人教版高中数学必修三教案1.1算法的概念

《算法的概念》教案
教学目标
（1）初步了解算法的含义和概念，了解算法的概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性和普遍性等特征。

（2）初步了解消去法的思想。

（3）体会算法的思想，能说明解决简单问题的算法步骤。

重点与难点
教学重点：算法的含义、概念及特征。

教学难点：把自然语言转化为算法语言。

教学过程
一、概念引入
一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。

解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
算法(algorithm)一词源于算术(arithmetic)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。

后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

二、新知探究
处理方式
【问题1】
请同学们解二元一次方程组 x-2y=-1, ①
2x+y=1, ②
求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步：②-①×2，得 5y=3; 第二步：解③得y=3/5； 第三步：将y=3/5代入①，得x=1/5； 第四步：得到方程组的解为
从特殊到一半，若上式的数字用字母代替会如何？ 【问题2】
对于一般的二元一次方程组 其中a 1b 2-a 2b 1≠0,设计一个算法。

第一步：④×b 2-⑤×b 1,得(a 1b 2-a 2b 1)x=b 2c 1- b 1c 2, ⑥
第二步：解⑥,得
21121221
b .
c b c x a b a b -=-
第三步：，⑤×a1-④×a2,得(a 1b 2-a 2b 1)y=a 1c 2- a 2c 1. ⑦
第四步：解⑦，得1
2211
221b a b a c a c a y --=.
第五步：得到方程组的解为
通过上面的例子我们可以总结出算法的概念：
总结：这一例子体现算法具有通用性。

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

在数学中，现代意义的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。

三、 即时巩固 处理方式
四人小组合作完成，代表回答！ 【问题3】
x=1/5,
y=3/5.
.
b 1
2212
112b a b a c b c x --=
1
2211221b a b a c a c a y --=
（1） 设计一个算法，判断7是否为质数； （2） 设计一个算法，判断35是否为质数。

【算法分析】
（1） 根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中 有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数。

根据以上分析，可定出如下算法：
第一步，用2除7，得到余数1。

因为余数不为0，所以2不能整除7。

第二步，用3除7，得到余数1。

因为余数不为0，所以3不能整除7。

第三步，用4除7，得到余数3。

因为余数不为0，所以4不能整除7。

第四步，用5除7，得到余数2。

因为余数不为0，所以5不能整除7。

第五步，用6除7，得到余数1。

因为余数不为0，所以6不能整除7。

（2） 类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法。

第一步，用2除35，得到余数1。

因为余数不为0，所以2不能整除35。

第二步，用3除35，得到余数2。

因为余数不为0，所以3不能整除35。

第三步，用4除35，得到余数3。

因为余数不为0，所以4不能整除35。

第四步，用5除35，得到余数0。

因为余数为0，所以5能整除35。

因此35不是质数。

【问题4】
用二分法设计一个求方程x 2-2=0的近似根的算法。

【算法分析】 令
()22-=x x f ,则方程022=-x 的解就是函数()x f 的零点。

“二分法”的基本思想是：把函数
()x f 的零点所在的区间[a,b]﹝满足
()()0<⋅b f a f ﹞“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据
“
()()0<⋅m f a f ”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为
[a,b]。

对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解。

根据以上分析可以写出如下算法： 第一步，令
()22-=x x f ，给定精确度d.
第二步，确定区间[a,b]，满足
()()0<⋅b f a f 。

第三步，取区间中点2
b
a m +=
.
第四步，若
()()0
<
⋅m
f
a
f，则含零点的区间为[a,m]；否则，含零点的区间为[m,b]。

将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]。

第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或
()m
f是否等于0。

若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第三步。

当d=0.005时，按照以上算法，可得到下图和下表。

a b ︱a-b︱
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.437 5 0.062 5
1.406 25 1.437 5 0.031 25
1.406 25 1.421 875 0.015 625
1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5
1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25
时的原方程的近似解。

实际上，上步骤也是求2的近似值的一个算法。

计算机解决任何问题都要依赖于算法。

只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。

四、归纳提升
y=x2-2
1.25
1.375
处理方式
引导学生归纳体课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善。

1．算法的概念
对于一项任务，按照事先设计好的步骤，一理一步地执行，并在有限步内完成任务，则这些步骤称为完成该任务的一个算法。

2．算法的五个性质：
（1）概括性：写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用。

（2）逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行后一步，而且每一步都是正确无
误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列。

（3）有穷性：一个算法必须保证在执行有限步之后结束。

（4）不惟一性：求解某一个问题的算法不一定只有惟一的一个，也可以有不同的算法，这些算法有繁简、优劣之分。

（5）普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决。

3．算法与一般意义上的数学问题的解法既有联系又有区别
（1）联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系。

比如：教材先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程（算法）出发，归
纳出了二元一次方程组的求解步骤；并且指出，这样的求解步骤也适合有限制
条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法；
（2）区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，
是具体的解题过程。

【课后作业】
回顾本课的学习过程，整理学习笔记。

完成书面作业：练习1、2。