南京市高二上数学期末近年汇编
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()f x ()y f x =()y f x '=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据()f x ()f x ()f x '此可判断的图象.()f x '【详解】由的图象可知，在上为增函数，()f x ()f x (),0∞-且在上存在正数，使得在上为增函数， ()0,∞+,m n ()f x ()()0,,,m n +∞在为减函数，(),m n 故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化， ()f x '()0,∞+()f x '故排除A ，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C. ()f x (),0∞-()0f x '≥(),0∞-故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.2．函数的单调递增区间（ ）()(31)x f x x e =-A ．B ．C ．D ．1(,3-∞2(,3-∞-2(,)3-+∞1(,)3+∞【答案】C【分析】求导，令求解. ()0f x '>【详解】解：因为， ()(31)x f x x e =-所以，()(32)x f x x e =+'令，解得，()0f x '>23x >-所以函数的单调递增区间是，()f x 2(,)3-+∞故选：C3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在1111ABCD A B C D -AB a = AD b = 1AA c =E 1DDF 上，且，则等于（ ）BD 3BF FD =EFA ．B ．111332a b c --111442a b c --C ．D ．111442a b c -+ 111233a b c -+ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解. 【详解】，11142=-=-EF DF DE DB DD ， ()11111142442=--=--AB AD DD a b c 故选：B4．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角x y +=2222(1)x y a a +=+-,A B O AOB A 形，则实数的值为 a A ．1B ．-1C ．D ．1212-【答案】C【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到(0,0)O r 直线的距离为，则d d 由条件得，整理得． r =2243d r =所以，解得．选C ． 222633(1)a a a =+-12a =5．已知函数有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）()2ln xf x ax ax x e =--A ．B ．C ．D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),e +∞【答案】D【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进()0f x =2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x=-而得到函数图象，数形结合即可得实数a 的取值范围【详解】函数有两个零点，即有两根，又()2ln x f x ax ax x e =--()2ln 0xa x x x e --=，故可转换为有两根，令， 则()2ln ln 0x x x x x x -=->2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x =-，令，则，故()()()()()()22222ln 2ln 111ln ln ln x x e x x x x x e x x x g x xx x xx x --++---'==--()1ln h x x x =--()1x h x x-'=在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故()h x ()0,1()1,+∞()()10h x h ≥=1x =在上，单调递减；在上，单调递增，所以()0,1()0g x '<()g x ()1,+∞()0g x '>()g x ，又当与时，故实数a 的取值范围为 ()()min 1g x g e ==0x +→x →+∞()g x ∞→+(),e +∞故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题6．在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离xOy (1,2)A P 22y x =P y 与到点的距离之和的最小值为（ ） P A AB C ．D【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解. 【详解】依题意，可得出如下图形：抛物线的方程为，22y x =抛物线的焦点为，，准线方程为，∴1(2F 0)l 12x =-设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结， P y Q PQ l B PF 则长即为点到轴的距离，可得，PQ P y 12PB PQ =+根据抛物线的定义，得，||||PB PF =， 1122PQ PA PB PA PF PA ∴+=+-=+-根据平面几何知识，可得，得. PF PA AF +≥12PQ PA AF +≥-当且仅当､､三点共线时等号成立，P A F1122==当､､三点共线时，的最小值为∴P A F PQ PA +即到轴的距离与到点P y P A 故选：D.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为R ()f x ()()0xf x f x '+>()12f =()2e e xxf >（ ） A ． B ． C ．D ．()0,+∞()ln2,+∞()1,+∞()0,1【答案】A【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. ()()g x xf x =()2e e xxf >【详解】设，则， ()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>故为上的增函数，()g x R 而可化为即， ()2e exx f >()()e e 211x x f f >=⨯()()g e 1x g >故即，所以不等式的解集为， e 1x >0x >()2e e xxf >()0,+∞故选：A.8．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：{}n a {}n b ，数列的前项和为，则的值为（ ） 312123112n n n a a a a b b b b +++⋯+=-{}n b n n S 5S A ．454 B ．450 C ．446 D ．442【答案】A【分析】由已知可得，进而根据已知可推出当时，.进而得出21n a n =-2n ≥12n n n a b =()212n n b n =-⋅，求出前5项，相加即可得出答案.【详解】由题意可得：. 12(1)21n a n n =+-=-又①， 312123112n nn a a a a b b b b +++⋯+=-当时，②， 2n ≥311211231112n n n a a a a b b b b ---+++⋯⋯+=-①-②可得：， 111111222n n n n n a b -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭所以.()2212n nn n b a n ==-⋅又时，，可得，显然满足， 1n =11112a b =-12b =()212n n b n =-⋅所以.()212nn b n =-⋅所以. 512345S b b b b b =++++2345232527292454=+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：A.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有，则P ，A ，B ，C 四点共面111632OP OA OB OC =++C ．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底{},,a b c m a c =+{},,a b m D ．若，则是钝角 0a b ⋅<,a b 【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据且OP xOA yOB zOC =++u u u r u u r u u u r u u u rP ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义是空间的一个1x y z ++=⇔{},,a b c基底不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的,,a b c ⇔cos ,0a b < 范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有因为，111632OP OA OB OC =++ 1111632++=根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；对于C ，由于是空间的一个基底，则向量不共面{},,a b c ,,a b c∵，则共面m a c =+,,a c m ∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C 正确；,,a b m{},,a b m 对于D ，若，即，又，所以，所以Dcos ,0⋅=< a b a b a b cos ,0a b <[],0,π∈ a b π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 不正确． 故选：ABC ．三、单选题10．函数，下列对函数的性质描述正确的是（ ） 3()32()f x x ax a R -+∈=()f x A ．函数的图象关于点对称 ()f x ()0,2B ．若，则函数f （x ）有极值点0a ≤C ．若，函数在区间单调递减0a >()f x (,-∞D ．若函数有且只有3个零点，则a 的取值范围是 ()f x ()1,+∞【答案】AD【分析】利用函数的对称性即可判断选项A 是否正确；对函数求导，分别就和进行()f x 0a ≤0a >讨论，即可判断选项B 、C 是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数3()32()f x x ax a R -+∈=的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a 的取值范围，由()f x 此即可判断选项D 是否正确．【详解】对于选项A ，因为，所以，所以3()32()f x x ax a R -+∈=3()32()f x x ax a R --++∈=，所以函数的图象关于点对称，故选项A 正确；()()4f x f x +-=()f x ()0,2对于选项B ，由，当时，，函数在定义域内为增函()()22333f x x a x a '=-=-0a ≤()0f x '≥()f x 数，此时函数没有极值点，故选项B 错误；()f x 对于选项C ，当时，由，解得又∵时，，所以函0a>()0f x '=x =(x ∈-∞()0f x >′数在区间单调递增，故选项C 错误；()f x (,-∞对于选项D ，由，()()22333f x x a x a '=-=-当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意； 0a ≤()0f x '≥()f x当时，由，解得0a >()0f x '=x =又∵时，，时，，时，，(x∈-∞，()0f x >′(x ∈()0f x <′)x ∈+∞()0f x >′∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为，()f x (,-∞)+∞(∴函数的极小值和极大值．22f=-+(22f =+∵函数有三个不同的零点，3()32()f x x axa R -+∈=∴，即 ， 解得，故选项D 正确． 000a f f⎧>⎪⎪>⎨⎪⎪<⎩01010a >⎧⎪>⎨⎪>⎩1a >故选：AD.【点睛】方法点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．四、多选题11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足，则以下结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8B ．△PAB 面积最大时，PA=C ．∠PAB 最大时，PA=D ．P 到直线AC 距离最小值为【答案】ACD【分析】根据可求得点轨迹方程为，A 正确；PA =P ()2238x y -+=根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为AB P AB (3,P ±，由此可确定B 不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C 错误； ∠PAB PA 求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D 正确.AC【详解】解：对于A ：设，由得：，即(),P x y PA =222PA PB =()()2222121x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简可得：，即点轨迹方程为，故A 正确； ()2238x y -+=P ()2238x y -+=对于B ：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆AB ()2238x y -+=∴P AB的半径，即为，()2238x y -+=r，面积最大为，2AB = PAB ∴A 122⨯⨯=(3,P ±B 不正确；PA ∴==对于C ：当最大时，则为圆的切线，∠PAB PA ()2238x y -+=，故C 正确；∴PA ==对于D ：直线的方程为，则圆心到直线， AC 770x y -+=()3,0AC =点到直线D 正确.∴P AC -=故选：ACD.12．“已知函数，对于上的任意，，若______，则必有2()cos f x x x =-,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()()12f x f x >恒成立.”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是（ ） A ． B ．C ．D ．12x x >120x x +>2212x x >121x x >【答案】CD【分析】确定函数的奇偶性和单调性后再判断．【详解】，是偶函数，22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=()f x在上，是增函数，是减函数，因此是增函数， 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y x =cos y x =()f x 因此，四个选项中只有CD 能得出． 12x x >12()()f x f x ⇔>12x x >故选：CD ．五、填空题13．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.{}n a 13a =2{}n a n a =【答案】3【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解. 【详解】依题意，由数列为等差数列，设其公差为，且， {}n a d 13a =得，， 23a d =+332a d =+又数列也为等差数列，2{}n a 则，即，2222132a a a =+()()2223932d d +=++解得：. 0d =.3n a ∴=故答案为：3.14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____()sin cos f x x x =+[]0,a a 【答案】0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】利用辅助角公式进行化简解析式，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解即可.【详解】由题意知，，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，22,242k x k k z πππππ-+≤+≤+∈解得， 322,44k x k k z ππππ-+≤≤+∈令可得，， 0k =344x ππ-≤≤所以为函数的一个单调递增区间，3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 因为函数在上单调递增，所以.()f x []0,a 04a π<≤故答案为：0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简、利用正弦函数的单调区间求参数的取值范围；考查运算求解能力和整体代换的思想；熟练掌握辅助角公式和正弦函数的单调区间是求解本题的关键；属于中档题.六、双空题15．已知数列的各项均为正数，其前n 项和为，且，n ，则＝_______；{}n a n S 12n n n S a a +=N *∈4a 若＝2，则＝_______． 1a 20S 【答案】 4 220【分析】当时，利用， 即可得到 ，取即可.2n ≥1n n n a S S -=-n a 4n =利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成22a ={}n a 等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可. 【详解】根据①，得②， 12n n n S a a +=112n n n S a a --=①﹣②得， 112n n a a +--=()2n ≥又时，，可得 1n =1122a a a =⋅22a =故；4224a a =+=当＝2，，可得 ， 1a 22a =,1n n n a n n ⎧=⎨+⎩为偶数，为奇数即可求得201351924620=(++++)+(++++)S a a a a a a a a L L ． (220)10(2+20)10=22022+⨯⨯=+故答案为：4；220【点睛】本题主要考查了与的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于n a n S 中档题.七、填空题16．已知函数为定义在R 上的增函数，且对，若不等式()f x ()()R,2x f x f x ∀∈+-=对恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞【答案】 2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由，可得，则不等式可转化为()()R,2x f x f x ∀∈+-=12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对恒成立，根据函数为定义在R 上的增函数，可得，通()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞()f x 2ln ax x ≥过分离参数，利用导数研究函数的单调性极值即可求得结果【详解】因为，()()R,2x f x f x ∀∈+-=所以，12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为不等式对恒成立，1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞所以对恒成立，()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞因为函数为定义在R 上的增函数，()f x 所以，得在上恒成立，2ln ax x ≥2ln xa x ≥()0,x ∀∈+∞令，，则，2ln ()xg x x =()0,x ∈+∞22(1ln )()x g x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0g x '>e x >()0g x '<所以 在上递增，在上递减，2ln ()xg x x =()0,e ()e,+∞所以当时，取得最大值，，e x =()g x max 2()(e)=e g x g =所以， 2e a ≥所以实数a 的取值范围是，2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭八、解答题17．记S n 为等比数列的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.{}n a （1）求的通项公式；{}n a （2）求Sn ，并判断Sn +1，Sn ，Sn +2是否成等差数列．【答案】（1）；（2）见解析.(2)n n a =-【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利2q =-12a =-用等差中项证明Sn +1，Sn ，Sn +2成等差数列．试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，. {}n a q ()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩2q =-12a =-故的通项公式为.{}n a ()2n n a =-（2）由（1）可得. ()()111221133nn n n a q S q +-==-+--由于， ()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦故，，成等差数列.1n S +n S 2n S +点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18．已知E ，F 分别是正方体的棱BC 和CD 的中点．1111ABCD A B CD -(1)求与所成角的大小；1A D EF (2)求与平面所成角的余弦值．1A E 1B FB 【答案】(1)60°； (2).23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【详解】（1）以AB ，AD ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AA设正方体的棱长为，则，，，，1111ABCD A B C D -2a 1(0,0,2)A a (0,2,0)D a ()2,,0E a a (),2,0F a a 所以，，设与EF 所成角的大小为，1(0,2,2)A D a a =- (,,0)EF a a =- 1A D α则， 1111cos cos ,2A D EF A D EF A D EF α⋅====⋅ 因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．(0,90⎤⎦ 1A D EF （2）设平面的法向量为，与平面所成角为，． 1B FB ()0000,,n x y z = 1A E 1B FB β0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ因为，，所以，，(2,0,0)B a 1(2,0,2)B a a (,2,0)BF a a =- 1(0,0,2)BB a = 所以，令，得为平面的一个法向量，又因为0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 02x =0(2,1,0)n = 1B FB ，1(2,,2)A E a a a =- 所以101010sin cos ,A E n A E n AE n β⋅====⋅ 所以． 2cos 3β==19．已知公差大于0的等差数列满足． {}n a 122311111+++⋅⋅⋅+=+n n n a a a a a a n (1)求的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前21项和．1(1)n n n n b a a +=-{}n b 21S 【答案】(1)；n a n =(2).242-【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；1a d （2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.n b 2n S 【详解】（1）根据题意，当时，，即①，1n =12112a a =122a a =当时，，所以②， 2n =12231123a a a a +=236a a =设等差数列的公差为，{}n a (0)d d >由①②得，解得， 1111()2()(2)6a a d a d a d +=⎧⎨++=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以；11n a n n =+-=（2）因为，则，1(1)n n a a n n +=+1(1)(1)(1)n n n n n b a a n n +=-=-+所以，212(21)22(21)4n n b b n n n n n -+=--⋅++=所以, 22122124(1)4(12)222n n n n n S b b b b n n n -+=++++=⨯+++==+ 所以，又，20210020220S =⨯+=212122462b =-⨯=-故.21220462242S =-=-20．已知函数.2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1, (1))f （2）求的单调区间；()f x 【答案】（1）（2）详见解析=3y -【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；()1f ()1f '（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负()0f x '=01a <<1a =1a >得到函数的单调区间.【详解】（1），，， 1a = ()242ln f x x x x ∴=-+()224f x x x'∴=-+，又，()10f '∴=()1143f =-=-在处的切线方程为.()f x \()()1,1f =3y -（2）， ()()()()()()222122122210x a x a x a x a f x x a x x x x-++--'=-++==>令，解得：，.