考点32 直线与方程-备战2020年高考数学(文)考点一遍过

考点32 直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝2121y y x x --．二、直线的方程 1．直线方程的五种形式2．必记结论常见的直线系方程（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)，斜率不存在时可设为x ＝x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋C 1＝0.（4）过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．考向一 直线的倾斜角与斜率1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．典例1 若两直线12,l l 的倾斜角和斜率分别为12,αα和12,k k ，则下列四个命题中正确的是 A ．若12αα<，则两直线的斜率：12k k < B ．若12αα=，则两直线的斜率：12k k = C ．若两直线的斜率：12k k <，则12αα< D ．若两直线的斜率：12k k =，则12αα=【答案】D【解析】当130α=，2120α=时，满足12αα<，但是两直线的斜率12k k >，选项A 说法错误； 当1290αα==时，直线的斜率不存在，无法满足12k k =，选项B 说法错误；若直线的斜率11k =-，21k =，满足12k k <，但是1135α=，245α=，不满足12αα<，选项C 说法错误；若两直线的斜率12k k =，结合正切函数的单调性可知12αα=，选项D 说法正确. 本题选择D 选项.【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.典例2若直线经过，两点（m ∈R ），那么l 的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．[0,](,)42πππ C ．[0,]4π D ．[,)(,)422ππππ 【答案】B【解析】由直线经过，由tan 1k α=≤，则倾斜角的取值范围是[0,](,)42πππ.故选B.1．已知点()2,3A -，()32B --，，直线l 的方程为10kx y k --+=，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为 A 或4k ≤- B C D 考向二 直线的方程求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．l )12(，A )1(2m B ，l )12(，A )1(2m B ，2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.典例3 已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y += D ．25x y -=【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2. 故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=. 故选B.典例4 △ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2, 3)，求： （1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程．【解析】（1）因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，所以由两点式得BC 的方程为123122y x --=---，即x +2y -4=0. （2）设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则22130,222x y -+====. BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为132x y+=-，即2x －3y ＋6＝0. （3）由（1）知，直线BC 的斜率112k =-，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由（2）知，点D 的坐标为(0,2).由点斜式得直线DE 的方程为y －2=2(x －0)，即220x y -+=. 【思路分析】2．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为 A ．y −x =1 B ．y +x =3C ．y =2x 或x +y =3D ．y =2x 或y −x =13．一条直线经过点(2,A -，并且它的倾斜角等于直线0x -=的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是A ．30y --=B 0y --=C ．0x y --=D ．0x --=考向三 共线问题已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.典例5 若三点()()12,33,2(,)2A B C m ，，共线，则实数m =_____________.【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程AB AC k k =. 【解析】由题意得2331,13222AB AC m k k --==-=--.∵,,A B C 三点共线，∴AB AC k k =， ∴31122m -=--， 解得92m =．4．已知三个不同的点()0,0O ，sin ,sin2A θθ⎛⎫⎪⎝⎭，()8,5B 在同一条直线上，则cos θ的值是________.1．已知M (a ，b )，N (a ，c )(b ≠c )，则直线MN 的倾斜角是 A ．不存在 B ．45° C ．135°D ．90°2．如果直线l 过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A ．[0,1]B ．[0,2]C ．1[0,]2D ．(0,3]3．已知直线l 经过点P (−2,5)，且斜率为−34，则直线l 的方程为A ．3x +4y −14=0 B ．3x −4y +14=0 C ．4x +3y −14=0D ．4x −3y +14=04．直线1l ：1y x =+中，若1l ，2l 关于x 轴对称，则2l 的倾斜角为 A ．π4- B ．4π C ．34πD ．5π45．,()00y ax b a b ab =++=≠的图象可能是下列图中的6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 A ．