中国剩余定理

中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。

注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。

孙子定理

孙子定理

1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。

k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;

k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;

k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;

2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。

Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);

P为满足Answer > 0的最大整数；

或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;

解题思路：

令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？

因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，

3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；

再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；

因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；

同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b。

依此类推，按上面的方法寻找到除以各素因子的余数的数之总和，为满足除以各素因子余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素因子余数的条件的数。由此构成孙子定理的解法。

（中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k

则同余方程组：

x≡b1 （mod m1)

x≡b2 （mod m2)

...

x≡bk （mod mk)

模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k

《孙子算经》中的标题：有些东西不知道数字，三是二，五是三，七是二。东西的总数是多少？

《孙子经》的解法：三个或三个数字，取数字七十，然后乘以其余两个；5到5个数字，将数字21乘以余数3；取七个或七个数字，取十五，然后乘以其余两个。将乘积相加并减去一百零五。