分式知识点及题型总结超好用
(完整版)分式常见题型汇总
知识点：1、能理解因式分解的概念并能正确判别。
2、会用提取公因式，运用公式法分解因式。
重点：1、运用提取公因式法分解因式。
2、运用公式法分解因式。
难点：综合运用提公因式法，公式法分解因式，体会因式分解的作用。
分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a -b)= a 2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x（3）x 111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：ba b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）112---a a a ； （5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算 （1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）ab ab b b a a ----222；（3）ba b b a ++-22； （4）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；（5）2121111x x x ++++-； （6）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(y x x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x x x x ；（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x x x （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
分式知识点总结及复习汇总
分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。
分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。
分式可以进行四则运算，包括加减乘除。
分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。
分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。
分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。
二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。
2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。
3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。
4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。
三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。
2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。
2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。
五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。
2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。
3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。
4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。
六、分式的简化步骤：1.因式分解。
2.分子、分母约去最大公约数。
3.整理化简结果。
七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。
分式考试知识点总结
分式考试知识点总结一、分式的基本概念1. 分式的定义分式是以分数形式表示的数，它由分子和分母组成，分子和分母都是整数，且分母不为零。
分式通常表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。
2. 分式的意义分式表示了一个整体被分成若干个相等部分中的一部分，分子表示实际部分的数量，分母表示整体被分成的份数。
3. 分式的性质（1）如果分式的分子和分母互质（即最大公因数为1），则分式为最简分式。
（2）分式的分子和分母都乘以相同的非零数，分式的值不变。
二、分式的简化1. 分式的约分分式的约分是将分子和分母的公因数约去，使分式的分子和分母互质，从而得到最简分式。
2. 分式的化简分式的化简是指将分式中各项合并、整理，使分式更加简洁和易于计算。
三、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算是通过通分的方式将分式的分母变为相同的数，然后按照分子的加减法则进行运算。
2. 分式的乘除运算分式的乘法是将分式的分子和分母分别相乘，得到新的分子和分母；分式的除法是将分式的分子和分母分别相除，得到新的分子和分母。
3. 分式的混合运算分式的混合运算是指在分式中同时进行加减乘除等运算，通常需要先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算。
四、分式的方程和不等式1. 分式方程分式方程是包含分式的方程，通过对方程两边进行合理的变形和化简，可以得到分式方程的解。
2. 分式不等式分式不等式是包含分式的不等式，通过对不等式进行加减乘除等操作，可以得到分式不等式的解集合。
以上就是关于分式的基本概念、性质、简化、运算、方程和不等式等方面的知识总结，希望对同学们的学习有所帮助。
在学习分式的过程中，需要多做练习，加深对分式的认识和理解，提高分式的运用能力，从而更好地掌握分式的相关知识。
分式题型知识点总结
分式题型知识点总结一、分式的概念分式是指用一整数分子和一整数分母表示的数，其一般形式为a/b。
其中，a称为分子，b称为分母，分子和分母都是整数，且分母不为0。
分式可以表示整数和小数之间的关系，也可以表示两数之间的比值关系。
二、分式的化简1. 化简分式的方法（1）约分：分式的分子分母同时除以它们的最大公约数。
（2）整体化简：可以将分式中的数、字母像化简代数式一样进行整体化简。
2. 化简分式的步骤（1）找分式的最大公约数；（2）约分得到最简分式。
三、分式的性质1. 分式的值域：分式的值域由分母产生，要合理确定分母的范围。
2. 分式的比较：要比较分式大小，可以通分后比较分数值的大小。
3. 分式的乘法：分式的乘法，可以直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
4. 分式的除法：分式的除法，可以转化为乘法，即将除数取倒数化为乘法。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法：分式的加减法都需要通分后进行计算，计算完毕后再作进一步的化简。
2. 分式的乘法：分式的乘法直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，再进行化简。
3. 分式的除法：分式的除法可以转化为乘法，即将除数取倒数改为乘法，再将两个分式相乘。
五、分式的应用1. 分式在生活中的应用：比如在购物时计算打折后的价格、在合作中分配利润等。
2. 分式在代数中的应用：在方程、不等式的计算过程中，常会出现分式的运算。
六、综合练习1. 简单计算练习：如化简分式、分式的加减乘除等。
2. 应用题练习：如生活中买东西打折、分配利润等应用题。
以上就是关于分式的概念、化简、性质、运算等知识点的总结，希望对你有所帮助。
在学习分式的过程中，要多做练习，加深自己对分式的理解，提高分式的运算能力。
分式知识点总结
分 式一、知识总结（一）分式及其性质1、分式（1）定义：一般的，如果a ，b 表示两个整式，并且b 中含有字母，那么式子ba 叫做分式；其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。
（2）有理式：整式和分式统称为有理式。
（3）分式=0⇔分子=0，且分母≠0 （分式有意义，则分母≠0）（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
2、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变即：mb m a m b m a b ÷÷=⋅⋅=a （a ，b ，m 都是整式，且0m ≠） 分式的性质是分式化简和运算的依据。
