选择合适方法解一元二次方程

《一元二次方程的解法》习题课教案

《一元二次方程的解法》习题课学习目标:1.了解一元二次方程的各种解法,会选择适当的方法解一元二次方程。

2.能根据判别式准确判断一元二次方程根的情况。

学习重点：能正确地选择适当的方法解一元二次方程。

学习难点：熟练解出一元二次方程的解学习过程：一、自主思考题：思考下列问题：1、一元二次方程的解法有哪几种其基本思想是什么它们之间有什么区别和联系2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么配方的关键是什么3、用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么求根公式是怎样推导出来的4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么5、如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况都是有哪几种情况6、求取的方程的解都符合题意吗有什么判断依据思路点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。

注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。

求根公式不要死记，要掌握推导过程。

b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。

二、自学检测：1、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=______________.2、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（）A 、当a≠±1时，原方程是一元二次方程B 、当a≠1时，原方程是一元二次方程。

C 、当a≠-1时，原方程是一元二次方程D 、原方程是一元二次方程。

3、请你写出一个有一根为1的一元二次方程：4、下列方程是一元二次方程的是（）A 、0512=+-x xB 、x （x+1）=x 2-3C 、3x 2+y-1=0D 、2213x +=315x -5、方程x 2-8x+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程是（）A 、（x-6）2=11B 、（x-4）2=11C 、（x-4）2=21D 、以上答案都不对6、关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+（2m —1）x+m 2—4=0的一个根是0，则 m 的值是（）A 、 2B 、—2C 、2或者—2D 、127、要使代数式22231x x x ---的值等于0，则x 等于（） A 、1 B 、-1 C 、3 D 、3或-18、三角形两边长分别是6和8，第三边长是x 2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。

一元二次方程求解方法及常见练习题

一元二次方程求解方法及常见练习题一元二次方程求解方法
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c
是已知常数，且a ≠ 0。

求解一元二次方程需要使用以下两种方法：方法一：公式法
一元二次方程的解可以通过使用求根公式得到。

求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
其中 ±表示两个解，√ 表示开平方根。

方法二：配方法
配方法通过对一元二次方程进行配方来求解。

具体步骤如下：
1. 将方程形式转换为 a(x + p)^2 + q = 0 的形式，其中 p 和 q 是需要求解的常数；
2. 根据配方法公式，其中 A = a，B = 2ap，C = ap^2 + q，求解方程 Ax^2 + Bx + C = 0；
3. 求解完方程后，根据 (x + p)^2 = 0 的性质，得到一元二次方程的解。

常见练题
以下是一些常见的一元二次方程练题：
1. 求解方程 x^2 - 5x + 6 = 0；
2. 求解方程 2x^2 + 3x - 2 = 0；
3. 求解方程 4x^2 - 12x + 9 = 0；
4. 求解方程 x^2 + 4 = 0；
5. 求解方程 5x^2 - 2x + 1 = 0。

以上练题可以使用公式法或配方法来求解，根据个人喜好和题目特点选择合适的方法进行求解。

希望以上内容对你解决一元二次方程求解的问题有所帮助！。

一元二次方程的解法因式分解和因式分解

一元二次方程的解法因式分解和因式分解一元二次方程是代数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题中有广泛的应用。

在解一元二次方程的过程中，我们可以运用因式分解和求根公式两种方法。

本文将从这两个方面来详细介绍一元二次方程的解法。

我们来介绍因式分解法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

我们可以通过因式分解将其转化为两个一次方程的乘积形式，进而求解方程。

以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们首先要找到两个数的和为5，乘积为6的特性。

根据这个特性，我们可以将方程分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

通过零乘积法则，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，进而解得x的值分别为-2和-3。

所以，原方程的解为x = -2或x = -3。

通过这个例子，我们可以看到因式分解法可以将原方程转化为两个一次方程，从而更容易求解。

但需要注意的是，并不是每个一元二次方程都可以通过因式分解法求解，因为它要求方程的系数能够被分解成两个数的乘积。

接下来，我们来介绍另一种解一元二次方程的方法——求根公式法。

求根公式是利用二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0中的系数a、b、c计算方程的解。

具体求根公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。

同样以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们可以根据求根公式计算出方程的解。

将a、b、c代入公式中，得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*1*6)) / 2*1，化简后可得x = -2或x = -3，与因式分解法得到的结果一致。

