2007年江苏专转本高等数学真题(附答案)
江苏省2007年普通高校单独招生统一考试数学试卷
绝密★启用前江苏省2007年普通高校单独招生统一考试试卷数学第I 卷（共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知全集{},,,,,U a b c d e = 集合{},,M b c = {},,U N c d =ð 则()U M Nð等于 （ ） A.{}e B. {},,b c d C. {},,a c e D. {},a e2. 已知函数()f x 的定义域为，则“()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ ）A. 充要条件B. 必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知4sin ,5α= 且tan 0,α< 则cot α= （ ）A ．43-B. 34-C. 43D. 344. 若函数2()2(1)2f x x a x =+++在(,2)-∞上是减函数，则a的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞- B. [1,)+∞ C. [3,)-+∞ D. (,1]-∞5. 设2()log (1),f x x =+ 则1(2)f -= （ ）A ．2log 3 B. 3 C. 2 D. 3log 26. 若向量(4,3),a=- 则下列向量中与a 垂直的单位向量是 （ ）A ．(3,4)- B. (3,4) C. 34(,)55D. 34(,)55-7. 如果θ是锐角，1sin(),2πθ+=- 则cos()πθ-= （ ）A ．12-B. 12C. 2D. 2-8. 对于直线,,a b c 及平面α，具备以下哪一条件时，有a b （ ）A ．a α⊥且b α⊥ B. a c ⊥且b c ⊥C.a α 且b α D. ,a b 与α所成的角相等9. 已知某离散型随机变量1(5,),3X B 则(3)P X =等于 （ ）A ．40243 B. 20243 C. 5243 D. 124310. 直线7tan05x y π-=的倾斜角是 （ ） A ．25π-B.25π C.75π D.35π11. 抛物线22y x =的焦点坐标是 （ ）A.(1,0) B. 1(,0)2 C. 1(0,)4 D. 1(0,)812. 与圆C ：22(5)3xy ++=相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 （ ）A ．2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条第II 卷（共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上） 13.函数y =的定义域为 （用区间表示）.14. 复数2(12)i -的共轭复数是 .15. 已知函数()y f x =的周期是2，则1(3)2y f x =+的周期为 .16. 已知1sin cos ,2x x += 则sin2x = .17. 五个人排成一排，甲不站在排头且乙不站在排尾的排法有 种（用数字作答）.18. 双曲线2216436x y -=上一点P 到左焦点的距离为20，则点P 到右准线的距离等于 .三、解答题（本大题共7题，共78分）19.（本题满分9分）解不等式2 1.1xx+≤-20.（本题满分9分）已知三角形ABC 的三边长分别为a b 、、c ，且它的面积222S =求角C的大小.21.（本题满分14分）一个口袋中装有3个红球，2个白球. 甲、乙两人分别从中任取一个球（取后不放回）. 如果甲先取、乙后取，试问：（1）甲取到白球且乙取到红球的概率是多少？ （2）甲取到红球且乙取到红球的概率是多少？ （3）甲、乙两人谁取到红球的概率大？并说明理由.22．（本题满分14分）随着人们生活水平的不断提高，私家车也越来越普及.某人购买了一辆价值15万元的汽车，每年应交保险费、养路费及消耗汽油费合计12000元，汽车的维修费为：第一年3000元，第二年6000元，第三年9000元，依此逐年递增（成等差数列）. 若以汽车的年平均费用最低报废最为合算. （1）求汽车使用n 年时，年平均费用n y （万元）的表达式；（2）问这种汽车使用多少年报废最为合算？此时，年平均费用为多少？ 23.（本题满分12分）如图，在棱长为a的正方体1111ABCD A B C D -中，点E是AD的中点.（1）求三棱锥1B AED -的体积；（2）求1BD 与平面1AD E所成的角（用反三角函数表示）；（3）求点A到平面1BED 的距离.24.（本题满分14分）已知三点12(5,2),(6,0),(6,0).P F F -（1）求以1F 、2F 为焦点，且过点P的椭圆1C 的标准方程；（2）设P 、1F 和2F 关于直线y x=的对称点分别为P '、1F '和2F '，求以1F '、2F '为焦点，且过点P '的双曲线2C 的标准方程；（3）求椭圆1C 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.25.（本题满分6分）已知()sin(2).3f x x π=-（1）请写出函数()y f x =图象的一条对称轴的方程；（2）若函数()()g x A f x B =+有最小值3,- 请写出满足此条件的一组,A B的值.绝密★启用前江苏省2007年普通高校单独招生统一考试《数学》试卷参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13.[4,1]- 14. 34i -+ 15. 4 16. 34-17. 78 18. 165或1445三、解答题19. 解：原不等式可化为210,1x x +-≤- 即120,1xx+≤- ………...………….……3分 由此得(12)(1)0,10.x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ 解得12x ≤-或1,x > ………..……………5分所以，原不等式的解集为11.2x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或 …………….………...1分 20. 解：在三角形ABC 中，2222cos ,ab c ab C +-= …………….…………..….2分又由于2221sin 2S ab C == ……………………….……..3分所以，1sin 2cos ,2ab C ab C = 所以s i n c o s .C C =因为c o s 0,C ≠ 所以t a n ,C =由于0,C π<< 所以.6C π= …………………………...4分21. 解：（1）记事件A 表示“甲取到白球且乙取到红球”，则112311543().10C C P A C C ⋅==⋅ ……………………….…………..4分（2）记事件B表示“甲取到红球且乙取到红球”，则113211543().10C C P B C C ⋅==⋅ ………………………….…………4分（3）甲取到红球的概率为13153,5C C = ……………………………………..2分 乙取到红球的概率为333()(),10105P A P B +=+= ………….…...3分 所以，甲、乙两人取到红球的概率相同. …………………………………...1分 22. 解：（1）根据题意，可得1[15 1.2(0.30.60.3)]10.3(1)15[15 1.2]0.15 1.352n y n n n n n n n n n=+⨯++++⨯⨯+=++=++ （万元）…….….7分 （2）150.15 1.35 1.35 4.35,n y n n =++≥= 当且仅当150.15,n n=⨯ 即10n =时，等号成立。
江苏省2007年专转本高等数学试卷及解答
= ( − cot t − t ) π = 1 − ． 4 4
2
π
π
∂2 z 17．设 z = f (2 x + 3 y , xy ) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 ． ∂x∂y
解 设 u = 2 x + 3 y , v = xy ，则 z = f (u , v) ．于是
∂2 z ∂ ′′ ′′ ′′ ′′ = (2 f1′ + yf 2′ ) = 6 f11 + 2 xf12 + f 2′ + 3 yf 21 + xyf 22 ∂x∂y ∂y = 6 f ′′ + (2 x + 3 y ) f ′′ + xyf ′′ + f ′ ．
江苏省2007年专转本高等数学试卷及解答
一、单项选择题 （本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1．若 lim
f (2 x) 1 = 2 ，则 lim xf 等于 x →0 x →∞ x 2x 1 1 C ．2 A． B． D ．4 4 2
（ B）
2．已知当 x → 0 时， x 2 ln(1 + x 2 ) 是 sin n x 的高阶无穷小，而 sin n x 又是1 − cos x 的高阶无穷小，则正整数 n 等于 A．1 B．2 C ．3 D ．4 （ C）
当 0 < x < 1时， F ′′′( x) < 0 ，从而 F ′′( x) 在 (0,1) 上单调减少；当 x > 1 时 ， F ′′′( x) > 0 ， 则 F ′′( x) 在 (1,+ ∞) 上 单 调 增 加 ， 因 而 有
F ′′( x) > F ′′(1) = 2 > 0 ，所以 F ′( x) 在 (0, + ∞) 上单调增加．
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