()0f x '=1x a =21x =①当时，若和时，；若时，；01a <<()0,x a ∈()1,+∞()0f x ¢>(),1x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,a ()1,+∞(),1a ②当时，在上恒成立，1a =()0f x '≥()0,∞+的单调递增区间为，无单调递减区间；()f x \()0,∞+③当时，若和时，；若时，；1a >()0,1x ∈(),a +∞()0f x ¢>()1,x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,1(),a +∞()1,a 综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 01a <<()f x ()0,a ()1,+∞(),1a 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；1a =()f x ()0,∞+当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.1a >()f x ()0,1(),a +∞()1,a 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.21．已知函数，.()ln f x kx x x =-R k ∈(1)当时，求函数的单调区间；2k =()f x (2)当时，恒成立，求的取值范围；01x <≤()f x k ≤k 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为()f x (0,e)(e,)+∞(2)，[1)∞+【分析】（1）直接对函数求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.()f x （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可.k 【详解】（1）当时，，，，2k =()2ln f x x x x =-0x >()1ln f x x '=-由，解得；由，解得，()0f x ¢>0e x <<()0f x '<e x >所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.()f x (0,e)(e,)+∞（2），故，()ln f x kx x x =-()1ln f x k x '=--当时，因为，所以，因此恒成立，1k ≥01x <≤10ln k x -≥≥()0f x '≥即在，上单调递增，所以（1）恒成立，()f x (01]()f x f ≤k =当时，令，解得，1k <()0f x '=1e (0,1)k x -=∈当，，单调递增；1(0,e )k x -∈()0f x ¢>()f x当，，单调递减，1(e ,)k x -∈+∞()0f x '<()f x 于是，与恒成立相矛盾，()1(e )1k f f k ->=()f x k ≤综上，的取值范围为，.k [1)∞+22．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面12,F F ()2222:10x y C a b a b+=>>M C 12MF F △积最大值为，离心率2e =（1）求椭圆的标准方程；C （2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒1F l C ,A B 1111AF BF t AF BF +=成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.t 【答案】（1）；（2）存在实数． 22142x y +=2t =【分析】（1）根据离心率公式，三角形面积公式以及关系列方程组求解即可求出方程；,,ab c （2）讨论直线斜率是否存在，从而设直线方程代入椭圆方程，结合韦达定理得出两根关系，利用弦长公式代入条件化简求解即可求出结果．【详解】(1）由题意可得222122,2c e a c b a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得.2224,2,2a b c ===故椭圆的标准方程为； C 22142x y +=如图，由可知.()2()1())12,F F 当直线的斜率不存在时，l ，则 2111b AF BF a +==11112AF BF t AF BF +==当直线的斜率存在时，设其斜率为，l k 则直线的方程为， l (y k x =+()()1122,,.A x y B x y 联立 (22142y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩整理得， ()222221440k x x k +++-=则2121224421k x x x x k +=-=+从而1x -=故212214+421k AF BF AB x k ===++则())()221112122211221k AF BF k x x x x k +=++++=+因为， 1111+AF BF t AF BF =所以 ()221121124++421==22121k AF BF k t AF BF k k +=++综上，存在实数，使得恒成立．2t =1111AF BF t AF BF =+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
南京市高二上学期数学期末复习(文解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为．4．如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为．5．如图是一个算法流程图，则输出的结果S为．6．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1=2，则PF2的值是．7．已知函数f（x）=2e x+1，则f'（0）的值是．8．已知p：x=1，q：x3﹣2x+1=0，则p是q的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条准线与抛物线y2=2px（p ＞0）的准线重合，则实数p的值是．10．如图，椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是．11．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P 在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为．12．若方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足，则实数a的取值集合是．14．设a＞0，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数．（1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围；（2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围．16．（14分）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．17．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．（1）求实数a的值；（2）用反证法证明：当x＞0时，，中至少有一个不小于．18．（16分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P 处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题若|a|＞|b|，则a2＞b2．【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆命题的定义是解决本题的关键．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为23．【解答】解：根据条件语句可知该语句执行后是计算y=，当x=5时，y=52﹣2=23．故答案为：23．4．如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为2．【解答】解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则=，解得x=2．故答案为：2．5．如图是一个算法流程图，则输出的结果S为22．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1满足条件n＜11，执行循环体，S=1，n=4满足条件n＜11，执行循环体，S=5，n=7满足条件n＜11，执行循环体，S=12，n=10满足条件n＜11，执行循环体，S=22，n=13不满足条件n＜11，退出循环，输出S的值为22．故答案为：22．6．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1=2，则PF2的值是4．【解答】解：由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=6，由丨PF1丨=2，则丨PF2丨=4，∴丨PF2丨的值为4，故答案为：4．7．已知函数f（x）=2e x+1，则f'（0）的值是2．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=0即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2e x，则f′（0）=2e0=2，故答案为：2；8．已知p：x=1，q：x3﹣2x+1=0，则p是q的充分不必要条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．【解答】解：当x=1时，x3﹣2x+1=1﹣2+1=0，设f（x）=x3﹣2x+1，∵f（﹣2）=﹣8+4+1=﹣3＜0，f（﹣1）=﹣1+2+1=2＞0，即在区间（﹣2，﹣1）内至少存在一个x，使f（x）=0，即p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条准线与抛物线y2=2px（p ＞0）的准线重合，则实数p的值是3．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣．由双曲线得a2=3，b2=1，c=2．取此双曲线的一条准线x=﹣．由题意可得﹣=﹣，∴p=3．故答案为：3．10．如图，椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是．【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，可得B1B2=A2B1，即：2b=，可得：a2=3b2=3a2﹣3c2，即2a2=3c2，可得e=．故答案为：；11．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为﹣1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（﹣c，c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2﹣c2，e=，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．12．若方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：画出函数y=，与y=a（x﹣2）的图象，如图：方程有两个不相等实数根，可得：≤1，解得a∈，结合图象可得：a∈；故答案为：．13．在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足，则实数a的取值集合是{﹣3，﹣1，1，3} ．【解答】解：根据题意，设P（x，y），∵，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2+y2，化为x2+y2=4，∴圆心距|a|=1或3，∴a=﹣3，﹣1，1，3．故答案为{﹣3，﹣1，1，3}．14．设a＞0，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，+∞）∪[，] ．【解答】解：∵g（x）=x﹣lnx∴g'（x）=1﹣，x∈[，1]，g'（x）≤0，函数g（x）单调递减，g（x）的最小值为g（1）=1，f'（x）=，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a1）=1+a2≥1恒成立，符当a≥1时，f（x）在[，1]，上单调减，f（x）最小=f（合题意；a）=2a 当时，在[，a]上单调减，在[a，1]，上单调增，f（x）最小=f（≥1，⇒；=，⇒当a时，在[，1]上单调增，f（x）最小=f（）综上：则实数a的取值范围是：[，+∞）∪[，]．故答案为：[，+∞）∪[，]．二、解答题：15．（14分）（2016秋•泰州期末）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数．（1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围；（2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）解出关于￢p的不等式，求出x的范围即可；（2）根据p且q为真，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵命题“¬p”为真，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2．…（7分）（2）∵命题“p且q”为真，∴“p真”且“q真”，…（9分）即∴∴2≤x＜3．…（14分）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查不等式问题，是一道基础题．16．（14分）（2016秋•泰州期末）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）由z2=﹣2i，展开后利用复数相等的条件求得a值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简即可求得复平面内与对应的点的坐标．【解答】解：（1）∵z2=（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai，由题意，a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴，解得a=1．（2）由题意，z=2﹣i，∴，∴复数在复平面内所对应的点坐标为．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．17．（14分）（2016秋•泰州期末）已知函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．（1）求实数a的值；（2）用反证法证明：当x＞0时，，中至少有一个不小于．【考点】利用导数研究函数的极值；反证法与放缩法．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；（2）假设，都小于，得到关于x的不等式组，得出矛盾，证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣ax，∴f'（x）=3x2﹣a，…（2分）∵函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，∴f'（1）=0，…即3﹣a=0，∴a=3．…（7分）证明：（2）假设，都小于即…（9分）∴∴，…（11分）即，当x＞0时，，当且仅当，即时等号成立，∴假设不成立，∴，中至少有一个不小于…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及反证法的应用，是一道中档题．18．（16分）（2016秋•泰州期末）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O 为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠POB的弧度，从而求出PB的长度即可；（2）根据PB的长，求出t（θ）的解析式即可；（3）求出函数的导数，根据函数的单调性求出t（θ）的最大值，带入计算比较即可．【解答】解：（1）∵，∴m．（2）在OAP中，AP=2OAcosθ=3000cosθ，在扇形OPB中，，又BA=2OA=3000，∴小王本次训练的总时间：=，，（3）由（2）得：，令t'（θ）=0，得，∴，列表如下，从上表可知，当时，t（θ）取得极大值，且是最大值，∴t（θ）的最大值是，（3）∵，π＜3.2，∴，∵2200＜40×60，∴小王本次训练时间不能超到40分钟．【点评】本题考查了弧长公式，考查函数的单调性、最值问题，是一道综合题．19．（16分）（2016秋•泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率，a=2c，，点在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程；（2）①设，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：，将Q点代入椭圆方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T点坐标；②由①可知，，利用斜率公式可知：k QT=，直线QT的方程为，即，直线QT过定点（1，0）．【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率，∴a=2c，，∵点在椭圆上，∴，解得：c=1，∴，∴椭圆C的标准方程为；…（2）①设，其中0＜t＜2，∵|QT|=2，∴，即，（*）…（7分）∵点Q（m，n）在椭圆上，∴，则，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t＜2，∴，…（9分）∴，由题意，m=﹣1，∴，∵n＞0，∴，则T点坐标，…（11分）②证明：由①可知，，∴直线QT的斜率，…（13分）∴直线QT的方程为，即，∴直线QT过定点S（1，0）．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•泰州期末）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由题意，直线是曲线y=lnx+ax2的一条切线，设切点，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此时．…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）当﹣1≤a≤0时，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）（ⅱ）当a＜﹣1时，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，∴当﹣1≤a≤0时，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，当a＜﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。
南京市学年度第一学期期末检测卷(高二数学理)试卷终稿
南京市 2021－ 2021 学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕注意事 ：1．本 卷共4 ，包括填空 〔第 1~第 14 〕、解答 〔第 15 ~第 20 〕两局部． 本卷 分160 分，考120 分 ．2．答 前， 必将自己的姓名、学校、班 、学号写在答 卡的密封 内． 的答案写在答 卡 上 目的答案空格内．考 束后，交答复 卡．．．．一、填空 ：本大 共14 小 ，每小 5 分，共 70 分． 把答案填写在答 卡相 位置．．．．．．． 上1．命 “假设 a ＝ b ， |a |＝ |b| 〞的逆否命 是 ▲．2．双曲 x 2－y 2＝1 的 近 方程是▲．43．复数a ＋2i虚数，其中 i 是虚数 位， 数a 的 是▲．1－ i4．在平面直角坐 系xOy 中，点 (4， 3)到直 3x － 4y ＋ a ＝ 0 的距离1， 数 a 的 是▲ ．5．曲 y ＝x 4与直 y ＝4x ＋ b 相切， 数b 的 是 ▲．x ＋ y －2≥ 0，6． 数x ， y 足条件 x － y ≤0， z ＝ 2x ＋ y 的最大 是 ▲ ．y ≤ 3，7．在平面直角坐 系xOy 中，抛物 C ：y 2＝ 4x 的焦点 F ，P 抛物 C 上一点，且 PF＝ 5， 点 P 的横坐 是▲ ．8．在平面直角坐 系xOy 中， O:x 2＋ y 2＝ r 2 (r ＞ 0)与 M:(x －3) 2＋(y ＋ 4)2＝4 相交， r的取 范 是▲．9． 察以下等式：π－ 2 2π－24(sin ) ＋ (sin3)＝ ×1×2；3 3 π－ 22π－2 ＋ (sin 3π－ 2 4π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 5) 5) ＋ (sin 5 ) ＝ ×2×3；5 3 π－ 2 2π－2 ＋ (sin 3π－ 2 6π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 7 ) 7 ) ＋⋯＋ (sin 7 ) ＝ ×3×4；7 3 π－ 2 2π－2 ＋ (sin 3π－ 2 8π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 9) 9) ＋⋯＋ (sin 9) ＝ ×4×5；9 3 ⋯⋯依此 律，当 n ∈N *， (sinπ) －2＋ (sin2π)－2 ＋ (sin3π )－ 2＋⋯＋ (sin 2n π )－ 2＝▲．2n ＋12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 110．假设 “ x ∈ R ， x 2＋ ax ＋ a ＝0〞是真命 ， 数 a 的取 范 是▲ ． 11．函数 f(x)＝ (x 2＋ x ＋ m)e x (其中 m ∈ R ，e 自然 数的底数)．假设在 x ＝－ 3函数 f (x)有极大 ， 函数 f (x)的极小 是▲ ．12．有以下命题：①“ m ＞ 0〞是“方程 x 2＋my 2＝ 1 表示椭圆〞的充要条件；②“ a ＝1〞是“直线 l 1:ax ＋ y －1＝ 0 与直线 l 2:x ＋ ay －2＝ 0 平行〞的充分不必要条件； ③“函数 f (x)＝ x 3＋ mx 单调递增〞是“ m ＞0〞的充要条件； ④ p ， q 是两个不等价命题，那么“ p 或 q 是真命题〞是 “p 且 q 是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．2213．椭圆 E ：x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的焦距为 2c(c ＞0)，左焦点为 F ，点 M 的坐标为 (－ 2c ，a b0)．假设椭圆 E 上存在点 P ，使得 PM ＝ 2PF ，那么椭圆 E 离心率的取值范围是▲．x(x － t)2， x ≤ t ，14． t ＞ 0，函数 f(x)＝ 1假设函数 g(x)＝ f( f(x)－ 1)恰有 6 个不同的零点，那么4x ， x ＞t ．实数 t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文．．．．．．．． 字说明、证明过程或演算步骤． 15． (此题总分值 14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 三个顶点坐标为 A(7，8)，B(10，4)，C(2，－ 4)．(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求 BC 边上的高所在直线的方程．16． (此题总分值 14 分 )数列 { a n } 满足 a 1＝ 1，(a n － 3)a n ＋ 1－ a n ＋ 4＝ 0(n ∈N * ).(1)求 a 2， a 3， a 4；(2)猜测 { a n } 的通项公式，并用数学归纳法证明.17． (此题总分值14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的圆心在直线y＝－ 2x 上，且圆M 与直线x＋ y－ 1＝ 0 相切于点P(2，－ 1)．(1)求圆 M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．18． (此题总分值16 分 )某休闲广场中央有一个半径为 1(百米 )的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形．．观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC ) 构成的六边形ABCDEF区域，其中A、 B、 C、 D 、 E、 F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图 )．设∠ AOF＝θ，其中 O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．B ACθFOD E〔第 18 题图〕19． (此题总分值 16 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E：x2y23，两个顶点分a2＋b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为2→→，过点 M 斜率为 k(k≠ 0)的别为 A(－ a， 0)，B(a， 0)，点 M(－ 1， 0)，且 3 AM ＝ MB 直线交椭圆 E 于 C， D 两点，其中点 C 在 x 轴上方．(1)求椭圆 E 的方程；(2)假设 BC⊥ CD，求 k 的值；(3)记直线 AD ，BC 的斜率分别为k1， k2，求证：k1为定值．k2yCA M OB xD(第 19 题图 )20．〔此题总分值16 分〕函数 f(x)＝ ax－ln x(a∈R ).(1)当 a＝ 1 时，求 f(x)的最小值；f(x)(2)假设存在 x∈ [1，3] ，使得x2＋ lnx＝2 成立，求 a 的取值范围 ;(3)假设对任意的x∈ [1，＋∞)，有 f(x)≥ f(1x)成立，求 a 的取值范围 .高二数学期末调研〔理科〕第 4 页共 4 页。
