14,u), 由A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =u (u-1)=0,得u=0或u=1. 当点P 与点D 或D 1重合时,满足A 1P ⊥BP ,故C 错误;D 项中,当u=12时,分别取线段BB 1,CC 1的中点M ,N ,连接MN ,可知点P 在线段MN (包括端点)上,如图④所示.图④建系同选项C,则A 0,-12,0,A 10,-12,1,B √32,0,0,P √32−√32λ,λ2,12,从而A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,12,-1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32−√32λ,λ2+12,12,四边形ABB 1A 1为正方形,显然A 1B ⊥AB 1. 要使A 1B ⊥平面AB 1P ,只需A 1B ⊥AP ,即A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12−λ2=0,解得λ=1. 当且仅当点P 与点N 重合时,A 1B ⊥平面AB 1P ,故D 正确. 综上所述,选BD .13.39π 解析 ∵体积V=13π×62·h=30π,∴高h=52,∴母线长l=√ℎ2+r 2=√(52)2+62=132,∴S 侧=πrl=π×6×132=39π. 14.√3-√2 解析 ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .由题意可知|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos 135°=-√22,∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3-√2.故B ,D 两点间的距离是√3-√2. 15.85 解析如图,建立空间直角坐标系,则N (2,4,0),D 1(0,0,4),设M (4,0,a )(0≤a ≤4),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,-a ),D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,-4).设平面D 1MN 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·D1N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x+4y-az=0,2x+4y-4z=0,解得{x=(4-a)z4,y=(a+4)z8,令z=8,则x=8-2a,y=a+4,所以n=(8-2a,a+4,8)为平面D1MN的一个法向量.易知m=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面D1MN与平面ABCD的夹角为θ,则cos θ=|m·n||m||n|=√(8-2a)+(a+4)+64=√5a2-24a+144,当a=125时,cos θ取最大值,则θ取最小值,所以A1M=4-125=85.16.8π解析如图,由余弦定理,得DE=√AD2+AE2-2AD·AEcos60°=√3,CE=√BE2+BC2-2BE·BCcos(180°-60°)=√7,所以AE2+DE2=AD2,DC2+DE2=CE2,即AE⊥DE,DC⊥DE.分别取CE,A1C的中点F,M,连接FM,则F为Rt△DEC的外心,因为△DEC的面积为定值,所以当平面A1DE⊥平面DEC时,点A1到平面DEC的距离最大,此时三棱锥A1-DEC的体积最大,又A1E⊥DE,所以A1E⊥平面DEC.由F,M分别为CE,A1C的中点,得FM∥A1E,所以FM⊥平面DEC,易知M是三棱锥A1-DEC的外接球的球心.因为A1C2=A1E2+CE2=1+7=8,所以所求外接球的表面积S=4π(A1C2)2=8π.17.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴BB1⊥AB.∵侧面ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面积依次为16,12,20,∴AB∶BC∶AC=4∶3∶5,∴AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.又BB1∩BC=B,∴AB⊥平面BB1C1C,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)如图,取AB的中点G,连接EG,GF.∵G,F分别为AB,BC的中点,∴GF∥AC,GF=12AC.∵E为A1C1的中点,∴EC1=12A1C1=12AC.又A 1C 1∥AC ,∴EC 1∥GF ,EC 1=GF ,∴四边形EGFC 1为平行四边形,∴C 1F ∥EG.又C 1F ⊄平面ABE ,EG ⊂平面ABE ,∴C 1F ∥平面ABE. 18.(1)证明因为四边形ABCD 是正方形,所以BC ∥AD.又AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD. 同理EB ∥平面PAD.又BC ∩EB=B ,所以平面EBC ∥平面PAD. 又CE ⊂平面EBC ,所以CE ∥平面PAD.(2)解以A 为原点,AD ,AB ,AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.因为PA=AB=3,所以BE=13PA=1,所以P (0,0,3),D (3,0,0),C (3,3,0),E (0,3,1), 所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3,-3),PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,-2). 设平面PCE 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +3y -3z =0,m ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y -2z =0,得{x =z3,y =2z 3,令z=3,则x=1,y=2,所以m =(1,2,3)为平面PCE 的一个法向量. 设直线PD 与平面PCE 所成的角为θ, 则sin θ=|cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m |=3√2×√14=√77,所以直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值为√77. 19.(1)证明因为PD ⊥底面ABCD ,AM ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥AM.又PB ⊥AM ,PB ∩PD=P ,所以AM ⊥平面PBD. 又AM ⊂平面PAM ,所以平面PAM ⊥平面PBD. (2)解由(1)可知AM ⊥平面PBD ,所以AM ⊥BD ,所以△DAB ∽△ABM.设BM=x ,则AD=2x ,由BMAB =ABAD ,即x1=12x ,得2x 2=1,解得x=√22,所以AD=√2.因为PD ⊥底面ABCD ,所以四棱锥P-ABCD 的体积为13×1×√2×1=√23.20.解 (1)如图,延长CB ,DM 相交于点E ,连接A 1E.因为点A 1,E 既在平面A 1BC 内,又在平面A 1DM 内,所以直线A 1E 即为平面A 1BC 与平面A 1DM 的交线l.因为DB 是∠ADC 的平分线,且BD ⊥BC ,所以B 为EC 的中点. 取A 1C 的中点N ,连接BN ,则BN ∥A 1E ,即BN ∥l. 故当N 为棱A 1C 的中点时,BN ∥l.(2)由题意可知BM ⊥A 1M ,BM ⊥MD ,则∠A 1MD 为二面角A 1-BM-D 的平面角,所以∠AMD=60°.又A 1M=MD ,所以△A 1MD 为等边三角形. 取MD 的中点O ,连接A 1O ,则A 1O ⊥MD.由BM ⊥A 1M ,BM ⊥MD ,A 1M ∩MD=M ,可知BM ⊥平面A 1MD ,所以BM ⊥A 1O. 又BM ∩MD=M ,所以A 1O ⊥平面BCDM. 如图,建立空间直角坐标系.则D (-1,0,0),A 1(0,0,√3),C (-5,4√3,0),B (1,2√3,0),所以DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,4√3,0),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0). 设平面A 1CD 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3z =0,-4x +4√3y =0, 令z=-√3,则x=3,y=√3,所以m =(3,√3,-√3)为平面A 1CD 的一个法向量. 设平面A 1BD 的法向量为n =(a ,b ,c ),则{n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3c =0,2a +2√3b =0, 令c=-√3,则a=3,b=-√3,所以n =(3,-√3,-√3)为平面A 1BD 的一个法向量. 设平面A 1BD 与平面A 1CD 的夹角为θ, 则cos θ=|cos <m ,n >| =√3×√3)√3)√3)|√3+(√3)+(-√3)×√3+(-√3)+(-√3)=35,所以平面A 1BD 与平面A 1CD 的夹角的余弦值为35.21.(1)证明 ∵E ,F 分别是PC ,PB 的中点,∴BC ∥EF.又EF ⊂平面AEF ,BC ⊄平面AEF ,∴BC ∥平面AEF. 又BC ⊂平面ABC ,平面AEF ∩平面ABC=l ,∴BC ∥l.∵BC ⊥AC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,平面PAC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴BC ⊥平面PAC.∴l ⊥平面PAC.(2)解如图,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),B (0,4,0),P (1,0,√3),E 12,0,√32,F 12,2,√32.所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-32,0,√32),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0). 由题意可设Q (2,y ,0),平面AEF 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则{AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-32x +√32z =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =2y =0,取z=√3,则x=1,y=0,所以m =(1,0,√3)为平面AEF 的一个法向量. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,y ,-√3),所以|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ >|=2√4+y =√4+y ,|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=2√4+y =√4+y ,依题意,|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|,解得y=±1.故直线l 上存在点Q ,使直线PQ 分别与平面AEF ,直线EF 所成的角互余,此时AQ=1.22.解 (1)取EF 的中点G ,连接PG.因为EF⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EF ∥BD ,所以PE=PF , 所以PG ⊥EF.又平面PEF ⊥平面BCDEF ,平面PEF ∩平面BCDEF=EF ,PG ⊂平面PEF ,所以PG ⊥平面BCDEF.连接GC ,由题意可知GC ⊥EF.以G 为坐标原点,GF ,GC ,GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.设菱形的边长为2,则F (λ,0,0),B (1,√3(1-λ),0),P (0,0,√3λ),D (-1,√3(1-λ),0),所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,√3(1-λ),0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3(1-λ),√3λ).因为BF ⊥PD ,所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-λ-3(1-λ)2=0,解得λ=23或λ=1(舍去).设△BCD 的面积为S ,则S △AEF =49S ,所以S 四边形BDEF =59S.所以V 1V 2=S △BCD S 四边形BDEF=S 59S =95.(2)二面角E-PF-B 是定值.证明如下:由(1)知n 1=(0,1,0)为平面PEF 的一个法向量. 设平面PFB 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),因为FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,√3(1-λ),0),FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,0,√3λ), 所以{n 2·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(1-λ)x +√3(1-λ)y =0,-λx +√3λz =0,取y=1,则x=-√3,z=-1,所以n 2=(-√3,1,-1)为平面PFB 的一个法向量. 设二面角E-PF-B 的平面角为θ,所以|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=1×√5=√55.由图可知θ为钝角,所以二面角E-PF-B 为定值,其余弦值来为-√55.。

2022年高考立体几何 (文科)