(－2,1) B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)7．与直线23y x =-+平行，且与直线34y x =+交于x 轴上的同一点的直线方程是 A ．24y x =-+ B ．142y x =+ C ．823y x =--D ．1823y x =- 8．若过不重合的()()2222,3,3,2A m m B m m m +---两点的直线l 的倾斜角为45°，则m 的取值为 A ．1m =- B ．2m =- C ．12m =-或D ．12m =-或9．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=010．如图，已知直线l 1：y =－2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），则k 的取值范围是A ．－2＜k ＜2B ．－2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜211．直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是A ．⎡⎤⎣⎦B ．(,[1,)-∞+∞C ．(,-∞D ．[)1,+∞12．设直线l 的倾斜角为αl 的斜率k 的取值范围是__________． 13．已知三点(2,2)A ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一条直线上，则a =___________．14．如图，已知直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，且垂足为B .若l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分 ∠BAC ，则l 3的倾斜角为 ．15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．16．在平面直角坐标系xOy 中,经过点()1,1P 的直线l 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B .若2PA PB =-,则直线l 的方程是_________.17．已知点(,)M x y 在函数28y x =-+的图象上，当[2,5]x ∈.18．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线l 经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．19．求满足下列条件的直线的方程：（1）设直线m 的方程为()0(12)a x y a a +++-=∈R .若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求直线m 的方程；（2）过直线l ：y x =上的点()2,2P 作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程.20．已知ABC △的三个顶点分别为是()4,0A ，()0,2B -，()2,1C -.（1）求AB 边上的高CD 所在的直线方程；（2）求过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.21．已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求AOB △面积的最小值及此时直线l 的方程； （2）求PA PB ⋅的最小值及此时直线l 的方程.1．【答案】A【解析】∵直线l的方程10kx y k--+=可化为(1)(1)=k x y---0，∴直线l过定点(1,1)P，如图所示，又直线PA的斜率31421PAk--==--，直线PB的斜率213314PBk--==--，∴当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k或4k≤-.故选A．2．【答案】D【解析】当直线过原点时，可得斜率为2−01−0=2，故直线方程为y=2x，即2x−y=0；当直线不过原点时，设方程为xa+y−a=1，代入点(1,2)可得1a−2a=1，解得a=−1，则直线方程为x−y+1=0，故所求直线方程为：y=2x或y=x+1.故选D．3．【答案】B【解析】已知直线0x -=的斜率为3，则倾斜角为30， 故所求直线的倾斜角为60︒，即0y --=.故选B ．4．【答案】725【解析】因为三个不同的点()0,0O ，sin ,sin 2A θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()8,5B 在同一条直线上， 所以sin52sin 8OA OB k k θθ=⇒=，解得4cos 25θ=， 所以167cos 212525θ=⨯-=， 故答案为725.1．【答案】D【解析】∵MN ⊥x 轴，∴直线MN 的倾斜角为90°.2．【答案】B 【解析】过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线的斜率时，图象不过第四象限，故l 的斜率的取值范围是[0,2].3．【答案】A【解析】直线l 经过点P (−2,5)，且斜率为−34，则y −5=−34(x +2)，即3x +4y −14=0.故选A.4．【答案】C【解析】1l ，2l 关于x 轴对称，设1l ，2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有120k k +=，又由11k =，得21k =-，则2l 的倾斜角为34π. 故选C.5．【答案】D【解析】因为ab ≠0，所以排除选项C ；又a ＋b ＝0，所以斜率与截距互为相反数，显然D 选项符合，故选D.6．【答案】A【解析】∵过点()1,1P a a -+和()3,2Q a 的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即21031a a a--<-+. ∴()()120a a -+<，∴21a -<<.故选A.7．【答案】C【解析】直线23y x =-+的斜率为2-，则所求直线的斜率2k =-， 直线34y x =+与x 轴的交点坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴所求直线的方程为：423y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即823y x =--. 故选C.8．【答案】B【解析】过()()2222332A m m B m m m +---，，，两点的直线l 的斜率2223223m m k m m m --=+-++， ∵直线l 的倾斜角为2223245123m m k m m m--︒∴==+-++，， 解得1m =-或2m =-，当1m =-时，A B ， 重合，舍去，∴2m =-．