中点模型构造
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
中点模型
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（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2) 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
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∵四边形CDEF是菱形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BE的中点，∴BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS）， ∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α， ∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2， ∴∠ABC=∠ACD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=α； ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2， ∴tan∠DAG=tan(α/2)， ∴DG=AGtan（α/2）．
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模型三 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC 的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性 质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
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模型四：连接直角顶点，构造斜中定理
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模型运用
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例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E 是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.
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小试身手 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的 中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的 数量和位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样 的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. （3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样 的数量和位置关系？请直接写出结论.
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀： 中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线； 联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD， 则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
中点模型的构造.docx1
中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：。
（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。
（2）三角形中位线定理。
2 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。
3 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。
4 有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。
一倍长中线或倍长类中线1如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点。
连接BE并延长线交AC 于F，且AF=EF,求证：BE=AC.2 在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA的延长线于点F ，交AB 于点G，若AD为△ABC的角平分线，求证；BG=CF3 已知M为△ABC的边BC的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别与AB,AC交于点E、F,连接EF。
求证:EF<BE+CF.4 在△ABC中，D是BC的中点, DM⊥DN，如果BM²+CN²=DM²+DN²，求证AD²=¼（AB²+AC²）二直角三角形斜边中线1 如图，在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB上的高,D是BC的中点，DM⊥EF于点M,求证：FM=EM.2已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB=MC；（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．三一题多解题，利用中点作中线，倍长中线，中位线等辅助线是常用解法。
如图，在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB至D，使BD=AB，联结CD。
求证:CD=2CE四利用三角形中位线的性质问题一如图1 在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证∠BME=∠CNE 问题二：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题三：如图3，在△AB C中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．。
2021年中考复习 第07讲—中点五大模型
总结（题目中出现中点时）：①倍长中线（普通的一个中点时）②连出“三线合一”的线（出现底边上的中点时） ③连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） ④构造中位线（出现多个中点时） ⑤构造8字型全等（平行线夹中点）模型一：倍长中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，6,8==AC AB ，求BC 边上的中线AD 的取值范围解答：构造8字型全等，得证71<<AD【例2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，延长BE 交AC 于F ，EF AF =，求证：BE AC =解答：①方法一：倍长中线【DG AD =构造8字型全等+集散思想】 ②方法二：类倍长中线【DE DG =构造8字型全等+集散思想】 可证【例3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，AD EF //交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若CF BG =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线解答：类倍长中线+集散思想，可证模型二：平行线夹中点模型【例1】如图，在菱形ABCD 中，110=∠A ，F E ,分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，则=∠FPC （ ）A.35 B.45 C.50 D.55解答：构造8字型全等【延长EF 和DC 交于点G 】，得证D【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，AD BE AD CD ⊥=,2于点F E ,为DC 的中点，连接BF EF ,，下列结论 ①ABF ABC ∠=∠2 ②BF EF =③EFB DEBC S S ∆=2四边形 ④DEF CFE ∠=∠3 其中正确结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：双平模型+平行线夹中点模型，得证D【例3】如图，在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60=∠ABC ，点F 在AB 的延长线上，点P 是DF 的中点，连接PC PG ,，求证：PC PG 3=解答：①方法一：延长CP 交AB 于点E ，连接EG CG ,②方法二：延长GP 交AD 于点E ，连接CG CE , 可证模型三：三线合一模型【例1】如图，在等腰三角形ABC 中，BC AC =，D 是BC 的中点，过C 作CE DE ⊥，CF DF ⊥，且CE CF =，求证：EDA FDB ∠=∠解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，5,6AB AC BC ===，M 为BC 中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 的长度（ ） A.165 B.125 C.95 D.65解答：得证B【例3】如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BAD CAD BD BE AM BM >∠=∠==，E 为AD 延长线上一点，N 在DE 上，//MN AC ，求证：ND NE =解答：双平模型+三线合一，可证【例4】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：ADB CDF ∠=∠解答：①方法一：三线合一模型 ②方法二：十字型三垂直模型 可证模型四：斜边中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点，求证：PM DE ⊥解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，M 是BC 中点，10AB =，求DM 的长度解答：可证【例3】已知，ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=，如图甲，连接DE ，设M 为DE 的中点 （1）说明：MB MC =（2）设BAD CAE ∠=∠，固定ABD ∆，让Rt ACE ∆绕顶点A 在平面内旋转到图乙位置，试问：MB MC =是否还能成立？并证明其结论解答：（1）①方法一：斜边中线模型【方程思想用字母表示角】 ②方法二：平行夹中点模型③方法三：相似【作MF BC ⊥交BC 于点M 1DM BFEM CF==得证】 （2）成立，同理可证【例4】已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交,AC CB （或它们的延长线）与,E F（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=（2）当EDF ∠绕D 点旋转到和DE AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立,,DEF CEF ABC S S S ∆∆∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解答：（1）可证（2）图2成立，同理可证；图3不成立12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=模型五：中位线模型【例1】已知四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，如图，,E F 是,BD AC 中点，试写出EF 与,AD BC 之间的关系解答：①方法一：中位线+三点共线，得证1()2EF BC AD =- ②方法二：平行线夹中点模型，构造8字型全等，得证1()2EF BC AD =- 【例2】如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，分别与CD BA ,的延长线交于点N M ,，证明：CNE BME ∠=∠解答：【等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例3】在ABC ∆中，AB AC >，D 点在AC 上，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60=∠EFC ，连结GD ，判断AGD ∆的形状并证明解答：【类等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例4】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BD AC =，F E ,分别是CD AB ,的中点，连结EF ，分别交BD AC ,于点N M ,，判断OMN ∆的形状解答：【中点四边形（方法连接对角线）】可证。
2021中考数学必会8大几何模型与实例巩固
中考必会八大几何模型归纳模型一 中点四大模型模型1：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAF F ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ） 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移模型实例例题1 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FEA巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA【解析】延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，在△ADC 与△EDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴EB ＝AC ＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE ＜20＋12， ∴4＜AD ＜16，故AD 的取值范围为4＜AD ＜16．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2，求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)． NMA【证明】如图，过点B 作AC 的平行线交ND 的延长线于E ，连ME ．∵BD ＝DC ，∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ，∴△BED ≌△CND （SAS ）．∴BE ＝NC ．∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线．∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2，∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°．∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例例题2 如图，在△AB C 中，AB ＝A C ＝5，B C ＝6，M 为B C 的中点，MN ⊥A C 于点N ，求MN 长度．NMC BA【解析】连接AM∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3 ∵AB ＝5，∴AM ＝4352222=-=-BM AB∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN 即21×3×4＝21×5×MN ，∴MN ＝512巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．