4.2 一阶逻辑公式及解释
一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)
x(x>2x>1) 真命题 成假解释
个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=
x(x>1 x>2) 假命题
40
三、公式的解释
例：
F ( f ( x, a ), y ) F ( g( x, y ), z )
由于公式是抽象的符号串，若不对它们给以
具体解释，则公式是没有实在意义的。 对公式中的各个抽象符号给出如下解释： （1）个体域D=N；（2）a=0 （3）f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy
（2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。
（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。
（4）不存在跑得同样快的两只兔子。
26
二、一阶逻辑中命题符号化
例5:设A(x):x能被3整除； B(x):x能被6整除. 个体域为：{1,2,6,7,12} 分析如下情况的真值。
(1)xA( x ) 假 ( 2)xA( x )
x( F ( x ) y( F ( y) L( x, y)))
这句话相当于：“任意一个整数，都存在比
x( F ( x ) y( F ( y ) L( y, x ))) 它大的整数”。
25
二、一阶逻辑中命题符号化
例4：（教材例4.5）将下列命题符号化
（1）兔子比乌龟跑得快。
引例
x(F(x,y)G(x,z))
xy( P ( x, y ) Q( x, y )) xP( x, y )
考察上述两个公式中个体变项受约束 的情况。
34
二、个体变项的自由出现与约束出现
定义：在公式xA和xA中，
1.
2.
称x为指导变元；
A为相应量词的辖域；
屈婉玲离散数学第四章
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
10
4.2 一阶逻辑公式及解释
14
封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
15
公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
20
F4一阶逻辑基本概念
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章 一阶逻辑基本概念
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。
（4） 几条重要的推理规则
上一节的复习（续） （练习）
谓词
定义 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互 关系的词。
谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。
谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
表示 无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G， H，…表示，可根据上下文区分。
例
(1) 5 是无理数。 个体词: 5 (个体常项); 谓词: “…是无理数”, 记为F (谓词常项); 命题: F( 5 ).
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过木星。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发
分析
(1) 特性谓词的使用； (2) 联结词的使用； (2) 全总个体域的约定。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发（续）
解
由于本题没有提出个体域，因而应该采用全总个体域， 并令M(x): x为人。
第四章
一阶逻辑基本概念
上一节的复习 自然推理系统 P
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
上一节的复习（续） 自然推理系统 P（续）
4一阶逻辑基本概念
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
8
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
11
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
06 第四章 一阶逻辑基本概念
练习-将命题符号化 练习 将命题符号化: 将命题符号化
所有的人都要死， 所有的人都要死， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以， 所以，苏格拉底是要死的
4.2 一阶逻辑公式及解释
定义（一阶语言） 一阶语言L 的字母表定义如下： (1)个体常项：a, b, c,L, ai , bi , ci ,L (2)个体变项：x, y, z,L, xi , yi , zi ,L （ ）函数符号：f , g, h,L, fi , gi , hi ,L, 3 （ ）谓词符号：F, G, H,L, Fi , Gi , Hi ,L 4 （ ）量词符号： ∀ ∃ 5 （ ）联结词符号：¬，，， ， 6 ∧ ∨ → ↔ （ ）逗号和括号：（）， 7
定义（ 定义（代换实例） 的命题公式， 设 A0是含命题变项p1 , p2 ,L, pn的命题公式， A , A2 ,L, An是n个谓词公式，用Ai 1 ≤ i ≤ n 个谓词公式， （ ） 1 处处代替A0中的pi , 所得的公式A称为A0的 代换实例
