§4.2换元积分法(第一类换元法)

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高等数学-4_2换元法

4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x

(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )

tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）

sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x

(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x

1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1

1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )

4.2 换元积分法

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分

f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解：令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1

du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

4.2_换元积分法

x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习：求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt

换元积分法和分部积分法

对于含有根式的函数的积分，原则上是设法去掉根式。
有些含有根式的函数的积分，直接令根式为新变量即可将问题转化为一般的不含根式的函数的积分。
补充例题11 计算
解:
1 6

dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的分母的最小公倍数为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5

t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)

f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令或
第三节讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x

4-2 换元法1-第一换元法

1 1 − cos x 1 1− u + C. = ln + C = ln 2 1 + cos x 2 1+ u
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导，设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积求不定积分时，分公式相对比，并利用简单的变量代换，分公式相对比，并利用简单的变量代换，把要求的积分化成已知的形式，把要求的积分化成已知的形式，求出以再把原来的变量换回。后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。与只相差一个常数 • 注意例3，4与例解法差别。注意例，与例5解法差别。与例解法差别

高数4.2

2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ，于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法．
一、第一类换元法二、第二类换元法三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ．例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)．例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：

不定积分的换元积分法4.2

f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x

2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解那么
当 x> a 时，设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2

2
t
)，
sec
2
a
t 1

a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ，于是

dx x a
2 2

2

a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3

2第二节换元积分法

2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x.
2 cos x sin x
sin x
2
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解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
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例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
例5 求
1 dx a 0.
a2 x2
解
1 dx 1
a2 x2
a
1 dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin x C a
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例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln cos x C.
x4

高等数学 4-2换元积分法

说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2

4.2第二类换元积分法

t 1

6
(t 2

t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题

x2

1 2x

dx 4

3

1 (1
x)2
dx

1
1 u2
du

arctanu

c

1 3

1

1 1
x
2

dx
3
1 3
3

1

1 1
x
2
d

1
x 3

3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a

第一类积分换元法

第一类积分换元法第一类积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法。

通过巧妙地引入新的变量，可以将原来的积分问题转化为更易求解的形式。

以下将详细介绍第一类积分换元法的原理、步骤和应用。

首先，让我们来了解第一类积分换元法的原理。

在使用这种方法时，关键是要找到合适的替代变量。

设原函数为F(x)，要求的不定积分为∫f(x)dx。

我们通过引入新的变量u，将x表示为u的函数，即x=g(u)。

然后，我们对F'(x)进行变量替换，得到F'(x)dx=∫f(x)dx。

接下来，我们对F(u)进行求导，得到F'(u)du=∫f(g(u))g'(u)du。

此时，我们可以发现，如果选取u作为新的积分变量，那么f(g(u))g'(u)du就是我们要求的不定积分。

接下来，我们来具体讨论第一类积分换元法的步骤。

首先，选择适当的变换u=g(x)，使得f(x)dx可以表示为g(u)du。

其次，对u进行求导得到du/dx=g'(x)，可以解出dx=du/g'(x)。

然后，将原不定积分∫f(x)dx转化为新变量u的积分∫g(u)du。

最后，将得到的积分结果F(u)表示为关于原变量x的形式F(x)，即可求得所要的不定积分。

第一类积分换元法具有广泛的应用。

例如，在求解含有根式的积分时，通过引入新的变量可以将其转化为更简单的形式。

另外，对于一些复杂的三角函数积分，也常常可以通过合理的选择变量进行简化。

此外，在解决一些带有参数的积分问题时，第一类积分换元法也能够发挥重要的作用。

然而，需要注意的是，在实际应用中，选择合适的变量往往是比较困难的。

这要求我们对函数的性质有深入的了解，并能够灵活运用数学方法。

因此，在使用第一类积分换元法时，需要经过大量的练习和实践，才能熟练运用并解决相应的积分问题。

综上所述，第一类积分换元法是求解不定积分中常用且有指导意义的方法。

通过巧妙地引入新的变量，可以将原积分问题转化为更易求解的形式。

高等数学《换元法》课件

4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.2 换元积分法

如果由基本积分公式可以求得
න = +
那么
‫ ⋅ ])([ ׬‬′ ()＝[()] +
将上述过程联立起来，写成下面四个步骤:
න
⋅ ′
= ‫)(])([ ׬‬
凑微分
令=
=
换元

