中国剩余定理
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理
扩展欧几里德定理
看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒， 郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给他 们出了一题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数
之剩三：七七数之剩二。问物几何？”
黄蓉天资聪慧，哪里难得住她，她略微思考，答：23。
大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出这道 题的呢？
现在人的解法：
用各除数的“基础数”法解。
基础数的条件：
（1）此数必须符合除数自身的余数条件；
（2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。
第一步： 求各除数的最小公倍数 ［3，5，71）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵ 1× 3＝ 3 21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵ 1× 2＝ 2 ∴15×2＝［30］
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
一、剩余问题 在整数除法里，一个数同时除以几个 数，整数商后，均有剩余；已知各除数及 其对应的余数，从而要求出适合条件的这 个被除数的问题，叫做剩余问题。
古代人的解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩 一，则置二十一；七七数之剩一则置十五； 一百六以上，以一百零五减之即得。 依定理译成算式解为： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23
第三步： 求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个） 128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）
中国剩余定理
中国剩余定理我国古代著名的数学书《孙子算经》中有这样一道名题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”此乃就是著名的“孙子问题”，俗称“韩信点兵”。
关于它的解法就是享誉国内外的“孙子定律”或“孙子定理”。
外国人称之为“中国剩余定理”。
一、“孙子定理”某数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
这个数最小是多少？它的解题思路是：除以3余2的数要在5和7的公倍数数中去找。
5和7的最小公倍数是35.35÷3=11 (2)35符合除以3余2的条件。
除以5余3的数要在3和7的公倍数中去找，3和7的最小公倍数是21。
但21÷5=4 (1)条件要求是除以5余3，如果是21，余数只能是1，要满足余数是3的条件，就必须使被除数、除数、商、余数同时扩大3倍。
21×3=63则63÷5=12 (3)63符合除以5余3的条件。
除以7余2的数，要在3和5的公倍数中去找。
3和5的最小公倍数是15，条件要求除以7余2，如果是15，余数只能是1，要满足余数是2的条件，被除数、除数、商、余数，必须扩大2倍。
15×2=3030÷7=4 (2)30符合除以7余2的条件。
把1、2、3式的被除数和起来，35+63+30=128加得的结果128符合题目中所提的全部条件。
因为35加上的都是3的倍数，所以它们的和128，除以3的余数，不会改变；对63来讲，它所加上的数都是5的倍数。
因此，它们的和除以5的余数，也不会改变；对30来讲，它所加上的都是7的倍数，因此，它们的和除以7的余数，也不会改变。
由于3、5、7的最小公倍数是105，题目中要求的是满足条件的最小的数，因此128-105=23，这所得的差，除以3、5、7的余数也没变，所以23符合题目中所有条件的最小的一个数。
这就是著名的“孙子定理”，世界称之为“中国剩余定理”。
二、“变更被除数法”约定：将“N”分别除以n1,n2…nk所得的余数依次为r1、r2…rk。
中国剩余定理
m1 3
m2 5
取
M1 1
M2 1
M3 1
则唯一解为
x 35 (1) 2 211 3 15 1 2 (mod 105) 23
例2 求最小的正整数 n, 使得 n 被 3,5,11 除的 余数分别是 2,3,5
解 对 x 2(mod 3),x 3(mod 5), x 5(mod 11)
x bk (mod mk ) 则 (*) 有解 (mi , m j ) | ai a j
(*)
x 2(mod 3), x 3(mod 5), x 2(mod 7)
a 2 (mod 3), a 0 (mod 5), a 0 (mod 7) b 0 (mod 3), b 3 (mod 5), b 0 (mod 7) c 0 (mod 3), c 0 (mod 5), c 2 (mod 7)
设 因此
g i ( x) (ai a1 )(ai ai 1 )(ai ai 1 )(ai an )
( x a1 )( x ai 1 )( x ai 1 )( x an )
中国剩余定理的代数表示 设 m 1, 则
m 的标准分解式为 m p1 p2 ps
习题
求解 f ( x) 0(mod 35)
f ( x) x 2 x 8 x 9
4 3
1 求最小的正整数 n,使得它的 是一个平方数, 2 1 1 是一个立方数, 是一个5次方数. 3 5
广义的中国剩余定理 设
x b1 (mod m1 ), x b2 (mod m2 ),
(mod 60)
求解
f ( x) 0(mod m)
中国剩余定理知识点总结
中国剩余定理知识点总结在初等数论中，我们经常会遇到形如x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)的线性同余方程组，其中ai和mi都是整数，m1, m2, ..., mn是两两互质的正整数。
