《二面角的概念》教案
高中数学教案二面角
二面角一、素质教育目标(一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．(三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件:一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一)二面角师:我们知道,两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P．39中图1—43）,等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角"叫二面角，那么如何定义二面角呢?阅读课本P．39-40，回答下列问题．师:我们先来回忆：什么是角?如何表示？生:从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1-117）,表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生:棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式(如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1:这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1-121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同,根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解二面角的概念及其特点；2. 掌握计算二面角的方法；3. 运用二面角的概念解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二面角的定义和计算方法；2. 教学难点：运用二面角解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、白板、投影仪等；2. 教学资源：教材《高中数学》、教学PPT等。
四、教学过程本节课分为以下几个环节进行教学：1. 导入（5分钟）通过展示一张图片，引起学生对平面角的回顾，引出二面角的概念。
教师可以提问学生关于平面角的知识，引导他们思量平面角的特点和计算方法。
2. 概念讲解（10分钟）教师通过示意图和实物展示，向学生介绍二面角的定义和特点。
教师可以使用具体的例子，匡助学生理解二面角是由两个不同平面上的射线所形成的角。
3. 计算方法（15分钟）教师向学生介绍二面角的计算方法。
首先，教师通过示意图演示如何确定二面角的顶点、两个射线以及它们所在的两个平面。
然后，教师引导学生根据示例，使用几何知识和计算方法计算二面角的大小。
4. 练习与巩固（20分钟）教师设计一系列的练习题，让学生在课堂上进行练习。
练习题可以包括计算二面角的大小、判断二面角的大小关系等。
教师可以根据学生的实际情况，设置不同难度的题目，匡助学生巩固所学知识。
5. 拓展与应用（15分钟）教师引导学生运用二面角的概念解决实际问题。
教师可以提供一些与二面角相关的实际问题，让学生运用所学知识进行分析和解答。
通过实际问题的讨论，激发学生的思维和创造力。
6. 总结与反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾所学知识点。
教师鼓励学生提出问题和反思，匡助他们深入理解和巩固所学内容。
五、教学评价教师可以通过以下方式对学生的学习情况进行评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参预度、思量能力和表达能力；2. 练习与作业：布置相关的练习题和作业，检查学生对二面角的理解和应用能力；3. 互动回答：鼓励学生提问和回答问题，检查他们对二面角的理解程度。
二面角教学设计
二面角教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二面角的概念，能在空间图形中找出二面角的平面角。
（2）掌握二面角平面角的一般求法，能运用定义法、三垂线法等求二面角的大小。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（2）经历二面角概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）二面角的概念及二面角平面角的定义。
（2）二面角平面角的求法。
2、教学难点（1）二面角平面角的寻找和确定。
（2）灵活运用不同的方法求二面角的大小。
三、教学方法讲授法、启发式教学法、探究式教学法、多媒体辅助教学法四、教学过程1、导入新课（1）通过展示实际生活中的例子，如打开的书本、半开的门等，引导学生观察这些物体中两个平面所形成的角。
（2）提出问题：如何度量两个平面所形成的角呢？从而引出本节课的主题——二面角。
2、新课讲授（1）二面角的概念①结合实例，给出二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②让学生观察二面角的图形，理解二面角的构成要素，并通过举例加深对二面角概念的理解。
（2）二面角的表示方法①用三个字母表示，如二面角\（A l B\），其中\（A\）、＼（B\）分别为两个半平面上的点，＼（l\）为棱。
②用一个数字表示，如二面角\（＼alpha\）。
③用两个平行四边形的相对顶点表示，如二面角\（M N\）。
（3）二面角的平面角①提出问题：如何度量二面角的大小呢？引导学生思考。
②给出二面角平面角的定义：在二面角\（＼alpha l ＼beta\）的棱\（l\）上任取一点\（O\），以点\（O\）为垂足，在半平面\（＼alpha\）和\（＼beta\）内分别作垂直于棱\（l\）的射线\（OA\）和\（OB\），则\（＼angle AOB\）叫做二面角\（＼alpha l ＼beta\）的平面角。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》教案标题：二面角教学目标：1. 了解二面角的定义及相关概念。
2. 掌握计算二面角的方法。
3. 能够应用二面角的知识解决实际问题。
教学重点：1. 二面角的定义及性质。
2. 二面角的计算方法。
教学难点：1. 掌握二面角的计算方法。
2. 能够灵活运用二面角的知识解决实际问题。
教学准备：教材、教具、多媒体设备教学过程：Step 1 引入新知1. 向学生介绍二面角的概念，引导学生思考如何定义二面角。
2. 给出一个具体例子，让学生观察并猜测如何计算该二面角的大小。
3. 引导学生通过观察得出计算二面角的方法。
Step 2 讲解知识点1. 讲解二面角的定义：二面角是由两个不重合的平面所围成的角。
2. 介绍常见的二面角：直角（90°）、平角（180°）等。
3. 讲解二面角的计算方法：a. 当两个平面为互相垂直的平面时，二面角等于两个平面的夹角。
b. 当两个平面不垂直时，可以通过将这两个平面旋转至相交的情况下计算得出。
Step 3 练习巩固1. 出示一些二面角计算题目，让学生运用所学知识计算出它们的大小。
2. 引导学生分析解题思路，解释计算过程。
Step 4 拓展延伸1. 出示一些实际问题，要求学生运用二面角的知识来解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为计算二面角的问题。
Step 5 总结归纳1. 对本节课所学的二面角的定义和计算方法进行总结归纳。