定理 重言式的代换实例都是永真式， 矛盾式的代换实例都是矛盾式
判断下列公式的类型： 例 判断下列公式的类型： (1) ∀xF( x) →∃xF( x) (2) ∀x∃yF( x, y) →∃x∀yF( x, y) (3) ∃x(F( x) ∧ G( x)) →∀yG( y)
作业： 作业： 2，5，10(1,3), 11(1, 3, 5) ， ，
定义（ 定义（指导变元） 中， 在公式 ∀xA 和 ∃xA 中，称x为指导变元，A为 的辖域中， 相应量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的 所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现 的其他变项均称为自由出现的 由出现的
指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 例 指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 自由出现以及约束出现的个体变项： 自由出现以及约束出现的个体变项： (1) ∀x(F( x, y) → G( x, z)) (2) ∀x(F( x) → G( y)) →∃y( H( x) ∧ L( x, y, z))
一阶逻辑的推理演算
1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
一阶逻辑
谓 词
谓词: 刻画个体性质或几个个体关系的模式。谓词常用 大写英文字母表示，叫做谓词标识符。 ⑴ 李玲是优秀共产党员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间
F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
一元谓词: 与一个个体相关联的谓词。F(x)是一元谓词； 二元谓词: 与两个个体相关联的谓词。G(x, y)是二元谓词；
【例2.3】 命题：⑴ 所有数小于5。 ⑵ 至少有一个数小于5。 个体域： ① -1，0，1，2，4 ② 3，-2，7，8 ③ 15，20，24 解：设L(x)：x小于5。 ⑴ “所有数小于5。”符号化为：(x) L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，假，假。 ⑵ “至少有一个数小于5。”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，真，假。
„
一般的，把与n个个体相关联的谓词 P(x1,x2,…,xn)叫做n元谓词（n元命题函数）。
n元谓词是命题吗？ຫໍສະໝຸດ 0元谓词是命题，命题逻辑中的简单命题都可用 0元谓词来表示。所以说命题可以看成谓词的 一种特例，所以命题逻辑中的联结词在一阶 逻辑中都可以使用。
谓词填式(0元谓词): 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体 常元a具有性质F； 设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表示 个体常元a和b具有关系G；„
x y(R(x,y) L(y,z) )中， x, y都是指导变项，辖域为(R(x,y) L(y,z) )， x与y 都是约束出现的， z为自由出现. x H(x,y)中， x 为指导变项， 的辖域为H(x,y)，其中x 为约 束出现的， y为自由出现. 在此公式中， x 为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出 现的. z为自由出现.
一阶逻辑语言
1一阶逻辑语言重点：一阶逻辑语言的构成及其解释。
引入：（1）命题逻辑的局限性举例。
（2）一阶逻辑的特点：指出命题的两个组成部分，即主语（subject ）和谓语（predicate ），并且讨论两种量词“所有”与“存在”。
1. 预备知识为了介绍一阶逻辑语言及其解释，我们需要引入若干预备知识。
1） 集合对象：客观存在的事物与主观存在的观念是我们思考和语言表达的对象，称为认知对象（cognitive object ），简称对象（object ）。
集合：集合是一些对象的全体，其中各对象称为该集合的元素。
例如，所有整数的全体称为整数集合。
若A 是集合，x 是A 的元素，则记为x A ∈。
然而，并非任何对象的全体都能称为集合，例如，所有集合的全体不能再称为集合，否则会导致矛盾。
假如任何集合都不以自己为元素，则所有集合全体不包含自己，所以所有集合全体不是一个集合。
假如存在集合以自己为元素，则所有这样的集合全体不是一个集合。
事实上，若所有不以自己为元素的集合全体T 是集合，则T T T T ∈⇔∉这个矛盾称为罗素悖论（Russell ’s Paradox ）。
因此，并不是任何对象全体都是集合。
论域：一段论述所谈论的对象全体称为论域（universe 或者domain ），其中的对象称为个体（entity ），它们是该论述中语句主语和宾语的所指。
例如，下面论述的论域是所有整数。
所有大于2的偶数都能分解为两个素数之和。
2） 关系设D 是非空集合。
D 上的关系定义如下：一元关系：D 的子集A 称为D 上的一元关系（1-ary relation ）。
其功能是表示D中元素的性质。
若A 表示某性质，则x A ∈表示x 有该性质，而x A ∉表示x 没有该性质。
二元关系：D 2的子集称为D 上的二元关系（2-ary relation ）。
表示D 中个体之间某种关系。
注：2{(,)|,}D x y x y D =∈设R是D上的二元关系。
4.2 一阶逻辑公式及解释
例如，F (x)→G (x)， xF(x)→yG(y)等都是 p→q 的代换实例，而 x( F(x)→G(x)) 不是 p→q 的代换实例.