中国剩余定理就是解决这类问题的重要方法。
下面我们来详细介绍一下中国剩余定理的一些基本知识点。
1. 中国剩余定理的表述中国剩余定理可以用如下的形式来表述：对于给定的两两互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及任意的整数a1, a2, ..., an，中国剩余定理断言，存在一个解x，使得对于所有的i=1,2,...,n，都有x≡ai(mod mi)。
这个解x是唯一存在的，并且可以用下面的形式来表示：x = a + tM其中a是通解，t是任意整数，M是m1, m2, ..., mn的最小公倍数，即M=lcm(m1, m2, ..., mn)。
2. 中国剩余定理的应用在数论和密码学等领域中，中国剩余定理有着广泛的应用。
例如，可以利用中国剩余定理来解决一些测定一些重要的数学问题，如幂模运算、循环小数、素数和因数分解等问题。
在密码学中，中国剩余定理也被广泛应用。
例如在RSA公钥密码系统中，中国剩余定理能够加速大数的幂模运算，从而大大提高RSA的加密和解密速度。
3. 中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是通过数学归纳法来完成的。
首先我们可以证明当n=2时定理成立，然后利用数学归纳法来证明对于任意n都成立。
具体来说，我们首先假设对于n=k（k≥2）时定理成立，即对于任意的m1, m2, ..., mk，以及任意的整数a1, a2, ..., ak，能够找到一个解x使得x≡ai(mod mi)。
然后我们来考察下一个情况，即n=k+1时定理成立。
我们可以利用n=k时的结果来构造一个新的解x'，然后利用一些数论知识来证明x'也满足n=k+1时的情况。
通过这样的数学归纳法的证明，我们可以得出中国剩余定理的正确性。
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理
汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。
中国剩余定理计算过程
中国剩余定理计算过程摘要：一、引言二、中国剩余定理的概念与基本原理1.定义2.基本原理三、中国剩余定理的计算过程1.确定方程组2.求解模数3.计算解四、实例演示五、中国剩余定理的应用与意义1.在数论中的运用2.在密码学中的作用六、总结与展望正文：一、引言在中国数学史上，剩余定理是一项重要的成果。
它起源于古代数学家对分数问题的研究，经过一系列的发展，最终形成了现在我们所熟知的中国剩余定理。
本文将详细介绍中国剩余定理的计算过程及其在实际应用中的重要性。
二、中国剩余定理的概念与基本原理1.定义中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的结果，它可以用来求解一组同余方程。
设m1、m2、…、mk 为正整数，a1、a2、…、ak 为整数，且gcd(m1，a1)=1，gcd(m2，a2)=1，…，gcd(mk，ak)=1，则同余方程组x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)…x ≡ ak (mod mk)有唯一解x0，且x0 ≡ ai (mod mi)，其中i=1，2，…，k。
2.基本原理中国剩余定理基于以下两个原理：（1）同余方程的解具有唯一性；（2）同余方程的解可以通过模线性方程组求解。
三、中国剩余定理的计算过程1.确定方程组给定同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)…x ≡ ak (mod mk)首先确定方程组中的模数mi（i=1，2，…，k）。
2.求解模数根据同余方程组的性质，我们可以通过求解模数来进一步求解原方程组。
求解模数的过程如下：（1）计算mi 与m1、m2、…、mk 的最大公约数，记为d；（2）求解x ≡ 0 (mod mi)；（3）计算x0 = mi × (a1 × d / mi + a2 × (d / m2) + … + ak × (d / mk))；（4）检验x0 是否为方程组的解，若为解，则求解完毕；若不是解，则继续求解。
第8章中国剩余定理和RSA算法
8.4中国剩余定理
定理1-10中国剩余定理 (CRT：Chinese Remainder Theorem) 设m1,m2,…，mk是两两互素的正整数，即： (mi,mj)=1，i≠j，i, j=1,2,…，k，则同余方 程组：
X≡b1 mod m1 X≡b2 mod m2 …… X≡bk mod mk
但Diffie-Hellman的开创性论文却引起了美国麻 省理工学院（MIT）的年青教授Ron Rivest对公 钥加密技术的极大兴趣，他下决心要开发一个 最终的公钥加密技术。于是他邀请两位同事Adi Shamirt和 Len Adleman一起来解决这个问题。 1977年，三人开发出了一个能够真正加密数据 的公钥加密算法，并于1978年在一篇题为“A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key Cryptosystems(获取数字签名和公钥 加密系统的方法)”中公开了这个算法，这就是 著名的RSA算法（以三位发明者名字的首字母 缩写命名）。 RSA先后被ISO、ITU、SWIFT等国际化标准组 织采用作为标准。
课后习题： 1.韩信点兵的故事。今有兵员不知其数，每五个数 之，剩下1人；每六个数之，剩下5人；每七人数 之，剩下4人；每十一人数之，剩下10人，问兵 员多少？ *编写中国剩余定理算法程序。 2.什么是单向陷门函数？ 3.P201 9.2 a, b 9.3
用数学方法攻击RSA的途径有以下三种： 分解n为两个素因子。这样就可以计算出φ(n)= （p-1）（q-1），从而可以确定 d≡e-1(mod φ(n))。 直接确定φ(n)而不先确定p和q。 直接确定d，而不先确定φ(n)。 对RSA的密码分析的讨论大都集中于第一种攻击 方法，即分解n。在选择RSA的n时，密钥大小在 1024至2048位范围内是合适的。
中国剩余定理
▪ 后来人们根据古人的研究经验又得出《3、 5、8剩余定理》诗曰： 三人同行40多，五树梅花96朵， 八仙过海105招，除百二十便解惑。并 补充《3、4、5剩余定理》： 三人同行40里，四季花开45枝， 五朵金花36浪，除去六十便得知。
