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中考数学试卷菱形大题答案
一、题目：已知菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，AB=8cm，AD=6cm，求菱形ABCD的面积。
解答：1. 由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，因此∠AOB=∠COD=90°。
2. 因为AB=8cm，AD=6cm，所以OA=OB=AB/2=4cm，OD=OC=AD/2=3cm。
3. 根据勾股定理，在直角三角形AOB中，AB^2=AO^2+BO^2，即8^2=4^2+BO^2，解得BO=√(8^2-4^2)=√(64-16)=√48=4√3cm。
4. 同理，在直角三角形AOD中，AD^2=AO^2+DO^2，即6^2=4^2+DO^2，解得DO=√(6^2-4^2)=√(36-16)=√20=2√5cm。
5. 因为AC=2OA=8cm，BD=2OD=6cm，所以菱形ABCD的面积S=AC×BD/2=8×6/2=24cm^2。
二、题目：已知菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，AB=10cm，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面积。
解答：1. 由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，因此∠AOB=∠COD=90°。
2. 因为∠ABC=60°，所以∠OAB=∠OBC=(180°-60°)/2=60°。
3. 由菱形的性质可知，菱形ABCD的四条边相等，即AB=BC=CD=DA。
4. 因为∠OAB=∠OBC=60°，所以三角形OAB和OBC是等边三角形，即OA=OB=AB=10cm。
5. 根据勾股定理，在直角三角形OAB中，AB^2=AO^2+BO^2，即10^2=10^2+BO^2，解得BO=0。
6. 因为∠OAB=∠OBC=60°，所以三角形OAB和OBC是等边三角形，所以AC=2OA=20cm。
7. 根据勾股定理，在直角三角形AOD中，AD^2=AO^2+DO^2，即10^2=10^2+DO^2，解得DO=0。
2023届中考数学专项练习 菱形(B)
菱形（B ）1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且E 为BC 中点，8cm AD =，则OE 的长为( ).A.8cmB.6cmC.4cmD.3cm2.如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，菱形ABCD 的面积为48，6DE =，则AD 的长为( )A.12B.8C.4D.23.如图，在菱形ABCD 中，对角线8cm AC =，6cm BD =，则菱形ABCD 的面积是( )2cm .A.24B.36C.48D.964.如图,已知菱形OABC 的顶点()()0,0,2,2O B ,若菱形绕点O 逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D 的坐标为( )A.()1,1-B.()1,1--C.D.(0,5.如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，连接AE ，AF ，EF .若菱形ABCD 的面积为8，则AEF 的面积为( )A.2B.3C.4D.56.如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()3,0A -，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是( )A.3B.5C.7.如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE PF +的最小值是( )A.2 C.1.58.如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2BF CE =，EF =，则菱形ABCD 的边长是( )A.3B.4C.59.如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP x =，DQ y =，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A. B. C. D.10.如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是( )A.3 1 C.1 D.211.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离.若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20cm AB =，则DAB ∠的度数是______.12.如图，菱形ABCD 的对角线16cm AC =，12cm BD =，DH AB ⊥，垂足为H ，则DH =_________cm.13.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，7BD =.若M ，N 分别是边AD ，BC 上的动点，且AM BN =，作ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，则ME NF +的值为__________.14.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，AF 与DE 相交于点G ，则GF 的长等于___________.15.AC 是菱形ABCD 的对角线，60B ∠=︒，2AB =，60EAF ∠=︒，将EAF ∠绕点顶A 旋转，EAF ∠的两边分别与直线BC ，CD 交于点E ，F ，连接EF .（1）【感知】如图1，若E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，则CE CF +=_______；（2）【探究】如图2，若E 是线段BC 上任意一点，求CE CF +的长；（3）【应用】如图3，若E 是BC 延长线上一点，且EF BC ⊥，求AEF △的周长.答案以及解析1.答案：C 解析：四边形ABCD 是菱形，AO CO ∴=，8cm AB AD ==，E 为CB 的中点，∴OE 是ABC △的中位线，2BA OE ∴=，4cm OE ∴=.故选：C.2.答案：B解析：根据题意得：菱形的面积为48AB DE ⋅=，即648AB =，8AB ∴=，四边形ABCD 为菱形，8AD AB ∴==，故选：B.3.答案：A 解析：四边形ABCD 是菱形，对角线8cm AC =，6cm BD =，∴菱形ABCD 的面积2118624cm 22AC BD =⋅=⨯⨯=. 故选A.4.答案：B解析：由题意可知，菱形OABC 的对角线OB 在第一象限的角平分线上，又点B 的坐标是（2,2），∴点D 的坐标为（1,1）.由于菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，而360458÷=，因此旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置（1,1）.6087÷=……4，故把菱形绕点O 逆时针旋转60秒，相当于旋转了7周后，又旋转了4秒，则点D 落在第三象限，且与点（1,1）关于原点O 成中心对称，所以第60秒时，点D 的坐标为（-1，-1）.故选B.5.答案：B解析：如图，过点E 作EG CD ⊥于点G ，延长GE 交AB 的延长线于点H .//AB CD ，点E 为BC 的中点，EG EH ∴=.点F 为CD 的中点， 8ABCD S AB GH =⋅=菱形，1112222ABE SAB EH AB GH ∴=⋅=⋅=，1112222ADF S DF GH AB GH =⋅=⨯⋅=，111112222CEF S CF EG AB GH =⋅=⨯⋅=， 82213AEF ABE ADF CEF ABCD S S S S S ∴=---=---=菱形，故选B.6.