2007年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、若2)2(lim

=→x x f x ，则=∞→)21

(lim x

xf x （ ）

A 、

4

1 B 、2

1

C 、2

D 、4

2、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x n sin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为 （ ） A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

4、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=⎰dx x f

)2('

（ ）

A 、C x +4cos

B 、

C x +4cos 2

1

C 、C x +4cos 2

D 、C x +4sin

5、设dt t x f x ⎰

=

2

1

2sin )(，则=)('x f （ ）

A 、4

sin x B 、2

sin 2x x C 、2

cos 2x x D 、4

sin 2x x 6

、

下

列

级

数

收

敛

的

是

（ ）

A 、∑∞

=122n n

n

B 、

∑

∞

=+1

1

n n n

C 、∑∞

=-+1

)1(1n n

n

D 、

∑

∞

=-1

)1(n n

n

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、设函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+=0

2

0)

1()(1

x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k

8、若直线m x y +=5是曲线232

++=x x y 的一条切线，则常数=m

9、定积分

dx x x x )cos 1(432

2

2+-⎰

-的值为

10、已知→

a ，→

b 均为单位向量，且2

1

=⋅→

→b a ，则以向量→→⋅b a 为邻边的平行四边形的面积为

11、设y

x

z =

，则全微分=dz 12、设x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、求极限x

x x e x x tan 1

lim 0--→.

14、设函数)(x y y =由方程xy e e y

x

=-确定，求0=x dx dy 、0

2

2=x dx y

d . 15、求不定积分dx

e x x

⎰

-2.

16、计算定积分

dx x

x ⎰

-12

22

2

1. 17、设),32(xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

∂∂∂2.

18、求微分方程2

'

2007x y xy =-满足初始条件20081

==x y 的特解.

19、求过点)3,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=++-=+++0

120

2z y x z y x 的平面方程.

20、计算二重积分

dxdy y x D

⎰⎰

+22，其中{}

0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21、设平面图形由曲线2

1x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成.

（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；

（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分. 22、设函数9)(2

3

-++=cx bx ax x f 具有如下性质： （1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；

（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ，b ，c 的值.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、设0>>a b ，证明：

dx x f e e dx e x f dy b

a

a x x b

y

y x b

a

⎰⎰⎰

++-=)()()(232.

24、求证：当0>x 时，2

2)1(ln )1(-≥-x x x .

2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

1、B

2、C

3、C

4、A

5、D

6、D

7、2ln

8、1

9、π2 10、2

3

11、

dy y

x

dx y 21- 12、06'5''=+-y y y 13、解：21

2lim 21lim 1lim tan 1lim

002

00==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解：方程xy e e y

x

=-，两边对x 求导数得''xy y y e e y

x

+=⋅-，故x

e y

e y dx dy y x +-=='. 又当0=x 时，0=y ，故10==x dx dy 、20

22-==x dx y

d .

15、解：)(22)(2222x

x x x x x e d x e x dx xe e x e d x dx e x ------⎰

⎰⎰⎰--=+-=-=

C e xe e x x x x +---=---222.

16、解：令t x sin =，则

41sin cos 124

2212

222ππ

π-==-⎰⎰

dt t t dx x x . 17、解：'2'12yf f x z +=∂∂，)3()3(2'

'22''21'2''12''112x f f y f x f f y

x z ⋅+⋅++⋅+⋅=∂∂∂ '2''22''12''11)32(6f xyf f y x f ++++=