▪谢谢
韩信点兵
▪ 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大 将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死 伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一 山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土 飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。 韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。 他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一 排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2 名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不 足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉 军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下 凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动， 鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚 军大败而逃。
物不知数
▪ 我国古代数学名著 《孙子算经》载有一 道数学问题：“今有 物不知其数，三三数 之剩二，五五数之剩 三，七七数之剩二。 问物几何？”这里的 几何指多少的意思。 翻译成数学语言就是： 求正整数N，使N除以3 余2，除以5余3，除以 7余2。
解答
▪ 《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙 解法。术（即答案）曰：“三、三数之剩 二，置一百四十；五、五数之剩三，置六 十三；七、七数之剩二，置三十，并之， 得二百三十三。以二百一十减之，即得。 凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数 之剩一，则置二十一；七、七数之剩一， 则置十五。一百六以上，一百五减之，即 得。”
中国剩余定理
中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。
2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。
N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。
同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。
中国剩余定理
中国剩余定理金庸先生的《射雕英雄传》畅销全球的华人社区，很多人也知道郭靖和黄蓉的故事，但原来在《射雕英雄传》内也有有关数学的名题同时随小说传至全球的华人社区，这便是「孙子定理」或称「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「秦王暗点兵」或「韩信点兵」，但当今数学界则称之为「中国剩余定理」（Chinese Remainder Theorem）。
话说郭靖和黄蓉在离开泥沼时，黄蓉下了三道题目挑战号称「神算子」的瑛姑，当中的第三道题目，便是这著名的「鬼谷算」：「今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？」（摘自《孙子算经》卷下，第26题）如果用白话写出，意思是：现在一个未知数，除3时，余数是2；除5时，余数是3；除7时，余数是2，问这个未知数的最小值？这道题目如此简单，何以会是名题呢？事实上，《射雕英雄传》里的瑛姑不难便得出答案是23；而中国著名数学家华罗庚教授，对这道题目有以下的说法：「求一个数，3除余2，5除余3，7除余2。
这个问题太容易回答了，因为3除余2，5除余3，7除余2，则21除余2。
而23是3、7余2最小的数，刚好又是5除余3的数。
所以心算快的人都算出！」（摘自《华罗庚科普著作选集》第84页）正如华罗庚教授所说，重点并不是计算出23这个结果，数学便是不仅于此。
瑛姑虽然得到答案，但她也得向黄蓉请教，因为瑛姑的答案是硬生生地试出来的，她明白倘若余数有变的话，她便可能要再花一段时间来试答案了，她找不到计算这一道题目的门径，或者说她找不到解这道题的普遍方法；而数学的研究便是希望找到这道题的特质，作出普遍化的解法。
你又可知道这道名题的普遍解吗？很多中国的名事迹或名题，在民间都有歌谣，有的唱出一个故事，有的唱出这些名题的解法。
而这「鬼谷算」也不例外，而且还有几个不同版本，以下是其中两个：三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。
摘自《志雅堂杂钞》三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
中国剩余定理
中国剩余定理【定理概述】 中国剩余定理（孙⼦定理）是中国古代求解⼀次同余式组的⽅法。
是数论中⼀个重要定理。
⼀元线性同余⽅程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？即，⼀个整数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。
《孙⼦算经》中⾸次提到了同余⽅程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中⽂数学⽂献中也会将中国剩余定理称为孙⼦定理。
【求逆元】逆元的含义：模p意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
ax≡1(mod p)。