答案：A解析：根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD PE +有最小值为DE '，四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，点(3,0)A -，3OA OC ∴==，60DBC ∠=︒，BCD ∴△是等边三角形，3DE OC '∴==，即PD PE +的最小值是3，故选：A.7.答案：A解析：如图，取AB 是中点T ，连接PT ，FT .四边形ABCD 是菱形，//CD AB ∴，CD AB =，DF CF =，AT TB =，DF AT ∴=，//DF AT ，∴四边形ADFT 是平行四边形，2AD FT ∴==，四边形ABCD 是菱形，AE DE =，AT T =，∴E ，T 关于AC 对称，PE PT ∴=，PE PF PT PF ∴+=+，2PF PT FT +≥=，2PE PF ∴+≥，PE PF ∴+的最小值为2.故选：A.8.答案：B解析：四边形ABCD 为菱形，E 是CD 的中点，//AB CD ∴，2BC CD CE ==.设BF a =，则2CE a =，4BC a ∴=.如图，过点C 作CM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，则四边形CEFM 为矩形，2FM EC a ∴==，7CM EF ==.在Rt CBM △中，222CB BM CM =+，即222(4)(3)(7)a a =+，解得1a =（负值已舍去），4BC ∴=.9.答案：A解析：四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，60ABD CBD ADB BDC ∴∠=∠=∠=∠=︒，120BDQ BDP ∴∠=∠=︒，60QBP ∠=︒，OBD PBC ∴∠=∠，//AP BC ，P PBC ∴∠=∠，QBD P ∴∠=∠，BDQ PDB ∴∽△△，DQ BD BD PD ∴==4xy ∴=，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线，故选A.10.答案：D 解析：四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，30DAC ACD ∠∠∴==，120ADC ∠=.如图，取AC 的中点O ，连接OE ，则OE 是ACD △的中位线，12OE CD ∴=,//OE CD ,18060OED ADC ∠∠∴=-=,30AOE ACD ∠∠==,15OEF OED DEF ∠∠∠∴=-=.又15AFE DEF DAC ∠∠∠=-=，OEF AFE ∠∠∴=，1122OF OE CD AD ∴===.易知2cos303AC AD AD ==，32OA AD ∴=，312AF AD +∴=，312FC AC AF AD -∴=-=，:23AF FC ∴=+.11.答案：120°解析：连接AC ，则6020cm 3AC ==， 四边形ABCD 是菱形，20cm BC AB =∴=,AC BC AB =∴=，∴三角形ABC 是等边三角形，60B ∠=︒，120DAB ∴∠=︒故答案为：120°.12.答案：9.6解析：在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，16cm AC =，12cm BD =，18cm 2OA AC ∴==，16cm 2OB BD ==，在Rt AOB △中，()10cm AB ===，DH AB ⊥，∴菱形ABCD 的面积12AC BD AB DH =⋅=⋅， 即11612102DH ⨯⨯=⋅， 解得：9.6DH =，故答案为：9.6.13. 解析：连接AC 交BD 于点O ，则72OB OD ==，AC BD ⊥.在Rt AOB △中，4AB =，72BO =，AO ∴.在菱形ABCD 中，//AD BC ，CBD ADB ∴∠=∠.AM BN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，sin sin ME NF MD MDE BN NBF ∴+=∠+∠sin sin sin MD ADO AM ADO AD ADO=∠+∠=∠AO ==14. 解析：点E 为AB 的中点，1AE EB ∴==.如图，过点C 作AB 的垂线，垂足为点H .在菱形ABCD 中，//AD BC ，60CBH DAB ∴∠=∠=︒，112BH BC ∴==，CH ==EB BH ∴=.连接BF ，EF FC =，//FB CH ∴，12FB CH ==90FBE ∴∠=︒，AF ∴==连接BD ，则ABD △是等边三角形，DE AB ∴⊥，//GE FB ∴，∴点G 是AF 的中点，12GF AF ∴==15.答案：（1）2（2）2（3）解析：（1）四边形ABCD 是菱形，2AB =， 又E ，F 分别是边BC ，CD 的中点， 2CE CF AB ∴+==；（2）四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=，180B BCD ∠+∠=︒，60B ∴∠=︒，ABC ∴△是等边三角形，60ACB ACD BAC ∠=∠=∠=︒， AB AC ∴=，B ACD ∠=∠，60EAF ∠=︒，BAE CAF ∠=∠∴，ABE ACF ∴≅△△，BE CF ∴=，2CE CF CE BE BC ∴+=+==；（3）同（2）可得，ABE ACF ≅△△， AE AF ∴=，CE DF =，60EAF ∠=︒，AEF ∴△是等边三角形，AE AF EF ∴==，//AB FC ，60FCE B ∠=∠=︒，90CEF ∠=︒， 2CF CE ∴=，即2CD DF CE +=，22CE CE ∴+=，2CE =，4CF =，EF===，∴△的周长为AEF。
菱形中考题(含答案)
菱形中考题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E 在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= _________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
中考数学试卷菱形压轴题
一、选择题1. 在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若∠BAC=60°，则∠BEF的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=2AF，若∠ABE=50°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题3. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=10cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为________cm。
4. 在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE=AF，若∠ABE=40°，则∠B的度数是________°。
三、解答题5. （15分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE=AF，∠ABE=50°。
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）求证：BE=EF；（3）若∠BAC=60°，求菱形ABCD的面积。
证明：（1）证明：连接AE、AF。
因为ABCD是菱形，所以AD=BC，AB=AD。
又因为E、F分别是AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC。
由菱形的性质，对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。
因此，四边形AEFD的对边平行且相等，所以四边形AEFD是平行四边形。
（2）证明：因为BE=AF，且四边形AEFD是平行四边形，所以AD=BF。
又因为ABCD是菱形，所以AD=BC。
所以BC=BF，即BC=AF。
又因为∠ABE=50°，所以∠ABF=180°-∠ABE-∠BAF=180°-50°-90°=40°。
所以∠ABF=∠BCF。
又因为AB=BC，所以三角形ABF与三角形BCF全等（AAS）。
所以BE=EF。