2020年江苏省南京市区中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2020年江苏省南京市区中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过点，则的值为（）A．2 B．C．16 D．参考答案：B2. 等差数列{a n}中，，则此数列前20项和等于A．160 B．180 C．200 D．220参考答案：B3. 设，且，则( )A. 0B. 100C. －100D. 10200参考答案：B略4. 在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为，则塔高为（）A．B． C． D．参考答案：A5. 已知等比数列，，，则A． B． C． D．参考答案：D6. 曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－，－)参考答案：B略7. 已知数列，那么9是此数列的第（）项．A．12 B．13 C．14 D．15参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题意，分析可得数列的通项公式为a n=，令a n==9，解可得n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列，则有a n=，若a n==9，解可得n=14，即9是此数列的第14项，故选：C．8. 等差数列{a n}的前10项和为30，前20项和为100，则它的前30项和是（）A．130 B．170 C．210 D．260参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．∴30+S30﹣100=2×（100﹣30），解得：S30=210．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：号为（）A．23 B．37 C．35 D．17参考答案：A【考点】简单随机抽样．【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．【解答】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．10. 若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于（）A．B．1 C．D．2参考答案：B 【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）?（1+c，）=0，求出c，即可求出b．【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）?（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。
江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(文科) (1)
江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为．3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为．4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．9．（5分）已知函数f（x）＝+a在（0，+∞）上的最小值为2e，则实数a的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；（2）若z1＝（）2，求m，n的值．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．19．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：∃x＞0，e x＜ex．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：∃x＞0，e x＜ex．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为x＝﹣．【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为1．【解答】解：f（x）＝e x•sin x，f′（x）＝（e x）′sin x+e x．（sin x）′＝e x•sin x+e x•cos x，∴f'（0）＝0+1＝1故答案为：14．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是3．【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z＝＝＝＝3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．【解答】解：椭圆C：+y2＝1，可得e＝，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d＝＝．故答案为：．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为1．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d＝＝，故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）＝+a在（0，+∞）上的最小值为2e，则实数a的值为e．【解答】解：f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）min＝f（1）＝e+a＝2e，解得：a＝e，故答案为：e．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是3．【解答】解：设P（x，y），则＝（4﹣x，﹣y），＝（﹣x，2﹣y）∵•＝15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是﹣1．【解答】解：由已知可得，BF1＝，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C＝90°，可得：2c＝，即：2ca＝a2﹣c2，可得e2+2e﹣1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝﹣1．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是[﹣2，1]．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是3．【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB|＝＝＝＝|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK|﹣＝|PA|+|PF|﹣，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|＝，即有|PA|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是（1，2）．【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；（2）若z1＝（）2，求m，n的值．【解答】解（1）因为z1＝m﹣2i为纯虚数，所以m＝0．又n＝1，所以z1＝﹣2i，z2＝1﹣i，从而z1+z2＝1﹣3i．因此|z1+z2|＝＝．（2）因为z1＝（）2，所以m﹣2i＝（1+ni）2，即m﹣2i＝（1﹣n2）+2ni．又m，n为实数，所以，解得16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．【解答】解（1）因为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），所以a＝4．…………………（2分）又椭圆E的离心率e＝＝，所以c＝2．…………………（4分）所以b2＝a2﹣c2＝4．因此椭圆E的方程为…………………（6分）（2）：由椭圆E的方程为．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．因为∠F1PF2＝，所以•＝0，所以x2+y2＝12．…………………（10分）由解得x2＝．…………………（12分）所以|x|＝，即P到y轴的距离为．…………………（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，令y＝0，得x2+Dx+F＝0．因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，所以x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解，所以D＝﹣1，F＝﹣6．因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．（2）由（1）可得，圆C：（x﹣）2+（y+）2＝，故圆心C（，﹣），半径r＝．因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．所以C到直线l的距离d＝×＝．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，所以＝，解得k＝﹣，所以直线l：y﹣5＝﹣（x+2），即4x+3y﹣7＝0．综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．因为2πr1＝2，所以r1＝，同理2πr2＝2，即r2＝．所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x＝（60x﹣5x3）．因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是（0，）．（2）由f（x）＝（60x﹣5x3），得f′（x）＝（60﹣15x2），令f′（x）＝0，因为x∈（0，），故x＝2．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，所以当x＝2时，f（x）取得极大值，也是最大值．因此f（x）的最大值为f（2）＝．答：两个圆柱体积之和V的最大值为．19．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】（本小题满分16分）解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣．…………………（2分）设直线y＝x+m与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2lnx0+），…………………（5分）解得x0＝1，即切点为（1，1），因为切点在y＝x+m上，所以1＝1+m，解得m＝0．…………………（7分）（2）不等式f（x）＞1可化为alnx+﹣1＞0．记g（x）＝alnx+﹣1，则g（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立．考察函数g（x）＝alnx+﹣1，x＞0，g′（x）＝﹣＝．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意；…………………（9分）当a＞0时，x∈（0，），g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，…………………（11分）若≤1，即a≥1时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意；…………………（13分）若＞1，即0＜a＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，所以当x∈（1，）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．…………………（16分）20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．【解答】（1）解：∵直线l经过点F2（1，0），A（0，），∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣1）．由，解得或．∴B（）；（2）证明：∵直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A，B在直线l上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，∴k1＝，k2＝，从而k1+k2＝＝．∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（）﹣3•（﹣）＝0，∴k1+k2＝0；（3）解：△AF1B的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝．由（2）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，故S＝＝12＝＝．设函数f（x）＝9x+（x≥1）．∵f'（x）＝9﹣＞0，∴f（x）＝9x+在[1，+∞）上单调递增，∴当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）+取最小值10．即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．。
江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题
【全国市级联考】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．2．已知复数z 满足(1)z i i +=，其中i 是虚数单位，则||z =_____________． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______．4．“x 2－3x ＋2＜0”是“－1＜x ＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．已知实数x ，y 满足条件01250x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则z ＝3x ＋y 的最大值是______． 6．函数 f (x )＝x e x 的单调减区间是______．7．如图，直线l 经过点(0，1)，且与曲线y ＝f (x ) 相切于点(a ，3)．若f ′(a )＝23，则实数a 的值是______．8．在平面直角坐标系xOy 中，若圆 (x －a )2＋(y －a )2＝2 与圆 x 2＋(y －6)2＝8相外切，则实数a 的值为______．9．如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x ＋y ＋z 的值为______．10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线23x －y 2＝1的渐近线与抛物线x 2＝的准线相交于A ，B 两点，则三角形OAB 的面积为______．11．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线 ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为______．12．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是______．13．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.14．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围是[0，am ]，则实数a 的取值范围是______．二、解答题15．已知复数21miz i+=+（m R ∈，i 是虚数单位）. （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z +在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围.16．如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点． （1）求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值；（2）设二面角A —BD —G 的大小为θ，求 |cos θ| 的值．17．如图，圆锥OO 1π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ． （1）试写出S 关于x 的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在直线l ：x －y －1＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）设P 是圆D ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0上任意一点，过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，试求四边形PMCN 面积S 的最小值及对应的点P 坐标．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的一条准线方程为x ＝3，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ，AN ，分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1， k 2，求k 1k 2的值；② 过M 作直线l 1⊥AM ，过N 作直线l 2⊥AN ，l 1与l 2相交于点Q ．试问：点Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a ∈R ． （1）若a ＝0，求过点(0，﹣1)且与曲线()y f x =相切的直线方程；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．①求a 的取值范围；②求证：12()()f x f x +''0<．参考答案1．“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2．2【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以()111z1222i iiii-===++.所以z2==.故答案为2.3．(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4．充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.5．7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线3y x z =-+经过点A(2,1)时，z 取最大值7. 故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 【解析】函数 f (x )＝x e x ，求导得：()()x 1xf e x '=+.令()x 0f '<，解得1x <-.所以函数 f (x )＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以). 故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1]. 7．3 【解析】由导数的几何意义知f ′(a )＝23，即为切线斜率为23. 所以2313a-=，解得3a =. 故答案为：3. 8．3 【解析】圆 (x －a )2＋(y －a )2＝2 与圆 x 2＋(y －6)2＝8相外切，=3a =.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
2021-2022学年江苏省南京市部分学校高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数，那么的值为( )A. B.C. D.2.设，若直线：与直线：平行，则a 的值为( )A. 1B. C. 1或D.3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”“钱”是古代一种重量单位，这个问题中戊所得为( ) A.钱B. 钱C.钱D.钱4.若抛物线与直线l ：相交于A 、两点，则弦AB 的长为( )A. 6B. 8C.D.5.函数，则不等式的解集是( )A.B.C.D.6.已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A. 10B. 11C. 12D. 137.在平面内，是两个定点，C 是动点．若，则点C 的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线8.已知函数，若存在三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数，若函数在上有极值，则实数a 可以取( )A. 1B. 2C. 3D. 410.已知等比数列，公比为q，前n项和为，则下列结论一定正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 当时，数列单调递增D. 若且，则11.已知动点P在圆上，点、，则( )A. 点P到直线AB的距离小于6B. 点P到直线AB的距离大于2C. 当最小时，D. 当最大时，12.将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：，，，…，则以下结论中正确的是( )A. 第10个括号内的第一个数为1023B. 2021在第11个括号内C. 前10个括号内一共有1023个数D. 第10个括号内的数字之和三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为__________.14.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的2次近似值．一般的，作曲线在点N处的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．设的零点为r，取，则r的2次近似值为__________.15.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且与圆O：相切的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点点M在第一象限，若，则双曲线C的离心率__________.16.设数列满足，且，则__________.数列的通项__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（）A．∀a，b＞0，和至少有一个成立B．∀a，b＞0，和都不成立C．∃a，b＞0，和至少有一个成立D．∃a，b＞0，和都不成立2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABD内D．点P必在平面BCD内5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．B．C．D．6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．B．﹣3C．D．7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（）A．[﹣1，0]B．C．D．8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线二、多项选择题（共4小题）.9．对下列命题的否定说法正确是（）A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝010．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．其中正确的是（）A．A B．B C．C D．D11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题为（）A．A B．B C．C D．D12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）A．B．C．D．三、填空题（共4小题）.13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p ∧q为真命题，则实数a的取值范围是．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 5415．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为．16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为．四、解答题（共70分）17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若，求|CD|的长．20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）＝收税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收税率（%）入﹣个税起征点入﹣个税起征点﹣专项附加扣除1不超过1500元部分3不超过3000元部分32超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30……………随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．（1）求BC的长；（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（）A．∀a，b＞0，和至少有一个成立B．∀a，b＞0，和都不成立C．∃a，b＞0，和至少有一个成立D．∃a，b＞0，和都不成立解：根据含有量词的命题否定可知，∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立的否定为：∃a，b＞0，和都不成立．故选：D．2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由a+b＜0，可得a≤0，b＜0或a＞0，b＜﹣a，当a≤0，b＜0时，可得a|a|+b|b|＜0，当a＞0，b＜﹣a时，可得a|a|+b|b|＜0，故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分条件，由a|a|+b|b|＜0，可得当a≤0时，b＜0，或b＜﹣a，得a+b＜0；当a＞0时，可得b＜﹣a，得a+b＜0，故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的必要条件，∴a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分必要条件，故选：C．3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，解：回归直线分布在散点图附近，表示回归直线的斜率，表示回归直线在y轴上的截距，由题意可知，2010﹣2013年，y随x的增加而迅速增加，2014﹣2016年，y随x的增加而平缓增加，2017﹣2019年，y随x的增加而减少，故，由图可知，，故选：A．4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH 相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABD内D．点P必在平面BCD内解：作图如下：因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．B．C．D．解：sinφ＝＝，＝，当高铁以运行速度337.5km/h经过时，频移为≈8.998×109（1/h）；当高铁以运行速度375km/h经过时，频移为≈9.998×109（1/h）．则频移范围为9.998×109（1/h）至8.998×109（1/h），又检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），∴该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为P＝＝．