⼀个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时逆元唯⼀存在，注意这⾥的唯⼀是指在群中唯⼀。
其实如果求出⼀个逆元x0，那么x0 + p*k都会满⾜上⾯的等式，但是我只取p内的正整数x0.【证明】由ax≡1(mod p)等价于这样⼀个⽅程a*x + p*y = 1 ，或者说这个⽅程x有解的话x必然满⾜ ax≡1(mod p)这个⽅程什么时候有解呢？很显然，当gcd(a,p) | 1时有解，所以gcd(a,p)只能是1，即a,p互质，证明完毕。
由此还可以得到⼀个结论，如果要求逆元，可以⽤扩展欧⼏⾥得求⼀组解（x,y），再求出x的最⼩正整数（x+p）%p,x就是a的唯⼀逆元。
⽅法1：费马⼩定理求逆元，p是，且gcd(a,p)=1在模为素数p的情况下，有费马⼩定理a p-1 ≡ 1（mod p）则a * a p-2 ≡ 1（mod p）所以a的逆元就是a p-2，⽤快速幂求即可。
#include<iostream>using namespace std;long long gcd(long long a, long long b){if(b == 0) return a;return gcd(b , a%b);}long long qPow(long long a ,long long n,long long mod){long long ans = 1;//如果n的⼆进制最后⼀位是1 结果参与运算//因为如果是0，那么幂运算之后该项是1,1乘任何数还是那个数，对结果不影响while(n > 0){if(n & 1)ans = (ans* a) % mod;a = (a*a) % mod;//底数加倍n >>= 1;//移位}return ans;}//long long invEle(long long a, long long mod){ //如果a 和模数不互质则必然不存在逆元if(gcd(a,mod) != 1 || mod < 2) return -1; return qPow(a,mod-2,mod);}int main(){long long a,b;int x,y;while(cin>>a>>b){cout<<invEle(a,b)<<endl;}}⽅法2：扩展欧⼏⾥得求逆元（⾼效）typedef long long ll;void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){if(!b){ d=a; x=1; y=0;}else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}ll inverse(ll a,ll n){ll d,x,y;extgcd(a,n,d,x,y);return d==1?(x+n)%n:-1;}⽅法3：欧拉定理求逆元（很少⽤到）模p不是素数的时候需要⽤到欧拉定理逆元打表：typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5;int inv[N];void inverse(int n, int p) {inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n; ++i) {inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;}}【解⽅程组】根据定理概述以及解法，得到以下⽅法int CRT(int a[],int m[],int n){int M = 1;int ans = 0;for(int i=1; i<=n; i++)M *= m[i];for(int i=1; i<=n; i++){int x, y;int Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0) ans += M;return ans;}【扩展中国剩余定理】当模数mi两两互质时有以上解法，当模数不确定是否两两互质呢？摘⾃博客:https:///acdreamers/article/details/8050018这种情况就采⽤两两合并的思想，假设要合并如下两个⽅程那么得到在利⽤扩展欧⼏⾥得算法解出的最⼩正整数解，再带⼊得到后合并为⼀个⽅程的结果为这样⼀直合并下去，最终可以求得同余⽅程组的解。
crt中国剩余定理
crt中国剩余定理CRT（中国剩余定理）是一种数论中的重要定理，它在解决一类特殊的模线性方程问题中发挥着重要的作用。
本文将从定理的定义、应用场景、解题步骤和数学原理等几个方面对CRT进行详细介绍。
一、定义CRT，全称为中国剩余定理，是中国古代数学家孙子所提出的一种解决模线性方程组的方法。
它适用于一类特殊的线性同余方程组，即方程组的模数两两互质。
CRT的核心思想是通过对模数的分解，将原问题转化为一系列模数互质的小问题，再用模运算的方法求解，最后通过合并得到原问题的解。
二、应用场景CRT在计算机科学、密码学、编码理论等领域有广泛的应用。
比如在计算机图形学中，我们需要对色彩进行混合叠加，而每个颜色的取值范围是有限的。
这时可以利用CRT将颜色的分量分别处理，再合并得到最终的颜色值。
在密码学中，CRT可以用来加密和解密数据，提高安全性和效率。
三、解题步骤要运用CRT解决问题，首先要保证模数两两互质。
接下来，需要对模数进行分解，并求解每个小问题的解。
最后，通过合并每个小问题的解，得到原问题的解。
具体步骤如下：1. 确定模数m1、m2、...、mn，且保证它们两两互质。
2. 对于方程x≡a1 (mod m1)、x≡a2 (mod m2)、...、x≡an (mod mn)，分别求解每个同余方程的解。
3. 求解同余方程x≡ai (mod mi)的解可以利用扩展欧几里得算法，求得系数xi和mi的乘积pi，即xi×mi=pi，其中pi是模mi的倒数。
4. 最后，将每个小问题的解合并，得到原问题的解x。
四、数学原理CRT的数学原理基于中国剩余定理。
中国剩余定理是指：若m1、m2、...、mn两两互质，则对于任意的整数a1、a2、...、an，同余方程组x≡a1 (mod m1)x≡a2 (mod m2)...x≡an (mod mn)必定存在一个解x，并且解存在于模m1、m2、...、mn的一个完全剩余系中。