2. 强调二面角的重要性和应用价值。
Step 6 课堂小结1. 对本节课的主要内容进行回顾。
2. 解答学生提出的疑问。
Step 7 作业布置1. 布置一些计算二面角的练习题，要求学生在家完成。
2. 提醒学生关注实际问题中的二面角应用。
拓展活动：1. 考察学生对二面角的理解，出示一些实际问题，让学生用二面角的知识解决问题。
2. 给学生一些创设问题的任务，要求他们设计一些与二面角相关的实际问题，并解答。
教学反思：本节课通过引入、讲解和练习，让学生逐步掌握了二面角的定义和计算方法，同时能够将二面角的知识应用于实际问题中。
《二面角》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《二面角》教学设计第一课时◆教学目标1、掌握二面角的概念，提升学生的数学抽象素养.2、理解二面角的平面角的含义．提升学生的数学抽象素养.3、作二面角并求出二面角的大小，提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：二面角的概念．教学难点：作二面角并求出二面角的大小．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第47-50页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第一课时二面角及其度量．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知形成定义问题2：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．教师讲解：我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l -的棱上任取一点O ,以O 为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为'2623，如图所示．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．黄赤交角是地理学中的名词,在此处主要是举例说明二面角知识在现实中的广泛应用,不必在课上进行过多的探究．问题3：“门开大点”“门开小点”说明了什么问题?平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小可以用量角器来度量吗?如何确定二面角唯一的测量结果?哪个角能够表示二面角呢?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°，而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：二面角的平面角的定义有三个主要特征:①过棱上任意一点;②分别在两个半平面内作射线;③射线垂直于棱.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.设计意图：定义过程是求二面角大小的基本思维过程,也充分体现着将空间问题转化为平面问题的转化思想方法．问题4：根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？师生活动：学生在教师的指导下写出答案． 教师讲解:步骤如下(1)找到或作出所求的二面角的平面角.(2)证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角.(3)计算求解.此时一般为解斜三角形,需要用余弦定理及其变式,教师可以引导学生回顾.(4)明确答案.写出所求问题的结论.设计意图：通过师生共同探究,引导学生总结基本的思维过程与步骤．并为后面例题的求解给出思路．三、初步应用 例1:如图所示,已知二面角βα-l -的棱上有A,B两点，,,,,l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂βα若,7,4,3,6====CD BD AC AB 求二面角βα-l -的大小．师生活动：学生根据所学给出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：如上图所示,在平面内过A 作BD 的平行线AE,且使得AE=BD,连接CE,ED ．因为四边形AEDB 是一个矩形,∠CAE 是二面角βα-l -的一个平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,从而1367222222=-=-=-=AB CD ED CD CE在△AEC 中,由余弦定理可知212cos 222=⨯-+=∠AE AC CE AE AC CAE ,因此3π=∠CAE ，即所求的二面角的大小为.设计意图：通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感3π受，用代数方法解问题决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．问题5：如图所示，设S 为二面角βα-B -A 的半平面α上一点，过点S 作半平面β的垂线'SS ,设O 为棱AB 上一点.（1）判断AB SO ⊥是AB O S ⊥'的什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：因为'S 是S 在平面内的射影,所以O S '是SO 在平面β内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,AB SO ⊥是AB O S ⊥'的充要条件;当二面角βα-B -A 是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另种方法:过其中一个半平面内一点S ,作另一个半平面的垂线段'SS ,过S (或'S )作棱的垂线SO (或O S '),连接O S '(或SO )即可.在图中,如果二面角βα-B -A 的大小为θ,则可以看出△AB S '与△SAB 在AB 边上的高之比为θcos ,因此这两个三角形的面积之比也为θcos ．教师讲解:要注意以下几个方面(1)该作法只适用二面角AB --αβ为锐角的情形.当二面角AB --αβ为钝角时,要将其中一个半平面延伸,即作出辅助半平面,先求出二面角AB --αβ的补角,再确定二面角AB --αβ的值.当二面角为直二面角时不作探讨．(2)这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理.在学生尝试前或探究过程中,适当为学生提示必备知识,如充要条件、三垂线定理及其逆定理.(3)找垂线注意应用已知的条件以及有关垂直的判定和性质定理,按三垂线定理的条件,一条垂线垂直于二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线．设计意图：本问题是在二面角βα-B -A 为锐角的前提下进行的,给出了作二面角的平面角的另种方法.教师在引导学生尝试探究．例2：如图所示三棱锥ABC S -中，面ABC SAC 面⊥,3==SC SA ,,2==BC AB 且BC AB ⊥,求二面角C AB S --的大小．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案． 