自成像与莫尔条纹理解光的相位改变

1 x xo 2 1 y yo 2 r z 2 ( x xo )2 ( y yo )2 1 ( ) ( ) 。 将 r 代入有： 2 2 2 2
h( x xo , y yo )
1 j z
e e
jk ( x xo )2 ( y yo )2 jkz 2 z
1 1 T ( x )T 1cos 21x 1cos 22 x 1 x T2 x 2 2
1 1 =1 1 cos 21 x cos 22 x cos 2 1 2 x cos 2 1 2 x 4 2 2
图 角谱基本原理图
在孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多沿不同方向传播的单色平面波 的线性组合。每一平面波分量的相对振幅和位相取决于相应的角谱分量，通过寻找出射 面角谱和观察面角谱之间的关系就可以知道每一平面波分量在传播过程中振幅和相位 的变化，进而可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。 设单色光场某一平面 x y 上的复振幅分布为 u ( x, y) ， 其中 (cos ,cos ,cos ) 为它 的方向余弦，利用傅立叶变换对 u ( x, y) 进行傅立叶分析。 有：
u ( p) c u ( po )k ( ) e
ikr
r
ds ，如图 2-1，其中Σ 为光波的一个波面，u ( po ) 为波面上任一
uuuu r 点 po 的复振幅； u ( p) 为光场中任意一观察点 p 的复振幅；r 为 p 到 po 的距离； 为 p o p
和过 po 点的光波面法线 n 的夹角； 倾斜因子 k ( ) 表示子波源 po 对 p 的作用与角度 有关；

u( x , y )h( x x , y y )dx dy ，
o o o o o o
1 j r
e jkr 。通常假定观察平面和孔径平面之间的距离 z 远远大于
孔径 以及观察区域的最大线度，即傍轴近似。这时上式分母中的 r 可以用 z 来近似， 但是因为 k 值很大， 为避免产生更大的位相误差， 复指数中的 r 必须作更为精确的近似：
' 2 观察平面上得到场分布的频谱为 G ( f x )G ( f x ) H ( f x ) cn f x d exp j zf x exp jkz n n




频率取值是离散的，根据 的函数与普通函数乘积的性质，上式可以改写为如下：


df xdf y Ao( f x , f y )exp q exp j 2 ( f x x, f y y ) df xdf y u ( x, y ) A( f x , f y )exp j 2 ( f x , f y ) x y = 。 （1-4）
自成像与莫尔条纹理解光的相位改变
自成像效应原理
惠更斯-菲涅尔原理与菲涅尔衍射 惠更斯在说明光波在空间各点逐步传播的机理时，提出了波面上每一点都可以看作 一个发出球面子波的次级扰动中心，后一时刻的子波包络面形成新的波前的理论，在此 基础上，菲涅尔基于光的干涉原理，考虑到惠更斯子波的相干性，即波前外任一点的光 振动是波面上所有子波在该点的相干叠加的结果，完善了子波相干叠加思想也就是惠更 斯-菲涅尔原理。 对于真空中传播的单色光波， 惠更斯-菲涅尔原理的数学表达式为如下；
。由此可见菲涅尔近似的物理实质是用二次曲
面代替球面的惠更斯子波，通过迭代可得出菲涅尔衍射公式：
u ( x, y )
1 j z

e jkz


2z u( xo, yo )e
jk 2 2 ( x xo ) ( y yo )
dxodyo
（1-1 ）
T1 ( x)
1 1 和 2 = 。 其 透 射 率 可 以 记 为 d1 d2
1 1 1 cos 21 x 1 cos 22 x ； T2 ( x) 。当用单位强度的平面光波照射这 2 2
样两块重叠的光栅时，其透射的强度为：

1 1 1 2 m1 m2 cos 2 m1 m2 1 cos 2 m1 cos 2 m2 cos 4 2 2
（1-5 ）
式中， m1 m2 对应的条纹叫称为和条纹， m1 m2 项所对应的条纹称为等差条纹，令
对于一维的周期性物体，其复振幅透过率为 g ( x)
n
c
n
n
exp( j 2
n x) n 0, 1, 2,L ， d
式中 d 为周期。当采用振幅平面波垂直照射时，紧靠物体后的光场分布即为 g ( x) 。它可
n 以看作是频率取离散值 , 0 的无穷多平面波分量的线性叠加。cn 表示各平面波分量的 d
2 2 为 g ( x ) g ( x )exp jkz ， 强 度 分 布 则 与 物 体 相 同 I ( x) g ' ( x) g ( x) 因 而 在
'
zk
2d 2