2022年高考立体几何·模拟试题（文）一、解答题1．（2021·四川南充·一模（文））如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE ．（1）设F 为1CD 的中点，若M 为线段AB 上的一点，满足14AM AB =．求证：MF ∥平面1D AE ；（2）求点B 到平面1CD E 的距离．2．（2021·四川雅安·模拟预测（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AA AB BC ===，点F 是1BB 的中点，P 在1CC 上，且3PC =.若过FP 的平面α交1AA 于E ，交1DD 于Q . （1）求证：EF ∥平面PBQ ；（2）求多面体PQEFB 的体积.3．（2021·四川达州·一模（文））如图，AB AC =，AB AC ⊥，D 为BC 中点，1B B ⊥平面ABC ，111B B C C A A ∥∥，111A A C C ==，12BC BB ==.（1）证明：1BC ⊥平面1ADB ；（2）求点C 到平面1ADB 的距离.4．（2021·四川宜宾·模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面,90ABC ABC ∠=，1130,2,BAC A A A C AC E ∠====是AC 的中点．（1）证明：1B E BC ⊥；（2）求三棱锥11B A BC -的体积．5．（2021·四川·绵阳中学模拟预测）如图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，（1）证明：//MN 平面P AD ；（2）若PA AD =，证明：MN ⊥平面PCD .6．（2020·四川成都·一模（文））如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝4，点E 、F 、M 、N 分别为棱CC 1、BC 、BB 1、AA 1的中点．（1）求三棱锥E ﹣AFM 的体积；（2）求证：平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．7．（2021·四川成都·模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，//DC AB ，BC AB ⊥，E 为棱AP 的中点，4AB =，2PA PD DC BC ====．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，试求三棱锥P BDE -的体积．8．（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △和BCD △都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，23BC =．（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．9．（2021·四川省绵阳南山中学模拟预测（文））如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD DC ⊥，22AD DC BC ==，（1）求证：点D 不在平面CEF 内：（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，且2AD =，求点D 到平面CEF 的距离．10．（2021·四川德阳·二模（文））已知在空间儿何体ABCDE 中，ABC 、BCD △、ECD 都是边长为2的正三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .（1）A 、E 、B 、D 四点是否共面？说明理由；（2）求点C 到平面ABE 的距离.11．（2021·四川船山·三模（文））如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为梯形，点O 为AB 上一点，且1122AD DC BC CO CC AB ======，//AB CD ，()12CO CA CB =+．（1）求证：1//C O 平面1ADA ；（2）求点C 到平面1DBC 的距离．12．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD 、直角三角形ABE 和直角三角形CDF 组成的平面图形，其中AB ＝AE ＝DF ＝2，将图形沿AB 、CD 折起使得E 、F 重合于P ，如图2．（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）判断图2中平面P AB 和平面PCD 的交线l 与平面ABCD 的位置关系，并说明理由．13．（2021·四川宜宾·三模（文））已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC . （1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若2AE ED =，在线段PB 上是否存在一点F ，使得//AF 平面PEC ，请说明理由.14．（2021·四川·仁寿一中二模（文））如图所示，ABC 是等边三角形，//DE AC ，//DF BC ，面ACDE ⊥面ABC ，22AC CD AD DE DF =====．（1）求证：EF BC ⊥；（2）求四面体FABC 的体积．15．（2021·四川·石室中学一模（文））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点.（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）求三棱锥11D A FC -的体积.16．（2021·四川攀枝花·三模（文））如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，且14PA PA =，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，6AB =，8PA =．（1）求证：//DE BC ；（2）求几何体111ABC A B C -的体积．17．（2021·四川·仁寿一中模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1,90,2,3ABC ACB CA CB AA ∠====，D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥.（1）求三棱锥1E ADC -的体积；（2）在棱BC 上是否存在点F ，满足EF //平面1ADC ，若存在，求出BF 的值.18．（2021·四川·宜宾市翠屏区天立学校模拟预测（文））如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，1,12PD ABCD PD AD AB ⊥===平面，E 为CD 中点．（1）线段PC 上是否存在一点F ，使得BE AF ⊥；（2）在（1）的条件下，求点E 到平面ADF 的距离．19．（2021·四川凉山·三模（文））如图，在圆锥PO 中，AC 为O 的直径，点B 在AC 上，//OD BC ，π6CAB ∠=. （1）证明：AB ⊥平面POD ；（2）若直线PA 与底面所成角的大小为π4，且底面圆的面积为4π，求三棱锥C POD –的体积.20．（2021·四川眉山·三模（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AC AA ==，2BC =，60ACB ∠=，D ，E 分别是11A C ，BC 的中点.（1）判断直线1C E 与平面ABD 的位置关系，并证明你的结论；（2）设F 是BD 的中点，求四棱锥11F B C EB -的体积.21．（2021·四川德阳·三模（文））如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，EC ⊥平面ABCD ､FA ⊥平面ABCD ，G 为BF 的中点.若//EG 平面ABCD .（1）求证：EG ⊥平面ABF ；（2）若2AF AB ==，求多面体ABCDEF 的体积.22．（2021·四川内江·三模（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =. （1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）设点G 在PB 上，且23PG PB =，证明：//AG 平面PCD ；（3）在（2）的条件下，判断直线AG 是否在平面AEF 内，并说明理由.23．（2021·四川攀枝花·二模（文））如图，ABC 的外接圆O 的直径2,AB CE =垂直于圆O 所在的平面，//,2,1BD CE CE BC BD ===.（1）求证：平面AEC ⊥平面BCED . （2）若13DM DE =，求三棱锥D ACM -的体积.24．（2021·四川攀枝花·一模（文））如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为3的等腰三角形，E ､F 分别为AB ､PC 的中点. （1）证明：//BF 平面PDE ；（2）求三棱锥E BDF -的体积.25．（2021·四川达州·二模（文））如图的三棱台111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，1111A B B C ⊥，111222AA AB A B BC ====．（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11ABB A ；（2）若E ，F 分别为AB ，1CC 的中点，求三棱锥1A AEF -的体积．26．（2021·四川成都·三模（文））如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，EB ED =，//EF AC .（1）求证：平面⊥BDF 平面ACFE ；（2）若2EB =，EA EC =，14EF AC =，求多面体ABCDEF 的体积.27．（2021·四川资阳·二模（文））在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A ，D ，E ，F 四点共面，AF ∥面CDE ．（1）求证：BF ∥面CDE ；（2）若AD =DE =3，AF =1，13EF =，求证：AD ⊥平面CDE ．28．（2021·四川成都·三模（文））如图，三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，其中2AB AC ==，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，F ，M ，N 分别是AB ，AC ，PC ，BC 的中点．（1）证明：平面EMN ⊥平面PAB ；（2）当PF 与平面ABC 所成的角为3π时，求四棱锥A PMNB -的体积．29．（2021·四川泸州·三模（文））在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为BC ，1AB 的中点．（1）证明：//MN 平面11ACC A ；（2）若15AB AC AA ===，2BC =，且1A 在底面ABC 上的正投影恰为点M ，求点A 到平面11BCC B 的距离．30．（2021·四川绵阳·三模（文））如图，四棱锥 B ACDE -中，//AE CD ，AC CD ⊥，222CD CB AE AC ====，平面BCD ⊥平面ACDE ，点F 为BD 的中点.（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若EF CD ⊥，求四棱锥B ACDE -的体积.31．（2021·四川·树德中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点. （1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.32．（2021·四川成都·二模（文））如图①，在等腰三角形PBC 中，35PB PC ==，6BC =，D ，E 满足2BD DP =，2CE EP =．将PDE △沿直线DE 折起到ADE 的位置，连接AB ，AC ，得到如图②所示的四棱锥A BCED -，点F 满足2BF FA =．（1）证明：//DF 平面ACE ；（2）当29AB =时，求三棱锥A DEF -的体积．33．（2021·四川·一模（文））已知四边形,2,60,30ABCD AB AD BAD BCD ︒︒==∠=∠=.现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面,BCD AD CD ⊥.点P 在线段AD 上，平面BPC 将三棱锥A BCD -分成两部分，:1:2A BPC A BCD V V --=.（1）求证：BP ⊥平面ACD ；（2）若M 为CD 的中点，求M 到平面BPC 的距离.34．（2021·四川遂宁·二模（文））在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A ，D ，E ，F 四点共面，//AF 面CDE .（1）求证：//BF 面CDE ；（2）若3AD DE ==，1AF =，13EF =，求证：AD ⊥平面CDE .35．（2021·四川省绵阳南山中学模拟预测（文））如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，上、下底面均为菱形，点G ，H ，M 分别为AC ，11B C ，BC 的中点. （1）求证：//GH 平面11CDD C ；（2）若3ABC π∠=，求证：11B C ⊥平面1A AM .36．（2021·四川泸州·二模（文））如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E 、F 分别为1A A 、AB 的中点．（1）求证：直线1D E 、CF 、DA 交于一点；（2）求多面体1BCD EF 的体积．37．（2021·四川·成都七中二模（文））在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 与底面成的角是45︒，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求三棱锥M PBC -的体积.38．（2020·四川眉山·一模（文））如图，在四棱锥M ABCD -中，,AB AD AM ⊥⊥平面,ABCD AB AM AD ==．（1）证明：BDM 是正三角形﹔（2）若//,22CD AB AB CD ==，三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 在同一球面上，求该球的表面积．39．（2020·四川泸州·一模（文））如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点(不含,A B )，在平面SGD 内过点G 作GP //平面SBC 交SD 于点P . （1）写出作点P ､GP 的步骤(不要求证明)；（2）若3BAD π∠=，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中点，求三棱锥S PBC -的体积.40．（2021·云南·昆明一中模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，点D 在以AP 为直径的圆上，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA =，7PB =，平面PBC 平面PAD m =. （1）证明：直线m ⊥平面PDC ；（2）当三棱锥P ABD -体积最大时，求直线m 与直线PB 所成角的正弦值.41．