3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。
注：约分的结果应为最简分式或整式。
约分的方法：1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相同字母最低次幂；2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。
（二）分式运算1、分式的乘除1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：bdac d c b =⨯a 2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：bcad c d b a d c b =⨯=÷a3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。
即：n n n b a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，()n n ab b 1a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2、分式的加减1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：bc a b c b ±=±a ()0b ≠ 2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，即：bdbc ad bd bc bd ad d c b ±=±=±a ()0b ≠d（三）分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解法：1）基本思路：分式方程−−→−转化整式方程 2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。
分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型总结超好用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ分式知识点及题型一、分式的定义:一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母,那么式子BA叫做分式,A 为分子,B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为０(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =)③分式值为0：分子为0且分母不为０（⎩⎨⎧≠=0B A )④分式值为正或大于0:分子分母同号(⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ) ⑤分式值为负或小于０：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为１:分子分母值相等(A=B ）⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数（Ａ+B=0)三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示:C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、Ｃ是整式，Ｃ≠０。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个,分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意:在应用分式的基本性质时，要注意Ｃ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分１．定义：根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2.步骤：把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法:1）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数． 2）取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分１．定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，则x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。
2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。
例如：若分式（x 1）／（x ＋ 2）的值为 0，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠0 ，解得 x ＝ 1 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C）／（B×C）， A/B ＝（A÷C）／（B÷C）（C ≠ 0 ）例如：将分式 2x/3y 的分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/6y ，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式（6xy）／（9x²y）进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公因数是 3 ，字母部分 x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂是 1 ，所以公因式是 3xy ，约分后得到 2/（3x) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。
2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
分式知识点总结题型归纳
分式知识点总结题型归纳1. 分式的概念分式是用两个整数相除得到的一种数形式，一般用 a/b 或 $\frac{a}{b}$ 来表示，其中 a 和b 都是整数，b 不等于0。
分式中的 a 称为分子，b 称为分母。
分数可以表示小数、百分比、比例等，是数学中一个非常灵活的表示形式。
2. 分式的基本性质（1）分式的值域分式的值域是除数不为零的实数集。
（2）分式的大小比较如果两个分式的分子分母都是正数或者都是负数，那么大小关系与分子之间的大小关系一致；如果一个分数的分子为正，分母为负，另一个分数的分子为负，分母为正，那么它们的大小关系相反。
3. 分式的化简和扩展（1）分式的化简分式的化简是指将分子和分母同时除以一个公约数，并约分至分子与分母最大公约数为1的操作。
（2）分式的扩展分式的扩展是指将分子和分母同时乘以一个数，并使得分子与分母最大公约数为1的操作。
4. 分式的四则运算（1）分式的加法与减法分式的加法和减法需要先将分子的通分，然后对齐分母，最后分别进行分子的加减操作。
（2）分式的乘法分式的乘法直接将两个分式分子相乘，分母相乘。
（3）分式的除法分式的除法是将第二个分式的分子和分母互换位置，然后将它看作乘法的逆运算。
5. 分式的约分分式的约分是指将分子和分母同时除以它们的最大公约数的操作，使得分数化简为最简分数形式。
6. 分式的应用（1）分式在比例中的应用比例是一种常见的实际应用问题，而分式可以用来表示比例关系，进行比例的求解。
（2）分式在代数方程中的应用分式在解一元一次方程、一元二次方程等方程中有很多应用，可以用来简化计算、变换表达式等。
（3）分式在实际问题中的应用分式可以用来表示在实际问题中的比率、分配、利润等概念，对于解决相关实际问题有很大的帮助。
以上就是对分式知识点的总结和归纳，希望能够帮助到大家。
对于分式的学习，要掌握其定义、基本性质、化简扩展、四则运算、约分等内容，并能够运用到实际问题中。
只有掌握了这些知识，才能够更好地理解和应用分式，提高数学解题能力。
分式知识点题型总结
分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。
下面我们来对分式的相关知识点和常见题型进行总结。
一、分式的定义形如\（＼dfrac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
需要注意的是：1、分式的分母不能为零，否则分式无意义。
2、分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＼），＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＼）（＼（M\）为不为零的整式）三、分式的约分与通分1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