FECB A【证明】连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ），∴∠ADE ＝∠ADF ，∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°，∴∠EDB ＝∠FDC2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABCDEFACDDCA【解析】（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21，∴△CDE ≌△BDF （ASA ）∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135°∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ＝S △CFE ＋S △DBC ＝S △CFE ＋21S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC21ABCDE模型3：已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDD模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例例题3 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBA【解析】如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ，∴∠HFE ＝∠HEF ．∵FH ∥MB ，HE ∥NC ， ∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ，∴∠BME ＝∠CNE ．模型4：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线DCBADB A模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例例题4 如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA【证明】连接DE ，DF .∵BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，∴DF =12BC ，DE =12BC∴DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形，DM ⊥EF ，∴点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCEFM巩固提升1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.N D CBA【解析】取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC ∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角，∴∠NDB =∠NMD +∠DNM . 即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM .又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN .∴DM =5.2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MDCBA【证明】延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形，∴CE ∥BD ，∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ，且∠BMD =∠GME ，∴△BMD ≌△GME ∴BM =MG ，∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF E DCBA图2ABCDFM 图3ABCDF M【解析】∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点，∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF .∵DE =KDF ，∴k =1. （2）∵CB =CA ，∴∠CBA =∠CAB .∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM .∴AM =BM . ∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，∴∠MEB =∠MF A =90°.又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ），∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ，又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ），∴DE =DF . （3）DE =DF .如图，作AM 的中点G ，BM 的中点H ，连DG ，FG ，DH ，EH . ∵点D 是边AB 的中点，∴DG ∥BM ，DG =12BM .同理可得：DH ∥AM ，DH =12AM . ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点.∴在Rt △BEM 中，HE =12BM =BH .∴∠HBE =∠HEB ，∴∠MHE =2∠HBE .又∵DG =12BM ，HE =12BM ，∴DG =HE .同理可得：DH =FG . ∠MGF =2∠MAC .∵DG ∥BM ，DH ∥GM ，∴四边形DHMG 是平行四边形.∴∠DGM =∠DHM . ∵∠MGF =2∠MAC ， ∠MHE =2∠MBC ， ∠MBC =∠MAC ， ∴∠MGF =∠MHE . ∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE .∴∠DGF =∠DHE .在△DHE与△FGD中，DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE=DF.模型二截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例题1 如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD.证法一，截长法：如图①，在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接DE .∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED ，∴CD ＝DE ，∠C ＝∠3 . ∵∠C ＝2∠B ，∴∠3＝2∠B ＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE ＝BE ，∴CD ＝BE . ∵AB ＝AE ＋BE ，∴AB ＝AC ＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC 到点E ，使CE ＝CD ，连接DE .∵CE ＝CD ，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E ，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B ，∴∠E ＝∠B . ∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△BAD ，∴AE ＝AB . 又∵AE ＝AC ＋CE ，∴∴AB ＝AC ＋CD . 巩固提升1. 在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .【解析】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接O F . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠O AC ＝∠O AB ＝2BAC ，∠O CA ＝∠O CB ＝2ACB， ∴∠A O E ＝∠C O D ＝∠O AC ＋∠O CA ＝2BACACB＝600，∴∠A O C ＝1800－∠A O E ＝1200 .∵AE＝AF，∠EA O＝∠F A O，A O＝A O，∴△A O E≌△A O F（S A S），∴∠A O F＝∠A O E＝600，∴∠C O F＝∠A O C－∠A O F＝600，∴∠C O F＝∠C O D.∵C O＝C O，CE平分∠ACB，∴△C O D≌△C O F（A S A），∴CD＝CF.∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，2. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .【解析】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD.∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E.求证：AC－AB＝2BE .【解析】延长BE交AC于点M.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE.∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .模型三角平分线四大模型模型1：角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠M O N的平分线上一点，过点P作P A⊥O M于点A，PB⊥O N于点B，则PB＝P A模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例例题1 （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，那么点D到直线AB的距离是【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∵CB＝6，BD＝4，∴DE＝CD＝2即点D到直线AB的距离是2（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC【证明】如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE，∵∠3＝∠4，∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）巩固提升1.如下图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°【证明】作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC，∴∠FAD＝∠C∵∠F AD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2. 如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.【解析】如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠F AC的角平分线，∴∠CAP＝∠P AF＝50°模型2：截取构造对称全等如图，P是∠M O N的平分线上的一点，点A是射线O M上任意一点，在O N上截取O B＝O A，连接PB，则△O PB≌△O P A模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称 性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例例题2 如图①所示，在△ABC 中，AD 是△BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB ＋PC 与AB ＋AC 的大小，并说明理由解题：PB +PC ＞AB +AC【证明】在BA 的延长线上取点E ， 使AE ＝AB ，连接PE，∵AD 平分∠CAE∴∠CAD ＝∠EAD ，在△AEP 与△ACP 中，∵AE ＝AB ，∠CAD ＝∠EAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP （S A S ），∴PE ＝PC∵在△PBE 中：PB +PE ＞BE ，BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，∴PB +PC ＞AB +AC巩固提升1. 已知，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC ＝16，AD ＝8， 求线段BC 的长【解析】如图在BC 边上截取CE ＝AC ，连结DE ，在△ACD 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC ，∴△ACD ≌△ECD (S A S)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB∴EBB＝ED，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD【证明】在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC，BE＝AB，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(S A S)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：BC＝AB＋CE【证明】在CB上取点F，使得BF＝AB，连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE，∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°，则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE，∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠M O N的平分线上一点，AP丄O P于P点，延长AP交O N于点.B，则△A O B 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例例题3 如图，己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.【解析】如图，延长CE、BA交于点F，∵CE丄BD于E，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED ∴∠ABD=∠ACF。
八年级数学第八章 中点四大模型
第八章中点四大模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）。
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。
求证：AC=BE。
热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。
2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果2222B M C N D M D N +=+。
求证：()22214A D AB AC =+。
模型2【已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”】模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
模型实例例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
热搜精练1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。
求证：∠EDB=∠FDC。
2．已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。
（1）当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S += ；（2）当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S 、CEF S 、ABC S 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
三角形中位线定理模型应用的思维导图
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证，GF是△ADE的中位线，∴GF=1.∵AD=4,DE=2，
DF是直角三角形ADE斜边上的中线，∴DF= AE= = ;
∵△ADF的面积是相同的，∴ AD×GF= DF×AH，∴AH= = .