（2021·云南·昆明一中模拟预测（文））如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且AB =AD =12CD = 1，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD . （1）证明:平面BCE ⊥平面BDE ; （2）求六面体ABCDEF 的体积.42．（2021·云南师大附中模拟预测（文））如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AB PD ==. （1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（2）求棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值.43．（2021·贵州遵义·模拟（文））如图1，等腰梯形ABCD ，,,33,1BC AD CE AD AD BC CE ⊥===//．CDE △沿CE 折起得到四棱锥F ABCE -（如图2），G 是AF 的中点．（1）求证//BG 平面ECE ；（2）当平面FCE ⊥平面ABCE 时，求三棱锥F BEG -的体积．44．（2021·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BD ⊥平面1AB C ，其垂足D 落在直线1B C 上．（1）求证：1AC B C ⊥；（2）若P 是线段AB 上一点，3BD =，2BC AC ==，三棱锥1B PAC -的体积为33，求APPB的值．45．（2021·四川·石室中学模拟预测（文））如图已知PCD 为直角三角形，PD CD ⊥，A ，B 分别为PD ，PC 的中点，22PD DC ==，将PAB △沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD '-，E 为P D '的中点. （1）证明：平面P CD '⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA 的方向相同时，P ABCD '-的正视图的面积为34，求四棱锥P ABCD '-的体积.2022年高考立体几何·模拟试题（文）参考答案1．（1）证明见解析；（2）263d =（1）证明：如图所示：取1D E 的中点N ，连AN 、NF ，则12NF EC =，//NF EC ， ∵122EC AB ==，当114AM AB ==时，12AM EC =，//AM EC ，是NF AM =且//NF AM ，所以AMFN 是平行四边形，则//AN MF ．又MF ⊄平面1D AE ，AN ⊂平面1D AE ，所以//MF 平面1D AE ；（2）如图所示：取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ．易知1EF D C ⊥，OQ CB ⊥．因为11D A D E =，AO EO =，所以1D O AE ⊥，平面1D AE平面AECB AE =，平面1D AE ⊥平面AECB ，1D O ⊂平面1AD E ，所以1D O ⊥平面AECB ．设点B 到平面1CD E 的距离为d ．在1Rt D OC △中，223110OC =+=，12D O =，所以2211||||23D C OC D O =+=．在1D EC △中，因为12EC D E ==，123D C =，所以2211||(||)12EF EC D C =-=．由11D BCE B CED V V --=，得1111113232CB CE D O CD EF d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．即11112222313232d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得263d =． 2．（1）证明见详解；（2）83（1）因为几何体为长方体，所以平面1AB //平面1DC ，α交长方体于,EF PQ ，所以//EF PQ ，又EF ⊄平面PBQ ，PQ ⊂平面PBQ ，所以EF ∥平面PBQ ；（2）连接FQ ，由面面平行性质，同理可证//EQ FP ，四边形EFPQ 为平行四边形，所以1AE =，且Q 为1DD 中点，连接FQ ，将多面体PQEFB 分割成两个四棱锥Q EFB -和Q BFP -，由几何关系知，114323Q EFB V BF AB AD -=⋅⋅⋅⋅=，114323Q BFP V BF BC AB -=⋅⋅⋅⋅=，所以多面体83PQEFB V =.3．（1）证明见解析；（2）255（1）证明：∵1B B ⊥平面ABC ，1B B ⊂平面11B BCC ，∴平面11B BCC ⊥平面ABC ，∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11B BCC .∵1BC ⊂平面11B BCC ，∴1AD BC ⊥. ∵11B B C C ∥，1B B ⊥平面ABC ，∴1C C ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC ，∴1C C BC ⊥，1B BBC ，∴1BCC 与1B BD 都为直角三角形，又∵1BC BB =，1BD CC =，∴11BCC B BD △△≌，11B DB BC C ∠=∠，112CBC BC C π∠+∠=.∴112CBC B DB π∠+∠=，11BC B D ⊥.∵AD ⊂平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，1AD DB D ⋂=，∴1BC ⊥平面1ADB ，∵1AB ⊂平面1ADB ，11AB BC ⊥.（2）解：设点C 到平面1ADB 距离为h ，即为三棱锥1C ADB -的高，∵11C ADB B ACD V V --=，∴111133ADB ACD S h S BB =△△，∵AD ⊥平面11BCC B ，1DB ⊂平面11BCC B ，∴1AD DB ⊥，∴1ADB △为直角三角形，111522ADB S AD DB =⋅=. ∵ADC 为直角三角形，11122ADB S AD DC =⋅=， ∴255h =，即点C 到平面1ADB 的距离为255. 4．（1）证明见解析；（2）12.（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，连接1A E ，AB BC ⊥，11//A B AB ，11BC A B ∴⊥，E 是等边1△ACA 的边AC 的中点，1A E ∴⊥AC ，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC AC =，所以1A E ⊥平面ABC ，1A E ∴⊥BC ，又1111A EA B A =∴BC ⊥平面11EB A ，∴BC ⊥1B E .（2）由（1）知1A E ⊥平面ABC ，1111111113B A BC A BCB A BCB B ABC A ABC ABCV V V V V SA E -----∴=====⋅111133322=⨯⨯⨯⨯=.5．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】证明：（1）取PD 的中点为E ，连接NE ，因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以//AM CD ，//NE CD ，且12AM NE CD ==，∴AM 与NE 平行且相等，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，//MN 平面P AD ；（2）PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又底面ABCD 为矩形，AD CD ⊥，AD 与CD 是平面P AD 内两条相交直线 ∴CD ⊥平面P AD ，AE ⊂平面P AD ，所以CD AE ⊥∵PA AD =，所以AE PD ⊥，CD 和PD 是平面PCD 内两条相交直线， ∴AE ⊥平面PCD ，∵//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD . 6．（1）43；（2）证明见解析. 【详解】解：（Ⅰ）因为AB ⊥侧面BCC 1B 1，所以AB ⊥平面EFM ，又M 、E 分别为BB 1、CC 1的中点，所以四边形MBCE 为正方形，所以△MEF 的面积为S △MEF ＝12ME •MB ＝12×2×2＝2．所以三棱锥A ﹣EFM 的体积为V 三棱锥A ﹣EFM ＝13S △MEF •AB ＝13×2×2＝43 . （Ⅱ）证明：长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，因为E 、M 分别为棱CC 1、BB 1的中点，且BB 1＝4，B 1C 1＝2，所以四边形MEC 1B 1是正方形，所以C 1M ⊥B 1E ，又N 、M 分别为棱AA 1、BB 1的中点，所以NM ⊥平面BCC 1B 1，又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，所以NM ⊥B 1E ，又因为NM ∩C 1M ＝M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，所以B 1E ⊥平面C 1MN ，又B 1E ⊂平面B 1D 1E ，所以平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ． 7．（1）证明见解析；（2）223. 【详解】（1）如图，取PB 中点H ，连接EH ，HC ．在PAB △中，E 为AP 的中点，H 为PB 的中点， EH ∴为PAB △的中位线，//EH AB ∴，12EH AB =又//DC AB ，12DC AB =，//EH DC ∴且EH DC =． ∴四边形CDEH 为平行四边形．//DE CH ∴．又DE ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ．（2）//DC AB ，BC AB ⊥，BC DC ∴⊥在Rt BCD 中，2DC BC ==，2222BD DC BC ∴=+= 在直角梯形ABCD 中，易得22AD =，在ABD △中，22AD =，4AB =，222AD BD AB ∴+=，BD AD ∴⊥．平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD AD ⊥，BD ⊂平面ABCD ．BD ∴⊥平面PAD 在PAD △中，2PA PD ==，22AD =，222PA PD AD ∴+=，PA PD ∴⊥，11212PDE S ∴=⨯⨯=△，1122122333P BDE B PDE PDE V V S BD --∴==⋅=⨯⨯=△．（1）证明：由等边三角形BCD 可得60CDB ∠=︒，在ABD △中，2AB =，4=AD ，23BD =，222AB BD AD +=，可得AB BD ⊥，30ADB ∠=︒，所以306090CDA ∠=︒+︒=︒，即CD AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，可得CD ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，如图所示：由等边三角形PAD ，可得PO AD ⊥，224223PO =-=. 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，可得PO ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ABCD -的体积为 11113=23223+2323=1033222ABCD PO S ⎛⎫⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭四边形． 9．（1）证明见解析；（2）105．【详解】（1）证明：（反证法）假设点D 在平面CEF 内．设C ，D ，E ，F 四点确定的平面为α．因为四边形ABEF 为正方形，所以//EF AB ．因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合，所以EF ⊄平面ABCD ，又AB 平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ．因为EF ⊂平面α，平面α平面ABCD CD =，所以//EF CD ；所以//AB CD ．AB ，CD 为直角梯形ABCD 的两腰，不可能平行，故假设不成立．点D 不在平面CEF 内．（2）取AD 中点H ，连接HF ，HC ，由2AD BC =，所以AH BC =，且//AH BC ，所以AHBC 为平行四边形，∴//HC AB 且HC AB = ∵//AB EF ，且AB EF =，∴C ，H ，E ，F 共面，111122CHDS=⨯⨯=，2FA =，3FH =，2CH =，227CF FA CA =+= 所以2221cos 210FH CH CF CHF FH CH +-∠==-⋅，∴15sin 22CHF S FH CH CHF ∆=⋅∠=．由D CHF F CHD V V --=得1133CHF CHD hS FA S ∆∆⨯=⋅，∴105h = 故D 到平面CEF 的距离是105． 10．（1）A 、E 、B 、D 四点共面，理由见解析；（2）2155. 【详解】（1）取CD 、BC 的中点M 、N ，连接EM 、AN 、MN ，则//MN BD ，223EM AN AC CN ==-=.ECD 为等边三角形，M 为CD 的中点，则EM CD ⊥，因为平面ECD ⊥平面BCD ，平面ECD 平面BCD CD =，EM ⊂平面ECD ，故EM ⊥平面BCD ，同理可证AN ⊥平面BCD ，//EM AN ∴，又EM AN =，故四边形AEMN 为平行四边形，所以，A 、E 、B 、D 四点共面；（2）由（1）知A 、E 、B 、D 四点共面，则点C 到平面ABE 的距离等于C 到平面BDE 的距离.因为三棱锥E BCD -的体积为11141332E BCD BCD V S EM -=⨯⨯=⨯⨯=△.设点C 到平面BDE 的距离为h ，故三棱锥C BDE -的体积113C BDE BDE V S h -=⨯⨯=△，所以，3BDE h S =△，在BDE 中，2BD DE ==，BE 1122BDES BE ===△所以，3BDEh S =△C 到平面ABE .11．（1）证明见解析；（2．【详解】（1）因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以11//AA CC ，又已知()12CO CA CB =+，所以点O 为AB 的中点，又12CD AB =，且//AB CD ，所以CD OA =且//CD OA ，所以四边形AOCD 为平行四边形，所以AD //OC ，又在平面1A AD 中，1AA AD A =，在平面1C OC 中，1CC CO C =，由面面平行的判定定理得平面1//A AD 平面1C OC ，又1C O ⊂平面1C OC ，所以1//C O 平面1ADA ；（2）由（1）知点O 为AB 的中点，又在梯形ABCD 中，1122AD DC BC CO CC AB ======，所以BOC 为等边三角形，所以3CBO π∠=，又AB //CD ，所以23DCB π∠=，所以DCB 的面积1222sin 23DCBSπ=⨯⨯⨯=1111233C DCB V CC -===，又在1DBC 中，11DC BC ==又在DBC △，由余弦定理得DB ==，所以1DBC 的面积为112DBC S=⨯设点C 到平面1DBC 的距离为h ，由等体积法有11C DBC C DBC V V --=，则113DBC S h ⨯⨯=13h =h =12．（1）433；（2）l ∥平面ABCD ；答案见解析．