定理4.2 重言式的代换(dài huàn)实例都是永真式，
假命题了.
第十八页，共三十六页。
在例4.7中所谈的对各种变项的指定也可以称为 对它们(tā men)的解释.
在本例中是给出公式后再对它们进行解释(jiěshì)，也 可以先给出解释，再用这个解释去解释各种公式.
由以上的讨论不难看出，一个解释不外乎指定
个体域、个体域中一些特定的元素、特定的函数和 谓词等部分 .
A=( F(x,y) → G(x,z))， 在A中，x是约束出现的. 而且(ér qiě)约束出现两次， y 和 z 均为自由出现的，而且各自由出现一次.
(2)公式中含有两个量词，前件上的量词 的指导变 元为x， 的辖域 A=(F(x)→G(y))，
其中x是约束(yuēshù)出现的，y是自由出现的.
类似的, Δx2Δx1A( x1, x2, …, xn ) 可记为A2( x3, x4, …, xn ) ， Δxn-1Δxn-2 …Δx1A(x1, x2, …, xn)中只含有xn是自由(zìyóu)出现的 个体变项，可以记为 An-1( xn)，
而Δxn …Δx1 A( x1, x2, …, xn )已经(yǐ jing)没有自由出现的个体
“所有人都是黄种人”，
这是假命题.
(b) 令个体域D2为实数集合(jíhé)R，F(x)为x是自然数， G(x)为x是整数，则(4.25)表达的命题为
第四章 一阶逻辑基本概念
4.2 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 用于一阶逻辑公式的形式语言 一阶语言 一、一阶语言F与合式公式 一阶语言 与合式公式 1．F的字母表，定义 一阶语言 的字母表定义如下： ． 的字母表 定义4.1 一阶语言F的字母表定义如下 的字母表， 的字母表定义如下： （1）个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1 ）个体常项： （2）个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1 ）个体变项： （3）函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1 ）函数符号： （4）谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1 ）谓词符号： （5）量词符号：∀, ∃ ）量词符号： （6）联结词符号：¬, ∧, ∨, →, ↔ ）联结词符号： （7）括号与逗号：(, ), ， ）括号与逗号：
2 是无理数仅当 3 是有理数
（3）如果 ）如果2>3，则3<4 ， 要求： 先将它们在命题逻辑中符号化， 要求 ： 先将它们在命题逻辑中符号化 ， 再在一 阶逻辑中符号化
在命题逻辑中： 解：在命题逻辑中： (1)p, p为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲 (2)p→q, 其中，p： 2 是无理数，q： 3 是有理数 其中， ： 是无理数， ： 是有理数. (假命题 假命题) 假命题 (3)p→q, 其中，p：2>3，q：3<4. (真命题 → 其中， ： 真命题) ， ： 真命题 在一阶逻辑中： 在一阶逻辑中： (1)F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 位于南美洲. ，其中， ：墨西哥， ： 位于南美洲 (2) F( 2) →G( 3), 其中， 是无理数， 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 ： 是无理数 ： 是有理数 (3)F(2,3)→G(3,4)， → ， 其中， 其中，F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y ： ， ：
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
一阶逻辑基本概念讲解
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
02
CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
离散数学一阶逻辑笔记
离散数学一阶逻辑笔记一、一阶逻辑基本概念。
（一）个体词。
1. 定义。
- 个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
- 例如，在“小王是学生”中，“小王”就是个体词；在“3是有理数”中，“3”是个体词。
2. 分类。
- 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c,·s表示。
“小李”可以用a表示。
- 个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z,·s表示。
例如，“某个学生”可以用x表示。
（二）谓词。
1. 定义。
- 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
- 例如，在“小王是学生”中，“是学生”就是谓词，它刻画了“小王”的性质；在“3大于2”中，“大于”是谓词，它刻画了“3”和“2”之间的关系。
2. 分类。
- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。
如“是偶数”是谓词常项。
- 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
- 一元谓词：与一个个体词相联系的谓词。
例如P(x)，其中P表示“是学生”，x是个体变项。
- 二元谓词：与两个个体词相联系的谓词。