01—10年江苏专转本数学真题(附答案)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小，洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
江苏专转本数学历年真题（2007-2012）
江苏专转本数学历年真题（2007-2012）2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若，则（）A、 B、 C、 D、2、已知当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，则正整数（）A、1B、2C、3D、43、设函数，则方程的实根个数为（）A、1B、2C、3D、44、设函数的一个原函数为，则（）A、 B、 C、 D、5、设，则（）A、 B、 C、 D、6、下列级数收敛的是（）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数，在点处连续，则常数8、若直线是曲线的一条切线，则常数9、定积分的值为10、已知，均为单位向量，且，则以向量为邻边的平行四边形的面积为11、设，则全微分12、设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限.14、设函数由方程确定，求、.15、求不定积分.16、计算定积分.17、设其中具有二阶连续偏导数，求.18、求微分方程满足初始条件的特解.19、求过点且垂直于直线的平面方程.20、计算二重积分，其中.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线（）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数的值，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.22、设函数具有如下性质：（1）在点的左侧临近单调减少；（2）在点的右侧临近单调增加；（3）其图形在点的两侧凹凸性发生改变.试确定，，的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设，证明：.24、求证：当时，.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A、 B、C、 D、2、设函数可导，则下列式子中正确的是（）A、 B、C、 D、3、设函数，则等于（）A、 B、 C、 D、4、设向量，，则等于（）A、（2，5，4）B、（2，－5，－4）C、（2，5，－4）D、（－2，－5，4）5、函数在点（2，2）处的全微分为（）A、 B、 C、 D、6、微分方程的通解为（）A、 B、C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数，则其第一类间断点为 .8、设函数在点处连续，则＝ .9、已知曲线，则其拐点为 .10、设函数的导数为，且，则不定积分＝ .11、定积分的值为 .12、幂函数的收敛域为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：14、设函数由参数方程所决定，求15、求不定积分：.16、求定积分：.17、设平面经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面垂直的直线方程.18、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及所围成的平面区域.20、求微分方程的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.22、设平面图形由曲线，与直线所围成.（1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数在闭区间上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得.24、对任意实数，证明不等式：.2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、已知，则常数的取值分别为（）A、 B、 C、 D、2、已知函数，则为的A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点3、设函数在点处可导，则常数的取值范围为（）A、 B、 C、 D、4、曲线的渐近线的条数为（）A、1B、2C、3D、45、设是函数的一个原函数，则（）A、 B、 C、 D、6、设为非零常数，则数项级数（）A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性与有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知，则常数 .8、设函数，则＝ .9、已知向量，，则与的夹角为 .10、设函数由方程所确定，则＝ .11、若幂函数的收敛半径为，则常数 .12、微分方程的通解为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：14、设函数由参数方程所确定，，求.15、求不定积分：.16、求定积分：.17、求通过直线且垂直于平面的平面方程.18、计算二重积分，其中.19、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.20、求微分方程的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、已知函数，试求：（1）函数的单调区间与极值；（2）曲线的凹凸区间与拐点；（3）函数在闭区间上的最大值与最小值.22、设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中.试求：（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积.（2）求常数的值，使得的面积与的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知函数，证明函数在点处连续但不可导.24、证明：当时，.2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设当时，函数与是等价无穷小，则常数的值为 ( )A. B. C. D.2.曲线的渐近线共有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3.设函数，则函数的导数等于 ( )A. B. C. D.4.下列级数收敛的是 ( )A. B. C. D.5.二次积分交换积分次序后得 ( )A. B.C. D.6.设，则在区间内 ( )A. 函数单调增加且其图形是凹的B. 函数单调增加且其图形是凸的C. 函数单调减少且其图形是凹的D. 函数单调减少且其图形是凸的二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.8. 若，则9. 定积分的值为10. 设，若与垂直，则常数11. 设函数，则12. 幂级数的收敛域为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限14、设函数由方程所确定，求15、求不定积分16、计算定积分17、求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程。
江苏省专转本高等数学试题题型分类整理
江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（ ） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 （0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（ ）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算x →． （0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭． （0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（ ） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ． （1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭． （1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________． （1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（ ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ． （三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型． （0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（ ） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ． （0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为 ．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝ ．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？ （2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？ （3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？ （1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>，这点0x =是函数()f x 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ． 二、一元函数微分学（一） 导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（ ） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （ ） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（ ） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（ ） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ． （0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ． （1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（ ）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（ ） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ． （0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ． （0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（ ） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变． 试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 ． （0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值． （0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+． （0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤． （0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 （1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+． （1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（ ） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根． （1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+． （1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>． （1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分3x = ．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（ ）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算x ． （0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程． （0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（ ）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ． （0815）求不定积分3d 1x x x +⎰． （0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（ ）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分x ⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰． （1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰． （1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则0x ⎰的值为（ ）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分)231cos d x x x -+⎰的值为 ．（0716）计算定积分x ． （0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为 ．（0816）求定积分10d x ⎰．（0916）求定积分：210⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为 ． （1016）计算定积分40x ⎰． （1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3⎰ ． （1216）计算定积分21⎰．（1316）计算定积分20⎰（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2+∞⎰（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（ ）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（ ）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝ ．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰ ，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______． （1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=． （1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点． （四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ； （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ； （3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ． （0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ． （0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为 ． （0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（ ）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为 ． （1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为 ．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程． （0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程． （0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程． （1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程． （1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，(,)v x y =，则下列等式成立的是（ ）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu． （0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ． （0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（ ）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝ ． （0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数z =，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （ ）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成． （0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（ ）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）． （1）交换)(u F 的积分次序； （2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（ ）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分d Dx y ，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域． （0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥． （1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（ ） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域． （1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（ ）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n n u 、（2）∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是（ ） A.