预设的答案：设O ,E 分别为AC ,AB 的中点,连接SO ,OE ,SE ,因为SA =SC ,所以SO ⊥AC ,又因为面SAC ⊥面ABC ,所以SO ⊥面ABC ,又因为OE 为△ABC ,因此SE 在平面ABC 内的射影为OE ,又因为OE 为ABC ∆的中位线,AB ⊥BC ,所以AB ⊥OE ,从而由三垂线定理可知AB ⊥SE ,因此∠SEO 为二面角SABC 的一个平面角由AB =BC =2且AB ⊥BC 可知AC =222222=+，又因为122=-=AO SA SO ,而且,121==BC EO 从而可知,45 =∠SEO 即所求二面角的大小为45．设计意图：引导学生归纳这种方法通常是先求得垂线段长与射影长,再在直角三角形中计算所求二面角的平面角的正切值．通过例2,教师引导学生注意以下方面(1)画图过程中要充分借助题目中的“等长”条件,构造等腰三角形的底边中点,进而应用等腰三角形的“三线合一”结论；(2)对作出的二面角的平面角要证明是所要求的二面角的平面角；(3)注重推理的逻辑性及格式、步骤的规范与完整.四、归纳小结，布置作业问题6：什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解二面角的定义．布置作业：教科书第52页练习A1,2题．五、目标检测设计1．(教材P52练习B②改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为()A ．12B ．23C ．22D ．33设计意图：考查学生对二面角的应用．2已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．设计意图：考查学生对二面角的大小求法的应用．3．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 设计意图：考查二面角的综合应用． 参考答案：1．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]2．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角， ∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ， ∴AO ＝AB ×AD BD ＝125，∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13．∴二面角A BD P 的正切值为13．]3．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．]。
二面角的基本概念和性质教案
二面角的基本概念和性质教案
一、概念
二面角是空间中两个面的夹角。
具体来说，对于一个凸多面体，在其顶点处呈锐角的面之间所夹的角度就是二面角。
二、性质
二面角具有以下性质：
1.对于任意的凸多面体来说，其每个顶点的二面角和为360度。
2.二面角可以用来刻画多面体形状的“棱角程度”。
例如，当一个多面体的二面角都是锐角
时，它呈现出锋利的形状；反之，当一个多面体的二面角都是钝角时，它呈现出圆滑的形状。
3.二面角的大小与多面体的某些性质有关。
例如，在三维中，二面角可以用来描述两个面
之间的光滑程度，也可以用来判断一个多面体是否是单纯体。
4.二面角的计算可以基于向量空间理论。
具体来说，可以用向量的点积、向量的模长等数
学工具来计算二面角大小。
三、应用
二面角在几何学、拓扑学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，它可以用来判断不同几何形状之间的相似性；在计算机图形学中，它可以用来优化计算几何等算法的效率。
四、补充
二面角的概念和性质，在现代应用中均有非常广泛的运用。
未来，我们相信这个概念和性质将会在更多领域中发挥其巨大的价值。
《二面角》教案1
《二面角》教案一、目的要求1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。
2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
三、教学过程：（一）、二面角1、提示问题产生的背景：问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。
（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。
结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。
教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。
由教师版书于上图表中右侧。
由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
学案1：1.2.4 二面角
1.2.4 二面角【新知初探】1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分， 都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ， 叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为α，β的二面角的面，记作 ，若A ∈α，B ∈β，则二面角也可以记作 ，二面角的范围为 ．(3)二面角的平面角：在二面角αl β的棱上 ，以O 为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则 叫做二面角αl β的平面角．提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． 思考：如何找二面角的平面角？2．用空间向量求二面角的大小如果n 1，n 2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝ 或θ＝ ，sin θ＝ ．【初试身手】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2．( )(2)若二面角αl β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( )(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BC A 的余弦值为( ) A ．12 B ．23 C ．22 D ．333．已知二面角αl β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角αl β的大小可能为________．4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BD C 1的余弦值是________．【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】 如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，P A 为母线，点C 在底面圆周上，若△P AB 是边长为2的正三角形，且CO ⊥AB ，求二面角P AC B 的正弦值．[规律方法]用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． [跟进训练]1．已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．类型二用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？【例2】如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．