29巩固练习_简单的线性规划问题_提高

型车与 B 型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？
7x 5y 23 0
15．已知 x、y 满足条件：
x 7 y 11 0
，
4x y 10 0
①求 4x 3y 的最大值和最小值；
②求 x2 y2 的最大值和最小值.
2
【答案与解析】 1．【答案】B
【解析】线性约束条件对应的平面区域如图所示，由 z＝x－2y 得 y x z ，当 22
可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣
机 10 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
.
x y 3 0, 10.线性目标函数 z x y ，在线性约束条件 2x y 0, 下取得最大值时的最优解只有一个，则实
14．某运输公司有 7 辆载重量为 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重量为 10 t 的 B 型卡车，9 名驾驶员，在建
筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运 360 t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型
卡车 8 次，B 型卡车 6 次，每辆卡车每天往返的成本费为 A 型卡车 160 元，B 型卡车 252 元，每天派出 A
．
三、解答题
13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产
品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企
业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润.
此时 z a 1 a 2 a 7 ，解得：a＝3 或 a＝－5(舍)．
2
2
故选：B．
5．【答案】B
【解析】∵C
点是目标函数的最优解，∴ kAC
a
kBC
，解得 12 5
a
3 10
6.【答案】A 【解析】设该企业在这个生产周期内生产 x 吨甲产品，生产 y 吨乙产品，x、y 满足的条件为
3x y 13 2x 3y 18 x 1 y 2
0 x 4
，求线性目标函数 z＝400x＋300y 的最小值．
0 y 8
x 4
解得当
y
2
时，zmin＝2
200.
10.【答案】 , 2 ；
【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定 满足的条件.
3
11.【答案】
2
【解析】 画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 y=－x+z，当 z 取到最大时，直线 y=－x+z 的纵截距
故 4x 3y 的最大值为 14，最小值为-18， x2 y2 的最大值为 37，最小值为 0.
8
直线y x z 在 y 轴上的截距最小时，z 取得最大值，由图知，当直线通过点 A 时， 22 x y 0
在 y 轴上的截距最小，由 x y 2 0 解得 A(1，－1)．所以 zmax＝1－2×(－1)＝3.
2. 【答案】B
x 2y 3 0
2x y 3 0
【解析】
画出不等式组的平面区域如题所示，由
线间的距离的最小值是（ ）
35 A.
5
B. 2
32 C.
2
D. 5
x y 5
3.
已知
x、
y
满
足
以
下
约束
条
件
x
y
5
0，
使
z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解
x 3
有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （ ）
A．-3
B.3
C．-1
D.1
x y a
4．设
x，y
已知实数对(x，y)满足
y
1
，则 2x＋y 取最小值时的最优解是__________．
x y 0
8. （2016
x y 1 0
新课标Ⅲ）若
x,
y
满足约束条件
x
2
y
0
则 z x y 的最大值为_____________.
x 2 y 2 0
9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车
最大，故将直线尽可能地向上平移到 D(1, 1 ) ，则 z=x+y 的最大值为 3 ．
2
2
4y
3
2
B
1
D
x
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4
C
–1
–2
–3
–4
12. 【答案】15
【解析】 z
2x
y4
6
x 3y
2 x 2y, y 2 2x 10 3x 4 y, y 2 2x
由图可知当 y≥2－2x 时，满足的是如图的 AB 劣弧，则 z=2+x－2y 在点 A（1，0）处取得最大值 5；当 y＜
2－2x 时，满足的是如图的 AB 优弧，则 z=10－3x－4y 与该优弧相切时取得最大值，故
z 10
d
1 ，所以 z=15，故该目标函数的最大值为 15.
5
13．【解析】 设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系：
每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产 1 吨，乙产品至少生产 2 吨，消
耗 A 原料不超过 13 吨，消耗 B 原料不超过 18 吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的
产量应是( )
A．1 吨
B．2 吨
1
C．3 吨
11
D. 吨
3
二、填空题
x 2
7.
