第二章 常用的系统建模方法
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• 虽然发现了海王星，但天王星的运行轨道偏差问题并没有全部解决；有趣的 是，海王星的运行轨道也不正常。于是人们推测，在海王星外还可能有一颗 未知行星。1905年，美国天文学家洛厄尔完成了“海王星外的行星”推算后， 便开始观测。但因为此星离太阳太遥远，搜寻极为困难，直至洛厄尔去世的 1916年，尚未观测到。1930年2月18日，天文学家汤博通过35 mm的折射望 远镜，采用先进的方法，终于发现了一颗亮度约是16等的暗星，位于海王星 外，此星后来被命名为冥王星。
2.1.2 建模方法的分类及建模原则。
• 建立能较全面、集中、精确的反映系统的状态、 Leabharlann Baidu质特征、和变化规律的数学建模的关键
• 建模一般遵循以下原则：
– 可分离原则 – 假设合理原则 – 因果性原则 – 输入量的可测量性、可选择性原则 – 对动态模型应保证适应性原则
2.1.3 建模步骤的划分
• 准备阶段
– 明确问题和模型所属的领域、建模的目标、模型的实现方式。
• 系统认识阶段
– 系统建模的目标；系统建模的规范、系统建模的要素、建模的关系及其 限制
• 系统建模阶段
– 模型的形式化；模型表示形式的简化；对原型进行抽象； 选择恰当的建 模工具建立数学模型
• 模型求解阶段
– 分析模型复杂度，利用合理的方法进行求解
– 是科学发现中常用的一种有效的思维方式 – 立足于观察、经验或实验 – 结论具有猜测性质
开普勒第三定律的发现
• 自然科学史上有很多运用归纳法而获得成功的事例，其中海 王星与冥王星的发现就是成功运用归纳法的典范。在英国天 文学家威廉•赫歇耳发现天王星后不久，人们投入了观测天 王星的热潮。但观测的结果是：天王星的实际运动轨道总是 与“星历表不符合。于是，有人对万有引力定律提出了疑问， 甚至提出要修正牛顿的力学理论；也有人断定，应该从理论 计算上找原因。
• 模型分析与检验
– 稳定性分析，系统参数的灵敏度分析，误差分析，修正模型 – 对模型进行评价、预测、优化 – 在实际中对模型进行检验。
2.1.3 建模步骤的划分
准备阶段
系统认识阶段
系统建模
模型求解 模型不合格
模型分析、检验 修正模型
模型合格 模型使用
2.2 建模的逻辑思维方法
• 要建立数学模型，必须具备下述五个方面 的能力
– 分析综合能力 – 抽象概括能力 – 想象洞察能力 – 运用数学工具的能力 – 通过实践验证数学模型的能力
2.2.1 抽象
• 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体 和一般规律，我们称这种研究方法为抽象
例如：有四条腿的家具，如椅子、桌子等，往往 不能一次方稳，只能有三只脚着地，需要旋转几 次，方可使四只脚着地、放稳。这个现象能用数 学语言表述，并用数学工具证实吗？
• 1846年8月，法国青年天文学家勒维烈也独自得出了未知行星的有关数据， 他于9月18日给柏林天文台的伽勒写信，恳切地请他根据自己算出的未知行星 的质量、轨道等数据，耐心地巡天查找。他说：“请您把你们的望远镜指向 黄径326处宝瓶座内的黄道的一点上，您就将在此点约1的区域内发现一颗 圆而亮的新行星，亮度相当于9等。它的圆面依稀可辨，其视直径不小于3’’， 每天运行约69’’。“伽勒接信的当晚便进行了观测，在偏移预言位置仅3’’的地 方发现了一颗在星图上未标注的8等星，第二天晚上，又发现它向本移动了大 约70’’。这颗行星后来被命名为海王星，人们称它为“笔尖上发现的行星”， 因为在此之前，所有行星都是先观测发现，再计算出运行轨道的，唯独海王 星是先计算出相关数据，后根据数据观测到的。
• 传统的数学建模方法：机理分析建模和实验统计建模 • 近年来新的拓展：直接相似法、系统辨别法、回归统计法、
概率统计法、量纲分析法、网络图论法、图解法、模糊集 论法、蒙特卡罗法、层次分析法、“隔舱”系统法、定性 推理法、“灰色”系统法、多分面法、分析－统计法、计 算机辅助建模法。 • 建模方法的选择根据系统状况、建模目标、建模要求及实 际背景来确定。
第二章 常用的系统建模方法
• 系统模型是研究和掌握系统运动规律的有 力工具，它是认识、分析、设计、预测、 控制实际系统的基础，也是解决工程问题 不可缺少的技术手段