故选：A．6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．B．﹣3C．D．解：由已知得双曲线Γ：a＝1，b＝，c＝2．故F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）．设直线PQ：x＝my﹣2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）．由消去x整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0，∴，两式相比得①，∴k AP：k BQ＝＝＝②，将①代入②得：上式＝＝﹣3．故k AP：k BQ＝﹣3．故选：B．7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（）A．[﹣1，0]B．C．D．解：如图，＝（）•（）＝++＝0﹣（+）+0＝﹣（+），∵，∴∈[﹣]，∵OC＝OA＝，二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，∴∈[]，∴∈[﹣1，]．故选：B．8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线解：分别以MN和AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，M（2，0），N（﹣2，0），因为，（0＜λ＜1），所以，，所以直线AH的方程为，直线DG的方程为，联立这两条件直线方程可得点因为，则点P的坐标满足，所以点P的轨迹是以O为对称中心，N，M分别为左右焦点的椭圆，其中a＝4，，c＝2．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．对下列命题的否定说法正确是（）A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0解：P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0，A正确；P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∀x∈R，x2＞﹣1，B错误；P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1，C正确；P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0，D正确．故选：ACD．10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．其中正确的是（）A．A B．B C．C D．D解：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，则P（A）＝＝，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，则P（B）＝＝，C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}，则P（C）＝＝，∴P（A）＝P（B）＝P（C），故A正确；∵A，B，C是相互独立事件，∴P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝＝，故B正确；∵A、B、C不是两两互斥事件，∴不正确，故C错误；∵P（A）＝P（B）＝P（C）＝，∴，故D正确．故选：ABD．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题为（）A．A B．B C．C D．D解：对于A．取A1B1的三等分点为F1，使A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，∴F1B1∥FC1且F1B1＝FC1，∴四边形FC1B1F1为平行四边形，∴FF1∥B1C1∥BC且FF1＝B1C1＝BC，∴四边形F1FCB为平行四边形，∴BF1∥CF，则∠F1BE为异面直线BE，CF所成的角，连接EF1，由题意得：BF1＝，BE＝，EF1＝，所以cos∠F1BE＝＝＝，故A正确；对于B．取B1B的三等分点为E1，使B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，∴BE1∥CE且BE1＝CE，∴四边形BE1EC为平行四边形，则E1E∥BC且E1E＝BC，又由A得，FF1∥BC且FF1＝BC，于是FF1∥EE1且FF1＝EE1，∴四边形EE1F1F为平行四边形，∴EE1∥F1F，取A1B1的中点为G，连接BG，又＝＝，∴E1F1∥BG∥EF，则四边形BEFG即为所求截面，由题意知：BE≠FG，故B不正确；对于C．S△B1BE＝×3×3＝，又C1F⊥面B1BE，C1F＝1，所以＝＝×C1F＝＝××1＝，故C正确；对于D．取CD的三等分点为H1，使CH1＝2DH1，取BC的三等分点为H，使CH＝2BH，∴HH1∥BD∥B1D1，则面B1D1H1H即为所求的截面α，建立如图所示的空间坐标系，则A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），＝（﹣3，3，1），＝（﹣3，﹣3，0），＝（﹣3，﹣2，﹣3），∵•＝0，•＝0，所以AE⊥平面B1D1H1H，由已知条件得，B1D1＝3，HH1＝B1D1＝2，B1H＝D1H1＝，等腰梯形B1D1H1H的高为h＝＝，所以截面面积为S＝×＝，故D正确．故选：ACD．12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）A．B．C．D．解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这时b＝c，离心率e＝＝＝；或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这时AF22＝AB2+BF22，即（a+c）2＝a2+b2+a2，整理可得：e2+e﹣1＝0，可得e＝，故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p ∧q为真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a＝1．解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”为真，则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a＝1，故答案为：a≤﹣2，或a＝114．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号331、572、455．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54解：利用随机数表抽取是样本数据，找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455．故答案为：331，572，455．15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为．解：由题意可得2c＝4，＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝6，所以离心率e＝＝＝，故答案为：．16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为．解：过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设Q（x，y，z），＝＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），|cos＜＞|＝＝，令f（λ）＝，λ∈[0，1]，∴f′（λ）＝，由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得，λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，∴当时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，|AQ|＝||＝．故答案为：．四、解答题（共70分。
南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
高二〔上〕期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分〕.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0〞的否认是．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．4．“x＞1〞是“x2＞1〞的条件〔填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞〕5．过点〔1，1〕且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．6．函数f〔x〕=xe x的最小值是．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+〔a﹣1〕y+〔a2﹣1〕=0，假设l1⊥l2，那么a=．8．过点〔2，1〕且与点〔1，3〕距离最大的直线方程是．9．圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，那么这个圆锥的高是．10．过点A〔0，2〕且与圆〔x+3〕2+〔y+3〕2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．12．函数f〔x〕满足f〔1〕=1，对任意x∈R，f′〔x〕＞1，那么f〔x〕＞x的解集是．13．如图，过椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，假设△AOP是等腰三角形，且=2，那么椭圆的离心率是．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，那么实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．〔14分〕命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．〔1〕当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；〔2〕假设命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．16．〔14分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：〔1〕B1C∥平面FAC1；〔2〕平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．〔14分〕如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD〔点A，B在直径上，点C，D在半圆周上〕，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面〔不计剪裁和拼接损耗〕．〔1〕设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；〔2〕假设要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A〔﹣1，2〕，B 〔1，4〕，C〔3，2〕．〔1〕求△ABC外接圆E的方程；〔2〕假设直线l经过点〔0，4〕，且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l 的方程；〔3〕在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．19．〔16分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2，且过点〔1，〕，椭圆上顶点为A，过点A作圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C〔不同于点A〕，设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕求k AB•k AC的值；〔3〕试问直线BC是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由．20．〔16分〕函数f〔x〕=lnx+ax，g〔x〕=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．〔1〕假设a=1，求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔2〕假设函数y=f〔x〕的极大值为﹣2，求实数a的值；〔3〕假设a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，求实数a的取值范围．高二〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分〕.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为〔1，0〕．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：〔1，0〕故答案为：〔1，0〕【点评】此题主要考查抛物线的焦点坐标．属根底题．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0〞的否认是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否认．【分析】直接利用特称命题的否认是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否认是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0〞的否认是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】此题考查命题的否认，全称命题与特称命题的否认关系，是根底题．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．【点评】此题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，此题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是根底题．4．“x＞1〞是“x2＞1〞的充分不必要条件〔填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞〕【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1〞是“x2＞1〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决此题的关键．5．过点〔1，1〕且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，由直线过点〔1，1〕可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0．【点评】此题考查直线的一般式方程和平行关系，属根底题．6．函数f〔x〕=xe x的最小值是﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在〔﹣∞，﹣1〕上单调减，在〔﹣1，+∞〕上单调增∴x=﹣1时，函数y=xe x取得最小值，最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于根底题．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+〔a﹣1〕y+〔a2﹣1〕=0，假设l1⊥l2，那么a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．两条直线的斜率分别为：，．∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】此题考查了直线相互垂直的充要条件，属于根底题．8．过点〔2，1〕且与点〔1，3〕距离最大的直线方程是x﹣2y=0．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A〔2，1〕且与点B〔1，3〕距离最大的直线l满足：l⊥AB．那么k l•k AB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A〔2，1〕且与点B〔1，3〕距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴k l•k AB=﹣1，∴k l=．∴直线l的方程为：y﹣1=〔x﹣2〕，化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】此题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，那么这个圆锥的高是．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，那么圆锥的高h=2×sin60°=．【点评】考查了学生的空间想象力．10．过点A〔0，2〕且与圆〔x+3〕2+〔y+3〕2=18切于原点的圆的方程是〔x ﹣1〕2+〔y﹣1〕2 =2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M〔a，a〕，又所求的圆过点A〔0，2〕，可得圆心M还在直线y=1上，故M〔1，1〕，求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：〔x+3〕2+〔y+3〕2=18的圆心C〔﹣3，﹣3〕．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M〔a，a〕，又所求的圆过点A〔0，2〕，故圆心M还在直线y=1上，故M〔1，1〕，半径为AM=，故要求的圆的方程为：〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2 =2，故答案为：〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2 =2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高，那么顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=•S ABCD•SO=•22•1=．故答案为．【点评】此题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于根底题．12．函数f〔x〕满足f〔1〕=1，对任意x∈R，f′〔x〕＞1，那么f〔x〕＞x的解集是〔1，+∞〕．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】题目给出的函数f〔x〕为抽象函数，没法代式求解不等式f〔x〕＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′〔x〕＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g〔x〕=f〔x〕﹣x，然后分析g〔x〕在实数集上的单调性，又f〔1〕=1，可求出g〔1〕=0，最后用g〔x〕与0的关系求解不等式f〔x〕＞x的解集．【解答】解：令g〔x〕=f〔x〕﹣x，那么，g′〔x〕=f′〔x〕﹣1，∵f′〔x〕＞1，∴g′〔x〕＞0，所以函数g〔x〕在〔﹣∞，+∞〕上为增函数，又g〔1〕=f〔1〕﹣1=0，那么由g〔x〕＞0，得g〔x〕＞g〔1〕，即x＞1，∴f〔x〕﹣x＞0的解集为〔1，+∞〕，也就是f〔x〕＞x的解集为〔1，+∞〕故答案为：〔1，+∞〕．【点评】此题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g〔x〕．13．如图，过椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，假设△AOP是等腰三角形，且=2，那么椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A〔﹣a，0〕∴P〔0，a〕．设Q〔x0，y0〕，∵=2，∴〔x0，y0﹣a〕=2〔﹣a﹣x0，﹣y0〕．∴，解得．代入椭圆方程得+=1，化为=．∴e===．故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法〞等是解题的关键．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，那么实数a的取值范围是∅．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数图象，令f〔f〔x〕﹣2a〕=0⇒f〔x〕﹣2a=﹣2或f〔x〕﹣2a=1，⇒f〔x〕=2a﹣2或f〔x〕=2a+1，由函数函数f〔x〕=的值域为R，可得f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，必满足f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1各有一个零点．【解答】解：函数y=的定义域是〔0，+∞〕，令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函数y=在〔0，e〕递增，在〔e，+∞〕递减，故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4〔x≤0〕是抛物线的一局部．∴函数f〔x〕=的图象如下：令y=f〔f〔x〕﹣2a〕=0⇒f〔x〕﹣2a=﹣2或f〔x〕﹣2a=1，⇒f〔x〕=2a﹣2或f 〔x〕=2a+1，∵函数函数f〔x〕=的值域为R，∴f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1都至少有一个零点，函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，那么必满足f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1各有一个零点．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅【点评】此题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．〔14分〕〔2021秋•淮安期末〕命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．〔1〕当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；〔2〕假设命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】〔1〕假设命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，那么f′〔x〕=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；〔2〕假设命题“p且q“为真命题，那么命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕假设命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，那么f′〔x〕=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；〔2〕假设命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，那么〔a+2〕〔a﹣2〕＜0．解得：a∈〔﹣2，2〕，假设命题“p且q“为真命题，那么命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2〕．【点评】此题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．〔14分〕〔2021秋•淮安期末〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：〔1〕B1C∥平面FAC1；〔2〕平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕如下图取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1〔2〕只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：〔1〕证明：如下图取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C∥平面FAC1〔2〕证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A ⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】此题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．17．〔14分〕〔2021秋•淮安期末〕如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD〔点A，B在直径上，点C，D在半圆周上〕，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面〔不计剪裁和拼接损耗〕．〔1〕设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；〔2〕假设要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】〔1〕设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；〔2〕用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V〔x〕关于x的函数，判断V〔x〕的单调性，得出V〔x〕的最大值．【解答】解：〔1〕连接OC，设BC=x，那么y=2，〔其中0＜x＜30〕，〔2〕设圆柱底面半径为r，高为x，那么AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=〔900x﹣x3〕，〔其中0＜x＜30〕；∴V′=〔900﹣3x2〕，令V′〔x〕=0，得x=10；因此V〔x〕=〔900x﹣x3〕在〔0，10〕上是增函数，在〔10，30〕上是减函数；∴当x=10时，V〔x〕取得最大值V〔10〕=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【点评】此题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．18．〔16分〕〔2021秋•淮安期末〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A〔﹣1，2〕，B〔1，4〕，C〔3，2〕．