当 l 过 C 点时，z 值最小，当 l 过 B 点时，z 值最大.
zmax 14, zmin 18 ②设 u x2 y2 ，则 u 为点（x,y）到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，
不难知道：点 B 到原点距离最大，而当（x,y）在原点时，距离为 0.
umax 12 62 37, umin 0
y x+y=5
O
4．【答案】B．
x y a
【解析】由约束条件
x
y
作可行域如图，
－1
x–y+5=0 x=3 x
3
联立
x x
y y
1
，解得
a
x
y
a 1 2
a 1 2
．
∴A( a 1, a 1 )． 22
当 a＝0 时 A 为( 1 , 1 )，z＝x＋ay 的最小值为 1 ，不满足题意；
6
甲产品 x 吨 乙产品 y 吨
A 原料
3x y
B 原料
2x 3y
x 0
y 0 则有： 3x y 13
，目标函数 z 5x 3y
2x 3y 18
y
13
（0，6） （3，4）
O （ 13 ，0）9
x
3
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当 x ＝3， y ＝4 时可获得最大利润为 27
22
2
当 a＜0 时，由 z＝x＋ay 得 y 1 x z ， aa
要使 z 最小，则直线 y 1 x z 在 y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在； aa
当 a＞0 时，由 z＝x＋ay 得 y 1 x z ， aa
由图可知，当直线过点 A 时直线 y 1 x z 在 y 轴上的截距最小，z 最小． aa
63 252
252
而直线 l ' 的纵截距 b 取最小值时，z 也取得最小值，
即l
'过
A (7,
2) 5
时，
zmin
160x
252 y
160 7 252
2 5
1220.8 ，
但此时 y 2 N ， 5
∴z=1220.8 到不到，即它不是可行解，调整 x、y 的值，
当 x=5，y=2 时，点 A '(5, 2) 在直线 4x+5y=30 上，且在可行域内符合 x、y 要求.
所获得的利润 z＝x＋3y，作出如图所示的可行域：
4
16 作直线 l0：x＋3y＝0，平移直线 l0，显然，当直线经过点 A(1, 3 ) 时所获利润最大，此时甲产品的产
量为 1 吨
7. 【答案】(1,1) 【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令 z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作直线 l0：y＝－2x， 作与 l0 平行的直线 l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.
作直线 l :160x 252 y 0 ，即 y 40 x ， 63
作直线 l 的平行线 l ' ： y 40 x b 63
当直线 l ' 经过可行域内 A 点时， l ' 纵截距最小，
7
可得 A 点坐标为 (7, 2) . 5
∵z=160x+252y，∴ y 40 x z ，式中 z 代表该直线的纵截距 b，
B . (12 , 3 ) 5 10
Ｂ
Ｃ(2, 4)
35
C.
(
3
12 ,)
10 5
D. (12 , 3 ) 5 10
x
Ｏ
Ａ
6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原
料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 1 万元，
满足约束条件
x
y
，且
－1
z＝x＋ay
的最小值为
7，则
a＝(
)
A．－5
B．3
C．－5 或 3
D．5 或－3
5.如图，目标函数 z ax y 的可行域为四边形 OACB（含边界），
若 C( 2 , 4) 是该目标函数 z ax y 的最优解，则 a 的取值范围 y 35
是（ ） A. (10 , 5 ) 3 12
万元.
14．【解析】
设派出 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，所花成本费为 z=160x+252y，且 x、y 满足给条件如：
x y 9
x y 9
6x 8 10 y 6 360 4x 5y 30
0 0
x y
7且 4且
xN yN
，即
0 0
x y
7且 4且
xN yN
如图所示，作出不等式表示的区域，
y a.
数 a 的取值范围
11. （ 2015
x y 1 0， 新 课 标 Ⅱ ） 若 x ， y 满 足 约 束 条 件 x 2 y 0, ， 则 z=x+y 的 最 大 值 为
x 2 y 2 0,
____________．
12. (2015 浙江)若实数 x，y 满足 x2+y2≤1，则|2x+y―2|+|6―x―3y|的最小值是
3
8.【答案】
2
【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 z x y 经过点 A(1, 1 ) 时 2
取得最大值，即
zmax
1
1 2
3 2
。
9. 【答案】2200 【解析】设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，运输费用 z 元，根据题意，得线性约束条件
5
20x 10 y 100
x
y
3
0
得
A(1,
2)
，由
x
y
3
0
得
B(2,1) ，由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即
AB (1 2)2 (2 1)2 2 ，故选 B
3 . 【答案】D 【解析】如图，作出可行域，作直线 l ：x+ay ＝0 ，要使目标函数 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 x+y＝5 重合，故 a=1，选 D
【巩固练习】
一、选择题
y 1
1．若变量
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z＝x－2y 的最大值为( )
x y 2 0
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（2016
x y 3 0, 浙江文）若平面区域 2x y 3 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直
x 2 y 3 0
∴派 5 辆 A 型车，2 辆 B 型车时，成本费用最低， 即 zmin=160×5+2×252=1304（元）
7x 5y 23 0
15．【解析】①
x 7 y 11 0
，表示的共公区域如图所示：
Hale Waihona Puke Baidu
4x y 10 0
其中 A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）
设 z= 4x 3y ，以直线 l ： 4x 3y 0 为基础进行平移，