点评这里的解答，两次用到了三角形的中位线定理，这是解题的重点，同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同一个三角形面积相等等知识点，使得解题更突显数学智慧.
中点模型的构造
中点模型的构造中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线3．等腰三角形的底边中垂线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连结PGPC。
若∠ABC＝∠BEF＝60°，⑴探究PG与PC的位置关系及PGPC的值。
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。
你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
练习1、如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证：MF＝12(AC－AB)。
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：∠ACB＝2∠B。
练习2、中点专题小结——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线和类倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半课后练习1、已知直角三角形ABC和直角三角形CDF，ABC和CDF都是直角，且B,C,D三点在一条直线上，联结AF，点M为AF的重点，分别联结BM，DM.试证明：BM=DMM FAB DC2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC和CEF, ＜ABC和＜CEF都是直角,连接AF,M 是AF的中点,连接ME,MF.证明：ME=MF。
3、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：ME=)(21AC AB -4、已知如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，F 、EF 和DG 有何关系并证明；（2）求证：OGD S S △121=5、已知如图，在四边形ABCD 中，EF分别为AB 、CD 的中点； （1）求证：EF ＜)(21BD AC + （2）四边形ABCD 的周长不小于EF 的四倍（3）EF 交BD 、AC 分别于P 、Q ，若AC=BD ，求证：△OPQ 为等腰三角形。
第07讲 模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形-2024年新九年级数学提升讲义(北师大版)
第07讲模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BC=BD DC==；（2）ABD△，ACD△为等腰三角形；（3）2ADB C∠=∠，2ADC B∠=∠．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM MD=；（2）2AMD ABD∠=∠．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型2：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M 、N 、P 、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，则四边形MNPQ 为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的12.【题型一利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在ABC 中，32A ∠=︒，大于12AC 长为半径画弧，直线MN 与AC 相交于点E ，过点C 作CD AB ⊥，CD 与BE 相交于点F ，若BD CE =，则BFC ∠的度数是．【答案】106︒/106度【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接DE ，如图，利用基本作图得到E 点为AC 的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE CE AE ==，则32EDA A ∠=∠=︒，再证明BD ED =得到DBE DEB ∠=∠，然后根据三角形外角性质计算出16DBE ∠=︒，接着计算出BFC ∠．【详解】解：连接DE ，，由作法得MN 垂直平分AC ，∴E 点为AC 的中点，∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴DE CE AE ==，∴32EDA A ∠=∠=︒，∵BD CE =，∴BD ED =，∴DBE DEB ∠=∠，∵EDA DBE DEB ∠=∠+∠，∴1162DBE ADE ∠=∠=︒，∴BFC DBF BDF ∠=∠+∠=故答案为：106︒．【变式1-1】（2024八年级下则BCD ∠=度．【答案】70【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在Rt ABC △中，根据CD 是斜边AB 上的中线，得CD AD =，可求出20ACD ∠=︒即可解决问题．【详解】解：在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，CD AD ∴=，20A ACD ∴∠=∠=︒，902070BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：70．【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在Rt AEB 和Rt AFB 中，90AEB AFB ∠=∠=︒，O为AB 的中点，连接EF ，OE ，若50EAF ∠=︒，则OEF ∠=．∵90AEB AFB ∠=∠=︒，O 为∴12OE OF AB OA OB ====∴,EAO OEA OAF OFA ∠=∠∠=∠∴EOB FOB OAE ∠+∠=∠+∠即：100EOF ∠=︒∵OE OF =，∴()1180100402OEF ∠=︒-︒=故答案为：40︒．【变式1-3】（23-24八年级下·全国点E ，F 分别为AC ，CD 的中点，12BE AC =，D α∠=，则BEF ∠的度数为（用含α的式子表示）．【答案】2703α︒-【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形中位线定理、直角三角形的性质、等边对等角，求出90DAC α∠︒=-，结合角平分线的定义得出90CAB DAC α∠=∠=︒-，由直角三角形的性质得出BE AE EC ==，由等边对等角得出90EAB EBA α∠=∠=︒-，推出1802CEB α∠=︒-，由三角形中位线定理得出90CEF DAC α∠=∠=︒-，即可得出答案．【详解】解：∵=90ACD ∠︒，D α∠=，∴9090DAC D α∠=︒-∠=︒-，∵AC 平分BAD ∠，∴90CAB DAC α∠=∠=︒-，∵90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，12BE AC =，∴BE AE EC ==，∴90EAB EBA α∠=∠=︒-，∴1802CEB EAB EBA α∠=∠+∠=︒-，∵点E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴EF AD ∥，∴90CEF DAC α∠=∠=︒-，∴1802902703BEF BEC CEF ααα∠=∠+∠=︒-+︒-=︒-，故答案为：2703α︒-．【题型二利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】例2.（23-24八年级下·北京·期中）如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为2.4km ，则MC =km ．【答案】1.2【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由AC BC ⊥，得出90ACB ∠=︒，由点M点F 在线段DE 上，且AF BF ⊥．若4AB =，7BC =，则EF 的长为．连接BE ，点F 为BE 上一动点，连接HF DF DF 、，的延长线交AB 于点P ，若PB PF =，则HF 的长为．【答案】3【分析】延长BE CD 、，交于点G ，连接CF ，如图所示，结合矩形性质，利用两个三角形全等的判定得到()AAS ABE DGE ≌，从而得到AB DG =，进而由矩形性质得到GD CD =，再由等腰三角形的判定与性质得到12FD GD CD GC ===，再由直角三角形的判定确定90CFG ∠=︒，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：延长BE CD 、，交于点G ，连接CF ，如图所示：在矩形ABCD 中，AB CD ∥，则,G ABE GDA BAD ∠=∠∠=∠，点E 为边AD 的中点，AE DE ∴=，()AAS ABE DGE ∴ ≌，AB DG ∴=，在矩形ABCD 中，AB CD =，则GD CD =，PB PF =，ABE PFB ∴∠=∠，GFD PFB ∠=∠，ABE G ∠=∠，GFD G ∴∠=∠，FD GD ∴=，则12FD GD CD GC ===，DFC DCF ∴∠=∠，在CFG △中，()()180G GFC GCF DFC DCF GFD G ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，即90G GFD CF F D C ∠︒+=，∴90CFB ∠=︒，点H 为边BC 的中点，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是．