〔1〕求△ABC外接圆E的方程；〔2〕假设直线l经过点〔0，4〕，且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l 的方程；〔3〕在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】〔1〕利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；〔2〕分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；〔3〕求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．【解答】解：〔1〕设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，那么，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．〔2〕当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，联立，得〔1+k2〕x﹣〔2k﹣2〕x﹣2=0，△=[﹣〔2k﹣2〕]2+8〔1+k2〕=12k2+8k+12＞0，设直线l与圆交于E〔x1，y1〕，F〔x2，y2〕，那么，，∵弦长为2，∴=2，解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．〔3〕设P〔x，y〕，∵PB2﹣2PA2=12，A〔﹣1，2〕，B〔1，4〕，∴〔x﹣1〕2+〔y﹣4〕2﹣2〔x+1〕2﹣2〔y﹣2〕2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．【点评】此题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．19．〔16分〕〔2021秋•淮安期末〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2，且过点〔1，〕，椭圆上顶点为A，过点A作圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C〔不同于点A〕，设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕求k AB•k AC的值；〔3〕试问直线BC是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．〔2〕设切线方程为y=kx+1，那么〔1﹣r2〕k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD 的斜率为k1，k2〔k1≠k2〕，k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：〔1+4k2〕x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．〔3〕设B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，k AB=k1，k AC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：〔1+4k2〕x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：x B，x C．y B，y C，k BC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：〔1〕由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．〔2〕A〔0，1〕，设经过点A的圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的切线方程为：y=kx+1．那么=r，化为：〔r2﹣1〕k2+2k+r2﹣1=0，那么k AB•k AC==1．〔3〕设B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，k AB=k1，k AC=k2．设经过点A的圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的切线方程为：y=kx+1．联立，化为：〔1+4k2〕x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴x B=，x C==．y B=，y C=．∴k BC==．∴直线BC的方程为：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直线BC经过定点．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线方程、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．〔16分〕〔2021秋•淮安期末〕函数f〔x〕=lnx+ax，g〔x〕=ax2+2x，其中a 为实数，e为自然对数的底数．〔1〕假设a=1，求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔2〕假设函数y=f〔x〕的极大值为﹣2，求实数a的值；〔3〕假设a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f〔1〕，f′〔1〕，从而求出切线方程即可；〔2〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；〔3〕即a≥，设g〔x〕=，根据函数的单调性求出g〔x〕的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：〔1〕a=1时，f〔x〕=lnx+x，f′〔x〕=1+，f〔1〕=1，f′〔1〕=2，故切线方程是：y﹣1=2〔x﹣1〕，即：2x﹣y﹣1=0；〔2〕f〔x〕的定义域是〔0，+∞〕，f′〔x〕=+a=，a≥0时，f〔x〕在〔0，+∞〕递增，无极值，a＜0时，令f′〔x〕＞0，解得：x＜﹣，令f′〔x〕＜0，解得：x＞﹣，故f〔x〕在〔0，﹣〕递增，在〔﹣，+∞〕递减，故f〔x〕的极大值是f〔﹣〕=ln〔﹣〕﹣1，假设函数y=f〔x〕的极大值为﹣2，那么ln〔﹣〕﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；〔3〕假设a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣〔a﹣2〕x≥0恒成立．即a≥，设g〔x〕=，那么g′〔x〕=，当x＞1时，g′〔x〕＞0，∴g〔x〕在区间〔1，+∞〕上递增，∴当x∈[1，e]时，g〔x〕≤g〔e〕=，∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f〔x〕≥〔a﹣2〕x恒成立，∴实数a的取值范围为[，0〕．【点评】此题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解此题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．。
【配套K12】江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2. 已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为______．【答案】【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是______．【答案】(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【答案】充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件则z＝3x＋y 的最大值是______．【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数f(x)＝x e x 的单调减区间是______．【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1]【解析】函数f(x)＝x e x，求导得：.令，解得.所以函数f(x)＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以).故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是______．【解析】由导数的几何意义知f ′(a)＝，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为______．【答案】3【解析】圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
南京市高二年级期末试卷数学（答案在最后）2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.32.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53 B.35A C.35C D.353.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.66B.36C.26D.166.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A.2281x y +=B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A .25B.50C.75D.1008.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-= B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；14.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN =.（1）用向量OAOB OC，，表示OP；（2）求||OP .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.南京市高二年级期末试卷数学2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．【详解】直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则1(2)30a a ⋅+-⋅=，解得32a =.故选：C2.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53B.35A C.35C D.35【答案】A 【解析】【分析】利用分步计数原理即得．【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是53.故选：A ．3.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若10a <，且01q <<，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以1n n a a +>，反之，若1n n a a +>，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以10a <，且01q <<或10a >，且1q >，所以“10a <，且01q <<”是“对于任意*N ，都有1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意得出0a b ⋅< 且a 与b 不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时x 的值，从而得解.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，又()()1,2,1,1,1,1a b x =--=--则()()11211120a b x x ⋅=⨯--⨯--⨯=-<，解得0x >，若a与b共线，则111112x --==--，即3x =，此时a b =- ，a 与b 反向，需要舍去，所以x 的取值范围为0x >且3x ≠，即()()0,33,x ∈⋃+∞.故选：D.5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.6B.6 C.26D.16【答案】A 【解析】【分析】以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，求平面AMC 的一个法向量n以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥BC ，又PA ⊥AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,2,0AC = ，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得平面AMC 的一个法向量为n＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP＝(0，0，2)，所以cos 〈n ，AP〉＝6n AP n AP⋅=== .所以二面角B --AC --M的余弦值为6.故选：A【点睛】本题考查了空间向量法求面面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A .2281x y += B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故选：A7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A.25B.50C.75D.100【答案】B 【解析】【分析】根据所给递推关系可得317599972a a a a a a +=+==+= ，即可得解.【详解】由1(1)21nn n a a n ++-=+，故2212212(1)41nn n n n a a a a n +++-=+=+，21221221(1)41n n n n n a a a a n ---+-=-=-，则()()212221212141412n n n n n n a a a a a a n n +-+-+--=+=+--=，故317599972a a a a a a +=+==+= ，故91359502502a a a a ++=⨯+=+ .故选：B.8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由12F F 在1F P上的投影等于1F P 可知PF 1⊥PF 2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到1e 和2e 的关系，最后构建函数利用导数求出22129e e +的最小值.【详解】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e即1=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：①写表达式；②消元；③求值域.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-=B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x ya b+=，由题可得211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩所以211,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以直线方程为30x y +-=或10x y --=，故A ，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y -=，D 正确．故选：ACD10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序【答案】AC 【解析】【分析】对AB ：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C ：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D ：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序.对A ：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的安排顺序有：4432196⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确；对B ：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后，先安排甲乙，则共有326⨯=种安排方式；再安排剩余3道工序，共有3216⨯⨯=种；根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：6636⨯=种，故B 错误；对C ：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有4321248⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故C 正确；对D ：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙，故共有：3214372⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故D 错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±【答案】BC 【解析】【分析】根据题意设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程可得124y y m +=，124y y =-，进而可得21242x x m +=+，()241AB m =+，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得.【详解】由题意可知：拋物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，且直线l 的斜率可以不存在，但不为0，设直线:1l x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，可得()()()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()212241AB x x m =++=+，对于选项A ：因为()2414AB m =+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AB 的最小值为4，故A 错误；对于选项B ：因为线段AF 的中点为111,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，1112p AF x x =+=+，则M 到y 轴的距离112x d +=，以以线段AF 为直径的圆的半径为112x +，即圆心到y 轴的距离等于该圆半径，故y 轴与该圆相切，故B 正确；对于选项C ：因为12121111111122FA FB x x my my +=+=+++++()()2212222212124444412448444m y y m m m y y m y y m m m ++++====+++-+++，所以111FA FB+=，故C 正确；对于选项D ：因为()()11221,,1,AF x y FB x y =--=-uuu r uu r ，且3AF FB =，则123y y -=，即123y y =-，联立121234y y y y m =-⎧⎨+=⎩，解得1262y my m =⎧⎨=-⎩，代入124y y =-可得2124m -=-，解得3m =±，所以直线l的斜率为，故D 错误.故选：BC.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，点E 为1BC 中点，连接1AB 和AC ，易知1B C AE ⊥；对于B 选项，点E 在线段1B C 上运动，1B ，C ，1A ，D 四点共面，平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面；对于C 选项，AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，将这两个平面独立出来展开成同一个平面即可求解；对于D 选项，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，AE 扫过的图形为圆锥面，据此即可求解.【详解】对于A 选项，因为λμ=，所以易知点E 为1BC 中点，如图，连接1AB 和AC ，由正方形易知1AB AC =，因为点E 是1B C 的中点，所以1B C AE ⊥，故A 选项正确；对于B 选项，由题意得点E 在线段1B C 上运动，由正方体的性质可知11//B C A D ，所以1B ，C ，1A ，D 四点共面，因为点1E C B ∈，所以点E ∈平面11CDA B ，所以平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面，所以1B C 在平面1A DE ，故B 选项错误；对于C 选项，由题意得AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，易知当点A 、E 、1D 三点共线时1AE ED +最短，所以1162260AE ED AD +≥=︒=，故C 选项正确；对于D 选项，由11BC BB ==和221λμ+=易知点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AE 扫过的图形为圆锥面，所以12AE AB AC ===，且AE 为圆锥的母线，因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，所以AE 与平面11BB C C 的所成的线面角θ恒定，因为1t n 11a h r θ===，所以π4θ=，故D 选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动的分析.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；【答案】6【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为1121n n C -+=，所以2121n C +=，即()1212n n +=，即2420n n +-=，解得6n =或7n =-（舍去）故答案为：614.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,32AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．【答案】1625【解析】【分析】先由题意可得1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线1AC 与1BC 的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为3,3,32AC BC AB ===，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()10,0,4C ，()13,0,4A ，()0,3,0B ，所以()13,0,4A C =-- ，()10,3,4BC =-，设异面直线1AC 与1BC 所成角为θ，则1111114416cos cos 25916916A C BC A C BC A C BC θ⋅-⨯====+⨯+，.故答案为1625【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1216.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.【答案】233【解析】【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出cos 3θ=，再由正弦定理有||||sin 2sin DP DQ θθ=，即可得出t .【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，()tan ,tan π2DP DQ k k θθ==-，则()tan tan π24θθ⋅-=，解得tan θ=，则cos 3θ=，在DPQ V 中，由正弦定理得||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP t DQ θθθ====.故答案为：3.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .（1）用向量OAOB OC ，，表示OP；（2）求||OP.【答案】（1）111444OP OA OB OC=++ （2）6||4OP =【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再开方即可求解.【小问1详解】因为M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .所以()33131324444443OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON OA OM=+=+=+-=+=+⨯()111111422444OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++；【小问2详解】因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，所以1OA OB OC === ，π3AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以111122OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111222161616444444OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 11111131616161616168=+++++=，所以||4OP = .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2）7170x y -+=或7170x y +-=.【解析】【分析】（1）设出圆心，借助点到直线距离公式可解得圆心坐标，即可得方程；（2）结合三角形面积与点到直线距离公式及勾股定理计算即可得.【小问1详解】由已知可设圆心()0,(0)C b b <，4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=；【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d ，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d ==所以7k =或7-，所以直线2l 的方程为7170x y -+=或7170x y +-=.