（3）求菱形ABCD的面积：由（2）知，三角形ABF与三角形BCF全等，所以AB=BC。
中考数学菱形专题练习
AC图5中考菱形专题 附参考答案1、（2012•泸州）如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O ，若 AC=6，BD=4，则菱 形 ABCD 的周长是（ ） A ．24 B ．16 C ．4 D ．2DGO HB3 题图2、（2013 凉山州）如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正 方形 ACEF 的周长为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．173、（2013•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点 H ，且 DH 与 AC 交于 G ，则 GH =（）A ． 28 cm B ． 21 cm C ． 28 cm D ． 25 cm252015214、（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、N 分别是边 BC 、 CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= ．DCAB DAPC （5 题）BE E FC5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠ A =60 °，折叠菱形纸片 ABCD ，使点 C 落在 DP （P 为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE ．则∠DEC的大小为（A ）78°（B ）75°（C ）60°（D ）45° 6、（2013•黔西南州）如图 5 所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AE ⊥ BC 于 E ， AF ⊥ CD 于 F ，∠B=60°，则菱形的面积为_________。
7、（2013，河北）．如图 4，菱形 ABCD 中，点 M ，N 在 AC 上，ME ⊥AD ， NF ⊥AB . 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN =8、（2013•安徽）如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线AC 上的一个动点，点 M 、N 分别是边 AB 、BC 的中点，则 PM + PN 的最小值是___________．9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△E F，则AEF的面积是．DAPCMBN第8题图10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.10题图11、（2013•遂宁）如图，已知四边形A BCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（△1）ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．12、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．13、（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．14、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（△1）求证：ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．15、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．16、（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．17、（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．18、（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A O D和D A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D D MN的面积为S,求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第18题图）cm B ． cm C ． cmD ． cmAC答案考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：根据菱形得出 AB=BC ，得出等边三角形 ABC ，求出 AC ，长，根据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC ， ∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=4，∴正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故选 C ．（2013•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点 H ，且DH 与 AC 交于 G ，则 GH =（）A ． 28 21 28 2525 20 15 21DGOH（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、N 分别是边 BC 、CD 的中点，BP 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= 5 ．10 题图考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC ，求出 OC 、OB ，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC ，即可得出答案．解答：解：作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 MP+NP 的值最小，连 接 AC ，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∠QBP=∠MBP ， 即 Q 在 AB 上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在△Rt BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1△）ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.N A Dt∴MP=t=3∵Sin∠ADO==∴MP=(70-t)17题图（2013龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、分别以每秒１个单位的速度从点、同时出发，分别沿A O D 和D A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D D MN的面积为S,求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第25题图）.(1)在菱形ABCD中，∵AC⊥BD∴AD=302+402=50.∴菱形ABCD的周长为200.·····························4分(2)过点M作MP⊥AD，垂足为点P.