[母题探究]1．(变问法)本例(2)条件不变，求二面角BA1CD的余弦值．2．(变条件、变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．[规律方法]利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2．(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝|n1·n2||n1|·|n2|．(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．提醒：确定平面的法向量是关键．类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】如图甲，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A 点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙．甲乙(1)求证：BC⊥平面DEC；(2)求二面角CBFE的余弦值．[规律方法]1．与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．[跟进训练]2．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点，现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2．图1图2(1)若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由．(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【课堂小结】1．学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法．2．利用向量法求二面角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，然后运用向量的运算即可，其次要理清要求角与两个向量夹角之间的关系．【学以致用】1．三棱锥A BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A BD C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π32．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图所示，在正四棱锥P ABCD 中，若△P AC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．π12B ．π4C ．π6D ．π34．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．5．三棱锥P ABC ，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，求二面角P AC B 的大小．【参考答案】【新知初探】1．二面角的概念 (1)其中的每一部分 (2)两个半平面棱 每个半平面αl βA l B[0，π](3)任取一点O∠AOB思考：[提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用空间向量求二面角的大小 〈n 1，n 2〉π－〈n 1，n 2〉sin 〈n 1，n 2〉 【初试身手】1．[答案] (1)× (2)× (3)√ [提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补． (3)√2．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角，cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]3．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角αl β的大小为60°或120°．] 4．13 [如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13，所以二面角A 1BD C 1的余弦值为13．] 【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】[解] 如图，取AC 的中点D ，连接OD ，PD ，∵PO ⊥底面，∴PO ⊥AC ，∵OA ＝OC ，D 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ， 又PO ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面POD ，则AC ⊥PD ， ∴∠PDO 为二面角P AC B 的平面角． ∵△P AB 是边长为2的正三角形，CO ⊥AB ， ∴PO ＝3，OA ＝OC ＝1，OD ＝22， 则PD ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫222＝142．∴sin ∠PDO ＝PO PD ＝3142＝427，∴二面角P AC B 的正弦值为427．[跟进训练]1．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角，∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ，∴AO ＝AB ×AD BD ＝125， ∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13，∴二面角A BD P 的正切值为13．]类型二用向量法求二面角[探究问题]1．[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直． 2．[提示]条件平面α，β的法向量分别为u ，v ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u ，v 〉＝φ图形关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ【例2】[解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD ．(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ， 又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719．由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719．[母题探究]1．[解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3，故n 1＝(3，3,3)． 设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57．由图形可知二面角B A 1C D 的大小为钝角，所以二面角B A 1C D 的余弦值为－57．2．