【详解】解：（1）由图1可知，AB ⊥AE ，CD ⊥DF ，则图2中，AB ⊥P A ，AB ⊥PD ， ∵P A ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面P AD ，而AB ⊂平面ABCD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD ，又PAD △是边长为2的正三角形，则P 到AD 的距离3即为四棱锥P ﹣ABCD 的高，∴14322333P ABCD V -=⨯⨯⨯=；（2）平面P AB 和平面PCD 的交线l ∥平面ABCD ．理由如下：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ， AB ⊂平面P AB ，平面P AB ∩平面PCD ＝l ，∴AB ∥l ，而AB ⊂平面ABCD ，l ⊄平面ABCD ，∴l ∥平面ABCD ． 13．（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【详解】（1）∵AD ⊥面PEC ，PC ⊂面PEC ，∴AD PC ⊥， ∵四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，∴//AD BC ，∴PC BC ⊥，又面PBC ⊥面ABCD 且面PBC 面ABCD BC =，PC ⊂面PBC ，∴PC ⊥平面ABCD . （2）存在，F 为PB 上靠近B 的三等分点，取PB 上靠近B 的三等分点为F ，取PC 上靠近C 的三等分点为G ，连接EG 、FG 、AF ； ∵F 、G 分别为PB 、PC 上的三等分点，∴//FG BC 且23FG BC =， ∵2AE ED =且四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，∴//AE FG 且AE FG =， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF //EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴//AF 平面PEC . 14．（1）证明见解析；（2）1．【详解】（1）证明：//DE AC ，//DF BC ，又ABC 是等边三角形，60EDF ACB ∴∠=∠=︒，又22AC DE BC DF ====，在EDF 中，由余弦定理可得，2221212cos603EF =+-⨯⨯⨯︒=，222EF DF DE ∴+=，故EF DF ⊥，又//DF BC ，EF BC ∴⊥；（2）解：取AC 的中点O ，连接DO ，由AD DC =，得DO AC ⊥，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE 平面ABC AC =，DO ∴⊥平面ABC ，且求得22213DO =-=．由//DE AC ，DF ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ，可得//DF 平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积1132231322V =⨯⨯⨯⨯⨯=．15．（1）证明见解析；（2）2. 【详解】（1）证明：因为,E F 分别是1,B B BC 的中点，所以1//EF B C ，又因为11//B C A D ，所以1//EF A D 且1EF A D ≠，1A E ∴，DF 共面，∴设1A EDF P=，则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B B ，P ∴∈面11AA B B ，同理可得P ∴∈面ABCD ，∴点P 在平面ABCD 与平面11AA B B 的公共直线AB 上，即1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）连接AC 交DF 于点P ，因为CF//AD ，所以由相似比可知::2:1DP PF AD FC ==，所以1111111111111322D A C D A C F A C D A C D A F P P P P P C D A C V V V V V V ------=+=+=，连接DB 交AC 于点Q ，因为1AA ⊥平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ，所以1AA QD ⊥，AC QD ⊥，1AC AA A =∩，所以DQ ⊥平面11AA CC ，2DQ =，111222222A PC S =⨯⨯=，所以11111133131222222323D A C D A C A PC F P V V SDQ --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.16．（1）证明见解析；（2）4532．【详解】证明：（1）∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∴11//B C BC ， ∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∴11//B C DE ，则//DE BC ；（2）∵△ABC 为正三角形，且边长为6，PA ⊥面ABC ，8PA =， ∴113668243322P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=，又14PA PA =，∴12PA =，1B 到PA 的距离为132AB =，则1112332PA B S =⨯⨯=△， 1C 到平面11PA B 的距离为C 到平面PAB 距离的一半，为332．∴111133333322C PA B V -=⨯⨯=，则1111111113345324322ABC A B C P ABC P A B C P ABC C PA B V V V V V -----=-=-=-=． 17．（1）证明见解析；（2）存在，223BF =. 【详解】（1）由题意知：11112C A CA C B CB ====，D 是棱AB 的中点，即111C D A B ⊥，由1AA ⊥面ABC 且面//ABC 面111A B C ，即1AA ⊥面111A B C ，又1AA ⊂面11ABB A ，则面11ABB A ⊥面111A B C ，而面11ABB A 面11111A B C A B =，∴1C D ⊥面11ABB A ，即1C D ⊥面ADE ，又,AD DE ⊂面ADE ，∴1C D DE ⊥且1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥且 111C D EC C ⋂=，AD ∴⊥面1DEC ，DE ⊂面1DEC ，AD DE ∴⊥，而1C D DE ⊥，1AD C D D =，DE ∴⊥面1ADC ，又190,3ACB AA ∠==，易得12323BE EB ==， ∴11,2C D AD ==，233DE =， 1111123232133239E ADC ADC V SDE -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. （2）由（1）知：12BE EB =，在AB 上取点G ，使13BG BA =，连接EG ，∴//EG 平面1ADC ，在BC 上取点F ，使23BF BC =，连EF 、GF ，∴//GF 平面1ADC ，而EG GF G =，∴面//EGF 面1ADC ，EF ⊂面EGF ，即//EF 面1ADC ，综上，此时有22.3BF =18．（1）存在；（2）55．【详解】（1）PC 上存在一点F ，此点是PC 的中点，取PC 中点F ，连接EF 、AE 、DF 、AF ，如图， ∵PD ⊥平面ABCD ，PD //EF ．∴EF ⊥平面ABCD ，又BE ⊂平面ABCD ，∴EF BE ⊥．而ABCD 为矩形，1AD =，2AB =，故2BE AE ==， ∴在△ABE 中，222AE BE AB +=，即AE BE ⊥．又AE EF E ⋂=，则BE ⊥平面AEF ，又AF ⊂面AEF ，∴BE AF ⊥ （2）E ADF F ADE V V --=，因为11111332212F ADE ADE V EF S -=⋅=⨯⨯=△211511+()=224ADFS=⨯⨯,设点E 到平面AEF 的距离为h ，所以11312ADF V hS ==△，解得h =55，所以h =55 19．（1）证明见解析；（2）33. 【详解】（1）∵在圆锥PO 中，PO ⊥平面ABC ，∴PO AB ⊥，又AC 为O 的直径且点B 在AC 上，∴AB BC ⊥，∵//OD BC ，∴AB OD ⊥而PO OD O =，∴AB ⊥平面POD . （2）∵底面圆的面积为4π，∴底面圆的半径为2，即4AC =，设4AC =，因为直线PA 与底面所成角的大小为π4∴2PO AO ==，又π6CAB ∠=，∴2BC =，23AB =， ∴1112π312sin 233233C POD P COD OCD V V S PO --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以三棱锥C POD -的体积为33. 20．（1）1//C E 平面ABD ，证明见解析；（2）3. 【详解】（1）1//C E 平面ABD ，证明如下：取AB 中点G ，连接,EG DG ， ,E G 分别为,BC AB 中点，1//,2EG AC EG AC ∴=；由三棱柱特点知：四边形11ACC A 为平行四边形，又D 为11A C 中点，111//,2C D AC C D AC ∴=，11//,EG C D EG C D ∴=， ∴四边形1EGDC 为平行四边形，1//C E DG ∴，又1C E ⊄平面ABD ，DG ⊂平面ABD ，1//C E ∴平面ABD . （2）取11B C 中点H ，连接DH ，114A C AC ==，112B C BC ==，11160A C B ACB ∠=∠=，在111A B C △中，由余弦定理得：22211111111111112cos 12A B A C B C A C B C A C B =+-⋅∠=， 222111111A B B C A C ∴+=，1111A B B C ∴⊥，1AA ⊥平面ABC ，平面//ABC 平面111A B C ，1AA ∴⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，111A B AA ∴⊥，又11//BB AA ，111A B BB ∴⊥，111,BB B C ⊂平面11BCC B ，1111BB B C B =，11A B ∴⊥平面11BCC B ，,D H 分别为1111,AC B C 中点，11111,//2DH A B DH A B ∴=，DH ∴⊥平面11BCC B ，又F 为BD 中点，F ∴到平面11BCC B 的距离11113242h DH A B ===，又四边形11BEC B 面积()112462S =⨯+⨯=，1111363332F B C EB V Sh -∴==⨯⨯=.21．（1）证明见解析；（2）23. 【详解】（1）证明：取AB 的中点M ，连接GM ､MC ，又G 为BF 的中点，∴//GM FA . ∵EC ⊥平面ABCD ，FA ⊥平面ABCD ，∴//EC FA ，∴//EC GM .∵平面CEGM 平面ABCD CM =，//EG 平面ABCD ，∴//EG CM .连接AC ，在正三角形ABC 中，CM AB ⊥，又FA CM ⊥，∴EG AB ⊥，EG FA ⊥ 又∵AB FA A ⋂=，∴EG ⊥平面ABF . （2）解：由（1）知//EC GM ，//CE CM ∴四边形CEGM 为平行四边形，∴112CE GM AF ===. 依题意可得四棱锥B ACEF -与D ACEF -的体积相等，则多面体ABCDEF 的体积B ACEF D ACEF V V V --=+13ACEF S BD =⋅四边形()11122232332=⨯⨯+⨯⨯=.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）直线AG 在平面AEF 内，理由见解析. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . （2）取FC 的中点H ，则23PH PC =，因为23PG PB =，所以PH PG PC PB=，则//GH BC 且223GH BC ==，又//AD BC ，且2AD =，所以//AD GH ，且2==AD GH ，所以四边形ADHG 为平行四边形，从而//AG DH ，又AG ⊄平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，所以//AG 平面PCD . （3）直线AG 在平面AEF 内.理由如下：因为F ，H 分别为线段PC 的两个三等分点，所以F 为PH 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EF DH ，由（2）可知，//DH AG ，所以//EF AG ，因为EF ⊂平面AEF ，A ∈平面AEF ，所以G ∈平面AEF ，从而直线AG ⊂平面AEF . 23．（1）证明见解析；（2）39. 【详解】（Ⅰ）证明：∵ABC 的外接圆O 的直径AB ，∴AC BC ⊥. 又因为EC ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以EC BC ⊥ 又∵ACEC C =∴BC ⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）∵13DM DE =,∴1122D ACM E ACM M ACE V V V ---==∵平面AEC ⊥平面BCDE ，过M 作MN 垂直于CE ，交CE 于N ，则MN BC ，由（1）知BC ⊥平面ACE ，故MN ⊥平面ACE ，则MN 为锥体的高，且2233MN BC ==，∴1122333232399M ACE D ACM V V --=⋅⋅⋅=⇒=.24．（1）证明见解析；（2）16. 【详解】证明：（1）取CD 的中点为H ，连BH HF 、，ABCD 为正方形，E 为AB 的中点，//BE DH ∴且BE DH =，四边形BEDH 是平行四边形，//BH DE ∴，BH ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BH 平面PDE ，F 为PC 的中点，//FH PD ∴，FH ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ，所以//FH 平面PDE ，且=BH HF H ，∴平面//BHF 平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，BF ⊂平面BHF ， //BF ∴平面PDE .（2）ABCD 为正方形，且PA PB PC PD ===，P ABCD ∴-为正四棱锥，P ∴在平面ABCD 的射影为AC 的中点O ， F 为PC 的中点，14BDEABCD SS =正方形，18E BDF F BDE P ABCD V V V ---∴==， 3,2,1PA OA OP ==∴=， 2142133P ABCD V -∴=⋅⋅=，16E BDF V -∴=.25．（1）证明见解析；（2）14. 【详解】解：（1）∵三棱台111ABC A B C -，1111A B B C ⊥，∴AB BC ⊥．∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥． ∵1AA AB A =且都在平面11ABB A 内，∴BC ⊥平面11ABB A ．又∵BC 在平面11BCC B 内，∴平面11BCC B ⊥平面11ABB A ．（2）如图，过点E 作EG AC ⊥，EG AC G ⋂=．∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ．又平面11AAC C 平面ABC AC =∴EG ⊥平面11AAC C ，∴EG 为三棱锥1E AA F -的高，且11113A AEF E AA F AA FV V SGE --==⋅．∵1354AA FS=，55GE =，∴1135513454A AEF V -=⨯⨯=． 26．（1）证明见解析；（2）52. 