第十四章 虚位移原理

连杆机构，可简化 为由曲柄销 A和滑 块 B两个质点所组 成的质点系。轴承
y
A(xA,yA )
r
L
o
B(xB,yB ) x
，刚性杆 A和AB以
及滑道形成了对质
点系的约束，
其相应的约束方程为：
xA2
y
2 A
(xB xA)2
r2 ( yB
yA)2
l2
yB
0
(b) 运动约束的约束方程：
约束方程中含有质点系中质点的速度称为运动
4 自由度：
在一般情况下，若由n个质点组成的质点系，受到S个 定常完整约束的限制，则其约束方程为：
f x1, y1, z1; x2, y2, z2;......xn, yn, zn 0 1,,2,3......S
此即确定质点系位置的3n个坐标所应满足的S个关系式。 由此可见，如果在3n个坐标xi、yi、zi(i=1,2,…,n)中知道 了3n-S个彼此独立的坐标，并利用此S个约束方程，即可解
BI
sin(
)
l sin(90o
)
BI l sin( ) c os
AI sin(90o
)
l
c os
AI l cos c os
BI sin( ) AI cos
I
δφ I
δφ I
90
0-
ψ
y
δrA
Aφ
90 0- ψ C
δφ
r
ψL
o
φ
ψ
Bx
δrB
②解析法：
解析法是将质点系中各质点的位置坐标以广义坐标表示，
(3) 实位移与虚位移的区别：
实位移――质点在一定的时间内所完成的真实位移，可以是
有限量，也可以是无限量的，决定于物体的主动力和约束条 件，初始条件（初速度，初位移等）
虚位移――不受时间限制，与力的作用无关，决定于约束的
几何位置，只要约束允许，其虚位移即可以沿不同的方向， 但只能是微小量。
(3) 实位移与虚位移的区别：
2 A
yA
2
xB xA
l12 2 yB
yA
2
l22
o
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
约束为完整约束，所以在
φ 2
确定双摆位置的 4个坐标
y
B(xB,yB)
xA,yA,xB,yB中只有 2 个是
独立的（如xA, yB），因此，双摆的自由度为：k=2n-2=2
事实上，该例中只要确定φ1、φ2，那么A.B的位置坐标
曲柄上各点的虚位移与定轴转动刚体各点的速度一样求法，
为到转轴的距离×δφ。
同理，由于连杆AB的限制， A,B两点间的距离不能改变，
I
δφI
90o-ψ
故可以认为B点与δrA 相应 的虚位移δrB是由于连杆AB 绕瞬心I转过一虚转角δφI 而得到的，且：
r
I
A
AI
y δrA
δφ
A
o φr
φ ψ
δφ
I
90o-ψ C
L
ψ
Bx
δrB
从而得到B点的虚位移δrB 为：
I
rB BI I
90 0- ψ δφ
I
δφ
BI AI
rA
y δrA
I
sin( cos
)
rA
δφ o
Aφ
ψ r φ
90 0- ψ C L
ψ
Bx
δrB
显然，A,B两点虚位移之间的关系与速度关系完全相同。
对于作平面运动的A,B杆上其余各点的虚位移可以同样求得。 （用速度瞬心法）
几何约束的约束方程：
即质点或质点系中各质点的坐标在约束的限制
条件下所必须满足的条件。
例如图示小球借刚 杆而悬于 o，小球运动限 制在图示铅垂平面内绕点 作以杆长L为半径的圆周
运动。
o Lx m(x,y)
y
则其约束方程为确定M点位置的方程：
x 2 y 2 l 2 M点在任何位置都满足这一方程。
又如：图示曲柄
o
δrA
A
ω drA δrA
Bx
δrB
δrB
如果ω方向确定了，A点及B 点的实际位移方向就决定于 ω的转向。而虚位移则不论ω的方向如何，只要是约束允许的 即可随意假设。符号区别：
实 位 移 ：dr, ds, d, dx, dy, dz
虚 位 移 ：r,s, ,x,y,z
定常约束情况下，实位移是所有虚位移中的一个。对于 非定常约束，虚位移指某一个瞬时将时间固定，约束所能允 许的微小位移。而实位移是不能固定时间的。
对广义坐标求偏导数，偏导数之和表示其虚位移。
如前述的复摆，自由度为2(k=2n-2=2),约束方程为2，这
时，只要选择了两个广义坐标
φ1，φ2，A,B两质点的位置即
可完全确定。
xA l1 sin1
yA xB
l1 l1
cos sin 1
l2
sin
2
yB l1 cos1 l2 cos2
o l1
非定常约束的约束方程中显含时间变量 t, 例如图示摆，其悬挂点o’沿铅垂方向按
yO' a sin t
规律运动
质点M的约束方程为：
o
x yo,
o' φ
L
x'
x2 y a sint2 l 2
M(x,y) y