若（1）发散、则（2）必发散 B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（ ）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（ ）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（ ）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（ ）A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=（1305）下列级数中收敛的是（ ）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= （二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为 ．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为 ．（0519）把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为 ． （0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为 ．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-（1112）幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________． （1212）幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________． （1312）幂级数1n nn ∞=的收敛域为 ． 七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解． （0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为 ． （1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为 ． （二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（ ）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 ．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（ ）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解． （1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解． （1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰， 原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰， 将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则()500M x x =+500≤≤x ），由150070002M '=+⨯=解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=， 解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑， 收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减， 故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根； 原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ； 所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示） （2）()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ．图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式322ln )(1ln )3x x C =+=++．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程； 令y u x =，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x-=； 两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-）， 所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ．20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂． 21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=； 所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S x x x -=--=⎰； （2）224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰； 综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；。
高考卷 07 普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是A．sin2xy=B．sin2y x=C．cos4xy=D．cos4y x=2．已知全集U Z=，2{1,0,1,2},{|}A B x x x=-==，则UA C B为A．{1,2}-B．{1,0}-C．{0,1}D．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20x y-=，则它的离心率为A B C D．24．已知两条直线,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m nαα⊥⇒⊥②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m nαα⇒④//,//,m n m nαβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为A ．3B ．6C ．9D ．12 8．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏文理)含答案-推荐下载
5Байду номын сангаас
B．
2
4．已知两条直线 m, n ，两个平面 , ，给出下面四个命题：（C）
① m // n, m n
C． y cos x 4
C． {0,1}
C． 3
② // , m , n m // n
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2007年江苏省普通高校专转本统一考试高等数学参考答案
