高二数学 解三角形和不等式

基本不等式的变形：
a2 b2 2ab ab a2 b2 2
a b 2 ab ab a b 2
ab ( a b)2 2
例6．下列函数中，最小值为4的是( C )
(A) y x 4
x (B)y sinx
4
0 x
sinx
(C)y 4e x e-x
(D)y log3 x log x 30 x 1
由余弦定理，得
cosB= a 2 c 2 b2 = 4b2 12 b2 = b2 4 = 3 ，
2ac
26
42
解得 b2=4+2 3 .又 b 为边长，∴b=1+ 3 .
答案：B
1.满足条件 a 4, b 3 2, A 45o 的 ABC个数是( B )
A、一个 B、 两个 C、无数个 D、零个
例7.若lgx+lgy＝1，5 2 的最小值是___2___. xy
进阶练习：
一、选择题：
1、已知 a b ，在以下4个不等式中：
1
（1） a
1 b
（2）a 2
b 2（3）lg( a 2
1 ) lg( b2
1 )（4） 2a
2b
正确的个数有（ D ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.1个
4、小明在某岛上的 A 处，上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船，12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处，12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求： （1）点 B 到 A 的距离； （2）船的航行速度。
正确的是（ C ）
A、 a c b d C、 ac bd
B、 a b dc
D、 ad bc
5.在 200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别
为 300 与 600，则塔高为（ A ）
A、 400 3
B、 400 3 3
C、 200 3 3
D、 200 3
A
E
30o
60o
D 200 m
∴
a 2
2，
4 2a 3a 0.
∴－4＜a≤4.
答案：B
[例题3]设0 a b,a b 1 ，下列不等式正确的是（ ）
A. b 2ab a2 b2 a2 b2 B. 2ab b a2 b2 a2 b2
C. 2ab a2 b2 b a2 b2 D. 2ab a2 b2 a2 b2 b
外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．
D
C
A xB
某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工 和漆工两道工序完成。已知木工做一张A、B型桌子分 别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别 需要 3小时和 1小时，又知木工、漆工每天工作分别不 得超过8小时和9小时，而工厂生产一张A、B型桌子分 别可获利润2千元和3千元。试问工厂每天应生产A、B 型桌子各多少张，才能获得最大利润？
则 2x+4y 的最小值是（ D ）
A、8 B、6 C、 3 2 D、 4 2
7、已知两个正变量 x, y 满足 x y 4 ，则使不等式 1 4 m
(, 9]
xy
恒成立的实数 m 的取值范围是
4
8、若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0在1 x 4 内有解，
则实数 a 的取值范围是（ A ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解析：由 2cosBsinA=sinC 得 a 2 c 2 b2 ×a=c，∴a=b. ac
答案：C
2、△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边， 如果 a、b、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积
为 3 ，那么 b 等于 2
（一正、二定、三相等）
例
1．已知
1 a b 2 2 a b 4
，求
t
4a 2b 的取值范围[5,10]
．
b
a+b=4 a-b=1
D
2a-b=0 a+b=2
a-b=2 C
AB
1
2
4a
变式：已知函数 f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1， －1≤f（2）≤5，求 f（3）的最大值和最小值.
*分析* 2ab b b( 2a 1) b( 2a a b ) b(a b ) 0
2ab b,
a2 b2 b a2 b( b 1 ) a2 b( b a b )
a2 ab a(a b ) 0
a2 b2 b
*点评*作差比较两个数的大小 是最基本的方法，在任何复杂 的情况下要坚持这个方法。另
2.在△ABC 中， a 4,b 6,C 120o，则 sinA=（ A ）
A、 57 19
B、 21 7
C、 3 38
D、 57 19
3. 若△ABC 的面积为 a2 b2 c2 ，则内角 C 等于_4_5_°___.
4
4.在锐角△ABC 中，边长 a=1，b=2，
则边长 c 的取值范围是_______. （1， 5 ）
4. 目标函数 z 2x y ，变量 x, y 满足
x 4y 3 0
3x 5 y 25 ，则有 （ C ） y
x 1
3x+5y-25=0
A． zmax 12, zmin 3
B． zmax 12, z 无最小值
C． zmin 3, z 无最大值 D． z 既无最大值，也无最小值
木工 漆工 利润
A型
1
3
2
B型
2
1
3
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，每天所获 利润为z千元，则
x 2 y 8, 3x y 9, x 0, y 0.
(x、y∈Z)
目标函数为z=2x+3y
如图，作出可行域，
Q z 2x 3y可化为y - 2 x z 33
这是斜率为- 2，在y轴上的截距为 z 的一组平行直线
2ab a2 b2 ,b a2 b2
2ab a2 b2 b a2 b2
外把1等量代换起到了重要的 作用，这要认真体会。当然特 殊值法也可解之，但作为能力
应选择C.