的整数倍距离上，可以观察到物体的像。 zk 亦称为 Talbot 距离。
莫尔条纹原理与应用
在生活中都有过这样的经验，当两扇纱窗重叠时会产生亮暗相间的光线扰动，类 似的体育场围栏网格，薄布也会发生这种现象，一般的，具有空间周期性的网点图像重 合或者扫描记录网点图像时，在原有图像所含有的周期性成分和扫描周期性因素之间产 生干涉，呈现原来图像中看不到的新的低空间频率的衍射条纹，就称为莫尔条纹。同样 通过的两枚光栅交叠与自成像效应也会产生莫尔条纹。 莫尔条纹的形成 在这节中讨论两块一位的余弦光栅相叠合的情况，假设两块光栅在 x 方向上的周期 分 别 为 d1 , d 2 。 其 空 间 频 率 为 1
的频谱，当其用方向余弦表示时， A(
cos cos , ) 因为与方向角 , 有关又称其为


u ( x, y) 的角谱。承上述通过解亥姆霍兹方程 (2 k 2 )u( x, y) 0 可得出以下式子：
A( cos cos cos cos , ) Ao( , )exp( jkz 1cos 2 cos 2 )
T ( x) T1 x T2 x 1 1 ， T2 ( x) 1 cos 2 m1 1 cos 2 m2 ，同样的有： 2 2
1 1 1 cos 2 m1 1 cos 2 m2 2 2
p m1 m2 , q m1 m2 。虽然 m1 和 m2 各自变化，只要 p 或 q 不变，则等和条纹或等差条
纹就具有相同的序数。若两块光栅的周期相同，即 d1 = d 2 d 或 1 2 如图 4-1 刻线方向以 y 轴对称放置，当 y 轴的夹角分别为 , 时，这样两块光栅的透射率可记 为： T1 ( x, y )
相对振幅和位相分布。讨论与物体相距 z 的观察平面上的光场分布，这是一个菲涅尔衍 射的问题，从频域分析，物场分布的空间瓶谱为 G( f x )
n
f c
n
百度文库


x

n ，各平面波分量 d
2 传播过程中仅产生相移， 由菲涅尔衍射的传递函数， 可写为 H f x exp j zf x exp jkz
1 1 x cos y sin x cos y sin 1 cos ，T2 ( x, y) 1 cos ，两块 2 d 2 d
2 n n G' ( f x ) cn f x exp j z e jkz ，对于频率为 n , 0 的平面波分量，在 d d n d
2 n 2md 2 exp j z exp jkz 观察平面仅引入相移 ， 若距离 z 满足条件 z ， d n j z exp m 1, 2,3,L 则有 d 2 1 ，不同频率 n , 0 成分在观察平面上引入 d

u ( x, y )

A( f , f
x
y
)e
2 j ( f x x , f y y )
df x df y
（1-2）
复振幅分布 u ( x, y) 可分解为频率不同的复指数分量的线性组合。各频率分量的权重因子
A ( f , f ) 为频谱 A( f x , f y ) 即 x y u ( x, y )exp 2 j ( f x x, f y y ) dxdy ，其中 exp 2 j ( f x x, f y y ) 代表 一个沿 cos f x , cos f y 所确定方向传播的单位振幅平面波，其中 A( f x , f y ) 为 u ( x, y)
（1-4）
式中：第一项是均匀的透过率；第二，三项保持了原有的两块光栅的周期结构；第四项 是和频项，其空间频率是相叠合的两块光栅空间频率之和；第五项是差频项，其空间频 率是相叠合的两块光栅空间频率之差，在大多数的应用中，相叠合的两块光栅具有较接 近或相同的空间频率，所以在上述各项中，第二，三，四项具有较高的空间频率，而第 五项具有明显较低的空间频率，通过采用空间频域滤波或空间域卷积的办法，很容易将 差频从其它各项中分离出来，而差频项通常携带了人们所感兴趣的信息。 如果用 m1 和 m2 表示相叠合的两块光栅线条的序数，有 m1 1 x ， m2 2 x ，则代 入上述公式有 T1 ( x)
图 孔径平面与观察面衍射分析示意图
自成像效应的衍射理论解释与现象 在上述描述中所采取的是基于基尔霍夫衍射理论的球面波理论。承上节，本节中 讨论的是基于角谱原理的平面波理论。对任意一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的 二维傅立叶变换，可求得其频谱分布。由于各个不同空间频率的空间傅立叶分量可看作 是沿不同方向传播的平面波，此时，空间频谱称为平面波谱即复振幅分布的角谱。如图 2-3:
（1-3）
上式说明观察平面上的角谱等于孔径平面上的角谱与某一相位因子的乘积，即角谱由孔 径平面传播到距离为 z 的观察平面，要经过一个相移 qexp( jkz 1cos 2 cos 2 ) 。通过对观 察面角谱 A(
cos cos , ) 作傅立叶逆变换， 就可以求得观察面上衍射场的复振幅。 如下：
c 为常数。
图 惠更斯原理基本示意图
在实际的衍射观测中具体可分为两种类型；菲涅尔衍射和夫琅和费衍射，即通常理解的 近场衍射和远场衍射，自成像效应是应用于菲涅尔近场衍射原理的，因此着重讨论菲涅 尔衍射如图 2-2 观察平面上复振幅分布为： u ( x, y) 其中有 h( x xo , y yo )
的 相 移 除 一 个 常 数 因 子 外 ， 都 是 2 的 整 数 倍 。 在 这 一 特 殊 情 况 下 ，
n G' ( f x ) cn f x e jkz G ( f x )exp jkz ，作傅立叶逆变换得到观察平面的光场复振幅分布 d n