2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、2ln8、19、π2 10、2311、dy yxdx y 21- 12、06'5''=+-y y yx x x x C x x C +=2007)(，故原方程的通解为x C x y )2007(+=. 又2008)1(=y ，所以1=C ，于是所求特解为x x y )12007(+=.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下） 19、解：由题意，所求平面的法向量可取为)3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1(-=-=-⨯=→kj i n .故所求平面方程为0)3(3)2()1(2=---+-x y x ，即0532=+-+z y x .20、解：916cos 38203cos 20220222====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθπθθρρθθρρd d d d d dxdy y x DD.得于故22)1(ln )1(->-x x x ；当1≥x 时，0)1()(=≥F x F ，即11ln +-≥x x x ，又012≥-x ，故22)1(ln )1(-≥-x x x . 综上所述，当0>x 时，总有22)1(ln )1(-≥-x x x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、A3、D4、C5、A6、B7、08、39、（2，17） 10、c x x ++-21cos 11、π 12、[]2,2- 13、6233)21(lim )21(lim )2(lim ⋅∞→∞→∞→-=-=-xx x x x x x x x x ，令2xy -=，那么''223''212'22''12''1111f xy f x y f x f x f --+－＝ 19、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=100211222xx Ddy x dx dy x dx dxdy x⎰⎰=+=+=+=121212104347234124x x xdx dx x20、积分因子为.1)(2ln 22xeex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x x y dx dy =- 在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232x xy dx x dy =-化简得：.1)(2xdx y x d =-.14. （2）由题意得到等式：⎰⎰-=-122022)2()2(aadx x x dx x x化简得：⎰⎰=aadx x dx x 0122.解出a ，得到：213=a ，故.2131=a 23、令)()()(x f a x f x g -+=，那么)()2()(a f a f a g -=，).0()()0(f a f g -=由于0)0()(<g a g ，并且)(x g 在[]a ，0上连续.故存在)0(a ，∈ξ，使得0)(=ξg ，即)()(a f f +=ξξ.24、将xe 用泰勒公式展开得到：⋅⋅⋅+++=2!21!111x x e x代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322≤⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅+++-=-x x x x x e x x19，21404)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 224421022-=-=-==-⎰⎰⎰ππθθθθθθθθππd d dx x x17、已知直线的方向向量为)1,2,3(0=s ，平面的法向量为)1,1,1(0=n .由题意，所求平面的法向量可取为)1,2,1(111123)1,1,1()1,2,3(00-==⨯=⨯=kj in s n .又显然点)2,1,0(在所求平面上，故所求平面方程为0)2(1)1)(2()1(1=-+--+-z y x ，即02=+-z y x . 18、θ)(x 为1)1(-=f .（2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x ，曲线)(x f y =在]0,(-∞上是凸的，在),0[∞+上是凹的，点)1,0(为拐点.（3）由于3)1(=-f ，1)1(-=f ，19)3(=f ，故函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值为19)3(=f ，最小值为1)2()1(-=-=f f . 22、（1）420222122a dy x a a V a πππ=-⋅=⎰. )32(54)2(52222a dy x V a-==⎰ππ.（2）).8(322.32232223021a dx x A a dx x A a a -====⎰⎰由21A A =得34=a .23、证（1）因为1lim )(lim 0==-→→--xx x ex f ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，且1)0(=f ，所以函数)(x f 在0=x 处连续。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是A．sin2xy=B．sin2y x=C．cos4xy=D．cos4y x=2．已知全集U Z=，2{1,0,1,2},{|}A B x x x=-==，则UA C B为A．{1,2}-B．{1,0}-C．{0,1}D．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20x y-=，则它的离心率为A B C D．24．已知两条直线,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m nαα⊥⇒⊥②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m nαα⇒④//,//,m n m nαβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A．①③B．②④C．①④D．②③5．函数()sin([,0])f x x x xπ=-∈-的单调递增区间是A．5[,]6ππ--B．5[,]66ππ--C．[,0]3π-D．[,0]6π-6．设函数()f x定义在实数集上，它的图像关于直线1x=对称，且当1x≥时，()31xf x=-，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f << 7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为A ．3B ．6C ．9D ．128．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2007年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2007年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若，则( )A．B．C．2D．4正确答案：B解析：2．已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1—cosx 的高阶无穷小，则正整数n等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由已知，则n＜4；又sinnx是1-cosx的高阶无穷小，即，则n＞2，所以n=3，选C3．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f’(x)=0的实根个数为( ) A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由于f(x)是四次多项式，故f’(x)=0是三次方程，有3个实根．4．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则∫f’(2x)dx= ( )A．cos4x+CB．C．2cos4x+CD．sin4x+C正确答案：A解析：根据原函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=-4sin2x，f’(2x)=-4sin2x，所以∫f’(2x)dx=∫-4sin4xdx=cos4x+C5．设f(x)=∫1x2sint2dt，则f’(x)= ( )A．sinx4B．2xsinx2C．2xcosx2D．2xsinx4正确答案：D解析：利用变上限积分求导法则，f’(x)=sinx4(x2)’=2xsinx4．6．下列级数收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：选项A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度).B项用比较法通项发散．对于C，由于不存在，根据定义可知该级数发散，可排除．D项，根据莱布尼兹判别法，ab=，an≥0，an单调下降，且，收敛，故此级数条件收敛．填空题7．设函数在点x=0处连续，则常数k=_______正确答案：ln2解析：由连续的定义，所以k=ln2．8．若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m=_______正确答案：1解析：由已知，切线斜率k=y’=2x+3=5，解得x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程y=5x+m，解得m=1．9．定积分的值为_______正确答案：2π解析：根据定积分的对称性，原积分变为：【注】定积分利用定积分几何意义求，表示所围图形的面积．10．已知a，b均为单位向量，且a.b=，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为_______正确答案：解析：根据向量叉积，以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为S=｜a｜.｜b｜sinθ=a.b，由已知，｜a｜=1，｜b｜=1，a.b=｜a｜.｜b｜cosθ=，所以cos θ=，可得sinθ=，可得平行四边形面积为a.b=｜a｜.｜b｜sinθ=．11．设z=，则全微分dz=_______正确答案：解析：12．设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为______正确答案：y”-5y’+6y=0解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3y，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ-2)(λ-3)=0，即λ2-5λ+6=0，所以对应微分方程为y”-5y’+6y=0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