生动讲解中国剩余定理
contents
目录
• 引言 • 中国剩余定理的背景 • 中国剩余定理的原理 • 中国剩余定理的证明 • 中国剩余定理的应用 • 中国剩余定理的扩展和推广
01 引言
什么是剩余定理
• 剩余定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。 它提供了一种解决一类线性同余方程组的方法，这些方程组中 的每一个方程都是模数不同的。简单来说，如果有一组线性同 余方程，每个方程都有一个不同的模数，那么中国剩余定理告 诉我们如何找到一个整数，满足所有这些方程。
剩余定理的重要性
• 剩余定理在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于密码学、计算机科学、数论和代数几何等。在密码学中，它被用于 公钥密码系统的设计和分析，如RSA算法。在计算机科学中，它被用于实现模运算的高效算法，以及解决一些优化问题。在 数论和代数几何中，它被用于研究整数的性质和结构。因此，理解并掌握中国剩余定理是非常重要的。
数据压缩
在数据压缩中，中国剩余 定理可以用于优化数据编 码和解码的过程，提高数 据传输和存储的效率。
并行计算
在并行计算中，中国剩余 定理可以用于优化并行算 法的设计和实现，提高计 算性能。
06 中国剩余定理的扩展和推 广
对称中国剩余定理
方程组，其解存在且唯一。
02 中国剩余定理的背景
历史背景
古代数学家的贡献
中国剩余定理起源于中国古代数 学家的研究，如《九章算术》中 的“方程”章就提到了线性同余 方程组的解法。
数学史上的里程碑
中国剩余定理是中国古代数学的 重要成果，也是世界数学史上的 里程碑之一，对后世数学的发展 产生了深远影响。
数学背景
同余方程
同余方程是数论中的基本概念，它描 述了整数之间的一种等价关系。中国 剩余定理主要应用于解决线性同余方 程组的问题。
中国剩余定理
第一步： 求各除数的最小公倍数 ［3，5，7］＝105
第二步： 求各除数的基础数
（1）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵1×3＝3 21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵1×2＝2 ∴15×2＝［30］
古人解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩 一，则置二十一；七七数之剩一则置十五； 一百六以上，以一百零五减之即得。 依定理译成算式解为： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23
明朝数学家程大位在《算法统宗》中把上式总 结为一首通俗易懂的歌决： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
以上是韩信点兵的故事，就要确定K值了。
另外一种解法： 用枚举筛选法解 按除数3，7同余2，依次逐一枚举；随后用 除以5余3，进行筛选，便可获解。
求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个） 128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）
这个步骤让我想起了韩信点兵：
传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部 下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵 分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结 果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人， 后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立 即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2）， 由于已经知道士兵总人数在2300?/FONT>2400 之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相 邻两数的间隔是105，便立即说出实际人数应是 2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3 余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官 十分敬佩，这
中国剩余定理
中国剩余定理中国剩余定理缘起自求解一次同余式问题。
《孙子算经》中有“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”用现代数学符号表示，这相当于求解一次同余式组()()()2mod 33mod 52mod 7N N N ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的最小正整数解。
《孙子算经》中给出了此题的解法及答案。
对于更一般的情况，南宋数学家秦九韶在他的划时代巨著《数学九章》中提出了“大衍总数术”，明确、系统地叙述了求解一次同余式组的一般方法。
在西方，经过欧拉、拉格朗日、高斯三代人、前后六十多年努力，才完成了一次同余式理论的建立，得到了与秦九韶一致的算法，并给出了严格的证明。
后人称之为“中国剩余定理”。
中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学发展做出的巨大贡献，它其中蕴含的深刻的数学思想在近代数学中占有同样重要的地位。
在抽象代数的理论中，整数集与一元多项式集都属于主理想整环，有着许多相似的性质。
关于整数的中国剩余定理可以自然地推广到一元多项式环上，得到如下结果： 设()()()12,,,n m x m x m x 是n 个两两互素的多项式，()()()12,,,n a x a x a x 是任意n 个多项式，则一定存在多项式()f x 满足：()()()()()()()()()()()()1122mod mod mod n n f x a x m x f x a x m x f x a x m x ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩并且在()()()()()()12mod n m x m x m x m x m x =意义下是唯一的。
