考点32 直线与方程-备战2020年高考数学(文)考点一遍过

考点32 直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．

（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式

（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．

（2）P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝21

21

y y x x --．

二、直线的方程 1．直线方程的五种形式

2．必记结论

常见的直线系方程

（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)，斜率不存在时可设为x ＝x 0.

（2）平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋C 1＝0.

（4）过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．

考向一 直线的倾斜角与斜率

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．

典例1 若两直线12,l l 的倾斜角和斜率分别为12,αα和12,k k ，则下列四个命题中正确的是 A ．若12αα<，则两直线的斜率：12k k < B ．若12αα=，则两直线的斜率：12k k = C ．若两直线的斜率：12k k <，则12αα< D ．若两直线的斜率：12k k =，则12αα=

【答案】D

【解析】当130α=，2120α=时，满足12αα<，但是两直线的斜率12k k >，选项A 说法错误； 当1290αα==时，直线的斜率不存在，无法满足12k k =，选项B 说法错误；

若直线的斜率11k =-，21k =，满足12k k <，但是1135α=，245α=，不满足12αα<，选项C 说法错误；

若两直线的斜率12k k =，结合正切函数的单调性可知12αα=，选项D 说法正确. 本题选择D 选项.

【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

典例2

若直线经过，两点（m ∈R ），那么l 的倾斜角的取值范围是

A ．[0,)π

B ．

[0,](,)42π

ππ C ．[0,]4π D ．[,)

(,)42

2

ππππ 【答案】B

【解析】由直线经过，由tan 1k α=≤，则倾斜角的取值范围是[0,]

(,)42

ππ

π.故选B.

1．已知点()2,3A -，()3

2B --，，直线l 的方程为10kx y k --+=，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为 A 或4k ≤- B C D 考向二 直线的方程

求直线方程的常用方法有

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．

l )12(，A )1(2

m B ，l )12(，A )1(2

m B ，

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.

典例3 已知7(3,),(1,2),(3,1)2

M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y += D ．25x y -=

【答案】B

【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(

,)22++，即3

(2,)2

. 故所求直线方程为

7

32372322

y x -

-=--，整理，得4250x y --=. 故选B.

典例4 △ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2, 3)，求： （1）BC 边所在直线的方程；

（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程．

【解析】（1）因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，

所以由两点式得BC 的方程为

12

3122

y x --=---，即x +2y -4=0. （2）设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则2213

0,222

x y -+====. BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，

由截距式得AD 所在直线的方程为132

x y

+=-，即2x －3y ＋6＝0. （3）由（1）知，直线BC 的斜率11

2

k =-，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.

由（2）知，点D 的坐标为

(0,2).