第二章运动守恒定律

P
mv
根据牛顿第二定律
F
d
mv
dP
dt dt
改写为
Fdt dP
式中Fdt表示力F在时间dt内的累积量，称为时
间dt内质点所受合外力的冲量，即
冲量
dI Fdt
当作用时间为t0 t ，合外力的冲量为
t
P
I
dI
Fdt
t0
P0
dP
P
P0
即
I
mv
mv0
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点
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重力的功 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。
在元位移 dr中，重力所作的元功为：
dA mg cosds mgdh
重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与 所经过的路径无关，重力是保守力 ！
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讨论
如果物体沿闭合路径abcda运动一周， 容易计算重力所作的功为：
A Aacb Abda mg(ha hb ) mg(hb ha ) 0
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2 320t 3dt
1
1200 J
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动
求 t = 02s内F 作的功及t = 2s 时的功率。
解 F 6t dv
m
dt
v 3t2 dx dt
与机械运动直接相关的能量是机械能，它是物 体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包 括动能和势能。
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三 质点动能定理
质点动能
Ek
1 2
mv2
合力对质点做的功为
A
b
F
ds
b m dv vdt
b mv dv
a
a dt
a
因为
a
v dv 1 dv v 1 d v2 vdv
2
f N 0.20 727 145(N)
A4 f l cos180 145 3 435(J)
（2）合力所作的功：
A A1 A2 A3 A4 165(J)
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（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。 所用拉力 F' 至少要等于重力。这时拉力所作的功为：
A Fl sin 30 980 30 0.5 1.47 103(J)
FN mg
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解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程， 其动量变化为零。
重力作用时间为 2h / g
支持力的作用时间为
由动量定理：
FN mg( 2h / g ) 0
FN mg m 2gh /
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• 动量守恒定律
如果系统所受的合外力为零，即
则有
P
常矢量
Fi 0
亦即
的方向是所有元冲量
Fdt
的合
矢量的方向。动量定理反映了力在时间上的累积作
用对质点产生的效果。
逆风行舟的分析：
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(2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量 叠加原理。或以分量形式进行计算：
(3) 在 冲击、 碰撞问题中估算平均冲力（implusive force）。
F F(t)
t
(4) 动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于 惯性系。 (5) 动量定理在处理变质量问题时很方便。
§2-3 保守力 成对力的功 势能 一、 保守力
根据各种力作功的特点，可将力分为保守力和 非保守力。 保守力（conservative force）：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力（non-conservative force）： 作功不仅与始末位置有关，还与路径有关力。 如：摩擦力、回旋力等。
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2
Ft2 m2
例 质量m=0.3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻
压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
O sa
sb s
例 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质
点的速度为
v
4t 2i 16
j
,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解
vx
dx dt
4t 2
vy
dy dt
16
dx 4t2dt
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
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例 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样 速率反弹，接触时间仅0.019s.
求 对地平均冲力? 解 篮球到达地面的速率
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
F F(max)
对地平均冲力
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8 102 N
t
0.019
dx 3t2dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
236t3dt 144J
0
0
0
P Fv 12t 3t2 288W
二、能量 能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种
运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动 形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。
能量是物体状态的单值函数。物体状态发生变化， 它的能量也随之变化。
O
相当于 40kg 重物所受重力!