【详解】（1）如图，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且O 为BD ，AC 的中点.EB ED =，BD EO ∴⊥.AC ，EO ⊂平面ACFE ，AC EO O =，BD ∴⊥平面ACFE .又BD ⊂平面BDF ，∴平面⊥BDF 平面ACFE .（2）四边形ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，则2BD =.1OB OD ∴==.在Rt EOB 中，1BO =，2EB =，则3EO =.又2323AC AO AB ===，14EF AC =，32EF ∴=. //EF AC ，∴四边形ACFE 是梯形.O 为AC 的中点，EA EC =，EO AC ∴⊥.∴梯形ACFE 的面积1315233224S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.又由（1）知BD ⊥平面ACFE . 2ABCDEF B ACFE D ACFE B ACFE V V V V ---∴=+=111552213342S OB =⨯⋅=⨯⨯⨯=.∴多面体ABCDEF 的体积为52. 27．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】（1）因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，又因为AB ⊄面CDE ，CD ⊂面CDE ，所以AB ∥面CDE ，因为AF ∥面CDE ，AF ∩AB =A ，AF ，AB ⊂平面ABF ，所以面ABF ∥面CDE ，又BF ⊂面ABF ，所以BF ∥面CDE .（2）在平面ADEF 中，作FG ∥AD 交DE 于点G ，因为AF ∥面CDE ，AF ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面CDE =DE ，所以AF ∥DE ，又因为FG ∥AD ，所以四边形ADGF 为平行四边形，所以DG =AF =1，FG =AD =3，EG =DE -DG =2，因为13EF =，所以EF 2=FG 2+EG 2，所以∠FGE =90°，所以FG ⊥DE ，所以AD ⊥DE ，又由AD ⊥DC ，DE ∩DC =D ，DE ，DC ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE . 28．（1）证明见解析；（2）62．【详解】解：（1）证明：由题意可得，AB AC ⊥，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故EN ∥AC ，故EN AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB 故EN ⊥平面PAB ，EN 在平面EMN 内，故平面EMN ⊥平面PAB ；（2）连结PE ，由PA PB =，点E 是AB 的中点，可知PE AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABC ，可知PE ⊥平面ABC ，连结EF ，可知PFE ∠就是直线PF 与平面ABC 所成的角，于是tan 3PEPFE EF=∠=，22336PE EF AE AF ==⋅+= 因为PA PB =，E 是AB 中点，故PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，故PE ⊥平面ABC ，即点P 到平面ABC 的距离为6PE =．点M 是PC 中点，故点M 到平面ABC 的距离为62d =， 1133A PMNB P ABC M ANC ABC ANC V V V PE S d S ---∆∆=-=⋅-⋅111616222132322=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯2666362=-=即四棱锥A PMNB -的体积为62． 29．（1）证明见解析；（2）255. 【详解】解：（1）如图，连接1NA ，1A C ，因为N 为1AB 的中点，且四边形11ABB A 是平行四边形，所以N 为1AB 的中点，又M 为BC 的中点，所以1//MN AC ，又因为MN ⊄平面11ACC A ，且1CA ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ；（2）如图连接AM ，1A M 和1B C ．在ABC 中，222AM AB BM =-=．在1AMA 中，190AMA ∠=︒，2AM =，15AA =，故11A M =．所以三棱锥1B ABC -的体积为111233B ABC ABC V S A M -=⨯⨯=△．因为1A M ⊥平面ABC ，故1A M BC ⊥．又因为AB AC =，且M 为BC 中点，所以BC AM ⊥，所以BC ⊥平面1A MA ，故1BC AA ⊥．因为11//AA BB ，故1BC BB ⊥．从而11152BB C S BB BC =⨯⨯=△．假设A 到平面11BCC B 的距离为h ，因为三棱锥1A BB C -的体积与三棱锥1B ABC -的体积相同，故11233BB C S h ⨯⨯=△，解得255h =．即A 到平面11BCC B 的距离为255．30．（1）证明见解析；（2）1. 【详解】（1）证明：取BC 的中点G ，连接GF ，GA .点F 为BD 的中点，//GF CD ∴，且12GF CD =. 又//CD AE ，2CD AE =，//GF AE ∴，且GF AE =，∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC . （2）EF CD ⊥，CD AG ∴⊥，又AC CD ⊥，,AC AG A ⋂=CD 平面ABC ，CD BC ∴⊥.又平面BCD ⊥平面ACDE ，平面BCD 平面ACDE CD =，BC ∴⊥平面ACDE ，BC ∴为四棱锥B ACDE -的高，222CD CB AE AC ====，()()111112213326B ACDE ACDE V S BC AE CD BC -∴=⋅=⨯+⨯=⨯+⨯=梯形.31．（1）证明见解析；（2）36. 【详解】（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA A C AC ===，O 是AC 的中点，1A O AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ，又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ，利用三角形中位线定理易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=，故三棱锥1E A BC -的体积为36. 32．（1）证明见解析；（2）89. 【详解】解：（1）如图，在棱AC 上取点G 满足2CG AG =，连接EG ，FG ．∵2BF FA =，∴//FG BC 且13FG BC =．又2BD DP =，2CE EP =，可得//DE BC 且13DE BC =．∴DE FG =且//DE FG ．∴四边形DEGF 为平行四边形．∴//DF EG ．又∵DF ⊂平面ACE ，EG ⊂平面ACE ，∴//DF 平面ACE ．（2）如图，分别取DE ，BC 的中点M ，N ，连接AM ，MN ，BM ，BE ．由题意，知MN BC ⊥，2AM =，4MN =，3BN =．在Rt BMN △中，2222345BM BN MN =+=+=．在ABM 中，∵29AB =，∴222222529AM BM AB +=+==．∴AM BM ⊥．又∵AM DE ⊥，BM DE M ⋂=，BM ，DE ⊂平面BCED ，∴AM ⊥平面BCED ． ∵2BF AF =，∴三棱锥A DEF -的体积1133A DEF F ADEB ADE A BDE V V V V ----===．又∵11182423663A BDE BDE V S AM DE MN AM -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=△，∴三棱锥A DEF -的体积11883339A DEF A BDE V V --==⨯=．33．（1）证明见解析；（2）3913. 【详解】（1）,60AB AD BAD =∠=︒，即ABD △为等边三角形，由:1:2A BPC A BCD V V --=知：P 为AD 中点， BP AD ∴⊥，取BD 中点E ﹐连接,AE 则AE BD ⊥，平面ABD ⊥平面,BCD 平面ABD ⋂平面,BCD BD =AE ∴⊥平面,BCD CD ⊂面,BCD ,AE CD ∴⊥又,CD AD AD AE A ⊥⋂=，CD平面,ABD BP ⊂平面,ABD,CD BP ∴⊥又,CD AD D ⋂=BP ∴⊥平面,ACD()2E 为BD 的中点，△ABD 的边长为2,3AE ∴=.由()1知AE ⊥平面,BCD 又P 为AD 的中点﹒P ∴到平面BCD 的距离为32h =，连接BM .由()1知：,30CD BD BCD ⊥∠=︒， 223,4,13CD CM BC BP ∴====，∴1132322BCMSCM BD =⨯=⨯⨯=，由()1知，BP ⊥平面,ACD CP ⊂面,ACD ,BP CP ∴⊥则1139313222BCPSBP CP =⨯=⨯⨯=设M 到平面BPC 的距离为d ，由M BCP P BCM V V --=，得1133BCP BCMSd S h ⋅=⋅，即3339213392BCMBCPShd S⨯⋅===，M ∴到平面BPC 的距离为3913. 34．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由ABCD 是正方形，可知//AB DC ，而AB ⊄面CDE 所以//AB 面CDE ，又//AF 面CDE ，ABAF A =，所以面//ABF 面CDE ，又BF ⊂面ABF ，所以//BF 面CDE . （2）因为//AF 面CDE ，AF ⊂面ADEF ，面CDE ⋂面ADEF DE =，所以//AF DE .如图，在线段ED 上取点G ，使得2EG =，于是1DG AF ==，而//AF DG ，所以ADGF 是平行四边形.所以3FG AD ==，又13EF =，于是222EF EG FG =+，即FG EG ⊥，则AD ED ⊥.因为ABCD 是正方形，有AD DC ⊥，而DC DE D =，所以AD ⊥平面CDE .35．（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，G 为AC 的中点，//GE AD ∴，且12GE AD =，在直四棱柱中1111B C A D AD ，H 为11B C 中点，1GE C H ∴，故四边形1GEC H 为平行四边形，1//GH C E ∴，GH ⊄平面11CDD C ，1C E ⊂平面11CDD C ，∴//GH 平面11CDD C ；（2）四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，ABC ∴为等边三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥， 1AM AA A ⋂=，BC ∴⊥平面1A AM ，11//B C BC ，∴11B C ⊥平面1A AM .36．（1）证明见解析；（2）2．【详解】（1）连接EF 、1A B ，因为E 、F 分别为1AA 、AB 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =．因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，且底面是正方形，所以11////BC AD A D ，且11BC AD A D ==，即四边形11A BCD 是平行四边形，所以11//A B D C 且11A B D C =，所以1//EF D C ，且1EF D C ≠，所以四边形1EFCD 为梯形，所以1D E 与CF 交于一点，记为P ，因为P ∈平面ABCD ，P ∈平面1ADD A ，又因为平面ABCD 平面11ADD A AD =，所以P ∈直线AD ，即直线1D E 、CF 、DA 交于一点P ；（2）11111111112212423232BCD EF B EFD B CD F D BEF D BCF V V V V V ----=+=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．37．（1）证明见解析；（2）112. 【详解】证明：（1）取PD 的中点Q ，连结QN 、AQ ，∵N 是PC 的中点，∴//QN CD ，且12QN CD =，∵底面四边形ABCD 是边长是１的正方形，又M 是AB 的中点，∴//AM CD ，且∴12AM CD =，∴//QN AM ，且QN AM =，∴四边形AMNQ 是平行四边形，∴//MN AQ ，又AQ ⊂磁面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PAD ∠是侧棱PA 与底面成的角， ∴45PAD ∠=︒，∴PAD △是等腰直角三角形，则1PD AD ==，∴111133412M PBC P MBC MBC V V S PD AB BC --==⋅=⋅⋅⋅=△.38．（1）证明见解析；（2）9π．【详解】解：()1由已知，AM ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的定义，有,AM AB AM AD ⊥⊥，又,AB AM AD AB AD ==⊥，所以222,BD AB AD =+222,BM AB AM =+222DM AD AM =+，则,BD BM DM ==所以BDM 是正三角形．()2由()1的可知，,AB AD AB AM ⊥⊥，根据直线与平面垂直的判定定理，有AB ⊥平面,ADM由线面垂直的定义，有,AB DM ⊥因为//,CD AB 所以，CD DM ⊥，即MCD △为直角三角形．又MAC △是直角三角形，所以，MC 的中点О到顶点,,,M A C D 的距离都等于1322MC =，所以，三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 所在球是以О为球心，32为半径的球，所以，球的长面积为23492ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.39．（1）答案见解析；（2）23. 【详解】解：（1）第一步：在平面ABCD 内作//GH BC 交CD 于点H ；第二步：在平面SCD 内作//HP SC 交SD 于P ；第三步：连接GP ，点P ､GP 即为所求.（2）因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点，而//GH BC ，所以G 是AB 的中点，所以13sin12022GBCSBC GB ︒=⋅⋅=，连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ，因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD △的外心，所以M 与O 重合，因为233OD =，2SD =，所以263SO =，所以1233S GBC GBC V S SO -=⋅⋅=△，因为GP //平面SBC ，所以23S PBC P SBC G SBC S GBC V V V V ----====. 40．（1）证明见解析；（2）357. 【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.因为点D 在以AP 为直径的圆上，所以AD DP ⊥，CD DP D =，,CD DP ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC . 因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .。