通过这个例子，我们可以看到求根公式法可以直接利用方程的系数计算出解，不需要进行因式分解的步骤。

但需要注意的是，在使用求根公式时，我们需要保证方程中的判别式b^2 - 4ac大于等于0，否则方程将无实数解。

因式分解法和求根公式法是解一元二次方程常用的两种方法。

一元二次方程解应用题的六个步骤

一元二次方程解应用题的六个步骤
解一元二次方程应用题一般可以按照以下六个步骤进行：
1. 理解问题：仔细阅读题目，理解问题的背景和要求。

确定需要解决的未知数，并将其表示为变量。

2. 建立方程：根据问题中提供的信息，建立一元二次方程。

通常，方程的形式
为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别表示方程的系数。

3. 化简方程：将方程进行化简，使其形式符合一元二次方程的标准形式。

通常，需要将方程合并同类项，将其变为 ax^2 + bx + c = 0 的形式。

4. 求解方程：使用合适的方法求解一元二次方程。

可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法来求解方程。

根据具体情况选择合适的方法，并逐步进行计算。

5. 检验解：将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目中的条件。

如果解满
足方程，即使得方程两边相等，那么该解就是正确的。

6. 回答问题：根据问题的要求，将解以合适的方式进行表述，回答问题。

以上是解一元二次方程应用题的一般步骤。

在实际解题过程中，可能会根据具
体情况有所调整。

希望这些步骤能对你有所帮助。

如果有其他问题，请随时提问。

用适当的方法解一元二次方程教案

一元二次方程教案篇1学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的应用题;2、进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。

学习重点：会列一元二次方程解关于增长率问题的应用题。

学习难点：如何分析题意，找出等量关系，列方程。

学习过程：一、复习提问：列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么?二、探索新知1.情境导入问题：“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范.2002年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长率不变，2003年村长完成了36.3•亩坡耕地还林还草任务，求①增长率x是多少?②该村有50户人家，每户均地村长2003•年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，•则国家将对该村投入补助粮食多少万斤?2.合作探究、师生互动教师引导学生分析关于环保的情境导入问题，•这是一个平均增长率问题，它的基数是30亩，平均增长的百分率为x，那么第一次增长后，•即2002年实际完成的亩数是30(1+x)，第二次增长后，即2003年实际完成的亩数是30(1+x)2，而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩.教师引导学生运用方程解决问题：①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增长的百分率为10%.②全村坡耕地还林还草为50×36.3=1 815(亩)，•国家将补助粮食1 •815•×500=907 500(斤)=90.75(万斤).三、例题学习说明：题目中求平均每月增长的百分率，直接设增长的百分率为x，好处在于计算简便且直接得出所求。

例、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两降价的百分率相同，求每次降价百分之几?(小组合作交流教师点拨)时间基数降价降价后价钱第一次600 600x 600(1-x)第二次600(1-x) 600(1-x)x 600(1-x)2(由学生写出解答过程)四、巩固练习一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少(精确到0.1%)?五、课堂总结：1、善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据间相互关系，正确列出方程。

一元二次方程与不等式的解法

一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。

而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。

本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。

一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。

1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。

当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。

2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。

具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。

- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。

- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。

3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。

4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。

通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。

二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。

1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。

一元二次方程因式分解法的四种方法

一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。

本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。

二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。

在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。

通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。

四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。

2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。

3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。

4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。

五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。

六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。

解一元二次方程程序

解一元二次方程程序
解一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们可以使用求根公式来解一元二次方程，
求根公式为x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