• 数学模型是系统模型的最主要和最常用的 表示方式。
2.1 系统模型的概述
• 系统模型是用来研究系统功能及其规律的工具， 它常常是用数学公式、图、表等形式表示的行为 数据的一组指令。
制模型 • 根据研究的具体问题：人口发展模型、生态模型、交通模
型、经济模型等 • 模型的性质：线性数学模型和非线性数学模型 • 对变量的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 • 根据系统的性质：微观模型、宏观模型、集中参数模型、
分布参数模型、定常模型、时变模型等。
2.1.2 建模方法的分类及建模原则
• 后来有人提出太阳系中可能还存在未知的行星，就是此行星 的引力摄动，影响了天王星的运行轨道，使得根据万有引力 定律计算的值与实际观测的结果有相当差距。到了19世纪40 年代，探索天王星外未知行星已成为重要的天文课题。
• 1845年10月，英国剑桥大学学生亚当斯将他的关于“未知行 星”的计算结果报告了剑桥天文台和格林尼治天文台，希望 能根据他的计算结果进行观测。遗憾的是，他的努力没有受 到重视。
基本量 – 提出一个详细描述系统的复杂抽象模型，并在此基础
上不断增加细节到原来的抽象中去，使抽象具体化。 – 注重模型的简化 – 用数学语言定量的描述系统的内在联系和变化规律
2.1.1 系统模型的分类
• 根据模型的时间集合：连续时间模型和离散时间模型 • 根据模型状态变量：连续变化模型和离散变化模型 • 根据变量的情况：确定性模型和随机性模型 • 根据数学方法：初等模型、微分方程模型、优化模型、控
2.2.1 抽象
• 椅子位置的表述：以中心点为对称点，正方形 绕中心的旋转表示了椅子的位置的改变，因此 可以用旋转角度表示椅子的位置。
• 椅脚着地的数学表示：设A,C两脚与地面距离
之和为 f( ), A,C两脚与地面距离之和为g( ) ,
2.2.2 归纳
• 从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的 认识的一种思维方式。
• 数学表述方式是系统模型的最主要的表示方式， 系统的数学模型是对系统与外部的作用关系以及 系统内在的运动规律所做的抽象。
• 系统数学模型的建立需要按照模型论中对输入、 输出状态变量及其间的函数关系进行抽象，这种 抽象过程成为理论构造。
系统模型的概述
• 系统数学模型的建立
– 了解所研究对象的实际背景 – 明确预期要达到的目标 – 确定刻画该对象的系统状态、特征和变化规律的若干
2.1.2 建模方法的分类及建模原则。
• 建立能较全面、集中、精确的反映系统的状态、 Leabharlann Baidu质特征、和变化规律的数学建模的关键
• 建模一般遵循以下原则：
– 可分离原则 – 假设合理原则 – 因果性原则 – 输入量的可测量性、可选择性原则 – 对动态模型应保证适应性原则
2.1.3 建模步骤的划分
• 准备阶段
– 明确问题和模型所属的领域、建模的目标、模型的实现方式。
• 系统认识阶段
– 系统建模的目标；系统建模的规范、系统建模的要素、建模的关系及其 限制
• 系统建模阶段
– 模型的形式化；模型表示形式的简化；对原型进行抽象； 选择恰当的建 模工具建立数学模型
• 模型求解阶段
– 分析模型复杂度，利用合理的方法进行求解
– 是科学发现中常用的一种有效的思维方式 – 立足于观察、经验或实验 – 结论具有猜测性质
开普勒第三定律的发现
• 自然科学史上有很多运用归纳法而获得成功的事例，其中海 王星与冥王星的发现就是成功运用归纳法的典范。在英国天 文学家威廉•赫歇耳发现天王星后不久，人们投入了观测天 王星的热潮。但观测的结果是：天王星的实际运动轨道总是 与“星历表不符合。于是，有人对万有引力定律提出了疑问， 甚至提出要修正牛顿的力学理论；也有人断定，应该从理论 计算上找原因。
• 模型分析与检验
– 稳定性分析，系统参数的灵敏度分析，误差分析，修正模型 – 对模型进行评价、预测、优化 – 在实际中对模型进行检验。
2.1.3 建模步骤的划分
准备阶段
系统认识阶段
系统建模
模型求解 模型不合格
模型分析、检验 修正模型
模型合格 模型使用
2.2 建模的逻辑思维方法
• 要建立数学模型，必须具备下述五个方面 的能力
– 分析综合能力 – 抽象概括能力 – 想象洞察能力 – 运用数学工具的能力 – 通过实践验证数学模型的能力