例如Q(x,y)，其中Q表示“大于”，x,y是个体变项。
- n元谓词：与n个个体词相联系的谓词，一般表示为P(x_1,x_2,·s,x_n)。
（三）量词。
1. 全称量词。
- 符号表示为“∀”，表示“所有的”“任意一个”等。
- 例如，“所有的人都会呼吸”可以表示为∀ x(P(x)to Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会呼吸”。
2. 存在量词。
- 符号表示为“∃”，表示“存在一个”“至少有一个”等。
- 例如，“存在一个数是偶数”可以表示为∃ x(P(x)，其中P(x)表示“x是数且x是偶数”。
二、一阶逻辑公式及其解释。
（一）一阶逻辑合式公式（谓词公式）1. 原子公式。
- 设P(x_1,x_2,·s,x_n)是n元谓词，t_1,t_2,·s,t_n是项，则P(t_1,t_2,·s,t_n)称为原子公式。
一阶逻辑公式及解释
.
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
.
12
（4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) 公式被解释成：x(x*0=x)→(x=y) 由于蕴涵式的前件为假，所以在解释I下公式为真命题
（5）xF(g(x, a), x) 公式被解释成：x(x*0=x) 在解释I下公式为假命题
（6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) 公式被解释成：xy((x+0=y)→(y+0=x)) 在解释I下公式为真命题
（7）xyz F(f(x, y), z) 公式被解释成：xyz(x*y=z)， 在解释I下公式为真命题
.
13
例4.8 给定解释I：
（a）个体域D=N（自然数集合）；
（b）a=0；
（c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y；
（d）F(x, y)：x=y。
在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
说明：在使用一个解释I解释一个公式A时， 将A中的个体常项、函数和谓词分别用I中指定的 个体常项、函数和谓词代替。
4一阶逻辑基本概念
xG(x)
}
10 10
(b)个体域为全总个体域。 即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。 令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 M(x):x是人。 (1) “凡人都呼吸”应符号化为
x(M(x)→F(x))
(2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
结 论
(1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。
命题符号化为0元谓词的蕴涵式 F(b)→F(a)
由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。
(2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。
个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表 示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 –可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 –可以是无穷集合，如N,Z,R,…。 全总个体域——宇宙间一切事物组成 。
说 明
本教材在论述或推理中，如果没有指明所采 用的个体域，都是使用的全总个体域。
分析：谓词逻辑中命题的符号化，主要考虑：
(1)非空个体域的选取。若是为了确定命题的真值，一般 约定在某个个体域上进行，否则，在由一切事物构成的 全总个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量 变化范围的特性谓词。 (2)量词的使用及作用范围。
(3)正确地语义。
}
13 13
解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。
}
16 16
一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项 分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号为一元和 n（ n2）元谓词。 根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词。 一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。 –例如，考虑个体域为实数集，H(x，y)表示x+y=10， –则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化 形式为xyH(x,y)，为真命题。 –如果改变两个量词的顺序，得yxH(x,y)，为假命题。 有些命题的符号化形式可不止一种。
4.2一阶逻辑公式及其解释
◦ x的辖域P(x,y)→yQ(x,y,z) 约束变元：x
自由变元：y ◦ y的辖域Q(x,y,z)
是约束变元：y 是自由变元：x, z ◦ S(x，z)中x，z是自由变元
例:指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出 现以及约束出现的个体变项。 (1) x(F(x,y)→G(x,z)) (2) x(F(x)→G(y))→y(H(x)∧L(x,y,z))