根据求根公式，我
们可以得到方程的两个根。

另一种解法是配方法，即利用完全平方公式将一元二次方程转
化为平方的形式进行求解。

这种方法也是常用的解法之一。

此外，还可以使用因式分解法来解一元二次方程。

将方程因式
分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于0，从而得到方
程的解。

除了这些方法，还可以通过图像法来解一元二次方程。

通过绘
制抛物线的图像，我们可以直观地找到方程的解。

总之，解一元二次方程的方法有多种，可以根据具体的情况选
择合适的方法进行求解。

希望以上所述能够帮助你更好地理解如何
解一元二次方程。

选用合适的方法解一元二次方程（教案练习）

2.2.4 选用合适的方法解一元二次方程班级：___________姓名：___________得分：__________（满分：100分，考试时间：40分钟）一．选择题（共5小题，每题6分）1．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣32．若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（）A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．173．一元二次方程x2﹣x=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣C．x1=0，x2=D．x1=，x2=﹣4．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，05．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12 B．14 C．15 D．12或14二．填空题（共5小题，每题6分）6．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=．7．规定：a⊗b=（a+b）b，如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x=．8．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0 时，方程变形正确的是（填序号）①（x﹣1）2=2 ②（x+1）2=4 ③（x﹣1）2=1④（x+1）2=7．9．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为．10．观察下面的表格，探究其中的规律并填空：一元二次方程方程的两个根二次三项式分解因式x2﹣x﹣2=0x1=﹣1，x2=2x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2）x2+3x﹣4=0x1=1，x2=﹣4x2+3x﹣4=（x﹣1）（x+4）3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=4x2+9x+2=4（x）（x）4x2+9x+2=0x1=﹣，x2=﹣22x2﹣7x+3=0x1=，x2=2x2﹣7x+3=ax2+bx+c=0x1=m，x2=n ax2+bx+c=三．解答题（共4小题，每题10分）11．选用适当的方法，解下列方程：（1）2x（x﹣2）=x﹣3．（2）（x﹣2）2=3x﹣6．12．用适当的方法解下列方程：（1）3x（x+1）=2（x+1）；（2）4y2=12y+313．〔1〕若，则x的取值范围是；〔2〕在〔1〕的条件下，试求方程x2+|x﹣1|﹣3=0的解．14．根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．试题解析一．选择题1．C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．【解答】解：x2﹣4x+3=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．D【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，x﹣11=0或x﹣3=0，所以x1=11，x2=﹣3，即a=11，b=﹣3，所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．C【分析】利用因式分解法解方程即可．【解答】解：x（x﹣）=0，x=0或x﹣=0，所以x1=0，x2=．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．4．C【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，∴a=，∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，即1＜a＜．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．5．A【分析】利用因式分解方法求出方程的解得到x的值，确定出三角形第三边长，即可确定出周长．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得x=5或x=7，当x=5时，三角形三边长为3、4、5，此时三角形的周长为3+4+5=12；当x=7时，三角形三边长为3、4、7，由于3+4=7，不能构成三角形，此情况舍去；故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法及三角形三边关系是解本题的关键．二．填空题6．1【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加上1，配成完全平方的形式，即可得到结果．【解答】解：x2+2x﹣1=0，x2+2x=1，x2+2x+1=2，（x+1）2=2，则m=1；故答案为：1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．1或﹣3【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．【解答】解：依题意得：（2+x）x=3，整理，得x2+2x=3，所以（x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=﹣3．故答案是：1或﹣3．【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．8．②【分析】先移项，再配方，即可得出答案．【解答】解：x2+2x﹣3=0，x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，（x+1）2=4，故答案为：②．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．9．3【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3=0，解得a=3．故答案是：3．【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．10．【分析】利用公式法对方程的左边进行因式分解．【解答】解：4x2+9x+2=4（x+）（x+2）；2x2﹣7x+3=2（x﹣）（x﹣3）；ax2+bx+c=a（x﹣m）（x﹣n）．故答案是：一元二次方程方程的两个根二次三项式分解因式x2﹣x﹣2=0x1=﹣1，x2=2x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2）x2+3x﹣4=0x1=1，x2=﹣4x2+3x﹣4=（x﹣1）（x+4）3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=4x2+9x+2=0x1=﹣，x2=﹣24x2+9x+2=4（x+）（x+2）2x2﹣7x+3=0x1=，x2=32x2﹣7x+3=2（x﹣）（x﹣3）ax2+bx+c=0x1=m，x2=n ax2+bx+c=a（x﹣m）（x﹣n）【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．三．解答题11．【分析】（1）直接去括号进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式解方程即可；（2）直接移项，利用提取公因式法分解因式解方程即可．【解答】解：（1）2x（x﹣2）=x﹣32x2﹣4x﹣x﹣3=0，则2x2﹣5x﹣3=0，（x﹣1）（2x+3）=0，解得：x1=1，x2=；（2）（x﹣2）2=3x﹣6（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，解得：x1=2，x2=5．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．12．【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据公式法，可得答案．【解答】解：（1）方程整理，得3x（x+1）﹣2（x+1）=0，因式分解，得（x+1）（3x﹣2）=0于是，得x+1=0或3x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=；（2）方程整理，得4y2﹣12y﹣3=0，a=4，b=﹣12，c=﹣3，△=b2﹣4ac=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，x==，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．13．【分析】（1）利用=|a|，得到x﹣1≤0，即得到x的范围；（2）由x≤1可去绝对值，得到x2﹣x﹣2=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵=|x﹣1|=1﹣x，∴x﹣1≤0，即x≤1．故答案为x≤1．（2）由x≤1，方程化为：x2﹣x﹣2=0，则（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）和二次根式的性质：=|a|．14．【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据规律，可得答案．【解答】解：①方程x2﹣x﹣2=0的解为x1=﹣1，x2=2；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为x1=﹣1，x2=3；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为x1=﹣1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为x1=﹣1，x2=10；②x2﹣9x﹣10=0，移项，得x2﹣9x=10，配方，得x2﹣9x+=10+，即（x﹣）2=，开方，得x﹣=x1=﹣1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．故答案为：x1=﹣1，x2=2；x1=﹣1，x2=3；x1=﹣1，x2=4；x1=﹣1，x2=10；x2﹣nx﹣（n+1）=0．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．。