①当0＜t≤40∵Sin∠OAD=MP OD3==AM AD5351∴S=⨯DN•MP210t2························································································································6分②当40<t≤50时，∴MD=80-tMP AOMD AD452= - t 2 + 28t = - (t - 35)2 + 490 ··························································································8 分⎪⎪10 t ,0 < t ≤ 40则NF = ND • Sin ∠ODA = 30 ⨯ = = 24DF = ND • Cos ∠ODA = 30 ⨯ 30 = = 2 ····································································11 分 ∴FG = OF+ ON 12 + 12 5 1 + 5 tan ∠GOF == 1 +5 =∴ ∠DPK = ∠DPO = ∠DON = ∠FOG ··································································12 分∴PK = ···········································································································13 分∴存在两个点 P 到 OD 的距离都是 15( 5 + 1)∴ S ∆DMN = 1DN • MP2 25 5⎧ 3 2 ∴ S =⎨⎪- 2(t - 35)2 + 490,40 < t ≤ 50 ⎪⎩ 5当 0＜t ≤40 时，S 随 t 的增大而增大，当 t ＝40 时，最大值为 480.当 40＜t ≤50 时，S 随 t 的增大而减小，当 t ＝40 时，最大值为 480.综上所述，S 的最大值为 480. ····························································································· 9 分 （3）存在 2 个点 P ，使得∠DPO =∠DON .········································································ 10 分 方法一：过点 N 作 NF ⊥OD 于点 F ，40 12050 5，90= = 18.50 5∴OF =12，∴ tan ∠NOD =NF 24 OF 12作 ∠NOD 的平分线交 NF 于点 G ，过点 G 作 GH ⊥ON 于点 H . ∴ S ∆ONF 1= OF • NF = S2∆OGN + S ∆OFG 1 1 1 = OF • FG + ON • GH = (OF + ON ) • FG 2 2 2OF • NF 12 + 24 24= =24∴ GF 2 OF 12 1 + 5设 OD 中垂线与 OD 的交点为 K ，由对称性可知：1 12 2 ∴ DK 15 2tan ∠DPK == = PK PK 1 + 515( 5 + 1)2根据菱形的对称性可知，在线段 OD 的下方存在与点 P 关于 OD 轴对称的点 P ' .2.··························································14 分方法二：如图，作 ON 的垂直平分线，交 EF 于点 I ，连结 OI ，IN.过点 N 作 NG ⊥OD ，NH ⊥EF ,垂足分别为 G ，H. 当 t =30 时，DN =OD =30，易知△DNG ∽△DAO ，∴即DN NG DG= = ． DA AO OD 30 NG DG= = ． 50 40 30⎪⎪∴PE=PI+IE=15+155．····························································································13分∴存在两个点P，到OD的距离都是.∴NG=24,DG=18．·······································································································10分∵EF垂直平分OD，∴OE=ED＝15，EG=NH=3．······················································································11分设OI=R，EI=x,则在△Rt OEI中，有R2=152+x2①在△Rt NIH中，有R2=32+(24-x)2②⎧15x=2由①、②可得：⎨⎪R=155⎪⎩22根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P'也满足条件．15(5+1)2（2013△?常州）如图，在ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。
(完整版)菱形练习题(含答案),推荐文档
A
H KG
E
F
B
DC
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ， 且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
5.在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，， BF BD ． （1）求证： △≌AD△E CBF ． （2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【精编版】中考数学专题训练——菱形的判定和性质
中考专题训练——菱形的判定和性质1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．参考答案：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4，∴BD＝＝＝8，设DE＝x，则DF＝x，∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，∵BF＝BD+DF＝8+x，∴AB2+AF2＝BF2，∴（4）2+16+x2＝（8+x）2，∴x＝2，∴DE＝DF＝2，∴AE＝＝＝2．∴BD和AE的长分别为8和2．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF （ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD ＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．【分析】（1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE＝CF，于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）只要证明△ECF，△ECB都是等边三角形，可得S菱形BCFE＝2•S△ECF；【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝BEBE＝2DE，∴EF＝BC＝BE，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝BC，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵EF∥BC，∴∠F+∠BCF＝180°，∵∠BCF＝120°，∴∠F＝60°，∵FE＝FC＝CB＝EF，∴△ECF，△ECB都是等边三角形，∴S菱形BCFE＝2•S△ECF＝2××22＝2．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．【分析】（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED＝DF即可；（2）连接AD、EF，利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接AD、EF，在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝12，∴AD＝6，EF＝BC＝BD＝，菱形AEDF的面积＝．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO＝OC，只需要证明OE＝OF即可，用全等三角形得出；（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．