2025年高考文科数学一轮全程考评特训-立体几何-单元检测(八)【含答案】

单元检测(八)立体几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设α，β是两个不同的平面，则α⊥β的充要条件是()A．平面α内任意一条直线与平面β垂直B．平面α，β都垂直于同一条直线C．平面α，β都垂直于同一平面D．平面α内存在一条直线与平面β垂直2．经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体(如图)，现将此几何体水平放置，从如图所示的方向观察该几何体(正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线)，则其正视图、侧视图、俯视图的形状分别为()A．梯形、长方形、圆B．三角形、长方形、圆C．梯形、梯形、圆D．三角形、梯形、圆3．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；③若l∥α，且m∥α，则l∥m；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β.则正确的命题个数为()A．4B．3C．2D．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为()A.22B．3C．10D．235．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法中正确的是()A．AC与B1C是相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则()A.直线EF，AO是异面直线B．直线EF，BB1是相交直线C．直线EF与BC1所成的角为30°D．直线EF，BB1所成角的余弦值为337．如图①，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC.如图②，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N.对于图②，下列选项错误的是()A．平面PAB⊥平面PBCB．BC⊥平面PDCC．PD⊥ACD．PB＝2AN8．在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM 翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为()A.12πB．34πC．68πD．126π9．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A ．4πB ．3πC ．3πD ．32π10．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的正弦值为()A ．32B ．105C ．155D ．6311．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，DA ＝DC ＝6，现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是()A.92πB ．823πC ．272πD ．12π12．在三棱锥P －ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2.若AC ＝PB ，则三棱锥P －ABC 体积的最大值为()A ．423B ．1639C ．16327D ．32327二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图，正八面体的棱长为2，则该正八面体的体积为________．14．如图，四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的底面是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，DD 1＝AB ＝2A 1B 1，则直线AD 1与BC 1所成角的余弦值为________．15．三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，在底面ABC 中，AB ＝2，∠C ＝60°，则三棱锥P－ABC的外接球的体积等于________．16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AB，CD所成的角为60°；②△ADC为等边三角形；③AC⊥BD；④AB与平面BCD所成角60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上)三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD.(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF∥平面PDE.18．(本小题满分12分)如图，四边形ABEF为正方形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC，(1)求证：点D不在平面CEF内：(2)若平面ABCD⊥平面ABEF，且AD＝2，求点D到平面CEF的距离．如图，圆台O 1O 的上底面半径为1，下底面半径为2，∠OBB 1＝π3，AA 1，BB 1为圆台的母线，平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ，M 为BB 1的中点，P 为AM 上的任意一点.(1)证明：BB 1⊥OP ；(2)当点P 为线段AM 的中点时，求三棱锥B 1－OPB 的体积．20．(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA ＝π3.(1)证明：B 1C ⊥平面ABC 1；(2)若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求四棱锥B 1－ACC 1M 的体积．图①是矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，M为CD的中点，将△AMD沿AM翻折，得到四棱锥D－ABCM，如图②.(1)若点N为BD的中点，求证：CN∥平面DAM；(2)若AD⊥BM，求点A到平面BCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．(2)若AB＝3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积．参考答案与解析1．答案：D解析：若α⊥β，则平面α内存在直线与平面β不垂直，选项A不正确；若平面α，β都垂直于同一条直线，则平面α与β平行，选项B不正确；若平面α，β都垂直于同一平面，则平面α，β可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面α内存在一条直线与平面β垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知α⊥β，若α⊥β，则由面面垂直的性质定理知，平面α内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面β，故选项D正确．2.答案：B解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆．3．答案：D解析：①根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若m∥l，且m⊥α，则l⊥α正确；故①正确，②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n错误，当m∥n时，也满足前面条件；故②错误，③若l∥α，且m∥α，则l∥m不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β不一定成立，有可能平行．故④错误，故正确的个数为1.4．答案：B解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥P－ABCD如图所示．根据三视图可得，AB＝1，PD＝2，AD＝2.根据立体图形可知，最长边为PB.连接DB，在Rt△ADB中，根据勾股定理得DB2＝AD2＋AB2＝22＋12＝5，在Rt△PDB中，根据勾股定理得PB2＝PD2＋DB2＝4＋5＝9，所以PB＝3.故该几何体的最长棱的长度为3.5．答案：D解析：连接AB 1，则△AB 1C 为等边三角形，则AC 与B 1C 是相交直线且所成角为60°，故A 错误；因为A 1D ∥B 1C ，所以AC 与A 1D 是异面直线且所成角为60°，故B 错误；连接CD 1，因为BC ⊥平面CDD 1C 1，所以BC ⊥CD 1，所以BD 1与BC 所成角为锐角，故C 错误；连接BD ，B 1D 1，因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，且BD ∩DD 1＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，则AC ⊥BD 1，则AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确．6．答案：C解析：易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交，直线EF ，BB 1是异面直线，直线EF ，BB 1所成角的余弦值为63，选项C 正确．7．答案：A解析：由AB ∥PC ，AB ⊥BC ，AD ⊥PC ，得AD ∥BC .∵AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，PD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面PDC .又AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PDC ，∴B 正确．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PD ⊥AD ，AB ⊥AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面PAD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴C 正确．由AB ⊥平面PAD ，得AB ⊥PA ，∴△PAB 是直角三角形．又PB 的中点为N ，∴PB ＝2AN ，∴D 正确．8．答案：C解析：由题意可知，MP ⊥PA ，MP ⊥PD .且PA ∩PD ＝P ，PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD .设△ADP 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得AD sin ∠APD ＝2r ，即4sin 150°＝2r ，所以r ＝4.设三棱锥M －PAD 的外接球的半径为R ，则（2R ）2＝PM 2＋（2r ）2，即（2R ）2＝4＋64＝68，所以R 2＝17，所以外接球的表面积为4πR 2＝68π.9．答案：D解析：根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为2的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R ＝（2）2＋1＝3，R ＝32，球体积为V ＝43πR 3＝32π.10.答案：C解析：如图，将题中的直三棱柱补形成一个直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，易知BC 1∥AD 1，所以∠B 1AD 1是直线AB 1与BC 1所成的角或者其补角．连接B 1D 1，在△AB 1D 1中，AB 1＝22＋12＝5，AD 1＝12＋12＝2，B 1D 1＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，AD 21＋B 1D 21＝5＝AB 21，AD 1⊥B 1D 1，sin ∠B 1AD 1＝B 1D 1AB 1＝35＝155.因此，异面直线AB 1与BC 1所成的角的正弦值为155，故选C.11．答案：A解析：如图，取AC 的中点E ，连接DE ，BE ，因为AD ＝CD ，所以DE ⊥AC ，因为平面DAC ⊥平面ABC ，平面DAC ∩平面ABC ＝AC ，DE ⊂平面DAC ，所以DE ⊥平面ABC ，因为∠ABC ＝90°，所以棱锥外接球的球心O 在直线DE 上，因为AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，DA ＝DC ＝6，所以BE ＝AE ＝CE ＝12AC ＝2，DE ＝AD 2－AE 2＝2，设OE ＝x ，则OD ＝2－x ，OB ＝BE 2＋OE 2＝x 2＋2，所以2－x ＝x 2＋2，解得x ＝12，所以外接球的半径为r ＝2－x ＝2－12＝32，外接球的体积为V ＝4πr 33＝4π3×（32）3＝9π2.12．答案：D解析：如图，取PB 中点M ，连接CM .∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面PBC .设点A 到平面PBC 的距离h ＝AC ＝2x .∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x （0<x <2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM ＝4－x 2，∴S △PBC ＝12×2x ×4－x 2＝x 4－x 2.∴V A －PBC ＝13×（x 4－x 2）×2x ＝2x 24－x 23.设t ＝4－x 2（0<t <2），则x 2＝4－t 2.∴V A －PBC ＝2t （4－t 2）3＝8t －2t 33（0<t <2）.对y ＝8t －2t 33，0<t <2求导，得y ′＝8－6t 23，∴函数在0，233上单调递增，在233，2上单调递减．∴当t ＝23时，（V A －PBC ）max ＝323.13．答案：823解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2，可得每个正四棱锥的斜高为22－1＝3，高为3－1＝2，则该正八面体的体积为2×2×23×2＝823.14．答案：223解析：设AB 的中点为E ，连接ED 1，则易知BE ∥C 1D 1，BE ＝C 1D 1，∴四边形EBC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥ED 1，∴∠AD 1E 为直线AD 1与BC 1所成的角．∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ⊥AD ，∵DD 1⊥底面ABCD ，∴BA ⊥DD 1，又AD ∩DD 1＝D ，∴BA ⊥平面AA 1D 1D ，∴BA ⊥AD 1，△AED 1是直角三角形．设DD 1＝AB ＝2A 1B 1＝2a ，则AD 1＝AD 2＋DD 21＝（2a ）2＋（2a ）2＝22a ，ED 1＝AD 21＋AE 2＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∴cos ∠AD 1E＝AD 1ED 1＝223.15．答案：4312954π解析：设G 为△ABC 外接圆圆心，O 为三棱锥P －ABC 外接球球心，则OG ⊥平面ABC ，作OM ⊥PA ，垂足为M由正弦定理可知△ABC 外接圆直径：2r ＝2AG ＝AB sin ∠BCA ＝2sin π3＝433，∴AG ＝233∵PA ⊥平面ABC ，OG ⊥平面ABC ，∴AP ∥OG又OM ⊥PA ，AG ⊥PA ，∴OM ∥AG∴四边形OMAG 为矩形，∴OG ＝AM设OG ＝x ，OP ＝OA ＝R在Rt △OMP 和Rt △OGA 中，由勾股定理可得：x 2＋43＝R 2（3－x ）2＋43＝R 2，解得：x ＝32R ＝1296∴三棱锥P －ABC 外接球体积：V ＝43πR 3＝4312954π.16．答案：①②③解析：在①中：∵将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，得到四面体A －BCD ，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，取BD 中点O ，AC 中点E ，BC 中点F ，连结AO ，CO ，OF ，OE ，EF ，则OA ＝OC ＝2，且OA ⊥OC ，∴OE ＝12AC ＝1，由三角形中位线定理得OF ＝12CD ＝1，EF ＝12AB ＝1，且OF ∥CD ，EF ∥AB ，∴∠EFO 是AB ，CD 所成的角，∴OF ＝EF ＝OE ＝1，∴△EFO 是等边三角形，∴∠EFO ＝60°，∴AB ，CD 所成的角为60°，故①正确；在②中：∵OA ＝OC ＝2，且OA ⊥OC ，∴AC ＝2＋2＝2，∴AC ＝CD ＝AD ＝2，∴△ADC 为等边三角形，故②正确；在③中：∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ，O 是BD 中点，∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，又AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥面AOC ，∵AC ⊂面AOC ，∴AC ⊥BD ，故③正确；在④中：∵A －BD －C 是直二面角，AO ⊥BD ，∴AO ⊥平面BDC ，∴∠ABO 是AB 与平面BCD 所成角，∵AO ＝BO ，∴∠ABO ＝45°，∴AB 与平面BCD 所成角为45°，故④错误．17．解析：（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ；又底面ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，AC ∩PA ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ，得证．（2）如图所示，取PA 的中点Q ，PD 的中点H ，连接BQ 、QH 、HE ，所以会有QH ∥AD ，QH ＝12AD ，又BE ∥AD ，BE ＝12AD ，所以QH ∥BE 且QH ＝BE ，所以四边形BQHE 为平行四边形，所以BQ ∥EH ，BQ ⊄面PDE ，EH ⊂面PDE ，所以BQ ∥平面PDE ，所以Q 点，即为我们要找的F 点．18．解析：（1）证明：（反证法）假设点D 在平面CEF 内．设C ，D ，E ，F 四点确定的平面为α.因为四边形ABEF 为正方形，所以EF ∥AB .因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合，所以EF ⊄平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD .因为EF ⊂平面α，平面α∩平面ABCD ＝CD ，所以EF ∥CD ；所以AB ∥CD .AB ，CD 为直角梯形ABCD 的两腰，不可能平行，故假设不成立．点D 不在平面CEF 内．（2）取AD 中点H ，连接HF ，HC ，由AD ＝2BC ，所以AH ＝BC ，且AH ∥BC ，所以AHCB 为平行四边形，∴HC ∥AB 且HC ＝AB ，∵AB ∥EF ，且AB ＝EF ，∴C ，H ，E ，F 共面，S △CHD ＝12×1×1＝12，FA ＝2，FH ＝3，CH ＝2，CF ＝FA 2＋CA 2＝7，所以cos ∠CHF ＝FH 2＋CH 2－CF 22FH ·CH ＝－16，∴S △CHF ＝12FH ·CH sin ∠CHF ＝52.由V D －CHF ＝V F －CHD 得13×hS △CHF ＝13FA ·S △CHD ，∴h ＝105.故D 到平面CEF 的距离是105.19.解析：（1）证明：取OB 中点N ，连接NB 1，OB 1，OM ，因为圆台O 1O 的下底面半径为2，上底面半径为1，ON ＝NB ＝1，所以B 1N ⊥OB ，又因为∠OBB 1＝π3，所以△OB 1B 为正三角形，于是B 1B ＝BO ＝OB 1＝2.因为M 为B 1B 中点，所以B 1B ⊥OM ，因为平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ，O 1O ⊥OA ，所以AO ⊥平面BB 1O 1O ，BB 1⊂平面BB 1O 1O ，所以OA ⊥BB 1，又因为OA ∩OM ＝O ，所以BB 1⊥平面OAM ，又因为OP ⊂平面OAM ，所以BB 1⊥OP .（2）连接PB ，当点P 为线段AM 的中点时，△OBB 1的面积为12×2×2×32＝3.VB 1－OPB ＝VP －OBB 1＝12VA －OBB 1＝12×13×S △OBB 1×AO ＝33，∴三棱锥B 1－OPB 的体积为33.20．解析：（1）证明：如图，取AB 中点D ，连接B 1D ，CD .∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B 1BA ＝π3，∴△ABC 和△ABB 1都是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1，∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB .∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD .∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C .∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1.（2）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且两平面的交线为AB ，由（1）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC .方法一VB 1－ACC 1M ＝3VB 1－AA 1M ＝3VA －A 1B 1M ＝3×13S △A 1B 1M ·B 1D ＝12A 1M ·B 1M ·B 1D ＝12×1×3×3＝32.方法二VB 1－ACC 1M ＝VABC －A 1B 1C 1－VB 1－ABC －VA －A 1B 1M ＝VABC －A 1B 1C 1－32VB 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 1－32×13VABC －A 1B 1C 1＝12VABC －A 1B 1C 1＝12S △ABC ·B 1D ＝12×34×22×3＝32.21．解析：（1）证明：如图，取AD 中点P ，连接MP ，NP .由N ，P 分别为BD ，AD 的中点，得NP ∥AB 且NP ＝12AB .又MC ∥AB 且MC ＝12AB ，所以MC ∥NP 且MC ＝NP ，所以四边形MCNP 为平行四边形．所以CN ∥MP 且CN ⊄平面DAM ，MP ⊂平面DAM ，所以CN ∥平面DAM .（2）如图，由AM ＝2，BM ＝2，AB ＝2，可得AB 2＝AM 2＋BM 2，所以AM ⊥BM .又BM ⊥AD ，AD ∩AM ＝A ，所以BM ⊥平面ADM .又BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM .取AM 的中点E ，连接DE .因为AD ＝DM ＝1，AD ⊥DM ，所以DE ⊥AM ，DE ＝22.又平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，所以DE ⊥平面ABCM .所以V A －DBC ＝V D －ABC ＝13S △ABC ·DE ＝26.取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，则EF ＝32，EF ⊥BC .因为DE ⊥平面ABCM ，所以DE ⊥EF ，DE ⊥BC ，所以DF ＝112，BC ⊥平面DEF ，可得BC ⊥DF ，所以S △BCD ＝12BC ·DF ＝114.设点A 到平面BCD 的距离为d ，则V A －DBC ＝13S △BCD ·d ＝13×114d ＝26，解得d ＝22211，即点A 到平面BCD 的距离为22211.22．解析：（1）方法一平面AEF 与平面PBC 互相垂直．因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC .因为底面ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC .又PA ∩AB ＝A ，且PA ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB .因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ，因为PA ＝AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又PB ∩BC ＝B ，且PB ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .方法二平面AEF 与平面PBC 互相垂直．因为PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥底面ABCD ，又平面PAB ∩底面ABCD ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂底面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB .因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC .因为PA ＝AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又PB ∩BC ＝B ，且PB ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC .因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .（2）因为PA ⊥底面ABCD ，E 为线段PB 的中点，所以点E 到底面ABCD 的距离为12PA ＝32，且V P －ABCD ＝13×3×3×3＝9.又F 为线段BC 的三等分点，故讨论F 点的两种情况：当BF ＝13BC ＝1时，V E －ABF ＝133××32＝34，所以多面体PAEFCD 的体积为V P －ABCD －V E －ABF ＝9－34＝334.当BF ＝23BC ＝2时，V E －ABF ＝133××32＝32，所以多面体PAEFCD 的体积为V P －ABCD －V E －ABF ＝9－32＝152.综上，多面体PAEFCD 的体积为334或152.。