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．【答案】（1）32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭ ，其前n 项和为()1114414n -<+.【详解】（1）假设等比数列{a n }公比为q,3339,22a S == ，313·2a a q ∴==，且()3312113S a a a a q -=+=+=，解得1132q a =⎧⎪⎨=⎪⎩或1126q a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，32n a ∴=或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，222222166log log log 22162n n nn b na +====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，()111111·4141n n n c b b n n n n +⎛⎫∴===- ⎪++⎝⎭，()123111111111111142231414414n c c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-+-=-=-< ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭ ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）5.【解析】【分析】（I）连接BD 交AC 于点F，再连接EF，利用EF 是三角形DBS 的中位线，判断出DS 平行EF，再利用线面平行的判定得证;（II）取AB 的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC 的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【详解】（I）证明：连接BD 角AC 于点F，再连接EF.因为四边形ABCD 是菱形，所以点F 是BD 的中点，又因为点E 是BS 的中点，所以EF 是三角形DBS 的中位线，所以DS 平行EF，又因为EF ⊂平面ACE，SD ⊄平面ACE 所以SD //平面ACE（II）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠= 又AB=AD，所以三角形ABD 为正三角形.取AB 的中点O，连接SO，则DO ⊥AB 因为平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS平面ABCD =AB所以DO ⊥平面ABS，又因为三角形ABS 为正三角形则以O为坐标原点建立坐标系设AB=2a，则(0,,0),,0,0),(0,0,),(0,2,)A a S D C a-(0,),,,0),(0,3)AD a AS a AC a ===设平面ADS 的一个法向量为(,,)n x y z =则0000y AD n AS n y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩ 取x=1，则1y z ==所以(1,n =r设直线AC 与平面ADS 所成角为θ则sin cos ,5AC n AC n AC nθ⋅===⋅【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）232n nn b +=-.【解析】【分析】（1）利用递推关系化简，消去S n ，得到a n 与a n+1间的关系，满足等差数列定义，从而求得通项公式；（2）将（1）中通项代入递推关系中，化简得到等差数列乘等比数列的形式，利用错位相减法求和，即可得到数列通项.【详解】解：（1）()214n n a s +=①，2n+11(+1)4n a s +=②②-①得到()()11124n n n n n aa a a a +++++-=，所以()()1120n n n n a a a a +++--=因为10n n a a ++>所以12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列，又因为11a =所以21n a n =-（2）因为*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=所以11112122n n n n n a n b b +++++-==所以11232211()())()n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ （1322-12353522222n n n n --=++++- ③所以12212n-12353252222n n n n b ---=++++- ④.所以④-③得到1222222112222n n n n n b ---=+++-- =2111-)212322112212n n n n n --+--=--（【点睛】方法点睛：化简转化递推关系，转化为满足等差数列的形式，利用错位相减法求解等比数列与等差数列乘积形式的前n 项和.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.【答案】（1；（2）证明过程见解析，定点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得a 的值；（2）设直线MN 的方程，由以MN 为直径的圆过点Q ，得0QM QN ⋅=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】由题可知，切线斜率存在，则设切线y kx =，联立得222220x k x a+++=，即()22222120a k x kx a +++=，相切得：()42222Δ12810a k aa k=-+=，即2220a k -=，所以12,=-=k k a a由两切线垂直得：12221k k a-⋅==-a ∴=；【小问2详解】由（1）得，椭圆方程为2212x y +=由题可知，直线MN 的斜率存在，设:=+MN y nx t ，联立得()222214220+++-=n x ntx t 设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得：2121222422,2121--+==++nt t x x x x n n 由题意MN 为直径的圆过点Q ，1122121212(,1)(,1)10QM QN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=+++∴+=①又22221212121222()()()21-=++=+++=+t n y y nx t nx t n x x nt x x t n 12121222()()()221=+++=++++=t y y nx t nx t n x x t n代入①式得：23210t t +-=13t ∴=或1-（舍去），所以MN 过定点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键.。
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（ ） ()1,1A -()3,1B ()1,3C A ． B ． C ． D ．20x y ++=0x y +=20x y -+=0x y -=【答案】C【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出． 【详解】边BC 所在直线的斜率， 13131BC k -==--∴BC 边上的高线斜率．1k =又∵BC 边上的高线经过点A （﹣1，1），∴BC 边上的高线方程为，即． 11y x -=+20x y -+=故选：C ．2．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） P 221x y +=()3,0Q PQ M A ． B ． ()2231x y ++=()2231x y -+=C ． D ．()222341x y -+=()222341x y ++=【答案】C【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到,M P M P P M 的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.M 【详解】设，因为的中点为，()()00,,,M x y P x y PQ M 所以，所以，003202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩00232x x y y =-⎧⎨=⎩又因为在圆上，所以， P 221x y +=()222341x y -+=所以的轨迹方程即为， M ()222341x y -+=故选：C.3．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P 32x a =21F PF A 是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 30︒C AB ．CD ．1234【答案】D【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．21F PF A 30︒212PF F F =,a c【详解】解：由题意可得，，如图，，则，212PF F F =2(,0)F c 121230PF F F PF ∠=∠=︒260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒所以，223222PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，∴，∴．3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34a c =34e =故选：D ．4．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线22221(0,0)y x a b a b -=>>)2的准线上，则双曲线的方程为 2x =()A ．B ．2212128x y -=2212821x y -=C ．D ．22143y x -=22134x y -=【答案】C【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a ，b 的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c ，由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线的一条渐近线过点，22221(0,0)y x a b a b-=>>)2可得渐近线的斜率为a kb ==双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 2x =y =可得 c =即， 227a b +=解得，2a =b =则双曲线的方程为：．22143y x -=故选C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．5．在数列中，，（，），则数列的前n 项和取最大值时，n {}n a 120a =13n n a a -=-2n ≥*N n ∈{}n a 的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】由已知得，根据等差数列的定义得数列是以20为首项，以-3为公差的13n n a a --=-{}n a 等差数列，由等差数列的通项公式求得，令，求解即可.n a 0n a ≥【详解】解：由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为13n n a a -=-13n n a a --=-120a ={}n a 公差的等差数列，所以， ()20313+23n a n n =--=-令，解得：，又，所以数列的前n 项和取最大值时，n 的值是7， 3+230n a n =-≥233n ≤*N n ∈{}n a 故选：A.6．已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则{}n a n n S 0n a >1q >3520a a +=2664a a =6S =（ ） A ． B ．C ．D ．31364863【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公263564a a a a ==比，求得.6S 【详解】由等比中项的性质得， 263564a a a a ==又，3520a a +=解得或，35=4=16a a ⎧⎨⎩35=16=4a a ⎧⎨⎩当时，或（舍），35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q 2q =-当时，（舍），35=16=4a a ⎧⎨⎩12q =±所以，，35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q此时，1=1a 所以，()()6616111263112a q S q-⨯-===--故选：D.7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ()ln f x kx x =-()1,+∞k A ． B ．C ．D ．(],2-∞-(],1-∞-[)2,∞+[)1,+∞【答案】D【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区()ln f x kx x =-()1,+∞间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是()1,+∞()1,+∞．故选D ．[)1,+∞【解析】利用导数研究函数的单调性.8．设等差数列，的前n 项和分别是，若，则 （ ） {}n a {}n b ,n n S T 237n n S nT n =+33a b =A ．1 B ．C ．D ．511221738【答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可 【详解】因为等差数列，的前n 项和分别是，{}n a {}n b ,n n S T 所以， 1515351515355()105225()1571122a a a a a S b b b b b T ++=====+++故选：B二、多选题9．已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，M 为OA 的中点，P2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为双曲线C 右支上一点且，且，则( ) 212PF F F ⊥123tan 4PF F ∠=A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为0x =C ．PM 平分D ．12F PF ∠121344PA PF PF =+ 【答案】ACD【分析】在直角三角形中，利用列出关于a 、b 、c 的齐次式求出离心率，从而12PF F 123tan 4PF F ∠=判断A ；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B ；根据是否相等即可判断PM 是否平1122PF F MPF F M、分，从而判断C ；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用12F PF ∠2F A 12F F 表示，从而判断D.12PF PF 、PA 【详解】由可知，212PF F F ⊥22b PF a=由得，，22212123tan 224b PF b a PF F F Fc ac ∠====232ac b =即，即，即，∴，故A 正确；()2232ac c a =-22320e e --=()()2120e e +-=2e =由∴双曲线渐近线为，故B 错误；2b e a ==⇒=y =由，﹒ 22cc a a=⇒=b =则，，22233b a PF a a a ===12125PF PF a PF a -=⇒=∴； 125533PF a PF a ==∵，，∴， 152222a a a F M c a =+=+=232222a a aF M c a =-=-=12552332aF M a F M ==∴，∴根据角平分线的性质可知PM 平分，故C 正确； 112253PF F M PF F M==12F PF ∠，，22F A c a a a a =-=-=1224F F c a ==，故D 正确；()222212121211134444PA PF F A PF F F PF PF PF PF PF =+=+=+-=+故选：ACD ．【点睛】本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a 、b 、c 的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系. 10．对于函数，下列说法正确的有（ ） ln ()xf x x=A ．在处取得极大值B ．在处取得最大值()f x e x =1e()f x e x =1eC ．有两个不同零点D ．()f x ()()2(π)3f f f <<【答案】ABD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A 、B ，令函数等于0，求出零点即可判断C ，利用函数单调性即可判断D. 【详解】函数的导数， 21ln (),(0)xf x x x -'=>令得，()0f x '=e x =则当时，，函数为增函数， 0e x <<()0f x '>()f x 当时，，函数为减函数， e x >()0f x '<()f x 则当时，函数取得极大值，极大值为，e x =1(e)ef =故A 正确，由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，e x =1(e)ef =故B 正确，由，得，得，即函数只有一个零点， ()0f x =ln 0x =1x =()f x 故C 错误， 由， ()()ln 2ln 42ln 2ln 22,42442f f ====所以，()()24f f =由时，函数为减函数，知， e x >()f x ()()()3(π)42f f f f >>=故成立， ()()2(π)3f f f <<故D 正确． 故选：ABD ．11．已知，，，依次成等比数列，且公比不为1．将此数列删去一个数后得到的数列1a 2a 3a 4a q （按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ） qA B C D ． 【答案】AB【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，分类讨论，结合等差数列的性质及等比的通项q 1a 4a 公式，即可得到答案.【详解】公比不为1，删去的不是与， q ∴1a 4a 当删去的是时：2a ，，成等差数列，，即，1a 3a 4a 3142a a a ∴=+231112a q a a q =+则，即，又，解得；232(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q ---=1q ≠q =q )当删去的是时：3a ，，成等差数列，，即，1a 2a 4a 2142a a a ∴=+31112a q a a q =+则，即，又，解得， 3(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q -+-=1q ≠q =q =)综上，， q =q =故选：AB ．12．下列不等式正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， x R ∈1x e x ≥+0x >ln 1≤-x x C ．当时， D ．当时，x R ∈x e ex ≥x R ∈sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确. 【详解】对于A ：设，则，令，解得，()1x f x e x =--()1x f x e =-'()0f x '=0x =当时函数单调递减，当时，函数单调递增，(,0)x ∈-∞(0,)x ∈+∞所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A 正确；0x =()(0)0min f x f ==x R ∈1x e x +…对于B ：设，所以， ()ln 1f x x x =-+1(1)()1'--=-=x f x x x令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ()0f x '=1x =(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞所以在时，（1），故当时，恒成立，故B 正确；1x =max ()f x f =0=0x >1lnx x -…对于C ：设，所以，令，解得，当时，函数单调()x f x e ex =-()x f x e e '=-()0f x '=1x =(,1)x ∈-∞递减，当时，函数单调递增，(1,)x ∈+∞所以当时，（1），所以当时，，故C 正确；1x =min ()f x f =0=x R ∈x e ex …对于D ：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数， ()sin f x x x =-()1cos 0f x x '=-…()f x R 所以时，成立，时，，故D 错误． 0x >sin x x …0x <()0f x <故选：ABC三、填空题13．观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于_____ ln 2sin 3ln 5sin 6ln 8sin 9【答案】ln11【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解．【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由，所以该数列的第11项为． 11332=⨯+ln11故答案为：．ln1114．若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【详解】试题分析：. 1109M M x x +=⇒=【解析】抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离． y15．已知圆过点，，，则圆的方程为___．C (1,0)(3,0)-C【答案】22230x y x ++-=【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=又由圆过点，，，C(1,0)(3,0)-则有，1030930D F F D F ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解可得，，， 2D =0E =3F =-即圆的方程为：， 22230x y x ++-=故答案为：.22230x y x ++-=16．设函数是奇函数的导函数．，当时，，则()f x '()()f x x R ∈()10f -=0x >()()0xf x f x '-<使得成立的的取值范围为______． ()0f x <x 【答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】构造函数，求解单调性与奇偶性，再结合的正负求解. ()()f xg x x=(),g x x 【详解】令，当时，， ()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<所以函数在上为减函数，()g x ()0,∞+又因为为奇函数，的定义域为， ()f x ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以， ()()()()f x f x g x g x x x---===--所以为偶函数，得在上为增函数， ()g x ()g x (),0∞-因为，所以， ()10f -=()()110g g =-=作出的大致图象如图所示，()g x 当时，，得， ()0,0f x x <>()0g x <()1,x ∈+∞当时，，得 ()0,0f x x <<()0g x >()1,0x ∈-所以的取值范围为 x ()()1,01,-⋃+∞故答案为：()()1,01,-⋃+∞【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题17．已知函数 (a ，b ∈R)的图象在点处的切线方程为y ＝1. ()sin f x x ax+b -＝()()00f ，(1)实数a 的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. ()f x [0]1，【答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为. sin11b -+【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ； （2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】（1）因为函数，则. ()sin f x x ax+b -＝()cos f x x a '-＝所以.()0cos01f a a '-=-＝又函数的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1， ()f x 所以，解得：.()010f a '=-=1a =（2）由（1）知，，.()sin f x x x+b -＝()cos 1f x x '-＝在时，有，所以函数f (x )在区间上单减， ]1[0x ∈，()cos 10f x x '-≤＝[0]1，所以，.()()max 0f x f b ==()()min sin111f b x f ==-+18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a 1322,216a a a ==+（1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.2log n n b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.212n n a -=2n S n =【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带{}n a 3a 21a q 2a 1a q 入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；32216a a =+{}n a 12a =(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列{}n a {}n b 的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．{}n b {}n b 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，{}n a 32216a a =+12a =所以令数列的公比为，，，{}n a q 2231=2a a q q =212a a q q ==所以，解得(舍去)或，22416q q =+2q =-4所以数列是首项为、公比为的等比数列，．