定义
(1)原子公式是合式公式 (2)如果A、B是合式公式，则(A)、(A∧B)、(A∨B)、
(A→B)、(AB)都是合式公式
(3)如果A是合式公式，x是个体变元，则xＡ和xＡ也是
合式公式 (4)有限次地使用规则(1)至(3)求得的公式是合式公式（谓
词公式）
例
◦ P，(Q(x)∧P)，x(A(x)→B(x))，xC(x)， xZ(y)
x的辖域为A(x)
x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))
x的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y的辖域为R(x,y)
xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
z的辖域 y的辖域
自由变元
x的辖域
约束变元
• 如果个体变元x在x或者x的辖域内，则称x在此辖域内约束 出现，并称x在此辖域内是约束变元
约束变元用什么符号表示无关紧要
◦ xA(x)与yA(y)是一样的
一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个命题
◦ 例：A(x)表示x是个大学生 ◦ xA(x)或者xA(x)是命题
定义 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭
的公式，简称闭式.
例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
4.2 一阶逻辑公式及解释
(7)括号和逗号:（） ，
2 第二页，编辑于星期三：五点 四十四分。
定义4.2（项）
项的递归定义如下： （1）个体常项和个体变项是项。
（2）如果(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n 个项，则(t1,t2,…,tn)仍然是项。
（3）只有有限次使用(1)，(2)生成的符号串才是项。
公式是p→(q→p)的代换实例， 而p→(q→p)是永真式，所以公式（1）是永真式 （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y) 公式是┐（p→q）∧q的代换实例， 而┐（p→q）∧q是矛盾式，所以公式（2）是矛盾式
说明：对于这些类型的公式完全可以采用等值演算的 方法加以判断。
18 第十八页，编辑于星期三：五点 四十四分。
（4）xF(g(x, a), x)→F(x, y)
（5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
11 第十一页，编辑于星期三：五点 四十四分。
（1）F(f(x, y), g(x, y)) 公式被解释成：x+y=x*y
（2）对于永真式（矛盾式），则必须证明该公式在任意的解 释下都是真（假）的。
19 第十九页，编辑于星期三：五点 四十四分。
（1）x(F(x)→G(x))
取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整数，
G(x):x是有理数。
在解释I1下， 公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是有理数，
9 第九页，编辑于星期三：五点 四十四分。
定义2.7（解释）
一个解释I有下面4个部分组成： （1）非空个体域D：指定个体词的取值范围 （2）D中特定元素的集合：指定个体常项的值 （3）D上特定函数的集合：指定函数符号的含义
离散数学结构 第4章 一阶逻辑基本概念复习
第4章一阶逻辑基本概念主要内容1. 个体词①个体常项②个体变项③个体域④全总个体域2. 谓词①谓词常项②谓词变项③n(n≥1)元谓词④特性谓词3. 量词①全称量词②存在量词4. 一阶逻辑中命题符号化5. 一阶逻辑公式①原子公式②合式公式（或公式）③闭式6. 解释7. 一阶逻辑公式的分类①逻辑有效式（或永真式）②矛盾式（或永假式）③可满足式学习要求1. 要求准确地将给出的命题符号化：①当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化②当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化③在符号化时，当引入特性时，注意全称量词与蕴含联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。
2. 深刻理解逻辑有效式、矛盾式、可满足式的概念。
3. 记住闭式的性质：在任何解释下均为命题。
4. 对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。
4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。
个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。
下面讨论这三个要素。
一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。
个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。
本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。
二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。
是个体常项，是谓词，记为F，并用F()(2)x是有理数。
第五章：一阶逻辑的语法和语义
