竞赛试题选编之排列组合

竞赛试题选编之排列组合

一．选择题

(2005年全国高中数学联赛)

},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4

433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

A ．

43273767575+++ B ．4327

2767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ （2004年高中数学联赛）设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ）

A. 45个

B. 81个

C. 165个

D. 216个

(2002年全国高中数学联赛)已知两个实数集合},,,{10021a a a A =与},,,{5021b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ ，则这样映射共有

（A ）50100C （B ）5099C （C ）49100C （D ）4999C

某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是B

（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009

首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有D

（A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个

对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2

11+=∑=n n x

n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是C （A ）4 （B ）6 （C ）8

（D ）9 设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是A

（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的

个数是B

（A ）8568

（B ）2142 （C ）2139 （D ）1134

集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．7n ．

在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是C

（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49

S ={1,2,…,2003}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是B

（A ）3

2003C （B ）2100221001C C + （C ）2100221001A A + （D ）3

2003A

一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是

（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15

在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是D

（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16

若m ，n 是不大于6的非负整数，则C 2n 62m 6y C x +＝1表示不同的椭圆个数为

A.P 27

B.C 26

C.C 2

4 D.P 2

4

正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有( )对.

A. 114

B. 138

C. 174

D. 228

如图,从A 到B(方向只能从左->右或下->上或左下->右上)不同

走法路线种数为( ).

A. 16

B. 18

C. 20

D. 22 从正方体的8个顶点中取出3个，使至少有两个顶点在同一条棱上，其取法数为

A.44

B.48

C.50

D.52

二．填空题

(2005年全国高中数学联赛)如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 5＿＿＿＿＿.

(2002年全国高中数学联赛)已知点1021,,,P P P

分别是四面体的顶点或棱

的中点，那么在同一平面上的四点组),,,(1k j i P P P P （101≤<<

（2001年全国高中数学联赛）在一个正六边形的六个区域栽

种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相

邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，

则有 种栽种方案。

(2000年全国高中数学联赛)如果：

(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};

(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;

(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，

那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.

从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 不同的取法．

圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形个数为 117600． 在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有n 队参赛，则n =__6____.

平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条不同的直线，这11个点可以构成的不同的三角形的个数为_______________160

将一枚硬币掷出，若出现正面，点P 就在数轴上移动+1，若出现反面就不动，掷币次数不超过12次，而且点P 到达了坐标+10就不再掷了，则点P 到达坐标点+10的所有不同情况共有 种

一副桥牌有52张牌，将其排成一横行，任意两张A 都不相邻的排列数为______

从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．816；

12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌

子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．5．

一个三位自然数321a a a 称为凹数，如果同时有2321,a a a a >>（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285

有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果随意在每一个匣子内放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有___________种

.