2、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
四、分式的运算1、分式的乘除乘法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{ac}｛bd}＼）除法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼div ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{d}｛c} ＝＼dfrac{ad}｛bc}＼）2、分式的加减同分母分式相加减：＼（＼dfrac{a}｛c} ±＼dfrac{b}｛c} ＝＼dfrac{a ± b}｛c}＼）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算。
五、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：去分母，将分式方程化为整式方程。
解整式方程。
验根，将求得的未知数的值代入原分式方程的分母，若分母不为零，则是原方程的解；若分母为零，则不是原方程的解，应舍去。
(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理
第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。
特别注意：1π不是分式。
2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。
【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。
§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。
3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。
【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。
4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习.doc
第十五章分式二、知识概念：A1•分式：形如一，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫 B做分式的分子，3叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：分母不等于0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减•用字母表示为：a .b a±b—士 —— ---C C C⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同ci c ad + cb分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为： -±-=b d bd ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为n r CLC积的分母•用字母表示为：-x- = —b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字 e 士一“ a c a d ad 母表不为： 5 = —X —=b d bc be/ 、川n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方•用字母表示为：兰=二0丿b n8. 整数指数幕：列式实际问题分式类比分 数性质列方程｛分氏丽目标分式基本性质|类比分数輕分式的运算去分每整式戈程H 标；-］分'式方程的解-检矍解整式方程转式方租的解Wa m xa H =a m+n 5、n是正整数）⑵（/）" = /"（加、斤是正整数）⑶（ah）n =a n h n（〃是正整数）⑷ a m a n = a tn^n（QH O, m> 刃是正整数，m> n）（5）［-| =—（〃是正整数）⑹b n（6）«-w =—（dH（）, n 是正整数）a n9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.常考例题精选1. （2015 •宜昌屮考）若分式二有意义，则a的取值范围是（） a+1A.a=0B. a=lC. aHTD. aHO2-（2015 •丽水中考）把分式方程丘三转化为-元-次方程时，方程两边需同乘A. xB. 2xC. x+4D. X （x+4）3.（2015 •宜宾中考）分式方程芫-令匕的解为（）X2-9 x-3 x+3A. 3B. -3C.无解D. 3 或-34.（2015 •海南中考）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块而积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲 荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意, 可得方程（）8 600 9 800 X X+60 8 600_9 800 x-60 x5-（2015 •河池中考）若分式幺有意义，则x 的取值范围是 --------------6. （2015 •白银中考）若代数式丄-1的值为零，则x 二X-1-----------------------7. （2015 •齐齐哈尔中考）若关于x 的分式方程三二壬-2有非负数解，则a 的取x-1 2x-2值范围是 ___________ .9. （2015 •连云港中考）先化简，再求值:_iv m^-Zmn+n^ 其中旷一3,旷5.m n/ mn10. （2015 -凉山州中考）某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）.（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n （单位：t ）与运输时间t （单位：天）之间 有怎样的函数关系式？8 600 9 800 X X-60 8 600_9 800 x+60 x8. （2015 •呼和浩特中考）化简:（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成 任务，求原计划完成任务的天数.11. （2015 •重庆中考）先化简，再求值：（乎-岂片泊三石，其中x 是不等式 3x+7>l 的负整数解.12. （2015 •玉溪中考）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师 去购买一些篮球和排球•回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13. （2015 •娄底屮考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的 垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知 甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，>1.乙车每趟运费比甲 车少200元.（1） 求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？李老师说:“用1000元购买的排球个数和 用1600元购买的蓝球个數相等:“篮球的单价比排球的单价多：・）元”1・（2015-黔西南州）分式七有意义，则x 的取值范围是（）X 1A ・x>lB ・xHl C. x<l D ・一切实数 2 •下列各分式与?相等的是（）db 2 b+2 ab a+bCQ3•下列分式的运算正确的是（）a —3a -2A • a—2c B. a+2 C. ~a —3 [2_ 3 a +b —a+bB.= a+b3—a _____ 1 ^*a 2—6a+9 3 —a4 • (2015-泰安)化简(a+[二。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
分式知识点总结简易
分式知识点总结简易一、分式的概念分式是一个数与数的比值，由分子和分母组成。
例如：1/2，3/4等都是分式。
二、分式的基本概念1. 分子：分式中上面的数叫做分子，表示被分成的分数部分。
2. 分母：分式中下面的数叫做分母，表示分成的份数。
3. 分子小于分母的分式叫做真分数，分子大于等于分母的分式叫做假分数。
4. 分数的分子为0，这个分数就是0；分数的分母为1，这个分数就是整数。
三、分式的化简1. 分式的约分：将分子和分母的公约数全部约去，得到最简分数。