[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1， 则A (0，0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，D 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，AE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AB 1→＝(1,0,1)，AF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，AD 1→＝(0,1,1)． 设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0， 令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1，所以n 1＝(－1,2,1)． 设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AD 1→＝0，n 2·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n 2＝(2，－1,1)．所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为 |n 1·n 2||n 1||n 2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12．类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】[解] (1)证明：如图，∵DE ⊥EC ，DE ⊥AE ，AE ∩EC ＝E ， ∴DE ⊥平面ABCE ，又∵BC ⊂平面ABCE ，∴DE ⊥BC ， 又∵BC ⊥EC ，DE ∩EC ＝E ，∴BC ⊥平面DEC ．(2)如图，以点E 为坐标原点，分别以EA ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系E xyz ，∴E (0,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，D (0,0,2)，A (2,0,0)，F (1,0,1)， 设平面EFB 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由EF →＝(1,0,1)，EB →＝(2,2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，∴取x 1＝1，得平面EFB 的一个法向量n 1＝(1，－1，－1)， 设平面BCF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由CF →＝(1，－2,1)，CB →＝(2,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，x 2－2y 2＋z 2＝0，∴取y 2＝1，得平面BCF 的一个法向量n 2＝(0,1,2)，设二面角C BF E 的大小为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|－1－2|5·3＝155．[跟进训练]2．[解] (1)点G 的轨迹是直线MN ．理由如下：如图，分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，则MN ∥BE ，又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ，∴MN ∥平面BEA ，依题意有△ABE ，△BCE ，△ECD 均为边长为2的正三角形，∴MD ⊥CE ， 又平面ECD ⊥平面BCE ，则MD ∥平面BEA ， ∴平面NMD ∥平面BEA ，∴点G 的轨迹是直线MN ．(2)如图，以点M 为坐标原点，MB 为x 轴，MC 为y 轴，MD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则E (0，－1,0)，D (0,0，3)，A ⎝⎛⎭⎫32，－12，3，∴EA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，3，ED →＝(0,1，3)，设平面AED 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·ED→＝y ＋3z ＝0，n ·EA →＝32x ＋12y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)， 取平面BCE 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－55，∴平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为55． 【学以致用】1．C [当二面角A BD C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3．当二面角A BD C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]2．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，且AE ＝DE ＝32a ， 又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．] 3．D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则12×2ah 4×12ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π3．]4．23[建系如图，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，∴DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DE →＝0． 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋12z ＝0，令x ＝1，得y ＝－12，z ＝－1．∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－1， 又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,1)．则cos 〈n ，DD 1→〉＝|n ·DD 1→||n ||DD 1→|＝23．]5．[解] 如图在三棱锥P ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴P 在底△ABC 的射影D 是△ABC 的外心， 即斜边AB 的中点D 是P 在底△ABC 的射影， 作DE ⊥AC ，交AC 于点E ，连接PE ， 则∠PED 是所求的二面角的平面角，由题意得DE ＝4，PE ＝8，cos ∠PED ＝DE PE ＝12，∴∠PED ＝60°，∴二面角P AC B 的大小为60°．。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的定义和性质；2. 通过实例理解二面角的概念；3. 掌握二面角的计算方法。
二、教学重点1. 二面角的定义和性质；2. 二面角的计算方法。
三、教学难点1. 理解二面角的概念；2. 运用二面角的计算方法。
四、教学准备1. 教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：课本、笔记本。