训练，我们还是强调本题给出 的解法。
例 4．已知 x、 y R 且 x＋2y＝1，求 1 1 的最小值 xy
D. |wenku.baidu.com|+|b|＞|a+b|
2．原点和点（1，1）在直线 x+y-a=0 两侧，
则 a 的取值范围是（ C ）
A.a<0 或 a>2
B.a=2 或 a=0
C.0<a<2
D.0≤ a ≤2
3.如果方程(x-1)(x 2-2x+m)=0 的三个根可以作为一个 三角形的三条边长，那么 m 的取值范围是_34___m___1_.
解：（1）由已知得 BC=4BE，设 BE=x，则 BC=4x,
Q 在△ACE中，sin C AE sin EAC 5sin150o 1
EC
5x 2x
在△ABC中，AB
BC sin C sin120o
4x 1 2x
sin120o
43 3
C
4x
B到A的距离为 4 3 千米
3
E
xB
5
A
（2）∵在 ABE 中，由余弦定理得
A． a 4 B． a 4 C． a 12
D． a 12
变形：若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0在(1, 4) 上恒成立， 则实数 a 的取值范围是
9.一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应
具有 4 5cm2 的面积，问应如何设计十字型宽 x 及长 y ，才能使其
x=1 2x+y=0
x-4y+3=0 x
5．下列结论正确的是 （ C ）
A.当 x 0且x 1时, lg x 1 2 lg x
B.当x 2时, x 1 的最小值为 2 x
C.当x 0时, x 1 2 x
D.当 x 0时, x 1 无最大值 x
6、已知点（x，y）在直线 x+2y=3 上移动，
2、若 logx 2 log y 2 0，则下列不等式中成立的是（ D）
1
A. x 2
1
y2
B.
( 1 )x y 3
3 x y
C. ( 1 )1 x 3 1 y
3
D.
( 1 )1 x 3
3 1 y
log x 2 log y 2 0 ? 1 x y ?
1、已知 a b 0, c d 0 ，那么下列判断中
必修5复习
（一）解三角形
1、掌握正、余弦定理及相应的公式变形； 2、掌握在各种条件下解三角形的方法；
（边长、角度、面积） 3、理解在处理三角形问题时“边角统一”思想； 4、了解在实际问题中解三角形思想的运用；
（距离、高度、角度、面积）
例题：
1.在△ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则△ABC 的形状一定是
B
A. 1 3 2
B.1+ 3
C. 2 3 2
D.2+ 3
解析：∵a、b、c 成等差数列，∴2b=a+c.
平方得 a2+c2=4b2－2ac.又△ABC 的面积为 3 ， 2
且∠B=30°，故由
S△ABC= 1 acsinB= 1 acsin30°= 1 ac= 3 ，
2
2
42
得 ac=6.∴a2+c2=4b2－12.
及取得最小值时的 x、y 值．
1 1 x2y x2y 3 2y x 32 2
xy x
y
xy
当且仅当 2 y x ．再由 x＋2y＝1 解得 xy
x 2 1， y 1 2 ． 2
1、若 1 ＜ 1 ＜ 0 ，则下列结论不正确的是( D )
ab
A. a2 ＜b2
B. ab＜b2
C. b a ＞2 ab
答案：20 －1
例 2、.已知函数 f（x）=log 1 （x2－ax+3a）在
2
［2，+∞）上是减函数，则实数 a 的范围是
A.（－∞，4］
B.（－4，4］
C.（0，12）
解析：
D.（0，4］
∵f（x）=log 1 （x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，
2
∴u=x2－ax+3a 在［2，+∞）上为增函数， 且在［2，+∞）上恒大于 0.
BE2 AB2 AE2 2AB AE cos 30o
25 16 2 5 4 3 3 31
3
3 23
BE 93 3
所以轮船速度是 31 20 93 （千米/小时） 3 60
C
4x
xB
E
5
A
（二）不等式
1、掌握不等式的8个性质； 2、掌握处理线性规划问题的基本思想； 3、掌握基本不等式的形式及其变形； 4、注意利用基本不等式求最值时的三个限制条件；
3
3
Q 如图可知，当直线y - 2 x z 33
经过可行域上的点M时，直线在
y轴上的截距 z 最大，即z最大 3
解方程组
x 2y 8 3x y 9
得
x
y
2 3
，即
M
2,3
所以zmax=2x+3y=4+9=13=1.3(万元)
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获
最大利润1.3万元。
B
C
基本不等式的变形：
a2 b2 2ab ab a2 b2 2
a b 2 ab ab a b 2
ab ( a b )2 a2 b2
2
2