§4.2换元积分法(第一类换元法)

4.2 换元积分法

Ⅰ 授课题目

§4.2 换元积分法(第一类换元法) Ⅱ 教学目的与要求：

1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”， d (x)

(x)dx .

2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分 .

Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分 . Ⅳ 讲授内容：

一、第一类换元积分法

设 f(u)具有原函数 F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量， u (x)， (x)可微，则 根据复合函数求导法则，有

所以根据不定积分的定义可得：

f [ (x)] (x)dx F[ (x)] C u (x)

F[u] C [ f (u)du]

以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有

f [ (x)] (x)]dx u (x)

[ f(u)du] F u C F (x) C . 以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出， 虽然 f[ (x)] (x)dx 是一个整体记号， 但是被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待

从而上式中的 (x) dx 可以看成是 (x)的微分， 通过换元 u ( x) ，应用到被积表

达式中就得到 (x)dx du .

定理 1 设 f (u)具有原函数 F(u) ，u (x)可导， du (x)dx ，则

f [ (x) (x)dx f (u)du F(u) C F[ (x)] C (1)

如何应用公式 (1) ，在求不定积分积分 g(x)dx 时 如果被积函数 g(x)可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式 f[ (x)] (x) 的形式 那么

(x) u u (x)

g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u

[ f (u) du] F(u) C u (x)F[ (x)] C .

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想

. 把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

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dF( (x)) dF du

(x)] (x) 。

dx du dx f (u)

f[ (x)] (x) 来.

例 1 求 3e 3x dx

解 3e 3x dx e 3x 3dx= e 3x ( 3x) dx ，可设中间变量 u 3x ，

du d(3x) 3dx 3dx du ，

所以有 e 3x dx

e 3x 3dx e u du e u C e 3x C .

首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

例 2

cos2xdx

11

解

cos 2 xdx cos2x 2dx= cos2x (2x) dx

22

令 u 2x ，显然 du 2dx ，

1 1 1

1 则

cos2xdx cos2x 2dx cosudu sinu C sin2x C .

2 2 2

2

在比较熟练后，我们可以将设中间变量 u (x) 的过程省略，从而使运算更加简洁。 例 3 (3x 2)5 dx

解 如将 (3x 2)5 展开是很费力的，不如把 3x 2 作为中间变量， d(3x 2) 3dx ，

5

1 5 1 5 1 6 (3x 2)5dx= (3x 2)5 3dx= (3x 2)5d(3x 2) (3x 2)6 C . 3 3 18 1

例 4 dx

3 2x 1 1 1 2dx= d(3 2x) ln |3 2x| C . 2 3 2x 2

2

例 5

2xe x dx

2xe x dx e x (x 2) dx e x dx 2 e x

例 6 求 x 1 x 2 dx

x 1 x 2 dx

1

( 2x) 1 x 2dx 2

1

1 x

2 (1 x 2) dx 1 1 x 2d(1 x 2) 22

u 1 x 1

udu 1 2u 2 C 1(1 x 2 )2

C .

2 2

3 3

二、掌握几种典型的“凑微分”的方法

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1 dx= 1 1

3 2x 2 3 2x

三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分 计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算 例 7 求 sin 2 xdx

2

1 1 1 解 sin

2 xdx (1 cos2x)dx dx cos2xdx

x1 2dx x 1sin 2x C . (此题利用三角函数中

的降幂扩角公式)

24

1 dx 1 a 1 (a x )

2 1 (a x ) 利用 d(x n ) nx n 1dx ，有如下例题

1 sin

例 9 求 2x

dx

x 2 II

II

解 d(1)

1

2 dx

xx

1

sin

1 1

1 1

1 1 1 2x

dx

(sin 1

)( 1

2 )dx (sin 1

)(1

) dx sin 1 d(1) cos 1 C x 2

x x 2

x x

x x x

例 10 求 e x cos e x dx

解 e x cose x dx ＝ cose x d(e x ) sine x C . 利用 d(e x ) e x dx ， d(a x ) a x lnadx

dx d(ax b) ； a

dx d(ln x) ； x

sin xdx d (cos x ) ；

x n 1dx 1d(x n

b)； n

x

1 x a x dx

d(a x ) ； ln a

2

sec xdx d (tan x) ；

secx tan xdx d (sec x) ；

dx

d (arcsin x) ；

e x dx d(e x ) ；

cos xdx d(sin x) ；

2

csc xdx d(cot x) ； dx 2 d

(arctan x) 。

1 x 2

1 (cos2x)

4

例8求

dx

a 2 x 2

(a 0)

dx 22

ax xx d( ) arcsin C .

2 a a