一阶谓词逻辑部分——一阶语法：1定义字母表的定义一个一阶语言L的字母表由以下符号组成：1）一组非逻辑符号，其中包含：i）一个（可能空的）个体常项集；{a1,a2,…}ii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元谓词集；{F11,F12,…,F21,F22,…,F n1,F n2,…,…}iii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元函数符号集{f11,f12,…,f21,f22,…,f n1,f n2,…,…}2）一组固定的逻辑符号，其中包含：i）个体变项x0, x1, x2,…（可数无穷多）；ii）量词∀，[∃]；iii）联结词⌝，→，[∧，∨，↔]；iv）等词[≡]；v）括号)，(。
注1：我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。
形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。
这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。
注2：所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号集。
注3：一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。
注4：在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。
我们约定，在元语言中用x, y, z等代表一阶语言的个体变项；c, d, e等代表一阶语言的个体常项；P, Q, R等代表一阶语言的谓词；f, g, h等代表一阶语言的函数符号。
2 项的归纳定义下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。
项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f(x) = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。
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简单起见，谓词公式简称为公式。
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
16
定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。 例如 F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
在谓词逻辑中，项起的是名词的作用，不是句子。
原子公式是谓词逻辑公式的最小单位，最小的句子单位
3
例：D是个体名称的集合， x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四 所以x，y，a，b是项 假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲 f(a), f(f(a)), F(a,b), F(f(f(a)),b) 则f(a):张三的父亲，是项 f(f(a)):张三的祖父，是项 而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式 F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式
说明：在使用一个解释I解释一个公式A时， 将A中的个体常项、函数和谓词分别用I中指定的 个体常项、函数和谓词代替。
10
例4.8 给定解释I： （a）个体域D=N（自然数集合）； （b）a=0； （c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y； （d）F(x, y)：x=y。 在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
而后件xy(x=y)是假的，所以公式为假。 取解释I2为：个体域为自然数集合N， F(x, y):x≤y。 在解释I2下，公式的前件和后件都为真，所以
公式为真。 所以（3）为非永真的可满足式。
22
（4）xF(x)→xF(x) 设I为任意的解释，个体域为D。 按xF(x)是否为真分两种情况进行讨论： 若xF(x)为真，则xF(x)为真，因此公式为
15
定义4.8（一阶公式的分类）
设A为一公式，若A在任何解释下均为真，则称A 是永真式（或称逻辑有效式）。若A在任何解释下均 为假，则称A是矛盾式（或永假式）。若至少存在一 个解释使A为真，则称A是可满足式。
说明：（1）永真式是可满足式，反之不然。 （2）由于公式的复杂性和解释的多样性，到
目前为止，还没有一个可行的算法判断某一公式 是否是可满足的。
真。 若xF(x)为假，则公式为真。 由以上讨论及解释I的任意性，所以（4）为
永真式。
23
11
（1）F(f(x, y), g(x, y)) 公式被解释成：x+y=x*y 在解释I下，该公式不是命题
（2）F(f(x, a), y)→F(g(x, y), z) 公式被解释成：(x+0=y)→(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
（3）xF(g(x, y), z) 公式被解释成：x(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
数，G(x):x是有理数。 在解释I1下，公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是整
数，G(x):x是无理数。 在解释I2下，公式为假，所以不是永真式。 所以（2）为非永真的可满足式。