福建省2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文科)(圆锥曲线——厦门市数学组供稿)

2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（文科）圆锥曲线厦门市数学组一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值范围 ( )（A ）－2＜m ＜2 （B ）m ＞0 （C ）m ≥0 （D ）|m |≥2（2）已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为 ( )（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16（3）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45（4）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（5）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ( )（A ） 2 （B ） 3 （C ）32 （D ）62（6）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )（A ）22 （B ） 2 （C ）322（D ）2 2二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

（7）双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________．（8）椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是________．（9）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>过其左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为___________.（10）设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是___________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

福建省2021届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)

福建省2021年高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知某几何体的正视图和侧视图（如图所示），则该几何体的俯视图不可能是A．B．C．D．2．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．84cm 3B ．92cm 3C ．100 cm 3D ．108cm 33．对于不重合的两条直线,l m 和不重合的两个平面,αβ，下列命题正确的是 A ．若//,////l m l m ββ则 B ．若,,//m l l αβαβ⋂=⊂则 C ．若,//l l αβαβ⊥⊥，则 D ．若,,l m m l βααβ⊥⊥⊥⊥则 4．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②5．已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A ．B ．C ．D ．6．空间中的一条线段PQ ，在其俯视图和侧视图中，该线段的投影的长度分别恒为1和2，则线段PQ 长的取值范围是A ．(0,1]PQ ∈B ．[1,2]PQ ∈C ．[2,3]PQ ∈D ．PQ ∈二、填空题7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为________．8．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥； ②四棱锥； ③三棱柱； ④四棱柱； ⑤圆锥； ⑥圆柱．9．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________.10．已知三棱锥O ABC -底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且6,AB BC AC ===O ABC -的体积为___________.三、解答题11．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，2AC =，11160ACC CC B ∠=∠=.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11A B C C -的体积.12．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ∠=，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（Ⅱ）求异面直线DC 与1BC 所成角的余弦值.13．已知：三棱锥P ABC -中，侧面PBC 垂直底面， AB 是底面最长的边；图1是三棱锥P ABC -的三视图，其中的侧视图和俯视图均为直角三角形；图2是用斜二测画法画出的三棱锥P ABC -的直观图的一部分，其中点P 在xOz 平面内．（Ⅰ）请在图2中将三棱锥P ABC -的直观图补充完整，并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（Ⅱ）设二面角B PA C --的大小为α，求tan α的值；（Ⅲ）求点C 到面PAB 的距离．参考答案1．C【详解】⊥；若俯视图为A选项，则几何体为下图三棱锥，其中PA⊥面ABC,AB AC⊥；若俯视图为B选项，则几何体为下图三棱锥，其中PA⊥面ABC,AB BC若俯视图为D选项，则几何体为下图四棱锥，其中PA⊥面ABCD,底面ABCD为矩形；若俯视图为C选项，则正视图上应该有PC的投影，故不符合题意.故选：C2．C【分析】试题分析：正视图、侧视图、俯视图都是矩形，可想该几何体是长方体，且三视图中有面与面的分界线，所以该长方体被切去一角，如图所示，，选C,考点：1、三视图；1、几何体的体积.【详解】3．D【解析】选项A,中，可能直线m在平面β内，A错。

福建省2021届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)(立

福建省2021届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（文科）（立2021高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（文科）立体几何泉州市数学组一、多项选择题：这道主题有6个子题，每个子题得6分。