五、教学过程步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过提问和引入相关实例，激发学生对二面角的兴趣；2. 引导学生回顾并复习已学过的角的概念和性质。
步骤二：讲解二面角的定义和性质（15分钟）1. 教师通过投影仪展示二面角的定义和性质的PPT，引导学生理解二面角的概念；2. 教师通过示意图和实例，让学生感受二面角的特点和性质；3. 教师提问，引导学生积极思考和参与讨论，加深对二面角的理解。
步骤三：讲解二面角的计算方法（20分钟）1. 教师通过投影仪展示二面角计算方法的PPT，详细讲解二面角的计算步骤；2. 教师通过示例演示，引导学生掌握二面角计算的技巧；3. 教师布置练习题，让学生进行实践操作，巩固二面角计算方法。
步骤四：巩固练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题，教师巡回指导并及时纠正错误；2. 学生互相交流答案，共同讨论解题思路。
步骤五：拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生运用二面角的知识，解决实际问题；2. 学生展示拓展应用的结果，教师进行点评和总结。
六、教学反思本节课通过引入实例和讲解，帮助学生理解了二面角的概念和性质，掌握了二面角的计算方法。
在教学过程中，学生积极参与讨论和练习，提高了学习兴趣和主动性。
但是，部分学生在练习过程中出现了一些错误，需要在后续的教学中加强巩固和训练。
高中数学必修2《二面角》教案
◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：(1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的概念，并能够准确地辨认和描述二面角；2. 掌握计算二面角的方法，包括角度的加减法和倍数关系；3. 运用二面角的概念和计算方法解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二面角的概念和计算方法；2. 教学难点：二面角的应用和解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、白板、投影仪、计算器；2. 教学材料：教科书、练习册、课件。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过投影仪展示一张图片，上面有两条平行线和一条横穿两条平行线的直线。
引导学生观察并思考：直线与平行线相交时，形成了什么样的角度？引导学生回答，直线与平行线相交时，形成的角度称为二面角。
2. 概念讲解（10分钟）通过黑板和课件，对二面角的概念进行详细讲解。
强调二面角是由两条平行线和一条直线相交所形成的角度，同时指出二面角的度数范围为0°～180°。
3. 计算方法（15分钟）根据教科书上的例题，逐步引导学生掌握计算二面角的方法。
首先，介绍角度的加减法。
通过示意图，展示两个二面角相加或相减的情况，并解释计算过程。
然后，介绍角度的倍数关系。
通过示意图，展示一个二面角的倍数关系，并引导学生计算相应的角度。
4. 练习与巩固（20分钟）分发练习册，让学生进行练习。
练习内容包括计算二面角的加减法和倍数关系，以及解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题，并对学生的答案进行讲评。
5. 拓展应用（10分钟）通过课件，呈现一些实际问题，引导学生应用二面角的概念和计算方法解决问题。
例如，两条平行线的夹角为60°，求二面角的度数等。
教师引导学生思考解决问题的方法，并进行讲解。
6. 总结与反思（5分钟）对本节课的内容进行总结，并鼓励学生对自己的学习进行反思。
同时，布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。
五、板书设计黑板上书写以下内容：二面角的概念：由两条平行线和一条直线相交所形成的角度。
《二面角的概念》说课稿
《二面角的概念》说课稿一、说教材二面角的概念是普通高中课程标准人教A版数学必修2第2章第3节两个平面垂直的判定中的内容。
它是在学生学习了异面直线所称的角、直线与平面所成的角之后，有一个要学习的空间角，而二面角的本质特征时候从度量的角度，通过二面角的平面角揭示了平面与平面的位置关系(垂直关系是其中的一种特殊关系)，它是为以后从度量角研究面与面的非垂直关系奠定了基础，因此二面角的内容在教材中起到了一个承上启下的作用，同时，通过本节课的学习，学生的空间想象能力和逻辑思维能力进一步得到提升。
二、说学情高一学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，针对学生主观能动性强，思维活跃的特点，我在授课中主要以问题为纽带引导学生发现问题—类比联想—解决问题。
三、说教学目标(一)知识与技能能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。
(二)过程与方法利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。
(三)情感态度与价值观营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。
四、说教学重难点(一)重点“二面角”和“二面角的平面角”的概念。
(二)难点“二面角的平面角”概念的形成过程。
五、说教学方法数学是一门培养人思维，发展人思维的重要学科。
因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。
所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。
因此本节课我以建构主义的“创设问题情境—提出数学问题—尝试解决问题—验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。
在教学手段上，则采用多媒体与模型相结合，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。
六、说教学过程(一)新课导入首先我会用多媒体课件展示生活中的一些模型，请学生观察：1.打开书本的过程;2.发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度;3.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度; 引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系。
“二面角”教学设计
“二面角”教学设计第一篇：“二面角”教学设计“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
《二面角》 导学案
《二面角》导学案一、学习目标1、理解二面角的概念，能在空间图形中找出二面角。
2、掌握二面角的平面角的定义和求法。
3、能够运用二面角的知识解决简单的空间几何问题。
二、学习重难点1、重点（1）二面角的概念。
（2）二面角的平面角的定义和求法。
2、难点（1）二面角平面角的找法和计算。
（2）空间问题向平面问题的转化。
三、知识链接1、直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
2、空间中直线与直线所成的角。