2007年高考数学卷(江苏卷)含答案
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的．1．下列函数中，周期为π2的是（）Ａ．sin2xy=Ｂ．sin2y x=Ｃ．cos4xy=Ｄ．cos4y x=2．已知全集U=Z，{}1012A=-，，，，{}2B x x x==，则UA B为（）Ａ．{}12-，Ｂ．{}10-，Ｃ．{}01，Ｄ．{}12，3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为20x y-=，则它的离心率为（）Ｂ．2Ｄ．24．已知两条直线m n，，两个平面αβ，．给出下面四个命题：①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥； ③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥． 其中正确命题的序号是（ ） Ａ．①、③ Ｂ．②、④Ｃ．①、④ Ｄ．②、③5．函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ）Ａ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Ｂ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， Ｃ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Ｄ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）Ａ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．若对于任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．128．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） Ａ．(10)-，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞，Ｄ．(0)(1)-∞+∞，，9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ） Ａ．3Ｂ．52Ｃ．2Ｄ．3210．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（ ） Ａ．2Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．11．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=_____． 12．某校开设9门课程供学生选修，其中A B C ，，三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）13．已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=_____．14．正三棱锥P ABC -的高为2，侧棱与底面ABC 成45角，则点A 到侧面PBC 的距离为_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=_____． 16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d =_____，其中[]060t ∈，．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分） 18．（本题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（4分）（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（4分）（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ．（4分） 19．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C BAG HMDEF1B1A1D1C(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，． （1）若2OA OB =，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分） 20．（本题满分16分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11a b =，221a b a =≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）若k m b a =（m k ，是大于2的正整数），求证：11(1)k S m a -=-；（4分） （2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）21．（本题满分16分）已知a b c d ，，，是不全为零的实数，函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．方程()0f x =有实数根，且()0f x =的实数根都是(())0g f x =的根；反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根．（1）求d 的值；（3分）（2）若0a =，求c 的取值范围；（6分）（3）若1a =，(1)0f =，求c 的取值范围．（7分）2007年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，共计50分．1．Ｄ 2．Ａ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共计30分． 11．12 12．75 13．32 14．5 15．54 16．π10sin 60t三、解答题17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05P C -=⨯⨯-=⨯⨯≈．（2）5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)P P --005011515510.8(10.8)0.8(10.8)C C --=-⨯⨯--⨯⨯-10.000320.00640.99=--≈．（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C -⨯⨯⨯-=⨯⨯≈．18．本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解法一：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ，则1AE DN ==，12CF ND ==．因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形．从而EN AD ∥，1FD CN ∥． 又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面．C BAG HMDEF 1B1A1D1CN（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠23132BC BGCF ==⨯=． 因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．（3）如图，连结EH ．因为MH BF ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EMH ，得EH BF ⊥． 于是EHM ∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠．因为MBH CFB =∠∠，所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==∠∠21BMBC CF ===+， tan EMMHθ== 解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE =，，，(032)BF =，，，1(333)BD =，，，所以1BD BE BF =+，故1BD ，BE ，BF 共面． 又它们有公共点B ，所以1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，设(00)M z ，，，则203GM z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 而(032)BF =，，，由题设得23203GM BF z =-+=得1z =．