在每个子问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。

（1）已知某几何体的正视图和侧视图（如图所示），则该几何体的俯视图不可能是（2）鉴于图中显示了几何图形的三个视图（单位：cm），几何图形的体积为（a）84cm3（b）92cm3（c）100cm3（d）108cm3（3）对于不重合的两条直线l,m和不重合的两个平面?,?，下列命题正确的是（a）若l//m,l//?,则m//?（b）若????m,l??,则l//?（c）若???，l??,则l//?（d）若l?m,m??,l??,则???（4）在如图所示的空间直角坐标系o?xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2），给出四个数字①, ②, ③ 和④, 然后是前视图和俯视图分别为（a）① 和② （b）③ 和① （c）③ 和④ （d）④ 和② （5）我们知道一个底部为等边三角形，体积为的直三棱柱，那么三棱柱的表面积为（a）243（b）183（c）123（d）63(6)空间中的一条线段pq，在其俯视图和侧视图中，该线段的投影的长度分别恒为1和2，则线段pq长的取值范围是（a） pq？（0,1]（b）pq？[1,2]（c）pq？[2,3]（d）pq？[2,5]其次，填空：这个大问题有4个小问题，每个小问题6分。

(7)正三棱柱abc?a1b1c1的底面边长为2,侧棱长为4.球面与棱镜的所有面相切，33，D是BC的中点，然后是三角棱锥a?b1dc1的体积为_____________.（8）如果几何图形的前视图是三角形，则该几何图形可能是以下几何图形之一（在所有可能的几何图形之前填写数字）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱(9)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.（10）已知的三角金字塔？ABC的顶点位于半径为4的球形o面上，且ab?6,bc?23,ac?4，然后是三角金字塔3O？ABC的数量是_____三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（文科）立体几何泉州市数学组一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）在一个几何的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图不可能是（A ）（B ）（C ）（D ）（2）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积等于（A ）24128π+ （B ）3672π+ （C ）24128π+（D ）36128π+ （3）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）23 （B ）43（C ）83（D ）8（4）已知平面α⊥平面β，l αβ= ，m α ，m l ⊥，n α⊥，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(A)m n ⊥ （B ）m β⊥ （C ）n l ⊥ （D ）n β（5）如图，直三棱柱111A B C A B C -中，16AA =，4AB AC ==，AB AC ⊥，点,E F 分别是线段11,AB CC 的动点，11,AF FB CE EC λμ== .则当14B EFB V -=三棱锥时，必有（A ）13λ=（B ）13μ= （C ）3λ= （D ）3μ=（6，则该条棱的长度为(B)3 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -的坐标分别是(0,1,1)，(1,2,1)，(1,1,2)，(0,3,3)，画出该四面体的正视图时，以平面yOz 为投影面，则得到的正视图的面积是_______.（8）已知三棱锥S ABC -的各个顶点都在一个半径为2的球面上，球心O 在AB 上，则三棱锥S ABC -的体积最大值为____________.（9）一个几何体的正视图为一个四边形，则这个几何体可能是下列几何体中的___________.（填入所有可能的几何体的编号）①三棱锥； ②四棱锥； ③圆锥； ④三棱柱； ⑤圆柱. （10）已知一个圆柱的两个底面都在同一个球面上，且圆柱的表面积是此球的表面积的34，则圆柱的体积与此球的体积的比值是___________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(11)（本小题满分10分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，3AB =， 1CD =，2AD BC ==，E 为AB 上的点且1AE =，将AED ∆沿DE 折起到1A ED 的位置，使得平面1A ED ⊥平面BCDE .（Ⅰ）求证：1A E BE ⊥；1BB（Ⅱ）求点C到平面1A BD的距离.（12）（本小题满分15分）如图，直三棱柱111ABC A B C-中，122AA AC AB===，11BC AC⊥．（Ⅰ）求证：平面1ABC⊥平面1AC；（Ⅱ）设D是11AC的中点，试探究线段1BB上的点E的位置，使得DE 平面1ABC，并求三棱锥1E ABC-的体积．（13）（本小题满分15分）三棱柱111ABC A B C-中，D是AC的中点，1A D与1AC交于点E，F在线段1AC上，且12AF FC=.（Ⅰ）求证：1B F 平面1A BD；（Ⅱ）若2AB=，1AC=，30ABC∠= ，三棱锥11B AB E-棱柱111ABC A B C-的高.2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（文科）立体几何（参考答案）泉州市数学组一.选择题。

（1）选B. 由题意，可知若俯视图为B ，则其俯视图如下图，故答案为B.（2）选D.可判断得该几何体是由一个三棱柱和一个圆柱构成的组合体，其中，三棱柱的体积11346362V =⨯⨯⨯=，圆柱的体积224864V ππ=⨯⨯=，故答案为D. （3）选B.可判断得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥P ABC -，如图所示.其中，AC BC ⊥，2AC BC ==，且点P 到平面ABC 的距离为2，故该几何体的体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故答案为B.（4）选D.过直线m 作平面γ，与平面α交于直线'm ，则'm m ，又m l ⊥，所以'm l ⊥，故m β⊥；又n α⊥，所以n l ⊥，'n m ⊥，故n m ⊥，所以A 、B 、C 一定成立，亦有可能n β⊂，故答案为D.又n α⊥，所以'n m ⊥，故n m ⊥；若m β⊥，则'm β⊥，又'm α⊂，所以αβ⊥，与题设矛盾，故答案为B.（5）选 C. 由题意，知设点F 到直线1BB 的距离为d .则有11111432B EFB E B FB V V BB d AC --==⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥，即1d =，易得答案为C.（6）选A.如图，可将该问题放在长方体中考虑，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则225a b +=，223a c +=，226b c +=，所求的棱长为==A.（1）选B . （2）选D. （3）选B. （4）选D. （5）选C. （6）选A . 二、填空题。

(7)填2.可判断得该几何体的正视图是一个四边形，其四个顶点的坐标分别为(0,1,1),(0,2,1),(0,1,2),(0,3,3)，易得其面积为2.(8)填83.由题意，可知AB 为球的直径，易知当ABC ∆为等腰直角三角形，且高为2时，三棱锥S ABC -的体积最大，此时83V =.(9)填①②④⑤. (10)填8或．设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则22244R r l =+……①，圆柱的表面积222S r rl ππ=+，球的表面积224S R π=，故2122S r rl S R +=，所以22223r rl R +=……②，由①②可得223840l lr r -+=，解得2l r =或23l r =，又圆柱的体积21V r l π=，球的体积3243V R π=，故2213234lV r l V R ===128V V =或12V V =三、解答题。

（11）解：（Ⅰ）由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，DE AB ⊥，所以1A E DE ⊥，又平面1A ED ⊥平面BCDE ，平面1A ED 平面BCDE DE =，1A E ⊂平面1A ED ，所以1A E ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ，故1A E BE ⊥. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知1A E 是点1A 到平面BCD 的距离，1A E BE ⊥.又由题意，可得DE =BD1A B =在1A BE ∆中，由余弦定理，可得22211111cos 2A B A E BE BA E A B A E +-∠=⋅⋅即1cos BA E ∠=，所以1sin BA E ∠=1A BE ∆的面积11111sin 2A BE S A B A E BA E ∆=⨯⨯⨯∠=，设点C 到平面1A B D 的距离为d ,则三棱锥1C A B D-的体积1113C A BD A BD V S d -=⨯⨯=，又因为11C A BD A BCD V V --=，即111632DC DE A E =⨯⨯⨯⨯，故有66d =19d =，所以点C 到平面1A BD的距离为19. …………10分（12）解1：（Ⅰ）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又1A A AC =，所以四边形11ACC A 为正方形，故11A C AC ⊥. 又1BC ⊥1AC ，11,BC AC ⊂平面1ABC ，所以1AC ⊥平面1ABC ，又因为1AC ⊂平面1ABC ，平面1ABC ⊥平面1AC . …………7分（Ⅱ）方法一：当E 为1B B 中点时，DE 平面1ABC .证明如下：E1B取1A A 中点F ，连,EF FD ，则EF AB ，DF ∥1AC ，又,EF DF ⊄平面1ABC ，1,AB AC ⊂平面1ABC ，所以EF 平面1ABC ，DF 平面1ABC ，又由于,EF DF ⊂平面EFD ，EF DF F = ，故平面EFD 平面1ABC ，又DE ⊂平面EFD ，所以DE 平面1ABC .当E 为中点时，11-111211323E ABC C ABE V V -==⨯⨯⨯⨯=. …………15分解法2：（Ⅰ）同解法1；（Ⅱ）当E 为1B B 中点时，DE 平面1ABC .证明如下：E1B B连结1AC ，交AC 1于G 点，连结BG ，则有BE DG ，所以四边形DEBG 为平行四边形，所以DE ∥BG ，又DE ⊄平面1ABC ，BG ⊂平面1ABC ，所以DE ∥平面1ABC ，求体积同上．当E 为中点时，11-111211323E ABC C ABE V V -==⨯⨯⨯⨯=. …………15分（13）解法1：（Ⅰ）连结1AB ，交1A B 于点G ，连结EG .则有1AG GB =. 由题意，可知11AD AC ，所以1111,ADE C A E DAE AC E ∠=∠∠=∠，所以11ADE C A E ∆∆ ，故11112AE AD EC C A ==，又12AF FC =，所以1AE EF FC ==，所以1B FEG ， ……………6分又因为1B F ⊄平面1A BD ,EG ⊂平面1A BD , 所以1B F平面1A BD . …………7分（Ⅱ）设三棱柱111ABC A B C -的高为h .在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅⋅∠，即230BC -+=，解得BC =，所以ABC ∆的面积为1sin 22ABC S BA BC ABC ∆=⨯⨯⨯∠=，由（Ⅰ）可知，点1B 到平面1A BD 的距离等于点F 到平面1A BD 的距离，所以1112B A BD F A BD V V --==，又因为1AE EF FC ==，所以11AA D FA D S S ∆∆=，故1112B AA D B FA D F A BD V V V ---===，又11111332B AA D A ABD ABD ABC V V S h S h --∆∆==⋅=⋅⋅=，=，解得6h =，故三棱柱111ABC A B C -的高为6. ………………15分解法2：（Ⅰ）取11AC 的中点H ，连结1,,FH B H DH .则有1DH BB ，所以四边形1DHB B 为平形四边形，故1B HBD ，又1B H ⊄平面1A BD ,BD ⊂平面1A BD ,所以1B H 平面1A BD . …………4分由题意，可知11AD AC ，所以1111,ADE C A E DAE AC E ∠=∠∠=∠，故ADE ∆∽11C A E ∆，所以11112AE AD EC C A ==，又12AF FC =，故1AE EF FC ==. 又11A H HC =，所以1FHEA ，又FH ⊄平面1A BD ,1EA ⊂平面1A BD ,所以FH 平面1A BD ， …………5分又因为1,FH B H ⊂平面1B FH ，1FH B H H ＝，所以平面1B FH平面1A BD .又1B F ⊂平面1B FH ，所以1B F平面1A BD . ………………7分（Ⅱ）同解法1.。

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