四、学习过程（一）二面角的概念1、观察生活中的实例，比如打开的书本、打开的门等，思考这些物体所形成的“角”与平面几何中的角有什么不同？2、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
3、二面角的表示方法（1）以直线 AB 为棱，α、β为半平面的二面角记为二面角α AB β。
（2）以直线 l 为棱，α、β为半平面的二面角记为二面角α l β。
（3）以平面 AOB 为棱，α、β为半平面的二面角记为二面角αAOB β。
（二）二面角的平面角1、定义：在二面角α l β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
2、二面角平面角的范围：0°≤∠AOB≤180°3、直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
（三）二面角的求法1、定义法在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角。
例 1：如图，在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求二面角 A BD C₁的大小。
解：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OC₁。
因为正方体的棱长相等，所以 AC⊥BD，CO⊥BD。
又因为 CO₁⊥BD，所以∠COC₁为二面角 A BD C₁的平面角。
设正方体的棱长为 a，则 CO ＝₂√₂a ，C₁O ＝₂√₂a ，C₁C ＝ a。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的概念，并能够正确辨认二面角；2. 掌握二面角的性质和计算方法；3. 运用二面角的知识解决实际问题。
二、教学重点1. 二面角的定义和性质；2. 二面角的计算方法。
三、教学难点1. 理解二面角的概念和性质；2. 运用二面角的知识解决实际问题。
四、教学准备1. 教学课件；2. 板书工具；3. 二面角的实物或者图片。
五、教学过程1. 导入（5分钟）教师出示一张包含二面角的图片或者实物，引起学生的兴趣，并提问：“你们知道这是什么图形吗？它有什么特点？”学生回答后，教师引导学生思量二面角的概念。
2. 概念讲解（10分钟）教师通过课件和板书，向学生介绍二面角的定义：“二面角是指两个平面之间的夹角，其中一个平面为固定平面，另一个平面可以绕着固定平面旋转，形成的夹角即为二面角。
”教师通过示意图和实物演示，匡助学生理解二面角的概念，并引导学生发现二面角的性质：“二面角的度数是一个锐角，且其度数范围为0°到180°。
”3. 性质讲解（15分钟）教师通过课件和板书，向学生介绍二面角的性质：性质1：二面角的度数与其对应的弧度数相等；性质2：二面角的度数与其对应的角度数的和等于180°。
教师通过具体的例子，引导学生理解和运用这些性质。
4. 计算方法（15分钟）教师通过课件和板书，向学生介绍二面角的计算方法：方法1：已知二面角的度数，求其对应的弧度数：二面角的弧度数 = 二面角的度数× π / 180；方法2：已知二面角的弧度数，求其对应的度数：二面角的度数 = 二面角的弧度数× 180 / π。
教师通过具体的例子，引导学生掌握和运用这些计算方法。
5. 实践练习（15分钟）教师提供一些二面角的计算题目，让学生进行个别或者小组练习，并在课堂上进行讲解和讨论。
6. 拓展应用（10分钟）教师提供一些实际问题，让学生运用二面角的知识解决，并引导学生思量二面角在实际生活中的应用。
《二面角的概念》教案
《二面角的概念》教案《二面角的概念》教案一、教学目标【知识与技能】能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。
【过程与方法】利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。
【情感态度与价值观】营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。
二、教学重、难点【重点】“二面角”和“二面角的平面角”的概念。
【难点】“二面角的平面角”概念的形成过程。
三、教学过程(一)创设情境，导入新课请学生观察生活中的一些模型，多媒体展示以下一系列动画如：1.打开书本的过程;2.发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度;3.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度;引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系，引出课题。
(二)师生互动，探索新知学生阅读教材，同桌互相讨论，教师引导学生对比平面角得出二面角的概念平面角：平面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形。
二面角定义：从一条直线出发的两个半面所组成的图形，叫作二面角。
这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。
(动画演示)(2)二面角的表示(3)二面角的画法(PPT演示)教师提问：一般地说，量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角)那么，如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?教师引导学生将空间角化为平面角.教师总结：(1)二面角的平面角的定义定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.“二面角的平面角”的定义三个主要特征：点在棱上、线在面内、与棱垂直(动画演示)大小：二面角的大小可以用它的平面角的大小来表示。
二面角观摩课教案
二面角观摩课教案一、教学目标1. 让学生了解二面角的定义及其性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何图形的认识和空间想象能力。
二、教学内容1. 二面角的定义2. 二面角的性质3. 二面角的计算4. 二面角在实际问题中的应用5. 练习与拓展三、教学重点与难点1. 重点：二面角的定义、性质及其计算。
2. 难点：二面角在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究二面角的性质。
2. 利用几何模型，直观展示二面角的特点。
3. 运用案例分析法，让学生学会将二面角应用于实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：利用生活中的实例，引导学生关注二面角。
2. 新课导入：介绍二面角的定义，引导学生理解二面角的概念。
3. 性质探讨：通过几何模型，展示二面角的性质，引导学生发现并证明二面角的性质。
4. 计算方法：讲解二面角的计算方法，让学生学会计算二面角。
5. 实际应用：分析实际问题，引导学生运用二面角知识解决问题。
6. 练习与拓展：布置相关练习题，巩固所学知识，拓展学生思维。
7. 总结：对本节课内容进行总结，强调二面角的重要性和应用价值。
8. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训，不断提高教学质量。
六、教学评价1. 评价目标：学生能准确理解二面角的定义和性质。
学生能够运用二面角的知识解决相关问题。
学生能够通过实例展示二面角在现实生活中的应用。
2. 评价方法：课堂提问：通过提问检查学生对二面角基本概念的理解。