∵90MON ∠=︒，矩形ABCD ∴13,2OE AE AB AD ===∴2213DE AE AD =+=∵OD OE DE ≤+，∴当点D ，点E ，点O 共线时，∴点D 到点O 的最大距离故答案为：313+．【题型三利用斜边的中线等于斜边的一半证明】∥交DC的延长线于点E．过点D作例3.（2024·北京·三模）如图，矩形ABCD，过点B作BE AC⊥于F，G为AC中点，连接FG．DF BE=．(1)求证：BE AC(2)若24，，求FG的长．==AB BCA作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF BE=，连接DF．(1)求证：四边形AEFD 是矩形；(2)连接OE ，若10AD =，6OE =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)485【分析】（1）根据菱形的性质可得AD BC ∥且AD BC =，等量代换得到AD EF =，推出四边形AEFD 是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论；（2）由菱形的性质可得AC BD ⊥，AO CO =，10AB BC AD ===，由直角三角形斜边上的中线的性质可得212AC OE ==，由勾股定理可得22222AB BE AC CE AE -=-=，计算出BE 的长，最后再由勾股定理计算出AE 的长即可．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，AD BC ∴∥且AD BC =，BE CF = ，BC EF ∴=，AD EF ∴=，AD EF ∥ ，∴四边形AEFD 是平行四边形，AE BC ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解： 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，10AB BC AD ===，AE BC ⊥ ，90AEB AEC ∴∠=∠=︒，212AC OE ∴==，22222AB BE AC CE AE -=-= ，()2222101210BE BE ∴-=--，145BE ∴=，AO OC =，OB OD =．(1)直接．．写出AB 与CD 的数量关系和位置关系；(2)当CD AD =时，四边形ABCD 是什么特殊四边形？并说明理由；(3)在（2）的基础上，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接OE ，若10AD =，4EC =，求OE 的长．点E 在AB 上，连接DE 交AC 于点K ，EF AD ⊥于点F ，EF 交AC 于点U ，G 为AC 的中点，连接DG ，且2DGC FED ∠=∠．(1)如图1，求证：DE AC ⊥；(2)如图2，当ED AU =时，求BCD ∠的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BD ，BD =2CK =，求BC 的长．【题型四中点四边形中的规律探究问题】例4.（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形ABCD 中，边长为1，60A ∠=︒．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形1111D C B A ；顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，可得四边形2222A B C D ，顺次连接四边形2222A B C D 各边中点，可得四边形3333A B C D ；…；按此规律继续下去．四边形2024202420242024A B C D 的面积是．【答案】202532/2025132【分析】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键．根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答．【详解】解： 菱形ABCD ，ADB ∴ ，CDB △为等边三角形，1BD ∴=，【变式4-1】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形11112222，再顺次连接四边形2222A B C D 四边的中点得四边形3333A B C D ，…，按此规律得到四边形n n n n A B C D ，若矩形1111D C B A 的面积为15，那么四边形n n n n A B C D 的面积为．【题型五与中点四边形有关的证明问题】例5.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG GH HE、、，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．(1)四边形EFGH的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足__________条件时，四边形EFGH是正方形，证明你的结论．∴EH BD∥，12 EH BD=同理，FG BD∥，FG∴EH FG∥，EH FG=∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（如图2，连结AC BD、同理（1）可知，四边形∵AC BD⊥，∴EH HG⊥，∴平行四边形EFGH是矩形，∵AC BD=，∴EH HG=，∴四边形EFGH是正方形．【变式5-1】（23-24八年级下的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”．(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________；A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形(2)如图1，以锐角ABC 的两边,AB AC 为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结,,BE EG GC ，求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；(3)如图2，四边形ABCD 是“中方四边形”，若2AC 的值为32，则AB CD +的最小值是________．（不需要解答过程）∵四边形BCGE 各边中点分别为∴MN NR RL LM 、、、分别是BCG ∴1,,2MN BG MN BG RL BG =∥∥∴,,MN RL MN RL RN ML =∥∥∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴,90FM FN MFN =∠=︒，∴222MN FM FN FM =+=的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【答案】概念理解：D ；性质探究：①AC BD =，②AC CD ⊥；问题解决：见解析；拓展应用：（1）22MN AC =，理由见解析；（2）22【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；性质探究：由四边形ABCD 是“中方四边形”，可得EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；问题解决：如图2，取四边形BCGE 各边中点分别为P 、Q 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得△EAC ≌△BAG （SAS ），推出▱MNRL 是菱形，再由∠LMN =90°，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；拓展应用：（1）如图3，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；（2）如图4，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM +ON 最小，最小值为MN 的长，再结合（1）的结论即可求得答案．【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D ；性质探究：①AC =BD ，②AC ⊥BD ；理由如下：如图1，∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∵四边形BCGE 各边中点分别为∴MN 、NR 、RL 、LM 分别是△∴MN ∥BG ，MN =12BG ，RL ∥BG ，RL =12BG ，RN ∥CE ，RN =12CE ，ML ∥CE ，ML =12CE ，∴MN ∥RL ，MN =RL ，RN ∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形∴AE =AB ，AG =AC ，∠EAB 又∵∠BAC =∠BAC ，∴∠EAB +∠BAC =∠GAC 即∠EAC =∠BAG ，在△EAC 和△BAG 中，AE AB EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△BAG （SAS ∴CE =BG ，∠AEC =∠ABG 又∵RL =12BG ，RN =12CE ∴RL =RN ，∴▱MNRL 是菱形，∵M，F分别是AB，BC∴FM=12 AC，∴MN=22 AC；（2）如图4，分别作AD 连接BD交AC于O，连接当点O在MN上（即M得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形ABCD 是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的关系；【问题解决】：（3）如图2．