21
（3）xyF(x, y)→xyF(x, y) 取解释I1为：个体域为自然数集合N， F(x, y) : x=y。 在解释I1下，公式的前件xy(x=y)是真的，
（7）xyz F(f(x, y), z) 公式被解释成：xyz(x*y=z)， 在解释I下公式为真命题
13
例4.8 给定解释I：
（a）个体域D=N（自然数集合）；
（b）a=0；
（c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y；
（d）F(x, y)：x=y。
在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
2
定义4.2（项）
项的递归定义如下： （1）个体常项和个体变项是项。 （2）如果(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任
意的n个项，则(t1,t2,…,tn)仍然是项。 （3）只有有限次使用(1)，(2)生成的符号串才是项。
定义4.3（原子公式）
设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…,tn是任意的n 个项，则称R（t1,t2,…,tn）为原子公式。
4.2 一阶逻辑公式及解释
上节学了
一阶逻辑的基本概念：个体词、谓词、量词 一阶逻辑符号化的有关概念和方法
本节学习
一阶逻辑公式的概念：字母表、项、原子公式、公式、 指导变元、辖域、闭式等 一阶逻辑公式的解释及公式类型的判断。
1
定义4.1（字母表）
以下是字母表的成员： (1)个体常项:a，b，c，…，ai，bi，ci，…，i≥1 (2)个体变项:x，y，z，…，xi，yi，zi，…，i≥1 (3)函数符号:f，g，h，…，fi，gi，hi，…，i≥1 (4)谓词符号:F，G，H，…, Fi，Gi，Hi，…，i≥1 (5)量词符号: ， (6)联结词符号: ┐，∧，∨，→， (7)括号和逗号:（） ，
判断方法：如果公式不是命题逻辑永真式或矛盾式的代 换实例，则只能通过构造解释的方法来进行判断。
（1）对于非永真的可满足式，需要分别具体构造一个成 真解释和一个成假解释来说明。
（2）对于永真式（矛盾式），则必须证明该公式在任意 的解释下都是真（假）的。
19
（1）x(F(x)→G(x)) 取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整
数，G(x):x是有理数。 在解释I1下， 公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是有
理数，G(x): x是整数。 在解释I2下，公式为假，所以不是永真式。 所以（1）式为非永真的可满足式。
20
（2）x(F(x)∧G(x)) 取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整
不是命题 不是命题 不是命题 真命题 假命题 真命题 真命题
14
说明： (1)有的公式在具体的解释中真值确定，
即为命题；有的公式在具体的解释中真值不 确定，即不是命题。
(2)闭式在任意的解释下都变成可命题 (定理4.1)，但在不同的解释下，可能有不 同的真值。
(3)非闭式的公式就不一定具有这种性 质，它可能在有的解释中是命题，有的解释 中不是命题。
前件：x是指导变元，量词的辖域为 F(x)→G(y)，其中x是约束出现的，y是自由出现的
后件：y是指导变元，量词的辖域为 H(x)∧L(x,y,z)，其中y是约束出现的，x和z是自由 出现的。
在整个公式中，x约束出现1次，自由出现2次 y约束出现1次，自由出现1次 z自由出现1次。
8
定义2.6（闭式） 设A为任意的公式，若A中无自由出现的个体
都是p→q的代换实例 问x(F(x)→G(x))是p→q的代换实例么？ 定理4.2 永真式的代换实例都是永真式，
矛盾式的代换实例都是矛盾式。
17
例 判断下列公式的类型。 （1）xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x)) （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y)
解： （1）xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x))
12
（4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) 公式被解释成：x(x*0=x)→(x=y) 由于蕴涵式的前件为假，所以在解释I下公式为真命题
（5）xF(g(x, a), x) 公式被解释成：x(x*0=x) 在解释I下公式为假命题
（6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) 公式被解释成：xy((x+0=y)→(y+0=x)) 在解释I下公式为真命题
公式是p→(q→p)的代换实例， 而p→(q→p)是永真式，所以公式（1）是永真式 （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y) 公式是┐（p→q）∧q的代换实例， 而┐（p→q）∧q是矛盾式，所以公式（2）是矛盾式
说明：对于这些类型的公式完全可以采用等值演算的 方法加以判断。
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例 判断下列公式的类型？ （1）x(F(x)→G(x)) （2）x(F(x)∧G(x)) （3）xyF(x, y)→xyF(x, y) （4）xF(x)→xF(x)
（1）x（ F（x，y）→G（x，z）） （2） x（ F（x）→G（y））→
y（ H（x）∧L（x，y，z））