න
= () +
回代
‫])([ ׬‬′ () = [ + ]ȁ=−1() = −1
这种方法称为第二类换元积分法.
+ .
忽略变量符号的不同,下列示意图反映了这两类换元法之间的关
系,从左到右就是第一类换元法,从右到左则是第二类换元法.
第
类
一
元
换
法
令=()
′
‫)( ׬ = )(])([ ׬ = )( ])([ ׬‬
（8） = (− ) = −
（9） 2 =
（10）
1

1+ 2
=
在熟练掌握了上述四个步骤以后，我们可以省略第二步“换元”,从而把
这四个步骤简化为两步:
න
∙ ′ = න
=
+
例3 求
( )3
‫ ׬‬.
解法一
( )3
‫) (׬= ׬‬3
令=ln
回代 1
1 4
3
=
‫ = ׬‬4 + = 4 ( )4 +
解法二
( )3
‫) (׬= ׬‬3
1
= ( )4
分析
‫ ( ׬‬3 + 1) ≠ ( 3 + 1) + ,因为[( 3 + 1)]′ ≠ ( 3 + 1).

高等数学A4.2-换元积分法(1)

d
x
(5)

4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2

d(x 2) 4 (x 2)2
2. 求提示: 法1
法2
法3
第二节换元积分法
3.求
第二节换元积分法
解: 原式
f f
(x) ( x)

1

f
(x) f (x) f 2(x)

解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
第二节换元积分法
常用的几种配元形式:
(1) f (ax b)dx
(2) f (xn )xn1 dx
(3)

f
(x n
)1 x
dx

(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
第二节换元积分法
万能凑幂法
(6) f (tan x)sec2 xdx
）
4. ax f (ax )dx ( )
5． csc2xf (cot2 x)dx ( )
6.

1 1+x2
f
(arctan
x)dx=（
）
第二节换元积分法
7.

1 f (arcsin x)dx ( 1-x2
)
8. sec x tan x f (sec x)dx ( )
9. f (x) f (x)dx ( )
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
第二节换元积分法
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?

42换元积分法

C
3
3 11
33
1 (3x 2)11 C 33
November, 2004
例 (3x 2)10 dx
(3x 2)10 dx
1 3
(3x 2)10 d(3x 2)
1 (3x 2)11 C 33
Check [ 1 (3x 2)11] 1 (3x 2)10 (3x 2)
d
ln
x
1 dx d ln x x

1 2

(1
1 2 ln
x)

d (1
2 ln
x)

1 2
ln
1
2 ln
x
C
November, 2004
一般

f
(ln x
x) dx
f (ln x)d ln x
u ln x
1 dx d ln x x
November, 2004
例
ex dx 3 1 ex

1 2

f
(u)du
u x2 xdx 1 dx2
2
November, 2004
f (x2)xdx 1 f (x2 )d (x2 ) xdx 1 dx2
2
2
推而广之
xn1dx 1 dxn
n
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn n
November, 2004
解
tan xdx

sin x cos x
dx

1 cos
x

sin
xdx

1 cos

第一类换元积分法

第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。

本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。

一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。

其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。

它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。

四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。

因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。

§4.2换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。

从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

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4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法(第一类换元法) Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， d (x)(x)dx .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分 .Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分 . Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设 f(u)具有原函数 F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量， u (x)， (x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得：f [ (x)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f (u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f [ (x)] (x)]dx u (x)[ f(u)du] F u C F (x) C . 以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然 f[ (x)] (x)dx 是一个整体记号，但是被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的 (x) dx 可以看成是 (x)的微分，通过换元 u ( x) ，应用到被积表达式中就得到 (x)dx du .定理 1 设 f (u)具有原函数 F(u) ，u (x)可导， du (x)dx ，则f [ (x) (x)dx f (u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式 (1) ，在求不定积分积分 g(x)dx 时如果被积函数 g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式 f[ (x)] (x) 的形式那么(x) u u (x)g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f (u) du] F(u) C u (x)F[ (x)] C .所以第一换元积分法体现了“凑”的思想. 把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积精彩文档dF( (x)) dF du(x)] (x) 。