2.2.1 抽象
• 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体 和一般规律，我们称这种研究方法为抽象
例如：有四条腿的家具，如椅子、桌子等，往往 不能一次方稳，只能有三只脚着地，需要旋转几 次，方可使四只脚着地、放稳。这个现象能用数 学语言表述，并用数学工具证实吗？
• 1846年8月，法国青年天文学家勒维烈也独自得出了未知行星的有关数据， 他于9月18日给柏林天文台的伽勒写信，恳切地请他根据自己算出的未知行星 的质量、轨道等数据，耐心地巡天查找。他说：“请您把你们的望远镜指向 黄径326处宝瓶座内的黄道的一点上，您就将在此点约1的区域内发现一颗 圆而亮的新行星，亮度相当于9等。它的圆面依稀可辨，其视直径不小于3’’， 每天运行约69’’。“伽勒接信的当晚便进行了观测，在偏移预言位置仅3’’的地 方发现了一颗在星图上未标注的8等星，第二天晚上，又发现它向本移动了大 约70’’。这颗行星后来被命名为海王星，人们称它为“笔尖上发现的行星”， 因为在此之前，所有行星都是先观测发现，再计算出运行轨道的，唯独海王 星是先计算出相关数据，后根据数据观测到的。
• 传统的数学建模方法：机理分析建模和实验统计建模 • 近年来新的拓展：直接相似法、系统辨别法、回归统计法、
概率统计法、量纲分析法、网络图论法、图解法、模糊集 论法、蒙特卡罗法、层次分析法、“隔舱”系统法、定性 推理法、“灰色”系统法、多分面法、分析－统计法、计 算机辅助建模法。 • 建模方法的选择根据系统状况、建模目标、建模要求及实 际背景来确定。
第二章 常用的系统建模方法
• 系统模型是研究和掌握系统运动规律的有 力工具，它是认识、分析、设计、预测、 控制实际系统的基础，也是解决工程问题 不可缺少的技术手段
• 数学模型是系统模型的最主要和最常用的 表示方式。
2.1 系统模型的概述
• 系统模型是用来研究系统功能及其规律的工具， 它常常是用数学公式、图、表等形式表示的行为 数据的一组指令。
制模型 • 根据研究的具体问题：人口发展模型、生态模型、交通模
型、经济模型等 • 模型的性质：线性数学模型和非线性数学模型 • 对变量的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 • 根据系统的性质：微观模型、宏观模型、集中参数模型、
分布参数模型、定常模型、时变模型等。
2.1.2 建模方法的分类及建模原则
• 后来有人提出太阳系中可能还存在未知的行星，就是此行星 的引力摄动，影响了天王星的运行轨道，使得根据万有引力 定律计算的值与实际观测的结果有相当差距。到了19世纪40 年代，探索天王星外未知行星已成为重要的天文课题。
• 1845年10月，英国剑桥大学学生亚当斯将他的关于“未知行 星”的计算结果报告了剑桥天文台和格林尼治天文台，希望 能根据他的计算结果进行观测。遗憾的是，他的努力没有受 到重视。
基本量 – 提出一个详细描述系统的复杂抽象模型，并在此基础
上不断增加细节到原来的抽象中去，使抽象具体化。 – 注重模型的简化 – 用数学语言定量的描述系统的内在联系和变化规律
2.1.1 系统模型的分类
• 根据模型的时间集合：连续时间模型和离散时间模型 • 根据模型状态变量：连续变化模型和离散变化模型 • 根据变量的情况：确定性模型和随机性模型 • 根据数学方法：初等模型、微分方程模型、优化模型、控
2.2.1 抽象
• 椅子位置的表述：以中心点为对称点，正方形 绕中心的旋转表示了椅子的位置的改变，因此 可以用旋转角度表示椅子的位置。
• 椅脚着地的数学表示：设A,C两脚与地面距离
之和为 f( ), A,C两脚与地面距离之和为g( ) ,
2.2.2 归纳
• 从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的 认识的一种思维方式。
• 数学表述方式是系统模型的最主要的表示方式， 系统的数学模型是对系统与外部的作用关系以及 系统内在的运动规律所做的抽象。
• 系统数学模型的建立需要按照模型论中对输入、 输出状态变量及其间的函数关系进行抽象，这种 抽象过程成为理论构造。
系统模型的概述
• 系统数学模型的建立
– 了解所研究对象的实际背景 – 明确预期要达到的目标 – 确定刻画该对象的系统状态、特征和变化规律的若干