练习题：通过完成练习题评估学生对二面角计算和应用的掌握程度。
小组讨论：通过小组内的讨论评估学生的合作学习和问题解决能力。
七、教学资源1. 教具准备：二面角模型：用于直观展示二面角的结构。
投影仪：用于展示几何图形的动态变化。
练习题库：用于课后练习和评估。
2. 教学材料：教案手册：提供详细的授课步骤和练习题。
二面角教案
二面角教案安岳中学王小琴教学目标：知识目标：使学生掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义、作法、求法以及这些知识的初步应用。
能力目标：①进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的转化思想；②培养学生的空间想象力、逻辑思维能力、知识迁移能力，并运用数学知识、数学方法解决生活中的问题；德育目标：①让学生认识到数学来源于实践，又作用于实践，从而增强学生应用数学的意识；②通过对线线、线面、面面之间的内在联系的揭示，进一步培养学生辩证唯物主义观；情感目标：在平等的教学氛围中，通过师生互动，拉近了师生间的情感距离；教学重点和难点：教学重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念；教学难点：“二面角的平面角”概念形成的过程及作法．教学方法：1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现授课类型：新知课课时：一课时教具准备：三角板，纸板，彩色粉笔教学手段：多媒体辅助教学教学过程I.课题导入同学们，刚才我们一起欣赏了埃及金字塔风光，对其有了一定的了解，下面我们再一起从数学的角度来欣赏这些金字塔。
（启发学生观察构成这些金字塔的面与面之间的关系），构成金字塔的任意两个面都是相交的，如何定量研究两个相交平面的相对位置关系呢？这就是我们这一节课共同探讨的问题——二面角（板书课题）II讲授新课一．二面角的定义请同学们看我手中的纸板，现在我在上面画一条直线，则这条直线将纸板所在的平面分成两个半平面，然后将纸板沿着这条直线折起，得到的图形就是一个二面角，引出二面角的定义。
（教师板书二面角的定义并打开课件，学生在书上勾出二面角的定义并看课件）教师：在现实生活中，二面角的实例非常多，请同学们举出一些二面角的实例。
二：二面角的画法及表示：请同学们画出下面几个常见的二面角:(多媒体展示二面角的模型,这些二面角是不同方位不同角的的二面角，第一个由教师引导学生一起画，画好后给出其表示方法，后两个请两个同学来画在黑板上，其余同学在草稿纸上完成，画好后老师给予评价，最后教师再用多媒体展示画好的图形)三：二面角的平面角1.揭示概念产生背景让学生观察把书慢慢翻看的过程，得到很多二面角，教师问学生这些二面角有什么不同，引导学生观察发现二面角的倾斜程度不同，即大小不一样。
二面角教案
于海玲
课题
二面角
课型
新课
指导教师
郑贵文
教
学
目
标
知识目标
使学生正确理解和掌握“二面角”，“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题。
能力目标
1、通过概念教学提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想。
2、通过图形结构分析掌握作图方法，提高空间想象能力。
德育目标
通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面等实例到二面角，使学生认识到数学知识来自实践并服务于实践，从而增强学生的应用意识。
1、略
2、略
3、略
由学生归纳总结，培养学生的逻辑思维能力。
小结
总结本节课收获
引导学生小结，渗透德育教育。
作业
[创新作业]略
三垂线定理逆定理法适当点拨
板书设计
二面角
一、二面角的定义
二、二面角的表示方法
三、二面角的平面角
四、二面角的平面角的作法
五、求二面角大小的步骤
教学重点
二面角和二面角的平面角
教学难点
求作二面角的平面角
教学方法
观察发现、启发引导、探索相结合
教具
多媒体投影仪和传统教具
教学程序
教学过程
方法设计
导入课题
实例1、2、3、4
由生活实例导入，激发学生学习数学的兴趣
观察
发现
得出
的表示方法
三、二面角的平面角定义
通过对模型、教具、实例的观察分析，培养空间想象能力；动手做模型，培养学生积极探索发现知识的能力。
练习
1、生活实例
2、略
巩固新知并归纳出作二面角平面角方法
分析归纳
四、二面角的平面角的作法
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《二面角的概念》教案
一、教学目标
【知识与技能】
能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。
【过程与方法】
利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。
【情感态度与价值观】
营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。
二、教学重、难点
【重点】
“二面角”和“二面角的平面角”的概念。
【难点】
“二面角的平面角”概念的形成过程。
三、教学过程
创设情境，导入新课
请学生观察生活中的一些模型，多媒体展示以下一系列动画如：
.打开书本的过程;
2.发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度;
3.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度;
引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系，引出课题。
师生互动，探索新知
学生阅读教材，同桌互相讨论，教师引导学生对比平面角得出二面角的概念
平面角：平面角是从平面内一点出发的两条射线所组成的图形。
二面角定义：从一条直线出发的两个半面所组成的图形，叫作二面角。
这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。
二面角的表示
二面角的画法
教师提问：一般地说，量角器只能测量“平面角”那么，如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?教师引导学生将空间角化为平面角.
教师总结：
二面角的平面角的定义
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分
别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
“二面角的平面角”的定义三个主要特征：点在棱上、线在面内、与棱垂直
大小：二面角的大小可以用它的平面角的大小来表示。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的平面角的作法
①点P在棱上—定义法
②点P在一个半平面上—三垂线定理法
③点P在二面角内—垂面法
生生互动，巩固提高
生生互动，巩固提高
.判断下列命题的真假：
两个相交平面组成的图形叫做二面角。
角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角。
二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱。
2.作出一下面PAc和面ABc的平面角。
课堂小结，布置作业
小结：通过本节课的学习，你学到了什么?
作业：以正方体为模型请找出一个所成角度为四十五度的二面角，并证明。