因为(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)ME =，，， 又1(003)BB =，，，(030)BC =，，，所以10ME BB =，0ME BC =，从而1ME BB ⊥，ME BC ⊥．故ME ⊥平面11BCC B ．（3）设向量(3)BP x y =，，⊥截面1EBFD ，于是BP BE ⊥，BP BF ⊥． 而(301)BE =，，，(032)BF =，，，得330BP BE x =+=，360BP BF y =+=，解得1x =-，2y =-，所以(123)BP =--，，． 又(300)BA =，，⊥平面11BCC B ，所以BP 和BA 的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）．于是cos 14BP BA BP BAθ==． 故tan θ=19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点． 20．本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．解：（1）设等差数列的公差为d ，则由题设得11a d a q +=，1(1)d a q =-，且1q ≠． 由k m b a =得111(1)k b qa m d -=+-，所以11(1)(1)kb q m d --=-，11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k b q m a q m d S m a q q q ------====----．故等式成立．（2）（ⅰ）证明q 为整数：由3i b a =得211(1)b q a i d =+-，即2111(1)(1)a q a i a q =+--，移项得11(1)(1)(1)(1)a q q a i q +-=--．因110a b =≠，1q ≠，得2q i =-，故q 为整数． （ⅱ）证明数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项： 设n b 是数列{}n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形． 令111(1)n b qa k d -=+-，即1111(1)(1)n a q a k a q --=--，得1221121n n q k q q q q ---=+=++++-．因2q i =-，当1i =时，1q =-，22n q q q -+++为1-或0，则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾．当3i ≥时，q 为正整数，所以k 为正整数，从而n k b a =． 故数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项．（3）取12q =，21b b q =，341b b q =． 33141112(1)11)2b b b q b b b ⎡⎤⎢⎥+=+=+==⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以1b ，2b ，4b 成等差数列．21．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．解：（1）设r 为方程的一个根，即()0f r =，则由题设得(())0g f r =．于是，(0)(())0g g f r ==，即(0)0g d ==．所以，0d =．（2）由题意及（1）知2()f x bx cx =+，32()g x ax bx cx =++． 由0a =得b c ，是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+，则[]22(())()()()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++． 方程()0f x =就是()0x bx c +=．①方程(())0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++=．②（ⅰ）当0c =时，0b ≠，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅱ）当0c ≠，0b =时，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅲ）当0c ≠，0b ≠时，方程①的根为10x =，2cx b=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程220b x bcx c ++=的实数根．由题意，方程220b x bcx c ++=无实数根，此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<，得04c <<．综上所述，所求c 的取值范围为[)04，．（3）由1a =，(1)0f =得b c =-，2()(1)f x bx cx cx x =+=-+，2(())()()()g f x f x f x cf x c ⎡⎤=-+⎣⎦．③由()0f x =可以推得(())0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根． 当0c =时，符合题意．当0c ≠时，0b ≠，方程()0f x =的根不是方程2()()0f x cf x c -+= ④ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．那么当2()40c c --<，即04c <<时，2()()0f x cf x c -+>，符合题意．当2()40c c --≥，即0c <或4c ≥时，由方程④得2()2c f x cx cx ±=-+=，即202c cx cx ±-+=，⑤则方程⑤应无实数根，所以有2()40c c--<且2()40c --<．当0c <时，只需220c --<，解得1603c <<，矛盾，舍去．当4c ≥时，只需220c -+<，解得1603c <<．因此，1643c <≤．梦想不会辜负一个努力的人综上所述，所求c的取值范围为163⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．。
01—10年江苏专转本数学真题(附答案)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xx x =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=x x y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小，洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
2003~2007江苏省专转本数学试题及答案
2003~2007江苏省专转本数学试题及答案2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1已知2)(0'=x f 则=--+→hh x f h x f h )()(lim 000（）A 、2B 、4C 、0D 、2-2、若已知)()('x f x F =，且)(x f 连续，则下列表达式正确的是（）A 、c x f dx x F +=?)()( B 、c x f dx x F dx d+=?)()( C 、c x F dx x f +=?)()(D 、)()(x f dx x F dxd =? 3下列极限中，正确的是（）A 、22sin lim =∞→x x xB 、1arctan lim =∞→xxxC 、∞=--→24lim 22x x xD 、1lim 0=+→xx x4、已知)1ln(2x x y ++=，则下正确的是（） A 、dx x x dy 211++=B 、dx x y 21'+=C 、dx xdy 211+=D 、211'xx y ++=5、在空间直角坐标系下与平面1=++z y x 垂直的直方程为（）A 、?=++=++021z y x z y xB 、31422-=+=+zy x C 、5222=++z y xD 、321-=-=-z y x6 下列说法正确的是（）A 、级数∑∞=11n n收敛B 、级数∑∞=+121n n n 收敛 C 、级数∑∞=-1)1(n nn 绝对收敛D 、级数∑∞=1!n n 收敛7、微分方程0''=+y y 满足00==x y ，1'==x y 的解是（）A 、x c x c y sin cos 21+=B 、x y sin =C 、x y cos =D 、x c y cos =8、若函数<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则a 、b 满足（）A 、2=a 、b 为任何实数B 、21=+b aC 、2=a 、23-=b D 、1==b a二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9、设函数)(x y y =由方程xye y x =+)ln(所确定，则==0'x y10、曲线93)(23++-==x x x x f y 的凹区间为 11、=+?-dx x x x )sin (113212、交换积分次序=+?-yydx y x f dy dx y x f dy 3031201),(),(三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13、求极限xx x cos 1120)1(lim -→+14、求函数=y x z tan 的全微分15、求不定积分dx x x ?ln16、计算θθθππd ?-+222cos1sin17、求微分方程xe x y xy 2'=-的通解.18、已知-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求dx dy 、22dx yd .19、求函数1)1sin()(--=x x x f 的间断点并判断其类型.20、计算二重积分+-Ddxdy y x )1(22，其中D 是第一象限内由圆x y x 222=+及直线0=y 所围成的区域.四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分） 21、设有抛物线24x x y -=，求：（i ）、抛物线上哪一点处的切线平行于X 轴？写出该切线方程；（ii ）、求由抛物线与其水平切线及Y 轴所围平面图形的面积；（iii ）、求该平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.22、证明方程2=xxe 在区间()1,0内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为V 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做） 24、将函数xx f +=41)(展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。