以锐角ABC 的两边AB ，AC 为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接BE ，EG ，GC ．求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；【拓展应用】：如图3，已知四边形ABCD 是“中方四边形”，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（4）试探索AC 与MN 的数量关系，并说明理由．（5）若2AC =，求AB CD +的最小值．【答案】（1）D ；（2）AC BD =，AC BD ⊥；（3）证明见解析；（4）22MN AC =，理由见解析；（5）AB CD +的最小值为22．【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；（2）由中位线的性质可得：12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，结合正方形的性质可得结论；（3）如图，取四边形BCGE 各边中点分别为M 、N 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得EAC BAG △≌△，推出MNRL 是菱形，再由90LMN ∠=︒，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；（4）如图，记AD 、BC 的中点分别为E 、F ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；（5）如图，记AD 、BC 的中点分别为E 、F ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM ON +最小，最小值为MN 的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案．【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；（2）AC BD =，AC BD ⊥．理由如下：∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴四边形EFGH 是正方形，∴EF FG HG EH ===，90EFG FGH GHE HEF ∠=∠=∠=∠=︒，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，∴12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，∴AC BD =，AC BD ⊥．（3）如图，设四边形BCGE 的边BC CG GE BE 、、、的中点分别为M 、N 、R 、L ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，∵四边形BCGE 各边中点分别为M ∴MN 、NR ，RL ，LM 分别是BCG ∴MN BG ∥，12MN BG =，RL ∥∴MN RL ∥，MN RL =，RN CE ∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形，∴AE AB =，AG AC =，EAB GAC ∠=∠∴EAC BAG ∠=∠，∴()SAS EAC BAG ≌，∴CE BG =，AEC ABG ∠=∠，又∵12RL BG =，12RN CE =，∴RL RN =，∴平行四边形MNRL 是菱形，∵90EAB ∠=︒，∴90AEP APE ∠+∠=︒．又∵AEC ABG ∠=∠，APE BPK ∠=∠∴90ABG BPK ∠+∠=︒，∴90BKP ∠=︒，又∵MN BG ∥，ML CE ∥，∴90LMN ∠=︒．∴菱形MNRL 是正方形，即原四边形（4）如图，记AD 、BC 的中点分别为∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴FM FN =，MFN ∠∴22MN FM FN =+=∵M ，F 分别是AB ，BC ∴12FM AC =，∴22MN AC =；（5）如图，连接BD 当点O 在MN 上（即M 、∴()2OM ON +的最小值由性质探究（1）知：AC 又∵M ，N 分别是AB ，∴2AB OM =，2CD ON =∴()2OM ON AB CD +=+∴AB CD +的最小值2MN =由拓展应用（4）知：MN 又∵2AC =，∴2MN =，∴AB CD +的最小值为2【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知90ACB ∠=︒，点D 为边AB 的中点，点A B 、对应的刻度为17、，则CD =（）A ．3.5cmB ．3cmC ．4.5cmD ．6cmFD GH 、上，若斜边AB 与直线GH 交于AB 的中点E ，则EAD ∠的大小为（）A ．60︒B ．55︒C ．45︒D ．30︒的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A ．AB CD=B ．AC BD ⊥C ．CD BC =D ．AC BD=【答案】B 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形EFGH 为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．【详解】解：应添加的条件是AC BD ⊥，理由为：证明：E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，EH BD ∴∥，FG BD ∥，HG AC ∥，EF AC ∥，∴EH FG ∥，HG EF ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，A 、添加的条件是AB CD =时，四边形EFGH 为平行四边形，故此选项不符合题意；B 、添加的条件是AC BD ⊥，则EH EF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形，故此选项符合题意；C 、添加的条件是CD BC =，四边形EFGH 为平行四边形，故此选项不符合题意；D 、添加的条件是AC BD =，是边BC 的中点，连接EF ，若16AC =，菱形ABCD 的面积96，则EF BD 的值是（）A ．12B ．13C ．712D ．512一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q，在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．其中，所有正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【答案】A【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．【详解】①AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，所以①正确；②AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形，故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，所以②正确；③AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形，故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形，所以③正确；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形，故存在两个中点四边形MNPQ 是正方形，所以④错误．故选A．【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在ABC 中，90,BAC D ∠=︒是BC 的中点，若5AD =，则BC =．点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠=度．为AB ，BC 的中点，若C α∠=，则DEF ∠的度数为（用含α的式子表示）．【答案】290α-︒【分析】根据三角形中位线的性质求出EF AC ∥，根据平行线的性质得出BFE C a ∠=∠=，90BEF BAC ∠=∠=︒，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出DE BE =，根据等腰三角形的性质得出90BDE B a ∠=∠=︒-，根据三角形外角的性质得出()90290DEF BFE EDF a aa ∠=∠-∠=-︒-=-︒．【详解】解：∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∴BFE C a ∠=∠=，90BEF BAC ∠=∠=︒，∴9090B BFE a ∠=︒-∠=︒-，∵AD 是高，∴90ADB ∠=︒，∵E 为AB 的中点，∴DE BE =，∴90BDE B a ∠=∠=︒-，∵BFE DEF EDF ∠=∠+∠，∴()90290DEF BFE EDF a aa ∠=∠-∠=-︒-=-︒．故答案为：290α-︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．9．