dx du dx f (u)f[ (x)] (x) 来.例 1 求 3e 3x dx解 3e 3x dx e 3x 3dx= e 3x ( 3x) dx ，可设中间变量 u 3x ，du d(3x) 3dx 3dx du ，所以有 e 3x dxe 3x 3dx e u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

例 2cos2xdx11解cos 2 xdx cos2x 2dx= cos2x (2x) dx22令 u 2x ，显然 du 2dx ，1 1 11 则cos2xdx cos2x 2dx cosudu sinu C sin2x C .2 2 22在比较熟练后，我们可以将设中间变量 u (x) 的过程省略，从而使运算更加简洁。

例 3 (3x 2)5 dx解如将 (3x 2)5 展开是很费力的，不如把 3x 2 作为中间变量， d(3x 2) 3dx ，51 5 1 5 1 6 (3x 2)5dx= (3x 2)5 3dx= (3x 2)5d(3x 2) (3x 2)6 C . 3 3 18 1例 4 dx3 2x 1 1 1 2dx= d(3 2x) ln |3 2x| C . 2 3 2x 22例 52xe x dx2xe x dx e x (x 2) dx e x dx 2 e x例 6 求 x 1 x 2 dxx 1 x 2 dx1( 2x) 1 x 2dx 211 x2 (1 x 2) dx 1 1 x 2d(1 x 2) 22u 1 x 1udu 1 2u 2 C 1(1 x 2 )2C .2 23 3二、掌握几种典型的“凑微分”的方法精彩文档1 dx= 1 13 2x 2 3 2x三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算例 7 求 sin 2 xdx21 1 1 解 sin2 xdx (1 cos2x)dx dx cos2xdxx1 2dx x 1sin 2x C . (此题利用三角函数中的降幂扩角公式)241 dx 1 a 1 (a x )2 1 (a x ) 利用 d(x n ) nx n 1dx ，有如下例题1 sin例 9 求 2xdxx 2 IIII解 d(1)12 dxxx1sin1 11 11 1 1 2xdx(sin 1)( 12 )dx (sin 1)(1) dx sin 1 d(1) cos 1 C x 2x x 2x xx x x例 10 求 e x cos e x dx解 e x cose x dx ＝ cose x d(e x ) sine x C . 利用 d(e x ) e x dx ， d(a x ) a x lnadxdx d(ax b) ； adx d(ln x) ； xsin xdx d (cos x ) ；x n 1dx 1d(x nb)； nx1 x a x dxd(a x ) ； ln a2sec xdx d (tan x) ；secx tan xdx d (sec x) ；dxd (arcsin x) ；e x dx d(e x ) ；cos xdx d(sin x) ；2csc xdx d(cot x) ； dx 2 d(arctan x) 。