十字相乘法与一元二次方程解法的选取

十字相乘法与一元二次方程解法的选取1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。

②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

1 解方程m ²+4m-12=0 x ²-8x+15=0 5x ²+6x-8=0 6x ²-5x-25=0x ²-99x+98=0 x ²-99x-100=0 x ²+99x+98=0 x ²+99x-100=098x ²-99x+1=0 100x ²-99x-1=0 98x ²+99x+1=0 100x ²+99x-1=0x ²-200x+9600=0 x ²-45x+500=0 x ²+30x+221=0 x ²+93x+2160=0x ²-20x-8000=0 x ²-45x-1300=0 x ²+30x-4675=0 x ²+93x-594=02若，一元二次方程的两个实数根中，较大的一个实根等于__a b c >>>0()()()a b x b c x c a -+-+-=20________。

3 已知二次方程有两个相等的实数根，那么___________。

()()ab b x b a x a ab -+-+-=2220211a b +=4 若关于x 的方程的两个根都是比1小的正数，则实数m 的取值范围是__________。

()121022-+-=m x mx 5.已知方程至少有一个整数根，则非负整数a=____________。

(完整版)一元二次方程的解法大全

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。

解一元二次方程的方法

v1.0 可编辑可修改解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。

一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。

(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。

(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。

3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。

一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

如1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x= x=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0∴ x1=3，x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x=-2，x= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x=5 x=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1*x2=c/a求得m。

一元二次方程与不等式

一元二次方程与不等式一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一种含有未知数的二次项、一次项和常数项的方程。

通常形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a≠0。

一元二次方程的解即为满足方程的未知数的值。

二、求解一元二次方程的方法1.配方法：即通过乘以一个合适的因式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式。

例如，对于方程x² + bx = c，我们可以乘以2a来得到2ax² + 2abx = 2ac，然后将左边的两项进行平方，得到(2ax + b)² =b² - 4ac。