t 0.019s
例 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块, 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间 各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动
解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
i 1
n
miviy Py 常量；
i 1
n
miviz Pz 常量。
i 1
某方向所受合外力为零，则此遍、最重要的定律之一。适用 于宏观和微观领域。
例 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮
弹的质量分别为M 和m ，炮弹的出口速度为v，求炮 车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。
v12
v22
1 2
302 302 21.2(m/s)
180
tan v2 1, 45,
v1
即v1 和 v3及v2都成 135 ，
且三者都在同一平面内
135
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§2.2 功 动能 动能定理
•功
力在位移方向上的投影与该位移大小的乘积。
dA Fs ds F dscos
为F与ds的夹角
解：选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。
炮车与地面间的摩擦力不计， 系统水平方向动量守恒。
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系统水平方向动量守恒：
MV mv cos V 0
得炮车的反冲速度为：
V m v cos
mM
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例 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且 以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的 质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度 （大小和方向）。
动量的增量。——质点动量定理
（1）冲量是矢量。一般
情况下，它的方向与质点动量增
Ix
t
t0 Fxdt mvx mvx0
量的方向一致。
t
I y t0 Fy dt mvy mvy0
（2）三个分量式：
t
I z t0 Fz dt mvz mvz0
（3）冲力、平均冲力
当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短，
与斜面成10°角，大小为700N。 求：（1）木箱所受 各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功；（3） 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？
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解：木箱所受的力分析如图 。
（1）每个力所作的功： 拉力F 所做的功
A1 Fl cos10 700 3 0.985 2.07 103(J)
• 动能定理由牛顿第二定律导出， 只适用 于惯性参考系，并且Ek 也与参考系有关。
例 装有货物的木箱，重G=980N，要把它运上汽车。 现将长l=3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后 把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30°角，木箱
与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力
重力所做的功
A2 Fl co（s 180 60） 980 3（ 0.5） 1.47 103(J)
正压力所做的功
A3 Nl cos 90 0
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摩擦力所作的功 根据牛顿第二定律：
N F sin10 G cos 30 0 N G cos30 F sin10 727 (N)
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图。
解法一：研究锤对工件的作用过程，在竖 直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
(FN mg ) 0 (mv0 ) m 2gh
FN mg m 2gh /
(1) 0.1s, FN 1.92 105 (N) (2) 0.01 s, FN 1.9 106 (N)
按矢量点积（标积）定义：
dA
F
ds
即功等于力和位移的点积。a
ds
b
F
在直角坐标系中：元功可表示为
dA
F
ds
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
Fxdx Fydy Fzdz
功是标量。只有大小，没有方向。
1当0 时，dA0,力做正功；
2
2当 0时，dA 0,力不做功；
第二章 运动的守恒量和守恒定律
§2-1 动量定理 动量守恒定律
§2-2 功 能量 动能定理 §2-3 保守力 成对力的功 势能
§2-4 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-5 碰撞 §2-6 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-7 对称性和守恒定律
§2.1 动量守恒定律
• 质点动量定理
质点动量
3当 时，dA0，力做负功。
2
举例
当质点从 a 运动到 b 的过程中，变力对它做功为
A
dA
b
F
ds
b
F cos ds
a
a
b
a Fxdx Fydy Fzdz
特别地，当质点沿直线 运动，力不随质点位置 和时间而变，那么
A Fscos
当质点受几个力作用时，其合力为
v F
n mivi 常矢量
i 1
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持
不变。——动量守恒定律
（1）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如 碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律；
（2）直角坐标系中的分量式：
n
当
Fix 0 时
i 1
n
当
Fiy 0 时
i 1
n
当
Fiz 0 时
i 1
n
mivix Px 常量；
解： 炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故
在爆炸中，可认为动量守恒。
m1v1
m2v2
m3v3
0
m3v3 m1v1 m2v2
(m3v3 )2 (m1v1)2 (m2v2 )2
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(m3v3 )2 (m1v1)2 (m2v2 )2
m1 m2 m, m3 2m
v3
1 2
2
则有
b
A ma vdv
vdsb
vb
F
va
即可得
A
1 2
mvb2
1 2
mva2
Ekb
Eka
合外力对质点所做的功等 于质点动能的增量。
• Ek 是标量，仅是状态量v 的单值函数， 也是状态量；
• 功与动能的本质区别：它们的单位和量 纲相同，但功是过程量，能是状态量。 功是能量变化的量度；
• 功和能具有普遍意义；
相互作用的力很大，而且变化非常迅速，这种力
称为冲力。
F
平均冲力
1 t
F
Fdt
t t0 t0
F t
得
t t0
Fdt
Ft
t0
P
P0
F
o 分量式 I x Fx t t0 mvx mvx0
t0
t
t
I y Fy t t0 mv y mv y0 I z Fz t t0 mvz mvz0
举例
（4）只适用于惯性系，且与惯性系的选择无 关。
（5）在国际单位制中，冲量的单位是
牛顿 秒N s
动量千的克单位米是 秒1 kg m s1
I p2 p1
动量定理（theorem of momentum）： 质点在运动 过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。
说明
(1)
冲量
I
v F1
v F2
L
v Fn
则合力对质点做的功为
A
b
F
ds
a
b a
F1 F2
Fn
ds
b a
F1
ds
b a
F2
ds
b a
Fn
ds
A1 A2 An
合力的功等于各分力的功的代数和。
功的单位（SI）： 焦耳J ，1J 1N m 功的图示法（示功图）：
F cos
等于重力 所作的功，而符号相反，这时合外力所作 的功为零。 与（1）中 F 作的功相比较，用了起重机能够少作功。 （1）中推力 F 所多作的功：
2.07 103 1.47 103 0.60 103(J)
其中，435 J 的功用于克服摩擦力，转变成热量；余下 165 J 的功将使木箱的动能增加。
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