正弦和余弦函数的图像及性质
正弦函数余弦函数的图象和性质
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
3 2
与x轴的交点 ( 2
5 3
11 6
2
x
-
,0) ( 32 ,0)
图象的最低点 ( ,1)
例1．画出下列函数的简图
1）y=－cosx
解：(1)按五个关键点列表 x cosx -cosx 0 1 -1
2
3 2
B
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
正弦函数以2π为最小正周期 即： sin(x+2)=sinx, kZ y=sinx，xR y=sinx，x[0,2] 利用图象平移
y
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
2 3 4 5 6
o
-1
x
三、余弦函数的图象
2 0
-1
y=sin2x，x∈[0,π] y=sin2x y=sinx
2
0
y=1+cosx的简图 x (２)作函数 y sin 的简图 2 y
2 1
-
y=1+cosx
-
o
-1
-
2
x 2
3 2
2
x
y=cosx
y sin
Y
1 0 -1
y sin x
y=cosx
2
X
（2）
1-
y=|sinx|
2
-1
o
-1
3 2
2
正弦函数、余弦函数的图象和性质 PPT
x0
2
3 2 2
sin x 0 1 0 1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
2.画出函数y cos x, x0,2 的简图.
x0
2
3 2 2
cos x 1 0 1 0 1
cos x 1 0 1 0 1
1.已知函数y 2cos x 1,作出函数的图象，并根据图象 写出函数的定义域、值域、单调区间、对称轴、对称中 心，并解不等式 2cos x 1 0.
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
2
k,0, k Z
2
R
1，1
增： 2k，2k ,k Z
减：2k, 2k , k Z
偶函数
x k , k Z
2
k
,
0
,
k
Z
2
1.画出函数y 1sin x, x0,2 的简图.
函数名sin 后面跟的是角，无论角 以何种形式出现，只要整体取定一 个值，就可以得一个正弦值。
根据正弦函数的图象填写下面的表格
函数
y sin x
y cos x
图象
定义域 值域 单调区 间
奇偶性 对称轴
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
6.1_正弦函数和余弦函数的图像与性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.5．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R .一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝ωπ2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T ＝2π，(2)T ＝22π＝π，(3)T ＝2π÷21＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin(－18π)－sin(－10π)； (2)cos(－523π)－cos(－417π)．例3 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.例4.f (x )＝sin x 图象的对称轴是 .例5.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?【当堂训练】1.函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( )A.奇函数而不是偶函数B.偶函数而不是奇函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数2.函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π3.设条件甲为“y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23π”，则甲是乙的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为 ．5.函数y ＝sin2x tan x 的值域为 .6.函数y ＝x －sin x ，x ∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B. 2π－1 C.π D. 2243-π7.求函数y ＝2sin 22x ＋4sin2x cos2x ＋3cos 22x 的最小正周期.8.求函数f （x ）＝sin 6x ＋cos 6x 的最小正周期，并求f （x ）的最大值和最小值.9.已知f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin 1+-，问x 在［0，π］上取什么值时，f （x ）取到最大值和最小值.10.给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数； ②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π； ④y ＝sin2x －cos2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是 .11.求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋6π)； ②y ＝3sin(3π－2π)12.求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.13.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4π C.x ＝8π D.x ＝45π【家庭作业】1.在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( ) A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2.若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值. .]4,3[sin 2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例ωππωω-=x x f4.求下列函数的定义域、值域：（1）； （2） ； （3） ．5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：（1） ， ； （2） ， ； （3）（4） ．6．要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）； （2） ．37.函数，的简图是（）8.函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 9.函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．10.如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C．D．或11.与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，12.函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．13.求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．参考答案：例1解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现.∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π.即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现.∴y ＝sin2x 的周期是π.(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数.从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关.例2解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． 