最后开根号并移项即可求解出x的值。

2.因式分解法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0的形式，那么方程的解即为x = -b₁/a₁和x = -b₂/a₂。

3.求根公式法：根据一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0，我们可以通过求解根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)来得到方程的解。

三、一元二次方程的实际应用一元二次方程在数学和实际生活中具有广泛的应用。

以下列举了几个常见的实例：1.物体自由落体：根据牛顿第二定律，我们可以得到物体自由落体的距离和时间之间的二次关系。

其中，距离可以表示为s = gt²/2，其中g为重力加速度，t为时间。

2.消费模型：一元二次方程可以用来描述不同商品价格和销售数量之间的关系，从而帮助企业进行合理定价和销售策略。

3.投射运动：当物体在一个斜面上进行投射运动时，我们可以利用一元二次方程描述物体在x轴和y轴上的运动轨迹。

四、不等式及其基本性质不等式是数学中常见的一种表示关系的工具，用于描述数的大小和大小之间的关系。

例如，x > 3就是一个不等式，表示x的值大于3。

含参的一元二次不等式的解法

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。

下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。

首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。

在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。

然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。

所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。

根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。

初中数学解方程的常用方法

初中数学解方程的常用方法解方程是数学学科中的一个重要内容，也是提高学生思维能力和解决实际问题的重要手段。

初中数学的解方程一般包括一元一次方程、一元二次方程以及一些简单的分式方程等。

下面介绍一些初中解方程的常用方法。

一、一元一次方程的解法：1.移项法：根据方程的性质，可以将等式两边的项按照要求进行移项，最终得到x的值；2.合并同类项法：如果等式两边有相同的项，可以将它们合并为一项，再进行移项；3.约分法：对于含有分式的方程，可以通过约分的方式来简化等式，使得方程更容易求解；4.消元法：对于多元一次方程组，可以通过将方程组中的一部分方程进行消元，再进行移项求解；5.代入法：有时候可以通过将方程的一些已知值代入方程，从而求出未知数的值；6.增补法：对于一些特殊的方程，可以补充一个方程使得方程组成为一个容易解的方程；二、一元二次方程的解法：1. 公式法：使用求根公式来解一元二次方程，即x=(-b±√(b^2-4ac))/2a；2.完全平方式：将方程进行变形，使得其两边均为完全平方，从而可以直接求解方程；3.分解因式法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过将其转化为两个一元一次方程来进行求解；4.图像法：通过画出方程的二次函数的图像来找到方程的解；5.试值法：通过试探合适的值来求解方程的解；三、分式方程的解法：1.通分法：对于含有分式的方程，可以通过通分的方式来简化等式，使得方程更容易求解；2.分解法：对于分式方程，可以通过分解方程的分子或分母，从而将方程转化为更容易解的形式；3.去分母法：通过去分母的方式来解分式方程，即可以通过对方程两边乘以分母的乘积来将方程去分母化为一元一次方程；4.奇偶法：对于一些特殊的分式方程，可以通过观察其奇偶性质来确定方程的解的情况；5.变量代换法：通过引入新的未知数进行代换，从而将分式方程转化为一次方程；以上是初中数学解方程的常用方法。

不同类型的方程需要采用不同的解法，并且需要根据具体题目的情况来选择合适的解法。

一元二次解方程的步骤及格式

一元二次解方程的步骤及格式一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c都是已知的实数常数，a≠0。

解一元二次方程的一般步骤如下：步骤一：将方程化为标准形式首先，我们需要将一元二次方程化为标准形式，即形如x^2+px+q=0。

为此，需要进行如下操作：1.若a不为1，则可以将方程两边同时除以a，将a化为12.检查b和c的正负关系。

如果b和c同时为负数，可以将方程两边同时乘以-1，使b和c至少有一个为正数。

3.将b的系数化简为p，将c的系数化简为q。

步骤二：求解一元二次方程接下来，我们需要采用合适的方法来解一元二次方程。

常用的方法有以下几种：1.因式分解法如果一元二次方程可以进行因式分解，那么我们可以直接通过因式分解法求解。

具体步骤如下：1.尝试将方程进行因式分解，即将方程写成(x+m)(x+n)=0的形式，其中m和n为常数。

2.根据因式分解的结果，可以得出两个根的值，分别是-x=m和-x=n。

2.公式法（求根公式）公式法是一种简洁高效的求根方法，通过求根公式可以直接得出一元二次方程的根的值。

求根公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)3.完全平方法完全平方法是一种通过完全平方式将一元二次方程转化为平方的方式来求解的方法。