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，将四边形ABCD 各边中点依次相连，得到四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积为15，则四边形ABCD 的面积为．【答案】30【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形1111D C B A 是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．【详解】解：1A ，1B ，1C ，1D 是四边形ABCD 的中点四边形，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，∴四边形1111D C B A 为矩形，设AC x =，BD y =，11A D ∴是ABD △的中位线，111122A D BD x ∴==，同理可得1112A B y =，∴四边形1111D C B A 的面积为11111154A D AB xy ⨯==．60xy ∴=，∴四边形ABCD 的面积1302xy ==，故答案为：30．10．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的动点，连接EF ，P 是线段EF 的中点，PG BC ⊥，PH CD ⊥，G ，H 为垂足，连接GH ．若12AB =，9AD =，6EF =，则GH 的最小值是．【答案】12【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出GH 的最小值是解本题的关键．连接AP ，CP ，AC ，由勾股定理得到AC ，再根据直角三角形斜边上的中线性质得AP ，然后证四边形PGCH 是矩形，得HG PC =，当A ，P ，C 三点共线时，∴9BC AD ==，DC AB ==2215AC AB BC ∴=+=，P 是线段EF 的中点，∴132AP EF ==， PG BC ⊥，PH CD ⊥，90PHC PGC ∴∠=∠=︒=∴四边形PGCH 是矩形，HG PC ∴=，当A ，P ，C 三点共线时，此时，15PC AC AP =-=∴GH 的最小值是12，故答案为：12．三、解答题11．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，AB CD =．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)点E 是AD 上一点，点F 是BC 的中点，连接BE CE EF ，，，若10AD =，8BE =，6CE =，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)5EF =．【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理的逆定理；解决本题的关键是掌握矩形的性质．（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；AB AD =，AC 平分BAD ∠．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE 交BC 于点F ，若20ACB ∠=︒，求CFE ∠的度数．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析两个三角形组成四边形ABCD（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．(1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述）(2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）；，，，边的中点．求证：四边形PQRT是矩(3)如图2，在筝形ABCD中，P，Q，R，T分别为AB BC CD AD形．【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”(2)见解析(3)见解析【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．（1）根据折叠的性质得出答案；（2）先判断出ABC ADC△≌△，即可得出结论；（3）利用三角形中位线定理证明即可．【详解】（1）解：根据观察可得，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．故答案为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；（2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角；②筝形的一组对角相等；证明：①由折叠知，ABC ADC△≌△，PQ AC∴∥，12PQ= AT TD=，CR RD=TR AC ∴∥，12 RT AC=PQ RT∴=，PQ RT∥∴四边形PQRT是平行四边形，AB AD=，CB CD=AC∴垂直平分线段BDAP PB=，AT TD=PT BD∴∥，PT AC∴⊥，AC PQ∥，PT PQ∴⊥，90TPQ∴∠=︒，∴四边形PQRT是矩形．15．（23-24八年级下·G是线段CE上的点（不与C E，重合），连接FG交AC于点H，连接AE CF EH，，．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)求证：CGF AEH ∠=∠；(3)当610AB BC AH AE ===，，时，求EH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行四边形的性质得出AD BC =，AB CD ，AD BC ∥，由平行线的性质得出90ACD BAC ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质得出AE CE CF AF ===，即可得证；（2）由菱形的性质得出AE AF =，FAH EAH ∠=∠，证明()SAS AEH AFH ≌得出AEH AFH ∠=∠，再由平行线的性质得出AFH CGF ∠=∠，即可得证；（3）连接EF 交AC 于点O ，由（1）可得152BE AE EC BC ====，由勾股定理可得8AC =，由菱形的性质可得142AO OC AC ===，求出1OH =，再由勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：BA AC ⊥ ，90BAC ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，AD BC ∥，AD BC =，90ACD BAC ∠∠∴==︒，E F ，分别是BC AD ，的中点，12AE CE BC ∴==，12CF AF AD ==，AE CE CF AF ∴===，∴四边形AECF 是菱形；（2）证明： 四边形AECF 是菱形，∴AE AF =，FAH EAH ∠=∠，在AEH △和AFH 中，由（1）可得BE AE EC ==∵BA AC ⊥2222106AC BC AB ∴=-=- 四边形AECF 是菱形，142AO OC AC ∴===，EF 5AH AE == ，541OH AH AO ∴=-=-=2225OE AE AO ∴=-=-2223EH OE OH ∴=+=+16．（22-23八年级下·湖南益阳使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点P 在线段AB 的上方时，如图2，在APB △的外部作APC △和BPD △，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，90APC BPD ∠=∠=︒，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．∵APC BPD∠=∠∴∠+∠=∠+APC CPD BPD 又∵PC PA =，PD PB =，∴PAD PCB ≌，∴AD BC =，∵点E ，F ，G ，H 分别是∴1,2EH PG AD EF HG ===∴EH PG EF HG ===，∴四边形EFGH 是菱形．（2）成立．理由：连接AD ，BC ．APC CPD BPD ∴∠+∠=∠+判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．（2）中已证：APD≌△PAD PCB∴∠=∠．，∠=︒90APC∴∠+∠=︒．PAD190又12，∠=∠PCB∴∠+∠=︒，290∴∠=︒．390（2）中已证GH，EH分别是∴∥，EH ADGH BC∥．EHG∴∠=︒．90又 （2）中已证四边形EFGH∴菱形EFGH是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
模型41单中点双中点模型(原卷版)
有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。
