矩阵秩的概念
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2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
RA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
RA 2.
此方法简单！
3
2
6 6
0
11
2 2
16 0, 5
以上证明了若A经一次初等行变换变为 B， 则 R( A) R(B). 又由于 B 也可经一次初等行变换变为 A, 故也有
因此
R(B) R( A).
R( A) R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有 限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) R(B).
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例5
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
31,
求矩阵
A
的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
当A ri rj B或 A rik B时，
在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri krj B时，由于对于变化ri rj 时结论 成立，因此只需考虑A r1kr2 B这样特殊情况,
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
求 A 的一个最高阶子式 .
因为 R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 . A 的 3 阶子式共有 C43 C53 40 个 .
一、矩阵秩的概念
矩阵 Amn , 它的标准型 F Er O O O mn
由数r完全确定. 任何矩阵 Amn ，总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，r也是行阶梯形矩阵中非零 行的行数是唯一确定的.
定义3 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m, k n），位于这些行列交叉处的 k 2个元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 6 4 1 4
r1 r4
1 3
6 2
4 3
1 6
4 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为BT ,
因为 R( AT ) R(BT ),
且 R( A) R( AT ), R(B) R(BT ), 所以 R( A) R(B). 综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B), 则 R( A) R(B).
证毕
初等变换求矩阵秩的方法：
考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵A0 (a1,a2 ,a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
故 R( A0 ) 3,
故 A0 中必有 3 阶非零子式. 计算A0的前三行构成的子式
3 25 32 5
6 11
分两种情况讨论:
①A的非零子式D不包含A的第1行,这时D也 是B的r阶非零子式,故R(B) r ;
②D包含A的第1行,这时把B中与D对应的r阶 子式D1记作
r1 kr2 r1 r2
D1
rp
rp
k
rp
D
kD2 .
rq
rq
rq
若p 2,则D1 D 0;若p 2,则D2也是B的r 阶子式,由D1 kD2 D 0知D1与D2不同时为0, 总之, B中存在r阶非零子式D1或D2,故R(B) r.
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0,
00 4
R(B) 3.
例
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 0,0 2 3 20, 1 3 0,0 1 3 0,
对于 AT， 显然有 R( AT ) R( A).
例4
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.Baidu Nhomakorabea
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把它变为行阶梯形 问题：经过有限次初等变换, 矩阵的秩变吗？
定理3 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B). 设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 1 6 4 1 4
r2 r4
0
4
3
1 1
r3 2r1 r4 3r1
0 0
12 16
9 12
7 11 8 12
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有Cmk Cnk 个.
定义4 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子
式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
0.
RA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
RA 2.
此方法简单！
3
2
6 6
0
11
2 2
16 0, 5
以上证明了若A经一次初等行变换变为 B， 则 R( A) R(B). 又由于 B 也可经一次初等行变换变为 A, 故也有
因此
R(B) R( A).
R( A) R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有 限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) R(B).
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例5
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
31,
求矩阵
A
的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
当A ri rj B或 A rik B时，
在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri krj B时，由于对于变化ri rj 时结论 成立，因此只需考虑A r1kr2 B这样特殊情况,
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
求 A 的一个最高阶子式 .
因为 R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 . A 的 3 阶子式共有 C43 C53 40 个 .
一、矩阵秩的概念
矩阵 Amn , 它的标准型 F Er O O O mn
由数r完全确定. 任何矩阵 Amn ，总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，r也是行阶梯形矩阵中非零 行的行数是唯一确定的.
定义3 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m, k n），位于这些行列交叉处的 k 2个元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 6 4 1 4
r1 r4
1 3
6 2
4 3
1 6
4 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为BT ,
因为 R( AT ) R(BT ),
且 R( A) R( AT ), R(B) R(BT ), 所以 R( A) R(B). 综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B), 则 R( A) R(B).
证毕
初等变换求矩阵秩的方法：
考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵A0 (a1,a2 ,a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
故 R( A0 ) 3,
故 A0 中必有 3 阶非零子式. 计算A0的前三行构成的子式
3 25 32 5
6 11
分两种情况讨论:
①A的非零子式D不包含A的第1行,这时D也 是B的r阶非零子式,故R(B) r ;
②D包含A的第1行,这时把B中与D对应的r阶 子式D1记作
r1 kr2 r1 r2
D1
rp
rp
k
rp
D
kD2 .
rq
rq
rq
若p 2,则D1 D 0;若p 2,则D2也是B的r 阶子式,由D1 kD2 D 0知D1与D2不同时为0, 总之, B中存在r阶非零子式D1或D2,故R(B) r.
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0,
00 4
R(B) 3.
例
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 0,0 2 3 20, 1 3 0,0 1 3 0,
对于 AT， 显然有 R( AT ) R( A).
例4
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.Baidu Nhomakorabea
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把它变为行阶梯形 问题：经过有限次初等变换, 矩阵的秩变吗？
定理3 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B). 设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 1 6 4 1 4
r2 r4
0
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3
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r3 2r1 r4 3r1
0 0
12 16
9 12
7 11 8 12
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有Cmk Cnk 个.
定义4 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子
式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.