故选B ．9．【答案】A【解析】设所求直线l 的方程为1x y a b +=(a >0，b >0)，则有162ab =，且131a b+=. 由1221361ab a b a b=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩，∴直线l 的方程为126x y +=，即为3x ＋y −6=0. 10．【答案】D【解析】因为直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），所以2b k =，即()2:2l y k x =+，将其与1:24l y x =-+02k <<， 故选D.【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解.11．【答案】B【解析】如图所示：当直线l 过B 时，设直线l 的斜率为1k，则1k == 当直线l 过A 时，设直线l 的斜率为2k ，则210121k -==-， ∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(,[1,)-∞+∞，故选B.【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数的图象，求出线段端点与点()1,0P 连线的斜率，从而求出斜率的范围即可.12．][1,)+∞【解析】∵直线l 的倾斜角为α，∴直线l 的斜率k∴1k ≥或k <， ∴直线l 的斜率k ][1,)+∞． 13．【答案】2 【解析】三点(2,2)A ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一条直线上，则21222542a --=---，解得2a =． 故答案为2．14．【答案】30°【解析】因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA =30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°−30°)=30°. 15．【答案】3240x y -+=【解析】将直线23120x y -+=化为斜截式：243y x =+，斜率为23，所以直线l 的斜率为13， 令直线23120x y -+=中0x =，得y 轴上的截距为4，所以直线l 的纵截距为8，根据斜截式可得直线l 的方程为183y x =+，化简得：3240x y -+=. 【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令0x =或0y =，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.16．【答案】230x y +-=【解析】设()(),0,0,A a B b ，由2PA PB =-，可得()()1201,0121a b -=---=--，则33,2a b ==， 由截距式可得直线方程为:1332x y l +=，即230x y +-=， 故答案为230x y +-=.【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.17．【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率， 点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两点连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18．【解析】（1）将直线l 的方程整理为y －35＝15a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭， 而点13,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．（2）将方程化为斜截式方程：y ＝ax －35a - . 要使l 经过第一、三、四象限，则0305a a >⎧⎪-⎨-<⎪⎩，解得a >3. 【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线l 经过第一、三、四象限，只需斜率为正，截距为负，列出不等式组解出a 的范围.19．【解析】（1）当直线m 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴2a =，则直线m 的方程为30x y +=.当直线m 不经过原点时，截距存在且均不为0，直线m 的方程为1221x y a a a +=--+， ∴221a a a -=-+∴0a =， 则直线m 的方程为20x y ++=.综上，直线m 的方程为30x y +=或20x y ++=.（2）①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为2x =，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率0k =，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率0k ≠，设其方程为()22y k x -=-，令0y =，得22x k=-， 依题意有122222k ⨯-⨯=，解得12k =， 所以直线m 的方程为()1222y x -=-，即220x y -+=. 综上可知，直线m 的方程为220x y -+=或2x =.【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.20．【解析】（1）依题意得，()021402AB k --==-， 因为AB CD ⊥，所以直线CD 的斜率为12CD ABk k -==-， 可得直线CD 的方程为()122y x -=-+， 即直线CD 的方程为230x y ++=.（2）①当两截距均为0时，设直线方程为y kx =， 因为直线过点()2,1C -，解得12k =-， 即所求直线方程为12y x =-， ②当截距均不为0时，设直线方程为x y a +=， 因为直线过点()2,1C -，解得1a =-，即所求直线方程为1x y +=-，综上所述，所求直线方程为20x y +=或10x y ++=. 21．【解析】设直线:1x y l a b +=，则直线()()22:1224l a b a b +=⇒--=. （1）2112()81122AOB S ab a b=≥⨯=+△， 当且仅当4a b ==时，等号成立，即:40l x y +-=.（2）PA PB ⋅==8≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，即:40l x y +-=.。