式中显含时间t，属于非定常约束。
双侧约束（固执约束）——约束方程是等式的 （同时限制质点某方向及相反方向运动的约束） 单侧约束（非固执单侧约束）——约束方程为 不等式的。 （只能限制质点某方向的运动，不能限制其相 反方向的运动） 本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；
xi δxi xi q1 δq1 ,q2 δq2 , ......,qk δqk
利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，
则有：
xi δxi
xq1 ,q2 ,.....,
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
xi
δxi
xq1 ,q2 ,.....,
约束。例如：
沿直线轨道
y
只滚不滑的车轮
ω
约束的限制条件为： 限制轮缘上与地面相
接触点I的速度为0， o
c(xc,yc )
r vc
x
其约束方程为：
yc xc
r
r
0
其中xc为轮心C的速度，
为轮子的角速度，r为轮半径
（2）按约束方程是否可积分分类： 完整约束——可积分的运动约束和几何约束 非完整约束——不可积分的运动约束
（1）虚位移是假想的，实位移是真实的。 （2）虚位移可以朝约束允许的任意方向运动，实位 移只有一运动方向。 （3）静止时，可以有虚位移，而无实位移。 （4）实位移可以是微小值dr,也可能是有限值△r， 虚位移只能是δr。 （5）完成实位移需要时间，而虚位移不同的瞬时处 于不同位置就有不同的虚位移。
y 例如：曲柄连杆机构：
k＝3n－S，选择k 个广义坐标q1，q2，…，qk以表示质点系中 k个质点的位置。
若给质点系以任意的虚位移，则各广义坐标均应有相应的
微小改变（称为广义虚位移），并分别以δq1，δq2，…，δqk 表示。质点系中任一点Mi的任一坐标，如xi 就有相应的微小改 变量δxi，则Mi 以广义坐标表示的位置坐标为：
φ 2 B(xB,yB)
y A
y A
1
1
y A
2
2
l1
sin 11
xB
xB
1
1
xB
2
2
l1
c os11
l2
c os 22
yB
yB
1
1
yB
2
2
l1
sin 11
l2
sin 22
即 求 得A, B两 质 点 用 坐 标 表 示 的 虚位 移 。
解析法求虚位移公式推导：
设质点系由n个质点组成，并且由S个完整约束，自由度
的滚动，这时约束就表现为限制车轮中
心到轨迹的距离不变，车轮上每瞬时与
轨迹接触点（瞬心）的速度为 0。该限
制条件就是约束。
o
ω
r v c(xc,yc ) c
x
2 约束方程
约束对质点系运动的限制以通过质点系中各质点的坐标 和速度的数学方程来表示，这方程称为约束方程。
3 约束分类
（1）按约束的作用分： 几何约束——只限制质点和质点系几何位置的 约束； 运动约束——能限制质点系中质点速度的约束；
也就完全确定了，位置坐标可表示为：
x
xA l1 sin1
o
xyBA
l1 l1
cos1 sin
l2
s
in
2
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
φ
yB l1 cos1 l2 cos2 y
2
B(xB,yB)
φ1、φ2起到了确定该质点位置的作用，称为广义坐标。
5 广义坐标：
凡能借以确定质点系位置的独立参变量称为 质点系的广义坐标。
k个独立的参变量q1,q2,…,qk作为其广义坐标。
于是有：
xi xi q1, q2......qk yi yi q1, q2......qk zi zi q1, q2......qk 即 ：ri ri q1, q2......qk
——此即用广义坐标表示的n个质点位置的一般表达式， 其中隐含了约束条件。
(4)虚位移的求法：
①几何法： 非自由质点系在中各质点的相对应位置必须
满足相应的约束条件，因而在各点虚位移之间就 存在着一定的关系。
对于刚体或刚体系统而言，各点虚位移之间 的关系与该点运动时各点速度之间的关系相同。
如上述曲柄连杆机构：若给A点虚位移δrA，则曲柄的虚转角
为：
δφ＝ δrA ／r。
φ 1
y
两质点A,B沿x,y方向的虚位移可以求得：
x
A(xA ,yA ) l2
φ 2 B(xB,yB)
xA l1 sin1
yA xB
l1 l1
cos sin 1
l2
sin
2
yB l1 cos1 l2 cos2
xA
xA
1
1
xA
2
2
l1
c os11
o l1
φ 1
y
x
A(xA ,yA ) l2
虚位移原理