{}n a 24121242n n n a --=⨯=(2)因为，所以，，，2log n n b a =21n b n =-+121n b n =+12n n b b +-=所以数列是首项为、公差为的等差数列，．{}n b 1221212n n S n n +-=⨯=【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．19．已知抛物线的焦点为，点．2:4C y x =F (4,0)P (1)设是抛物线上的动点，求的最小值；Q C ||PQ(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若的面积为的方程．P l C M N FMN A l【答案】(1)(2)40x y ±-=【分析】（1）设，由两点间距离公式得(,)Q x y PQ =果；（2）设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理与面积的表达式求解即可.:4l x my =+FMN A【详解】（1）设，则，(,)Q x y PQ ==当时，2x =min ||PQ =（2）设直线，，，焦点．:4l x my =+11(,)M x y 22(,)N x y (1,0)F 联立，消去得， 244x my y x=+⎧⎨=⎩x 24160y my --=，．124y y m ∴+=1216y y =-121·2FMN S PF y y ∴=-=△===，1m ∴=±直线的方程为：．∴l 40x y ±-=20．已知点在双曲线上． (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段的中点？若存11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2212x y -=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；(2,1)A a （2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭1(1)2y k x =--A B 1(x 1)y 2(x ，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求2)y 直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．【详解】（1）解：已知点在双曲线上 (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-所以，整理得：，解得：，则221114a a -=-42440a a -+=22a =a =所以双曲线方程为：. 2212x y -=（2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为： l l 1(1)2y k x =--且设交点1122(,),(,)A x y B x y 则 ，两式相间得： 22112222=12=12x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+由于为中点，则 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 12122,1x x y y +=+=-则 12121y y k x x -==--即有直线的方程：，即 l 1(1)2y x =---12y x =-+ 2221=+224+5=0=12y x x x x y -⇒--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩检验判别式为，方程无实根． ()24425240∆=--⨯⨯=-<故不存在过点的直线与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段的中点. 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭l AB 21．设为等差数列的前项和，已知，．n S {}n a n 59a =525S =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，为数列的前项和，求的取值范围． 11n n n b a a +=n T {}n b n n T 【答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； n （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出的取值{}n b n T 范围.【详解】（1）等差数列中，，，{}n a 59a = 525S =， ∴1149545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得，，11a =2d =． ()*21N n a n n ∴=-∈（2）， 11n n n b a a += ， ()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭ 111111123352121n T n n ⎛⎫∴=-+-++- ⎪-+⎝⎭ ， 11(122121n n n =-=++由于为递增数列， 11212n n n=++时，取得最小值，且， 1n =131121221n n n=<++则， 1132n T ≤<故的取值范围为：. n T 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．已知函数． ()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈(1)当时，求函数的极值；2a =()y f x =(2)求当时，函数在区间上的最小值；0a >()y f x =[1,e]()Q a (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． x 21()2f x ax =12,x x a 212e x x ⋅>【答案】(1)极大值为，极小值为 5ln 24--2-(2) 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(3)，证明见解析 111ea -<<-【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨()f x (0,)+∞10,01a a ><≤11e a<<1e a ≥论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不111e a -<<-()212f x ax =同实根，满足，，两式化简得到，不妨设12,x x ()11ln 1x a x =+()22ln 1x a x =+12122211ln ln x x x x x x x x +=-12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果． 【详解】（1）当时，函数．2a =2()ln 3(0)f x x x x x =+->， 1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=令，得或 ()0f x '=1x =12x =当时，，在上单调递增， 1(0,)2x ∈()0f x '>()f x 1(0,)2当时，，在上单调递减， 1(,1)2x ∈()0f x '<()f x 1(,1)2当时，，在上单调递增，(1,)x ∈+∞()0f x '>()f x (1,)+∞则在处取得极大值，在处取得极小值． ()f x 12x =1x =极大值为，极小值为． 15(ln 224f =--(1)2f =-（2）函数的定义域是，()f x [1,e]． 1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>当时，令有两个解，或． 0a >()0f x '=1x =1x a =当，即时，，在上单调递减， 10ea <≤1e a ≥()0f x '≤()f x ∴[1,e]在上的最小值是， ()f x ∴[1,e](e)f 211e (1)e 2a a =+-+当，即时， 11ea <<11e a <<当时，，在上单调递减， 1(1,x a ∈()0f x '<()f x ∴1(1,)a当时，，在上单调递增， 1(,e)x a ∈()0f x '>()f x ∴1(,e)a在上的最小值是， ()f x ∴[1,e]11()ln 12f a a a=---当，即时，，，在上单调递增， 1a ≥101a <≤[1,e]x ∈()0f x '≥()f x ∴[1,e]在上的最小值是． ()f x ∴[1,e](1)f 112a =--综上，． 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根， x 21()2f x ax =12,x x ln (1)0x a x -+=12,x x 得，令，， ln 1x a x +=ln ()(0)x g x x x=>21ln ()x g x x -'=令，得，()0g x '=e x =当时，，在上单调递增， (0,e)x ∈()0g x '>()g x ∴(0,e)当时，，在上单调递减， (e,)x ∈+∞()0g x '<()g x ∴(e,)+∞时，取得最大值，且，当时， e x ∴=()gx 1e(1)g 0=1x >()0g x >得的大致图象如下： ()g x． 11(0,)ea ∴+∈即当时，有两个不同实根． 111e a -<<-21()2f x ax =12,x x 两根满足，，11ln (1)x a x =+22ln (1)x a x =+两式相加得：，两式相减得：， 1212ln()(1)()x x a x x =++2211ln (1)()x a x x x =+-上述两式相除得． 12122211ln()ln x x x x x x x x +=-不妨设，要证：，12x x <212e x x ⋅>只需证：， 12212211ln()ln 2x x x x x x x x +=>-即证， 22211212112(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++设，令， 211x t x =>2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++则， 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t '-=-=>++函数在上单调递增，且． ∴()F t (1,)+∞(1)F 0=，即，． ()0F t ∴>2(1)ln 1t t t ->+212e x x >⋅∴。
江苏省南京市高二(上)期末数学复习卷
江苏省南京市高二（上）期末数学复习卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1．命题：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是______．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=______．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是______．4．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）5．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是______．6．在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（4，﹣3，0），且=2，则点P的坐标是______．7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是______．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是______．9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是______．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=______．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直l：x+y﹣3=0和圆M：x2+（y﹣m）2=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3，则实数m的取值范围是______．14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是______．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且=0，求实数m的值．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=2，AA1=1，∠BAC=90°，D 为线段BC的中点．（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角D﹣A1B1﹣A的大小．18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx．（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x﹣﹣2f（x）（m∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．①求实数m的取值范围；②证明：g（x2）＜x2﹣1．。
江苏省南京市2020-2021学年高二第一学期期末数学(文科)试题
【市级联考】江苏省南京市2020-2021学年高二第一学期期末数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知命题:0p x ∀＞，x e ex ≥ ，写出命题p 的否定：__.2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x ＝的准线方程为__.3．已知()·sin x f x e x ＝，则()0f '的值为___. 4．已知复数z 满足 ()21z i i －＝＋(i 为虚数单位)，则z 的实部为__. 5．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆2214x C y :＋＝上一点．若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到椭圆C 的右准线的距离为__.6．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =＋的最小值为___.7．在平面直角坐标系xOy 中，“0m >”是“方程221x my =＋表示椭圆”的__条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的顶点到它的渐近线的距离为___. 9．已知函数() x e f x a x＝＋在 (0,)+∞上的最小值为2e ，则实数a 的值为__． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A ，点()0,2B ，平面内点P 满足15PA PB ⋅=，则PO 的最大值是___．11．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点，过点2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点．若190AF B ∠=，则该椭圆的离心率的值是__．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆221:()(21)C x a y a --+=-与圆222230:C x y x +--=有公共点，则实数a 的取值范围是___．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22():11M x y －＋＝，点(3,1)A ，P 为抛物线22y x ＝上任意一点（异于原点），过点P 作圆M 的切线PB ，B 为切点，则PA PB ＋的最小值是___．14．已知()()3223640f x x a x a a a =--+>只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a 的取值范围为_________．二、解答题15．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数．（1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(4,0)A ，（1）求椭圆E 的方程；（2）已知P 是椭圆E 上一点，1F ，2F 为椭圆E 的焦点，且122F PF π∠=，求点P 到y轴的距离．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过抛物线y =x 2−x −6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C 的方程；（2）经过点p (−2,5)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，若圆C 在A ，B 两点处的切线互相垂直，求直线l 的方程．18．如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x 的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB ，11A B 为母线卷成两个高均为x 的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V ．（1）将V 表示成x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V 的最大值．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点．动直线l 过点2F ，且与椭圆C 相交于A ，B 两点（直线l 与x 轴不重合）．（1）若点A 的坐标为 ，求点B 坐标；（2）点(4,0)M ，设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求证：120k k +=；（3）求1AF B ∆面积最大时的直线l 的方程．参考答案1．0x ∃>，x e ex <【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【详解】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p ：∀x ＞0，e x ≥ex ，的否定是：∃x ＞0，e x ＜ex ．故答案为0x ∃>，x e ex <．【点睛】本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2．12x =- 【分析】利用抛物线方程求出p ，即可得到结果．【详解】解：抛物线y 2＝2x 的焦点到其准线的距离为：p ＝1．抛物线的准线方程为：x 12=-． 故答案为12x =-【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3．1【解析】因为()(sin cos )x f x e x x =+' ，所以(0) 1.f '=点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4．3【分析】利用复数的除法运算法则得到z ，结合实部定义得到答案.【详解】解：由（z ﹣2）i ＝1+i 得，z ()21112221i i i i i i ++-+=+=+=+=-3﹣i ， 所以复数的实部为：3．故答案为3．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题． 5．3【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可．【详解】椭圆C ：24x +y 2＝1，可得e = 由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C 的右准线的距离为d ，d ==．．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．6．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足132y xxx y≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，作出可行域如图，由32xx y=⎧⎨+=⎩解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y12=-x2z+，由图可知，当直线y12=-x2z+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．必要不充分【分析】由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：1mm⎧⎨≠⎩＞，再判断“m＞0”与“1mm⎧⎨≠⎩＞”的关系【详解】解：由椭圆的性质有：“方程x 2+my 2＝1表示椭圆”的充要条件为：01m m ⎧⎨≠⎩＞， 又“m ＞0”是“01m m ⎧⎨≠⎩＞”的必要不充分条件， 所以，“m ＞0”是“方程x 2+my 2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为必要不充分【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题．8【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】 解：双曲线24x -y 2＝1的一个顶点为A （2，0）， 双曲线的一条渐近线为y 12=x ，即x ﹣2y ＝0， 则点到直线的距离公式d ==． 【点睛】 本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础． 9．e【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a 的方程，解出即可．【详解】∵()xe f x a x ＝＋，∴()()21x e x f x x-'=， 令()0f x >′，解得1x >，令()0f x <′，解得01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，故()()12min f x f e a e ==+=，解得a e =，故答案为e ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，属于中档题．10．【分析】设P （x ，y ），由PA •PB =15，得点P 的轨迹是以C （2，1）为圆心，为半径的圆，得PO 的最大值为|OC |+半径．【详解】解：设P （x ，y ），则PA =（4﹣x ，﹣y ），PB =（﹣x ，2﹣y ）∵PA •PB =15，∴x （x ﹣4）+y （y ﹣2）＝15，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝20，∴点P 的轨迹是以C （2，1）为圆心，∴PO 的最大值为：|OC |+半径＝故答案为【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．111【分析】令x c =代入椭圆方程，先求出2 AF 的长，利用190AF B ∠=，建立方程22b c a=，然后化简方程构造出离心率求值即可.【详解】由2AF x ⊥轴可得，22221c y a b +=，得2b y a =±，即22 b AF a=，又∵190AF B ∠=，∴22b c a=，即：222ca a c =-， 可得2210e e +-=，∵01e <<，∴1e =，1．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题；常见的求椭圆离心率的方式有：1、直接求出,a c ，求解e ；2、变用公式c e a ==3、构造,a c 的齐次式，解出e 等.12．[-2,1]【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C 1C 2|≤2+1， 即1≤（a ﹣1）2+（a +2）2≤9，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆C 1：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ﹣2）2＝1，其圆心C 1为（a ，a +2），半径为r 1＝1，圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝4，其圆心C 2（1，0），半径r 2＝2， 若两圆有公共点，则2﹣1≤|C 1C 2|≤2+1，即1≤（a ﹣1）2+（a +2）2≤9，变形可得：a 2+a +2≥0且a 2+a ﹣2≥0，解可得：﹣2≤a ≤1，即a 的取值范围为[﹣2，1]；故答案为[﹣2，1]．【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．13．3【分析】设P （x ，y ），可得y 2＝2x ，求得圆M 的圆心和半径，求得切线长|PB |，化简可得|PB |为P到y 轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值． 【详解】解：设P （x ，y ），可得y 2＝2x ，圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1，|PB |====|x |，即|PB |为P 到y 轴的距离，抛物线的焦点F （12，0），准线方程为x 12=-， 可得|P A |+|PB |＝|P A |+|PK |12-=|P A |+|PF |12-，过A 作准线的垂线，垂足为K ，可得A ，P ，K 共线时，|P A |+|PK |取得最小值|AK |72=， 即有|P A |+|PB |的最小值为3． 故答案为3．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题． 14．()1,2. 【分析】对函数()y f x =求导，并求出极值点，列表分析函数()y f x =的单调性与极值情况，由题意得出()()0f x f a =-<极大值，由此可解出实数a 的取值范围. 【详解】()322364f x x a x a a =--+，()()()22333f x x a x a x a '∴=-=-+.令()0f x '=，得x a =-或x a =，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由于函数()y f x =只有一个零点，且该零点为正数， 所以，()()322640f x f a a a a =-=-+<极大值，0a >，化简得2320a a -+<，解得12a <<，因此，实数a 的取值范围是()1,2，故答案为()1,2. 