且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数. ∴sin(－10π)＜sin(－18π) 即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π ∵0＜4π＜53π＜π 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos53π＜cos 4π 即cos 53π－cos 4π＜0 ∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0 例3解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜y y --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 例4解：由图象可知：对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z ) 例5解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π (k ∈Z ) ∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π 即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求. (2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π) 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π 得k π－12π≤x ≤k π＋125π (k ∈Z )为所求. 或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数， ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减. 设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π 解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z ) ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减. 【当堂训练】 1.A 2.A 3.B 4.2π 5.［0，2) 6.C 7. 2π 8.Ｔ＝2π 函数最大值为1 函数最小值为41. 9.x ＝4π时，f (x )取到最小值31； x ＝43π时，f (x )取到最大值3. 10．分析:①y ＝sin x 是周期函数,自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝4π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin 3π＞sin(6π＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π 由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④11. 解：①设ｕ＝2x ＋6π，则y ＝cos ｕ当2k π－π≤ｕ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵ｕ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Ζ) 即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为： ［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z ) ②设ｕ＝3π－2π，则y ＝3sin ｕ 当2k π＋2π≤ｕ≤2k π＋23π时，y ＝3sin ｕ随x 增大在减小， 又∵ｕ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π 即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为 ［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )12. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数. 13. 方法一：运用性质1′,y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z ),令k ＝－1,得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应. 故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A. 【家庭作业】 1.分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ (x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ (x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π ∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π ∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－411π，47π］、［－43π，4π］、［45π，49π］， 对照选择支，可知应选B像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是： x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π (k ∈Z )，对照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.2. 解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的. 当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x =)2cos(1)2sin 112cos 1(12222θ-+=++++x a x a x a aa其中cos θ＝2211sin ,1aaa +=+θ即tan θ＝a1cos sin =θθ 函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z )∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－⇒8π22πθk +=－8π∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求. 3. 解：由题设得)(2222Z k k x k ∈+≤≤-ππωππ.230.42,32.2222,0⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-≤-∴+≤≤-∴>ωπωππωπωπωπωπωπω解得k x k故ω的取值范围为].23,0(4. 解：（1） ，（2）由 （）又∵ ，∴∴定义域为 （），值域为． （3）由 （），又由∴∴定义域为（），值域为 ．指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．5.解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？6.解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．7．B 8．B 9．A 10．C 11．D12．；；13.分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．。
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数、余弦函数的性质(全)
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数余弦函数的图象和性质
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ 2 ,
3 2
]的简图：
3 22
x
cosx sinx
0
2
0 2
2 0 -1
3 2
0 1 1 0 y 向左平移 个单位长度 2 2
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
1 3、y 2 sin( 2 x 6 )
x∈R
解：令 z x
1 2
6
，那么x∈R必须并且只要
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
1 1 于 z 2 x 2 ( x 4 ) 。所以自变量z只 2 6 2 6
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
正弦、余弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx 1+sinx
y 2
0 0 1
2
0 1
3 2
1 2
-1 0
2 步骤： 0 1.列表 1 2.描点 3.连线
y=1+sinx，x[0, 2] 1
例４、
求下列函数的周期：
1：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。
正弦函数余弦函数的图像和性质
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