1 x 21 (cos2x)4例8求dxa 2 x 2(a 0)dx 22ax xx d( ) arcsin C .2 a axdx11 求xxeedx12 求 e x dx 16x13 求 4x 6 9x dx3 x 1 3 x 1 (32)x 2d[(32)x ] ln3 II ln2arctan(23)xC . 此题利用 d(a x ) a x lnadx1面几个例题利用 d(ln x) dxx例 14 求dxxln xII d lnln x ln |ln ln x| C . lnln x1例 15 求 (2ln x 5)4dxdxx x x 2 e e (e ) 1dxdexx 2 arctane x C .(e x )2 14x 6x9x dx 4x 9x6x4x9x 1x 1 4xdx(3)x23 dx 1 (3)2x2解dxxlnx1 1dx lnx x ln x 1 d(lnx) ln lnx C .又如习题 4-2:2dx dx解x lnx lnlnx16)x ln x ln ln x11 111 1dxlnlnx ln x x11 d ln x ln ln xln x习题 4-2:2(30)dx xe1xx1 e e 1xe1dxe xdxxe x e1d(e xx 1)x ln(e x 1) C . x e1ln 13ln21 1 2解(2ln x 5)4dx (2ln x 5) 4 dxx 2 x1 4 1 5(2ln x 5) 4 d (2ln x 5) (2ln x 5)5 C .210第一次课可以讲到这里被积函数是分母是二次函数(例 16～例 22六个例题 )dx例 16 求 2dx 2a 2 x 2, 分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法(a 0) 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项dx 解a 2 x 21dx 11 (x )21 x 1 x d( ) arctan C . a1 (x )2aaa例 17dx 29x 2 12x 4被积函数分母是一个完全平方式dx 9x 2 12x 4= 312 3dx (3x 2)23 (3x2)2d(3x 2)3(3x 2)C .被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为12 dx= 1 (ax b) a (ax b)2 d(ax b)dx 例18 2dx4x2 4x 17dx2分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式dx 21x 1)2 dx2116 (2x 1)216 1 (1 (42x 1 1 x 1d( ) arc tan( ) C 1 (2x 1)2 4 8 2 41 (4)解24x24x 17被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2(ax b)2c 的形式，然后利用x arctan x C1练习：求2dx (第一换元积分法分)x2 2x 5x22x 5 (x 1)24 ，(x2 d2x x 5) 12 dx=(x 1)24 42 1 (x21)2dx19 求2x2 121x2 x 12 x 11dx (x 1)2 1dx 2x 1 1 x 1d = arctan C22分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式1 (1 1)(x 3)(x 4) 7 x 4 x 31 1 1 1( )dx7 x 4 x 3 7 x 41 11dx7x3dx2x2 x 12 1 7x4 1 1 1 x 4111 d(x 4) 17 x 3d(x 3)1 dxln |x 4| ln |x 3| C ln | | C .7 7 7 x 3被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差(x a)(x b)c[1 a b (xa)1] (xb)x 例20 求1x x2dx 分子是次多项式，分母是二次多项式解d(x21) 2xdx例 21 求 2x 2dx2x 101 1 x 1dx ln(x 22x 10) arctan C .2 3 3被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数面几个例题利用三角函数的微分公式：22d (sin x) cos xdx ； d (cos x)sin xdx ； d(tan x) sec xdx ； d(cotx) csc xdx2 2sin x 解 tan 3 xdx tan x(sec 2 x 1)dxtan xsec 2 xdx dxcosx12d (cos x) tan x ln cosx C2例 24 求 csc xdxx2 dx 1 2x 1 x 2 2 1 x 2 dx 122(x 21) 1ln(x 2 1) C . 2 解 d(x 22x 10) (2x 2)dx ，则2x 2 2 1 x 2 2x 10 dxd(x 2 2x 10) 22 x 22x 10 2 x 22x 2 21 dx 2x 1022 x 22x 10 2x 2 2 x 2 2x 10x 22x 10dx 2 x 2 2x 10 dxdx 1ln( x 2 2x 10)2x 10 2(x 11)2 9dx1ln(x 2 2x 10) 29 x 1 29(x 31)2 1例 22 求 tan xdx化切为弦）sinx sinx tanxdx ＝dx=cosx cosxdx =1d(cosx) ln cosx C cosx例 23 求 tan3xdx1tan xd (tan x) cosx 1cscxdx ＝dx=sinx2sin x cos x22dx1 2x cos2dx x sin 22 x cos22x sec 2x x dtan x21x dtan2 xtan2xln | tan | C . 因为 x tan2x sin2xcos22sin 2x2 2sin 2 xxx2sin cos22sinx1 cosx cscx cotx .sinxx所以 csc xdx ln | tan | C ln |cscx cotx| C . 此题用三角万能公式代换也可以1解根据三角函数的积化和差公式： cos3x cos2x(cos5 x cosx)21cos3x cos2xdx cos5x cos xdx21 1 1 1cos5xd 5x cos xdx sin5x sinx C . 10 2 10 2由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。