静力学中研究了刚体和刚体系统的平衡问题。对于一般的 非自由质点（包括可变形的刚体系统）而言，其平衡条件比刚 体复杂。
例如，以无重刚体连接的两质点在等值，反向，共线的两 轴向拉力和压力的作用下均可平衡，但是若将刚杆换为柔绳， 则在轴向压力下，虽然力系也满足平衡条件，但此两质点所组 成的系统却不能平衡。
如以下的运动方程中：
xc r 0, 积分可得：xc r C
(C为 积 分 常 数 ）
式中虽然有对时间t的微分项，但可以积分 为有限形式。
（3）约束按是否随时间变化而分： 定常约束——质点系所受对其运动的限制条件 不随时间变化的约束。 非定常约束——凡约束条件随时间变化的约束。
定常约束，即质点系所受对其运动的限制条件 不随时间变化的约束称为定常约束，定常约束的约 束方程中不含时间变量，如前面几个例子中的约束 均为定常约束 。
虚位移
（1）定义：在某瞬时，质点在约束允许的条件下，所可能
发生的任何的微小位移称为质点的虚位移。
(2) 实例：如图所示的质点， 受一曲面约束，质点在此曲面
z ws
上运动，在法线w方向上，约束
δr
质点限制运动。
约束所能允许的微小位移
y
（ 虚位移）只能沿切平面。 x
(3) 实位移与虚位移的共同点： （1）虚位移和实位移都是约束所允许的位移。 （2）在定常约束条件下，实位移是若干虚位移中的 一个。
约束与约束方程,自由度与广义坐标
1 约束
在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为 约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。
现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义 的定义：
如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的 限制，这种限制条件称为约束。
y 例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动
广义坐标可以是直角坐标x，y，z，球坐标或
柱坐标，弧坐标，转角等，也可以是其它的任何 确定质点系位置的量，甚至还可以是压强和体积。
而且，对于完整约束的质点系，其自由度数 与广义坐标数相等。如前例中双摆，自由度数为 2，广义坐标亦为2。
一般来说，由n个质点组成的并具有定常的 完整约束的质点系，若自由度数为k，则可选取
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
推得到解析法求虚位移的公式
δxi
xi q1
δq1
Baidu Nhomakorabea
xi δq2
......
xi δqk
δqk
δyi
yi q1
δq1
yi δq2
......
yi δqk
δqk
δzi
zi q1
δq1
zi δq2
由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系 统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条 件去解决非自由质点系的平衡问题。
本章介绍虚位移原理，又称为分析静力学。 虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任 一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题 的最一般的原理。 刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚 体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。 由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且 相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复 杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质 点所可能发生的位移等。
出其余S个未知的坐标，于是，便可完全确定质点系的位置。
自由度数：
确定具有完整约束的质点系位置所需的独立坐标数称为 该质点系的自由度数。以 k表示自由度数，则上述具有S个完 整约束并由n个质点组成的质点系的自由度数：
k＝3n－S , 具有k个自由度 （平面k＝2n－S ）
例如：双摆的约束方程为：
x
x