正余弦函数的图像与性质
结合图象可得：
3 π π 3 x∈－5，－ π∪－ ， ∪ π，5. 2 2 2 2
探要点、究所然
例 3 在同一坐标系中，作函数 y＝sin x 和 y＝lg x 的图象，根据图象判断 出方程 sin x＝lg x 的解的个数．
解 建立坐标系 xOy，先用五点法画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再 依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 的图象． 1 描出点 ，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图 10
-
,1)
,1)
y
五点作图法
1-
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) x y=sinx 0 0
2
0
3 2
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
-
余弦函数的图象
(五点作图法) (1) 列表
x y
(2) 描点 (3) 连线
1
y
0 1
2
0
1
3 2
0
2 1
o
-1
-
2
3 2
2
x
y=cosx,x [0,2π]
2、余弦函数的图像
定义域 xR 值
(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质
y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
正弦、余弦函数的图像与性质
正弦与余弦函数的图像与性质（内部使用）姓名： 日期：¤ 梳理知识★透视规律 ¤一、函数的周期性1、定义： 。
二、正弦与余弦函数的图像1、正弦函数的图像由单位圆中的正弦线的变化，推出sin y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像2、正弦函数的图像由单位圆中的余弦线的变化，推出cos y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像3、五点作图法：（1）概念： 。
（2） 步骤： → → 。
三、正弦与余弦函数的性质函数y sin x =y cos x =图像定义域 值域 周期性 奇偶性（对称性）单调性注：（1） ；（2） 。
¤ 拓展★提高 ¤一、正弦型函数sin y A x M =+()0A M ⋅≠的性质：（1）A 的作用：对最值的影响： ；正负对单调区间的影响： 。
（2）M 的作用：。
¤ 他山之石★可以攻玉 ¤【例1】用“五点法”画出下列函数的图像：（1）[]2sin ,0,2y x x π=-+∈；（2）[]2cos ,0,2y x x π=+∈。
【变式】用“五点法”画函数[]12sin ,0,2y x x π=-∈的图像。
我来记两笔：【例1】解下列不等式：（1）1sin 2x >； （2）3cos 2x ≤-。
【变式1】求函数2sin 1y x =+的定义域。
【变式2】求函数1lg 1cos y x=-的定义域。
题型一 “五点法”作图 题型二 利用正、余线函数图像解简单三角不等式我来记两笔：【例1】求下列函数的值域：（1）y sin sin x x =+； （2）cos 2y cos 1x x -=+。
【变式】求下列函数的值域：（1）y 2sin 2,,366x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）[]2cos sin 2,0,y x x x π=++∈。
我来记两笔：【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）()()sin f x x x π=+； （2）()3cos 12f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭。
6.1(3)正弦函数和余弦函数的图像和性质
(3) y 3 sin x cos x
(4) y 2 sin x 3 sin x 2 (5) y sin x 3 sin x cos x
y a b sin x
2 2
3、换元法
4、降次公式法
2
三、例题与练习
例1 、 求函数 y 2 sin(3x )的最大值和最小值， 3 并求使其取得最大值、 最小值的x的集合． 2k 解：当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymin 2 3 2k 7 当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymax 2 2k 7 取得最大值的x的集合是{x x ，k Z }； 3 18 2k 取得最小值的x的集合是{x x ，k Z }． 3 18
6 并求使其取得最大 值和最小值的x的集合． 解：当2 x 2k 即x k (k Z )时，ymin 2
6 12 5 ymax 4 当2 x 2k 即x k (k Z )时， 6 12 5 取得最大值的x的集合是{x x k ，k Z }； 12 取得最小值的x的集合是{x x k
ex1、求y 1 3 cos(2 x
)的最大值和最小值，
12
，k Z }．
例2、 求下列函数的值域． 2 2 (1) y sin x cos x (2) y sin x cos x
1、将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 的形式即可求出函 数的最值或值域．
正弦函数、余弦函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tanα的几何意义. 想一想?
y
1
P
T
正弦线MP
o
M
1
ALeabharlann x余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数、余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
y sin x, x 0,2
y
P
3
0
2
-
-
-
2
3 2
x
1 1 x
O
M
几何法： 作三角函数线得三角函数值，描点 ( x, sin x),连线 如: x 3 作 3 的正弦线 MP, 平移定点 ( x, MP)
正弦函数、余弦函数的图象和性质
2.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
-
正弦函数、余弦函数的图象和性质
55
正弦函数、余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . x的正弦线，巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
如 : x 3 查表 y sin 3 0.8660 移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). ( 描点 ,0.8660) y 3 1
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质2
由sin
x
y 1 1,得 1
y
2
1
(sin x 1) y 1
sin x 1
cos x 1
解不等式有
y
1 2
故函数的值域为
,
1 2
求值域
例8判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例7 求下列函数的值域 y= sin x 2
解 由y sin x 2 得到
sin x 1
sin x 1
正余弦函数的有界性
( y 1)sin x y 2
(上式中y 1,否则有0 3)
所以sin x y 2
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
(3) y= ( tan 7 )sinx
6
解：
0 tan 7
tan
3 1
6
63
单调减区间为 [2k ,2k ],(k Z )
2
2
单调增区间为 [2k ,2k 3 ],(k Z )
2
2
(4)
y log 1
cos( x
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
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2
-
3- 2
2-
x
1 -
几何法：作三角函数线得三角函数值,描点 (x,sinx) ,连线
如:
x
3
作
3
的正弦线 MP ,
直 角
的 正 弦 线 ，
关 键 是 如 何 利
2020/4/3
平移定点 (x, MP)
正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2).描点
y
1-
(3).连线
0
-
2
1 -
-
3- 2
2-
x
2020/4/3
-
-
y
1
4
2
o
－1
-
-
-
正弦曲线
2
-
4
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
形状相同
2020/4/3
-
想一想
它们的形状相 同，且都夹在 两条平行直线 y=1与y=－1 之间。但它们 的位置不同， 正弦曲线交y 轴于原点，余 弦曲线交y轴 于点（0，1）.