具体步骤如下：1.将方程进行化简，使其具备完全平方的形式，即将方程写成(x±m)^2=n的形式，其中m为常数。

2.对方程进行开方，即得到x±m=±√n。

3.求解得到x1=-m±√n和x2=m±√n。

步骤三：检验解的正确性最后，我们需要检验所求得的解是否满足原方程。

将解代入原方程进行验证，如果能够使原方程成立，则所求得的解是正确的；反之，则应该重新检查解的过程。

综上所述，解一元二次方程的步骤主要包括将方程化为标准形式、选择合适的方法求解一元二次方程，并最后检验解的正确性。

解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法之阿布丰王创作定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of onevariable )。

一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。

(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c 为常数，a≠0）弥补说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。

(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。

3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。

一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

如1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x?= x?=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0∴ x1=3，x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x?=-2，x?= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x?=5 x?=-5（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0) 根据x1*x2=c/a求得m。

解一元二次方程五种方法

解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法一元二次方程是中学数学中最基础的知识之一，也是许多高中数学知识的基础。

在解决实际问题中，我们常常需要用到一元二次方程。

下面将介绍解一元二次方程的五种基本方法。

方法一：公式法公式法是解一元二次方程最基本的方法。

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以使用求根公式来求解。

即：$$x=dfrac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$这种方法比较简单、直接，但是需要注意判别式（$b^2-4ac$）的正负性，判别式小于零时方程没有实数根。

方法二：配方法配方法也是解一元二次方程常用的方法。

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以通过配方法将其变形为 $(x+p)^2+q=0$ 的形式，然后求解。

具体的配方法步骤如下：1. 把方程变形为 $ax^2+bx=-c$2. 在等式两边同时加上 $dfrac{b^2}{4a^2}$，即$ax^2+bx+dfrac{b^2}{4a^2}=dfrac{b^2}{4a^2}-c$3. 左边变形为 $(x+dfrac{b}{2a})^2$，右边化简为$dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$4. 对于二次方程 $(x+dfrac{b}{2a})^2=dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$，可以解出 $x$ 的值。

方法三：图像法图像法是解一元二次方程的另一种方法。

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以将其转化为 $ax^2+bx=-c$ 的形式，然后画出函数图像 $y=ax^2+bx$，并找到其与 $y=-c$ 相交的点，即为方程的解。

方法四：因式分解法对于形如 $x^2+px+q=0$ 的一元二次方程，我们可以利用因式分解法来求解其根。

具体的步骤如下：1. 求出 $q$ 的所有因数。

2. 在所有因数中找到两个数，它们的和等于 $p$。

3. 将方程变形为 $(x+a)(x+b)=0$ 的形式，其中 $a$、$b$ 分别为上一步中找到的两个数。

选择最佳方法解一元二次方程

3.公式法：
1 x x 1 2 y 1 y 1 2
2
2y
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
选择最佳方法
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ x2-4x=2 ④ 2x2－x=0 ⑤ 5(m+2)2=8 ⑥3y2-y-1=0 ⑦ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ② ⑤ ；适合运用因式分解法 ④ ⑦ ；适合运用公式法 ① ⑥ ；适合运用配方法 ③ .
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
作业：
2.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
按要求解下列方程 1、因式分解法（1）3(x-2)2 = x(x－2)2 (2)(x＋1)2 = (2x－5)2 2、配方法 3x2+6x-4=0
4.变形:化成( x + m ) = a 5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
2
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2

注意：先写出一般形式，再确定出 a,b,c的值
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;
发现规律
一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。