【点睛】本题考查三次函数的零点问题，解题时要利用导数分析函数单调性与极值，结合题意转化为极值的符号等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．(1) 12 z z +=【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果． 【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +== （2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+，即()2212m i nni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩解得 1.n ⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16．（1）221164x y +=(2)3 【分析】（1）椭圆E 经过点A （4，0），可得 a ＝4． 椭圆E 的离心率e c a ==可得c ＝． 即可得椭圆E 的方程；（2）由∠F 1PF 22π=，所以1PF •2PF =0，可得x 2+y 2＝12，由2222121164x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得P 到y轴的距离． 【详解】（1）因为椭圆2222:1x y E a b+=经过点()4,0A ，所以2161a =，解得4a =． 又椭圆E的离心率c e a ==，所以c = 所以2224b a c =-=．因此椭圆E 的方程为221164x y +=．（2）方法一：由椭圆E 的方程221164x y +=，知()1F －，()22,0F ．设(),P x y ．因为122F PF π∠＝，所以120PF PF ⋅=，所以2212x y ＋＝．由221,16412x y +=⎪⎨⎪+=⎩解得2323x =．所以x =，即P 到y． 方法二：由椭圆E 的方程221164x y +=，知c =．设(),P x y ．因为122F PF π∠=，O 为12F F 的中点，所以OP c ==2212x y ＋＝． 由22221,16412x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得2323x =．所以3x =，即P 到y轴的距离为3． 方法三：由椭圆E 的方程221164x y +=，知c =，12F F =12F F =设(),P x y ． 因为122F PF π∠=，所以222121248PF PF F F +==．由椭圆的定义可知，1228PF PF a +==， 所以()()222121212216PF PF PF PF PF PF ⋅=+-+=，所以三角形的面积121·42S PF PF ==．又121·2S F F y ==，所以4y ＝，所以y =． 代入221164x y +=得，2323x =． 所以3x =，即P 到y轴的距离为3． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题．17．（1）x 2+y 2−x +5y −6=0（2）x =−2和4x +3y −7=0． 【分析】（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D ，E ，F ，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y ＝0，可得D ，F ，再由抛物线与y 轴的交点，可得E ，即可得到所求圆方程； （2）求圆C 的圆心和半径，圆C 在A ，B 两点处的切线互相垂直，可得∠ACB =π2，求得C 到直线l 的距离，讨论直线l 的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程． 【详解】（1）方法一：抛物线y =x 2−x −6与坐标轴的三个交点坐标为(−2,0)，(3,0)，(0,−6)． 设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 则{4−2D +F =0,9+3D +F =0,36−6E +F =0, , 解得 {D =−1,E =5,F =−6, 所以圆C 的方程为x 2+y 2−x +5y −6=0． 方法二：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0． 令y =0，得x 2+Dx +F =0．因为圆C 经过抛物线y =x 2−x −6与x 轴的交点， 所以x 2+Dx +F =0与方程x 2−x −6=0同解， 所以D =−1，F =−6．因此圆C:x 2+y 2−x +Ey −6=0．因为抛物线y =x 2−x −6与y 轴的交点坐标为(0,−6)，又所以点(0,−6)也在圆C 上，所以36−6E −6=0，解得E =5． 所以圆C 的方程为x 2+y 2−x +5y −6=0． （2）由（1）可得，圆：C:(x −12)2+(y +52)2=252，故圆心C(12,−52)，半径r =2．因为圆C 在A ，B 两点处的切线互相垂直，所以∠ACB =π2． 所以C 到直线l 的距离d =2×√22=52．① 当直线l 的斜率不存在时，l:x =−2 ，符合题意；② 当直线l 的斜率存在时，设l:y −5=k(x +2)，即kx −y +(2k +5)=0， 所以|12k+52+2k+5|√k 2+1=52，解得k =−43，所以直线l:y −5=−43(x +2)，即4x +3y −7=0． 综上，所求直线l 的方程为x =−2和4x +3y −7=0．方法三：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −5=k (x +2)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将直线l 的方程代入圆C 的方程得： x 2+(kx +2k +5)2−x +5(kx +2k +5)−6=0， 即(1+k 2)x 2+(4k 2+15k −1)x +(4k 2+30k +44)=0 x 1+x 2=−4k 2+15k−11+k 2，x 1x 2=4k 2+30k+441+k 2．因为圆C 在点A ，B 两点处的切线互相垂直，所以CA ⊥CB ， 所以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即(x 1−12)(x 2−12)+(y 1+52)(y 2+52)=0， 所以(x 1−12)(x 2−12)+(kx 1+2k +152)(kx 2+2k +152)=0，即(1+k 2)x 1x 2+(2k 2+215k −12)(x 1+x 2)+4k 2+30k +1132=0，即4k 2+30k +44+(2k 2+215k −12)(4k 2+15k−11+k 2)+4k 2+30k +1132=0，(1+k 2)(16k 2+120k +201)−(4k 2+15k −1)2=0，即150k +200=0，解得k =−43，所以直线l ：y −5=−43(x +2)， 即4x +3y −7=0．②当直线l 的斜率不存在时，l ：x =−2，符合题意； 综上，所求直线l 的方程为x =−2和4x +3y −7=0． 【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．18．（1）()()31605V f x x x π==-.x ⎛∈ ⎝⎭（2）80π 【分析】（1）设半圆形铁皮的半径为r ，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，写出y 关于x 的函数关系，并写出x 的取值范围；（2）利用导数判断V （x ）的单调性，得出V （x ）的最大值． 【详解】（1）设半圆形铁皮的半径为r ，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为1r ，2r ． 因为半圆形铁皮的面积为15π，所以21152r ππ=，即230r =．因为12r π=1r =，同理22r π=，即2r =所以卷成的两个圆柱的体积之和()()()223121·605V f x r r x x x πππ==+=-．因为02x r <<=x 的取值范围是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． （2）由()()31605f x x x π=-，得()()216015f x x π=-'，令()0f x '=，因为0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故2x =当()0,2x ∈时，()0f x '>；当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '< ，所以()f x 在()0,2上为增函数，在⎛ ⎝⎭上为减函数，所以当2x =时，()f x 取得极大值，也是最大值． 因此()f x 的最大值为()802f π=．答：两个圆柱体积之和V 的最大值为80π．【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．19．(1) 8(,55B - (2)见证明；(3) 1x = 【分析】（1）由已知得到直线l 的方程，与椭圆方程联立即可求得点B 的坐标；（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k 1+k 2＝0；（3）△AF 1B 的面积S 12=|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=2）中的根与系数的关系代入，可得S=f （x ）＝9x 1x+（x ≥1），利用导数可得f （x ）＝9x 1x+在[1，+∞）上单调递增，得到当t 2+1＝1，即t ＝0时，9（t 2+1）211t ++取最小值10．由此可得直线l 的方程为x ＝1． 【详解】（1）因为直线l 经过点()21,0F ，(A， 所以直线l 的方程为)1y x =-．由)221,1,43y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或8,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以8,5B ⎛ ⎝⎭． （2）因为直线l 与x 轴不重合，故可设直线l 的方程为1x ty =+． 设()11,A x y ，()22,B x y ．由221,1,43x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243690t y ty ++-=，所以122643t y y t +=-+，122943y y t =-+ ， 因为A ，B 在直线l 上，所以111x ty =+，221x ty =+ ， 所以1111143y y k x ty ==--，2222243y y k x ty ==-- ， 从而 ()()()121212121212233333ty y y y y y k k ty ty ty ty -++=+=----． 因为()12122296232304343t ty y y y t t t ⎛⎫⎛⎫-+=⋅--⋅-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以120k k +=．（3）方法一：1AF B ∆的面积12121212S F F y y y y =⋅-=-=由（2）知，122643t y y t +=-+ ，122943y y t=-+ ，故S ====， 设函数()()191f x x x x=+≥． 因为()2190f x x =->'，所以()19f x x x=+在[)1,+∞上单调递增， 所以当211t +=，即0t =时，()221911t t +++取最小值10．即当0t =时，1AF B ∆的面积取最大值，此时直线l 的方程为1x =．方法二：1AF B ∆的面积12121212S F F y y y y =⋅-=-= ．由（2）知， 122643t y y t +=-+，122943y y t=-+，故S =====因为2344t +≥，所以2110344t <≤+， 所以211344t =+，即0t =时，1AF B ∆的面积取最大值．因此，1AF B ∆的面积取最大值时，直线l 的方程为1x =． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题．。
高二上学期期末数学试题解析版
（2）由（1）可得 ，或 =64.因为数列 的前 项和为 ，
当 时，
所以 ，
因此， ，
两式作差得 ，
整理得 .
当 时， .
【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于基础题.
19.已知不等式
（1） ，不等式恒成立，求m的范围；
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由椭圆的定义和题设条件 ，求得 ，再在 中，结合三角形的性质，得到 ，求得离心率的范围，即可求解.
【详解】由椭圆的定义，可得 ，又由 ，解得 ，
又由在 中， ，可得 ，所以 ，
即椭圆的离心率 的取值范围是 .
故选： ．
【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于 的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
对于选项D，函数 ，当且仅当 ，即 时取等号，即D正确，
即不正确的是选项A,C，
故选：AC.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了运算能力，属基础题.
11.已知命题 ，则命题成立的一个必要不充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
先解分式不等式，再利用充分必要条件逐一判断即可得解.
【详解】解：（1）设 为底面 中心，连接 ，
底面 为菱形，
中， 、 分别是 、 的中点
又 面 ，
面
面 ，
又 、 是平面 内的两条相交直线
面
（2）以 原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示坐标系，则可得
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南京市2０１5-２0１6学年度第一学期高二期末调研数学卷(文科） 2０1６.01注意事项:1．本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第1５题~第２0题)两部分.本试卷满分为100分,考试时间为100分钟．2．答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后,交回答题卡． 一、填空题：本大题共1４小题,每小题3分,共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上 1． 命题“2x ∃<，24x >”的否定是 ▲ ． 2.抛物线y x =的准线方程为 ▲ .3.椭圆＼F(x 2,８)+＼F(y 2,4)＝１的左准线方程是 ▲ ．4.记函数f （x ）=错误!的导函数为f （x ),则 f （2)的值为 ▲ .5.已知实数ｘ，y 满足约束条件错误!则ｚ=－x +3y 的最大值为 ▲ .6.“ｘ>０”是“ｘ＞2”成立的 ▲ 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种).7．设直线l １:a ｘ-3y +1＝0，l 2:(a -2) x ＋３y =０，若l １⊥ｌ２,则实数a 的值是 ▲ .8．函数f (ｘ)＝＼Ｆ(1,2)x －cos x 在区间[0,π］上的最小值是 ▲ ． 9 .已知曲线 ln y x =在点P 处的切线经过原点,则此切线的方程为 ▲ . 10．若直线６x +８ｙ－１2＝0与圆(ｘ－3)2+(y －2)2=４相交于M ,Ｎ两点,则线段MN 的长为 ▲ ．11.已知双曲线2x 2-错误!=2（ｂ＞0）的一条渐近线的方程为ｙ=3ｘ，则b 的值是 ▲ . １2. 已知32()1g x x x x =---,如果存在．．12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥,则满足该不等式的最大整数M = ▲ ．13．已知⊙A ：221x y +=,⊙B: 22(3)(4)16x y ++-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙Ｂ的切线，切点分别为Ｄ、E,若PE PD =,则Ｐ到坐标原点距离的最小值为 ▲ .14. 函数1320142012()()20141x xf x x x R ++=+∈+,其导函数为/()f x ,则//(2015)(2015)(2015)(2015)f f f f ++---= ▲ ．二、解答题:本大题共６小题,共计５8分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.１5．(本题满分8分)已知m ∈R ,设命题ｐ：[]21,2,0x x m ∀∈-≥；命题q :2,220x R x mx m ∃∈++-<．求使“ｐ或q ”为真命题的ｍ的取值范围．16．（本题满分8分）已知函数 求：(１)函数f(x ）的单调区间 (2）函数f （x)在（a>0)上的最小值17.（本题满分10分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ,线段FA 的中点在抛物线上.设动直线:l y kx m =+与抛物线相切于点P ,且与抛物线的准线相交于点Q ，以PQ 为直径的圆记为圆C .（1)求p 的值；(2）试判断圆C 与x 轴的位置关系；18. (本题满分10分)(本小题满分1６分）如图,在半径为30ｃｍ的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABC Ｄ,其中点C 、D 在圆弧上,点A 、B 在两半径上，现将此矩形铝皮AB ＣD 卷成一个以B Ｃ为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗）,设矩形的边长ＢC=xcm 圆柱的体积为V ． （1）写出体积V 关于x 的函数关系式；（2)当x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积V 最大？19．（本题满分１0分）已知函数∈-++=b a m x b ax mx x f ,,,)1(3)(223R （１)求函数)(x f 的导函数)(x f '；（2）当1=m 时,若函数)(x f 是R 上的增函数，求b a z +=的最小值;20.（本题满分12分) 已知椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>,以抛物线28y x=的焦点为顶点,且离心率为1 2.(1)求椭圆Ｅ的方程;(2）已知Ａ、Ｂ为椭圆上的点,且直线ＡB垂直于x轴，直线l:4x=与x轴交于点N,直线ＡF与BN交于点M．,求△AMN面积的最大值.第20题图图高二数学期末复习材料(四)考前冲刺解答题专练1．已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.(Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e ＝2．71８ 28…）上的值域; (Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数ａ的取值范围.2. 某地有三家工厂,分别位于矩形ＡBC Ｄ 的顶点Ａ,B 及C Ｄ的中点P 处，已知AB=20km,CB =1０km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形AB ＣD 的区域上(含边界),且A,Ｂ 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ＡＯ,BO,OP ,设排污管道的总长为y km.（Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO ＝θ(rad),将y 表示成θ的函数关系式; ②设ＯＰx =(ｋm) ，将y 表示成x x 的函数关系式．(Ⅱ)请你选用（Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．３.设函数f(ｘ)=(1）求f(x)的单调区间: （2）若当ｘ时，不等式ｆ（ｘ)＞m 恒成立，求实数ｍ的取值范围 4．已知函数求：（1)函数f(x)的单调区间 (２)函数f(x)在(a>０)上的最小值CBPOAD5.已知圆心为C 的圆经过三个点O(0,0）、A （1，３)、B （4，0） （１)求圆C 的方程;(２）求过点P(３，６）且被圆C 截得弦长为4的直线的方程． 6．已知m ＞０,p ：(x+2）（x ﹣３)≤０,q ：1﹣m≤x≤1+m． (Ｉ）若￢q 是￢p 的必要条件，求实数m 的取值范围；(ＩＩ）若m=7，“p 或q”为真命题,“p 且ｑ”为假命题，求实数ｘ的取值范围．7．如图,在半径为3ｍ的圆形(O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料O ＡＢC ，其中点B 在圆弧上,点A 、C 在两半径上，现将此矩形铝皮ＯABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长A Ｂ=xm,圆柱的体积为Ｖm ３． （1）写出体积V 关于x 的函数关系式,并指出定义域;（2)当x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积V 最大?最大体积是多少?填空题专练１．命题∀x∈R，x ２﹣x+3＞0的否定是 ． 2．）直线ｘ﹣ｙ+3=０的倾斜角为 ．3.抛物线ｙ2=４x 的焦点坐标为 . 4.双曲线的渐近线方程是 .5．已知球的半径为3，则该球的表面积为 .6． “42a -<<”是“方程22142x y a a+=+-表示椭圆”的＿____▲ 条件． （填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”)７.函数ｆ（x)=x2在点(1，f（1））处的切线方程为．8．直线ax﹣2ｙ+2＝0与直线ｘ+（a﹣3）y+1=０平行，则实数a的值为．9．已知圆x２+y2=ｍ与圆x２+ｙ２+６x﹣8y﹣１１=0相内切,则实数m的值为.10.已知直线x+3y＋１=0和圆ｘ2＋y2﹣２x﹣3=0相交于A,Ｂ两点,则线段ＡB的垂直平分线的方程是 .1１．已知两条直线a１x+b1y+4＝０和a２x+b2y+４=0都过点A（2,３），则过两点P１（a1,b1)，P2（a2,ｂ2)的直线的方程为．12．已知F1是椭圆的左焦点,P是椭圆上的动点，Ａ（1，1)是一定点，则ＰA+ＰF1的最大值为．１３.如图，已知AB=2c(常数c>0),以AB为直径的圆有一内接梯形ＡＢCＤ,且AB∥CD，若椭圆以A,Ｂ为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCＤ的周长最大时，椭圆的离心率为 .14.设函数ｆ（ｘ）=，g（x）＝ax2+ｂｘ，若y=f(x)的图象与ｙ=g（ｘ）的图象有且仅有两个不同的公共点，则当ｂ∈(0，1）时，实数ａ的取值范围为 .1.∃x∈R,x 2－ｘ+3≤0；2.45ﻩ°; 3.（1,0);4ﻩ.ｙ=±x ； 5.3６π； 6.充要;7ﻩ.２x －ｙ－1=０； ８.1; 9．1或1２1;1ﻩ０．3x －y －3=0; 11.2x+３y+4=0;1ﻩ２.; 1３.; １4.;ﻩ答案及解析1．解:（Ⅰ)当1a =-时，()ln ,f x x x =- ﻩ ﻩﻩ得1()1,f x x'=-ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩ ………………２分令()0f x '>,即110x->,解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数, 据此,函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，ﻩ ﻩﻩ………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-,所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--ﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ………………6分(Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时,()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减;当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增；……………７分若1e a ≤-≤,即e 1a -≤≤-,易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<,即2e e 1e 2-+-<-,所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-,易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立,只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩,即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩, 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ………………１０分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数,此时,max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可,所以有e e 1a +≤-,即1a ≤-，又因为2e a ≤-,所以2e a ≤-. ……………1２分综合上述,实数ａ的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞． ﻩﻩﻩ ……………13分2. （Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分ＡB ，若∠BAO=θ（rad ） ,则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=,又OP ＝1010tan θ-10-１0ｔa θ, 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-,所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若ＯP=x (km) ,则O Ｑ=1０－x ,所以O Ａ ＝Ｏ=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得ｓｉn 12θ=,因为04πθ<<,所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,'0y < ，y 是θ的减函数;当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ,y 是θ的增函数，所以当θ＝6π时,min 10y =+ 位于线段A Ｂ 的中垂线上,且距离ＡB 边3ｋm 处。