例如：4/6，2/3是可约分数，每个约为1/2。
2. 分式的乘除：分数的乘法：分子乘以分子，分母乘以分母。
分数的除法：把除数分子和分母互换位置，再进行乘法。
例如：3/4 × 2/5 = 6/20，6/20 = 3/10。
3/4 ÷ 2/5 = 15/8，15/8是3 7/8。
3. 分式的加减：分式的加减与分数的加减相同，都需要找到通分后的相加与相减。
例如：1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2。
1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6。
四、分式的应用1.分数的比较：分式的比较需要统一分母后进行比较大小。
例如：1/3 与 2/5比较大小，需要将它们的分母扩大为15，然后比较。
2.分式的运用在生活中，我们会经常用到分式。
比如：做菜时需要按比例调配食材，在商场购物时打折信息等等。
总之，分式是数学中重要的概念，它涉及到了分数、比例等概念，是数学中基础且重要的概念。
掌握分式的知识，对学生的数学学习十分重要。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
分式知识点总结与分式方程的应用
知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。
分式重点知识及经典例题
分式重点知识及经典例题一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
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分式知识点及题型一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 六、分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。
式子表示为：c ba cb ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为：bdbcad d c ±=±b a整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
七、整数指数幂① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。
即：n m n m a a +=⋅a ()mn nma a = ()n n nb b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ）n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a 1=-na 0≠a ） 10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。
八、分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤： ① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。
注意检验 ⑤ 答—答题。
分式典型例题一、分式（一）从分数到分式题型1：考查分式的定义例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、yx b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xyx 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b-；⑹222xy x y +.（2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y；78xπ+；2x xy x y +-；145b-+.题型2：考查分式有，无意义，总有意义（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12+x≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B.12+x x C.133+x xD.25x x -例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠xC ．2->xD ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ） A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3题型3：考查分式的值为零的条件使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A.2± B.2 C. 2- D.以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若01=+aa,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 题型4：考查分式的值为正、负的条件【例】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 二、分式的基本性质题型1：分式的基本性质的应用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例1：aby a xy = ； z y z y z y x +=++2)(3)(6 ；如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是________； 例2：)(1332=ba ab)(cb a cb --=+-例3：如果把分式ba ba ++2中的a 和b 都扩大10倍，那么分式的值（ ）A 、扩大10倍B 、缩小10倍C 、是原来的20倍D 、不变例4：如果把分式yx x+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的101 CB C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例5：如果把分式yx xy+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍 例6：若把分式xyx 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍例7：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A 、y x 23 B 、223y xC 、y x 232D 、2323y x例8：根据分式的基本性质，分式ba a--可变形为（ ） A b a a -- B b a a + C b a a -- D ba a +-例9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 例10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 211x x x-+--= 。
题型2：分式的约分及最简分式①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。
例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca ba a c ab --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 例2：下列约分正确的是（ ）A 、326x x x =； B 、0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、214222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ) A022=++y x y x B.1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--adc d c a d c a d c 例4：下列运算正确的是（ ）A 、a aa b a b=--+ B 、2412x x ÷= C 、22a a b b = D 、1112m m m -= 例5：下列式子正确的是（ ）A ．22ab a b = B ．0=++b a b a C ．1-=-+-b a b a D ．ba ba b a b a +-=+-232.03.01.0例6：化简2293m m m --的结果是（ ）A 、3+m m B 、3+-m mC 、3-m mD 、m m -3 例7：约分：=-2264xy yx ；932--x x = ；()xy xy 132=； ()y x y x yx 536.03151+=-+。