请观察正弦曲线、余弦曲线的形状 和位置,说出它们的异同点.
… 象
， 相
同
-
余 弦 函 数 y cos x , x R 的 图 象
2020/4/3
正弦y 函数.余弦函数的图象和性质
1-
图象的最高点
(
2
,1)
o
2
3 2
2
－1
-
简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
6
4
-
2
-oຫໍສະໝຸດ 1-2-1 -
-
-
x
4
6
-
正 弦 、 余 弦 函 数 yy= s in x ,y = c o s x 的 图 象
o
x
6
4
2
2
4
6
1-
-
-
-
-
-
-
-1 -
-
y cos x , x R
余弦函数
的图象
2020/4/3
正弦函数.余弦函数的图象和性质
正正正弦y弦弦函函函数数数..余余y 弦弦 函函sin数数 的的x 图,图x象象和和R性性质的质图 象 y
形状相同
2020/4/3
用诱导公式来作余弦函数y=cosx,x∈R的的图像
y= cosx = cos(-x) = sin[ 2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y
从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
-
-
-
-
-
16-
4
本节课小结 1-
2
o
2
-1 -
4
6
x
图象的最高点
(
2
,1 )
-1
正 弦本、 余 节弦 函 数课y= s小in x ,y=结co sx 的 图 象 o
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
2020/4/3
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
-
-
2
-
2
-
-
x
3
3
2 1 o- -
12
-
2020/4/3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
y
正 弦 函 数 y sin x , x R 的 图 象
利用三角函数线 作三角函数图象
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 (x,sinx),连线.
如:
x
3
查表 ysin 3 0.8660
描点 (3 ,0.866)0
的从 坐巧 用几
点而 标妙 单何
x 1(x,sinx).
y
y
P
1-
确 系地 位法 定 内移 圆作 对 ，动 中图
应 到 角的
3
O M 1 x0
y
x
0
2
3 2
2
sin x
01
0
1
0
sinx1
1
2
1
01
21-
o
2
3 2
2
x
1 -
练习 : 作函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的草图
作函数
y=
1 2
sinx
+
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
2020/4/3
练习：作函数y= －cosx,x∈[0,2π]的草图
解: 列表
X
cosx
0
y
正 弦 、 余 弦 函 数 y=sinx,y=cosx的 图 象
6
4
2
1-
2
4
6
-
-
-
o
-
-
-
x
-1 -
4因 ,为2 终 边, 相2 同 , 0 的, 角0 ,
的2
三 ,
角
2函
数, 4 值, 相
…
同 ， 所 以 y=cosx
… 与 y=cosx,x∈
的图象 [0,2π ]
在 的
… 图
1
p
/ 1
6
-
o-1
-A
o 6
3-
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
－1
2020/4/3
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1).列表
y six ,n x 0 ,2
x0
6
3
2
2 5
3
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y
0
1 2
2
3 2
2
1 0 1
01
-cosx 1 0 1
01
y
21-
o
2
3 2
2
x
1 -
2020/4/3
作函数 y=12
sinx
+
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
解：用辅角公式化简函数
y=
1 2
sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+
3
)
X+ 3
x
y
0
2
授课教师：谷元芳
2020/4/3
正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1 P
oA M1
x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
2020/4/3
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
新课:
. . . . 1.函数 y six ,n x 0 ,2 图象的几何作法
正 弦 函 数 .余 弦 函 数 的 图 象 和 性 质
y
正 弦 函 数 y sin x , x R 的 图 象
1-
-
6
4
-
2
-
o
2
-
4
-
6
-
x
-1 -
因 为 终 边 相 同 的 角 的 三 角 函 数 值 相 同 ， 所 以 y=sinx的 图 象 在 … … ，
4 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 4 ,… … 与 y = s in x ,x ∈ [0 ,2 π ]的 图 象 相 同
1
与x轴的交点
x (0,0) ( ,0) (2,0)
图象的最低点
(
3 2,
1)
图象的最高点 (0,1) (2,1)
与x轴的交点(
2
,0)
(
3 2
,0)
o
2
3
2
2
图象的最低点 (,1)
－1
2020/4/3
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例题
作函数y=sinx+1,x∈[0,2π]的简图
解: 列表
描点作图