模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.模型二、单中点-倍长中线模型模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD 是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.模型介绍考点一：单中点-倍长中线模型【例1】．如图，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD ＝5，BC ＝10．点E 是CD 的中点，则AE 的长为（ ）A ．6B ．C ．5D ．➢变式训练【变式1-1】．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC ＝（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°【变式1-2】．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD的范围为 ．例题精讲【例2】．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD ＝16，则EF的长为．➢变式训练【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为．【变式2-2】．如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM＝EM．【例3】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M为BC的中点，AB＝10，求DM的长．➢变式训练【变式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（）A．B．C．6D．11【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．【变式3-3】．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．求证：∠BAC＝2∠DCB．1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有（）A．①②B．②③C．①②③④D．①②④2．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（）A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝．4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC 的延长线于点E，则CE的长是．5．如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，则AD＝．6．如图，四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC为边作平行四边形DACE，连接BE，则BE的长为．7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正确结论的序号是．8．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，求的值．9．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．10．已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求的值．11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE （1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段P A、PB的中点，AB＝14．（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG ∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．14．在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．（1）如图1，点G在BC边上时，①判断△BDF的形状，并证明；②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为S+S△CEF＝S△ABC；△DEF（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．16．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF 的长．【灵活运用】如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．17．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果AD＝5，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（AAS）．∴AD＝DE．又∵AD＝5，∴AE＝．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，AB∥CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现AB＝BC＝50米，CD＝16米，△ABE和△ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BCD内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知∠DFE＝∠BAE＝30°，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．。
初中数学八大几何模型归纳
初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。
，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ． 【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
初中数学的中点模型地构造及的应用
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在 ABC中，D 为 BC中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：
ADC≌ EDB。作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问
（五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线； 或出现一个
中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在 ABC中，D，E分别是 AB、 AC边中点，则有 DE BC ， DE = 1 BC 。 2
三、练习
（一）倍长中线法 1.（ 2014 秋 ?津南区校级期中） 已知：在△ ABC中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE＝ AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF＝ EF．
精彩文案
实用标准文档
5.（ 2017?贵阳 ,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥DC，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法： 延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△ AEB≌△ FEC， 得到 AB＝FC，从而把 AB， AD， DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为 ____________； （ 2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中， AB∥ DC， AF 与 DC 的延长线交于 点 F，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量 关系，并证明你的结论． （ 3）问题解决：如图③， AB∥CF， AE 与 BC 交于点 E，BE：EC＝ 2：3，点 D 在 线段 AE 上，且∠ EDF＝∠ BAE，试判断 AB、 DF、CF 之间的数量关系，并证明你 的结论．
初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造(倍长中线法;构造中位线法)
开场：1•行礼；2•晨读；3•检查作业；4•填写表格
为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G,求证：①DE二2AF;©FG丄DE.
7•如图所示,在RfABC中,zBAC二90°,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED丄FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？
C
8•四边形ABCD是矩形，E是BC边上的中点〃ABE沿着直线AE翻折，点B落在点F处,直线AF与直线CD 交于点G，请探究线段AB、AG、GC之间的关系.
2•已知，如图，四边形ABCD中,AC、BD相交于点0,且AC二BD,E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.求证：OM二0N.
3.BD、CE分别是的MBC外角平分线，过A作AF丄BD,AG丄CE,垂足分别是F、G,易证
FG二1
(AB+BC+AC)。
2
(1)若BD、CE分别是MBC的内角平分线，FG与MBC三边有怎样的数量关系？画出图形
3•如图“ABC中，AB二BC.ABC二90°,点E、F分别在AB、AC上，且AE二EF,点0、M分别为AF、CE的中点•求证：(1)OM二2CE;(2)OB二肿OM.
4.如图，/DBC二zBCE二90°,M为DE的中点，求证：MB二MC.