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2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、若2)2(lim=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x （ ）A 、41 B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x n sin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为 （ ） A 、1B 、2C 、3D 、44、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=⎰dx x f)2('（ ）A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ⎰=212sin )(，则=)('x f （ ）A 、4sin x B 、2sin 2x x C 、2cos 2x x D 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是（ ）A 、∑∞=122n nnB 、∑∞=+11n n nC 、∑∞=-+1)1(1n nnD 、∑∞=-1)1(n nn二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=020)1()(1x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k8、若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m9、定积分dx x x x )cos 1(43222+-⎰-的值为10、已知→a ，→b 均为单位向量，且21=⋅→→b a ，则以向量→→⋅b a 为邻边的平行四边形的面积为11、设yxz =，则全微分=dz 12、设x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xx x e x x tan 1lim 0--→.14、设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求0=x dx dy 、022=x dx yd . 15、求不定积分dxe x x⎰-2.16、计算定积分dx xx ⎰-122221. 17、设),32(xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.18、求微分方程2'2007x y xy =-满足初始条件20081==x y 的特解.19、求过点)3,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=++-=+++01202z y x z y x 的平面方程.20、计算二重积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中{}0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分. 22、设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质： （1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ，b ，c 的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设0>>a b ，证明：dx x f e e dx e x f dy baa x x byy x ba⎰⎰⎰++-=)()()(232.24、求证：当0>x 时，22)1(ln )1(-≥-x x x .2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、2ln8、19、π2 10、2311、dy yxdx y 21- 12、06'5''=+-y y y 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解：方程xy e e yx=-，两边对x 求导数得''xy y y e e yx+=⋅-，故xe ye y dx dy y x +-=='. 又当0=x 时，0=y ，故10==x dx dy 、2022-==x dx yd .15、解：)(22)(2222xx x x x x e d x e x dx xe e x e d x dx e x ------⎰⎰⎰⎰--=+-=-=C e xe e x x x x +---=---222.16、解：令t x sin =，则41sin cos 1242212222πππ-==-⎰⎰dt t t dx x x . 17、解：'2'12yf f x z +=∂∂，)3()3(2''22''21'2''12''112x f f y f x f f yx z ⋅+⋅++⋅+⋅=∂∂∂ '2''22''12''11)32(6f xyf f y x f ++++=18、解：原方程可化为x y x y 20071'=⋅-，相应的齐次方程01'=⋅-y xy 的通解为Cx y =.可设原方程的通解为x x C y )(=.将其代入方程得x x C x C x x C 2007)()()('=-+，所以2007)('=x C ，从而C x x C +=2007)(，故原方程的通解为x C x y )2007(+=. 又2008)1(=y ，所以1=C ，于是所求特解为x x y )12007(+=.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下） 19、解：由题意，所求平面的法向量可取为)3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1(-=-=-⨯=→kj i n .故所求平面方程为0)3(3)2()1(2=---+-x y x ，即0532=+-+z y x .20、解：916cos 38203cos 20220222====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθπθθρρθθρρd d d d d dxdy y x DD.21、解：（1）⎰=-=122158)1(ππdx x V ； （2）由题意得⎰⎰-=-aady y dy y 012121)1()1(. 由此得2323)1(1)1(a a --=--. 解得31)41(1-=a .22、解：c bx ax x f ++=23)(2'，b ax x f 26)(''+=.由题意得0)1('=-f 、0)1(''=f 、2)1(=f ，解得1-=a 、3=b 、9=c23、证明：积分域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤b x y b y a ，积分域又可表示成D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤x y a bx ady e dx e x f dy e x f dx e x f dx e x f dy xay b ax x ay x b aDy x b yy x ba⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===+++22222)()()()(dx x f e e dx e e e x f baa x xb aa x x ⎰⎰+-=-=)()()()(232.24、证明：令11ln )(+--=x x x x F ，显然，)(x F 在()+∞,0上连续. 由于0)1(1)(22'>++=x x x x F ，故)(x F 在()+∞,0上单调递增，于是，当10<<x 时，0)1()(=<F x F ，即11ln +-<x x x ，又012<-x ，故22)1(ln )1(->-x x x ；当1≥x 时，0)1()(=≥F x F ，即11ln +-≥x x x ，又012≥-x ，故22)1(ln )1(-≥-x x x . 综上所述，当0>x 时，总有22)1(ln )1(-≥-x x x .。