也就是说，次数小于()m x 的()f x 是唯一确定的。
特别地，当()i m x 均为一次多项式时，上面的结果即等价于插值多项式的存在与唯一性定理，从而可得出著名的拉格朗日插值多项式。
不仅仅是主理想环，在更一般的含单位元1的交换环上，我们也有类似结论。
此外，中国剩余定理在赋值论中也起着不可或缺的作用，而赋值论是研究代数数论和交换代数的重要工具。
中国剩余定理
中国剩余定理中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的重要定理，用于求解一类关于模数不互素的同余方程组。
该定理由中国古代数学家孙子（Sunzi）在《孙子算经》中首次提出，因此得名。
中国剩余定理的核心思想是将一个复杂的同余方程组转化为一组简单的同余方程，然后通过求解这些简单方程来得到原方程的解。
中国剩余定理的应用广泛，不仅在数论中有重要的地位，还在密码学、编码理论、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
中国剩余定理的具体表述如下：设n1, n2, , nk为k个正整数，它们两两互素，即gcd(ni, nj) = 1 (i ≠ j)。
给定k个整数a1, a2, , ak，求解同余方程组：x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) . x ≡ ak (mod nk)中国剩余定理告诉我们，如果k个正整数n1, n2, , nk两两互素，那么对于给定的任意k个整数a1, a2, , ak，上述同余方程组一定存在解，并且解唯一模n = n1 * n2 * , * nk。
具体的解可以通过如下步骤求得：1.计算N = n1 * n2 * . * nk。
2.对于每个i，计算Ni = N / ni。
3.对于每个i，计算Mi = Ni^(-1) mod ni，其中Ni^(-1)是Ni在模ni下的逆元。
4.计算x = (a1 * N1 * M1 + a2 * N2 * M2 + . + ak * Nk * Mk) mod N。
通过上述步骤，我们可以得到方程组的唯一解x，满足x ≡ ai (mod ni) (1 ≤ i ≤ k)。
中国剩余定理的证明较为复杂，可以利用数论中的一些基本定理和性质进行推导。
但无论是证明还是应用，中国剩余定理都是一个非常有用的工具。
在密码学中，中国剩余定理被广泛应用于RSA算法的加密和解密过程中，以提高计算效率。
在编码理论中，中国剩余定理可以用于设计纠错码，提高数据传输的可靠性。
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中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。
孙子定理
孙子定理
1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。
k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;
k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;
k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;
2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。
Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);
P为满足Answer > 0的最大整数；
或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;
解题思路：
令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。
求M=？
因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，
3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。
再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；
再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；
因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；
同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。
即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b。
依此类推，按上面的方法寻找到除以各素因子的余数的数之总和，为满足除以各素因子余数的条件的数。
总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素因子余数的条件的数。
由此构成孙子定理的解法。
（中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k
则同余方程组：
x≡b1 （mod m1)
x≡b2 （mod m2)
...
x≡bk （mod mk)
模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x，满足：
x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k
《孙子算经》中的标题：有些东西不知道数字，三是二，五是三，七是二。
东西的总数是多少？
《孙子经》的解法：三个或三个数字，取数字七十，然后乘以其余两个；5到5个数字，将数字21乘以余数3；取七个或七个数字，取十五，然后乘以其余两个。
将乘积相加并减去一百零五。