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教
学
后
记
学生签名：家长签名：。
三角形中的“中点模型”方法总结（重点知识）
三角形中的“中点模型”方法总结（重点知识）三角形是初中数学必考的重要知识点，学好三角形是学好初中几何的关键。
而在三角形相关题目中出现最多的就是中点和角平分线，今天我们来总结一下，遇到中点都有那些处理方法。
掌握了这几种方法，应对三角形相关题目时，同学们将得心应手！类型一倍长中线或类中线类型二遇等腰三角形，构造“三线合一”类型三遇RT三角形斜边的中点，构造斜边的中线类型四遇多个中点，构造中位线例题分析：1、遇到中点，常想倍长中线法例题分析：如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是。
解:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.∵ BD=CD AD=DE ∠CDA=∠BDE∴ △ADC≌△EDB (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)∴ AC=BE (全等三角形的对应边相等)∵ AC=BE AC=6∴ BE=6∵ BE=6 AB=10 AB-BE＜AE∴ 4＜AE∵ BE=6 AB=10 AE＜AB+BE∴ AE＜16∵ 4＜AE AE＜16∴ 4＜AE＜16∵ 4＜AE＜16 AD=12×AE∴ 2＜AD＜82、遇等腰三角形，构造“三线合一”如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E. F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.请说明：DE=DF；证明：连接AD,∵等腰直角三角形ABC，∴∠C=∠B=45°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠B AD=45∘=∠B,∠ADC=90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF.3、遇多个中点，构造中位线如图,四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2,则MN的长不可能是( )A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5解：如图,连接BD,取BD的中点G,连接MG、NG,∵点M，N分别是AD、BC的中点，∴MG是△ABD的中位线，NG是△BCD的中位线，∴AB=2MG，DC=2NG，∴AB+DC=2(MG+NG)，由三角形的三边关系，MG+NG>MN，∴AB+DC>2MN，∴MN<>∴MN<>故选：A.。
平行线中点构造八字形全等模型
平行线+中点————构造八字形全等模型【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF1如图，已知 AB∥CD，E是 AD 的中点.请你用直尺（无刻度）作出一条线段与 BE相等，并证明;2如图，在四边形 ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD 的中点，且 OA⊥OC.（1）求证∶CO平分∠ACD.（2）求证∶AB＋CD=AC.3. 如图，在正方形 ABCD中，E为AB 边的中点， G，F分别为 AD，BC边上的点，若 AG=1，BF=2，∠GEF= 90°，则 GF的长为？4如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC．求证：CD＝2CE．5.如图，点P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，AP ＝CQ ，PQ 交AC 于D ，（1）求证：DP ＝DQ ；（2）过P 作PE ⊥AC 于E ，若BC ＝4，求DE 的长．6.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为AC 的中点，作E 点使得CE ∥AB 且BD ⊥DE ，连接BE.求证：BE+CE=AB7如图,已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，设M 为DE 的中点.求证：MB=MC ；D AC M D8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，H分别为BC，EC的中点，连接AD，E为AB 上一点，过E作EF∥BC交AD于F．求证：DH⊥FH9阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．（1）如图①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD 集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．10.如图1,在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，过A点作某直线l，过B作BD ⊥l于点D，过C作CE⊥l于点E. 求证：MD=ME11.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。
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例10. 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。如图，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、 MC。求证：MB=MC。
考点 3：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
例11. 如图，在矩形ABCD中E为CB延长线上一点且AC=CE，F为AE的中点。求证：BF⊥FD。
巩固练习： 1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗？
为什么？
2. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF。
3. 如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC。
例20. 在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，点F为CD的中点，求证：BF=EF。
例21. 如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，点E在AB边上，点F在AC边的延长线上，连接EF交BC于点M， 交AD于点N，∠AEF=2∠F，EM=FM。 （1）求证：∠B= 3 ∠F。 2 （2）如图2，过点A作AH⊥EF于H，若AH=5，△AEN的面积为15，求线段CF的长。
6. 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC。 求证：MB=MC。 A
C
E
M
D
B
7. 已知，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，AF为∠BAC的平分线，交BD于E点，BC于F点，求证： OE = 1 FC 。 2
A
A
DM
B
C
F
例18. 如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求 证：∠ACB＝2∠B。 A
D M
C E
B
例19. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点O，∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA、BC、OD 的中点，求证：△PQR是正三角形。
A
D
F
EB
C
例12. 如图：梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，CD=3，E为AB中点，求证：DE⊥EC。
A
D
E
B
C
考点 4：三角形中位线定理 例13. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、
AB于点M、N，判断△OMN的形状并证明。
D
O
E
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F
C
8. 在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于 点F。 （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当 AB ≠ AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由。
考点 5：中点构造的综合应用 例16. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6，AC=14，求
DE的长。
A
D
B
E
C
例17. 如图，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证： MF = 1 (AC − AB) 。 2
A
B
C
D
4. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP、BP分别是∠BAC，∠CBA的角平分线，并且交BC、AC于P、
Q两点。求证：AQ+BQ=AB+BP。
A
B Q
P
C
5. 已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF.求证：BE+CF>EF。
A
B
D
E
C
例3. 如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF， AG。
（1）补全图形； （2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论； （3）F、A、G三点的位置关系如何？证明你的结论。
例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD。求证：CD=2EC。 A
E
B
C
D
例5. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE。
例6. 如图，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AM⊥CD。
考点 2：已知直角三角形斜边中点，可考虑构造斜边中线 例7. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点。
三角形之中点模型
学习目标： 1．通过中点的性质，了解中点在三角形中的各类作用。 2．掌握题目条件中的中点作用，能够灵活结合题目分析出中点使用的各类方法。
知识点 1：倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中
例14. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于 点M、N，求证：∠BME=∠CNE。
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例15. 如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延 长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。
位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
考点 1：倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形 例1. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=22，求BC边上的中线AD的范围。
例2. 在△ABC中，D、E是BC边上的三等分点，求证：AB＋AC＞AD＋AE。
（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长； （2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠MFE的度数。
例8. 已知：如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M。求证：FM=EM。
例9. 如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边的中点。求证：AB＝2DE。