【解答】解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，∴OE＝EF＝4．在Rt△AEO中，∵tan∠OAE＝＝，∴OA＝5，∴AC＝2AO＝8，∴S菱形AECF＝EF•AC＝×6×8＝24．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴S菱形ADCE＝＝＝18．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CD＝CF，同理可得CD＝DE，∴CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，过P作PG⊥BC于G，∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝2，∴PC＝CE＝1，∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝＝，即BP的值为．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC ＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，进而得到x2+2xy+y2＝49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，得到x2+y2＝36，据此可得xy＝，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，∴x2+2xy+y2＝49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，∴（y）2+（x）2＝32，即x2+y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE＝AD＝BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN＝AM+MC＝AC＝6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝30°+30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD＝OB，∴DE＝BE，∵DE＝AD，∴CD＝BC＝DE＝BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，∴AM＝BM，∵AC＝6，∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；即两条分割线段长度的和为6．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）【分析】（1）由AE∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABDE为平行四边形，又由AD是边BC上的中线，可得AE＝CD，即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；（2）由BC＝2AD，易得四边形ADCE是菱形，继而求得S四边形ADCE＝m2．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE；（2）∵BC＝2AD，BC＝2CD，∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，∵DE＝AB＝m，AC＝2AO＝2m，∴S四边形ADCE＝AC•DE＝m2．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴平行四边形BFDE是菱形；（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3，∴BF＝3．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EP A，得出AE＝EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD＝∠EP A，∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EP A，∴EA＝EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．【分析】（1）证明∠BAD＝∠F AE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△F AE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，证明AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝2+2，再根据面积公式即可求出．【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠F AD＝∠DAE+∠F AD，即∠BAD＝∠F AE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△F AE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF 得出∠AFB＝∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．。
中考数学菱形复习专题练习 含答案
中考数学菱形复习专题练习一、单选题1．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形2．（2021九上·浙江期中）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm 3．（2021九上·越城期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止.点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．4．（2021九上·上城期中）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3 5．（2021九上·温岭竞赛）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．1B．2C．D．6．菱形有一个内角是120，且较短的对角线长为6cm,则菱形的边长为().A．6cm B．2 cm C．6 cm D．12 cm 7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．B．C．1D．8．如图，在ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。
初三有关菱形的练习题
初三有关菱形的练习题1. 将图中的菱形 ABCD 进行如下操作：a) 将它沿着对角线 AC 折叠，让角 A 和角 C 重合，得到新的图形A'C'BD。
b) 然后，将边 A'C' 沿着对角线 A'D' 折叠，让角 A' 和角 D' 重合，得到完全重合的两个菱形 A'D'CD' 和 A'C'BD'。
请根据以上操作，回答以下问题：i) 边 AC 和边 BD 之间的夹角是多少度？ii) 边 AC 和边 A'D' 之间的夹角是多少度？iii) 请说明每一个折叠操作对原始菱形的对称性有何影响？2. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC 的长度为 12 cm，以及菱形的周长为 30 cm。
求菱形的边长和面积。
3. 菱形 ABCD 的对角线 AC 的长度为 16 cm，且边 AB 和边 CD 的长度分别为 6 cm 和 8 cm。
将该菱形旋转 45 度，得到新的菱形A'B'C'D'。
请计算新菱形的周长和面积。
4. 在菱形 ABCD 中，已知边 AB 的长度为 10 cm，以及菱形的周长为 32 cm。
求菱形的对角线长度。
5. 用纸片折叠法，将一个边长为 6 cm 的正方形变成一个边长为 6 cm 的菱形。
请描述折叠步骤。
注意：1. 对于计算题，请给出详细的步骤和计算结果。
2. 对于图形题，请在回答中绘制清晰的图示，以便读者更好地理解问题。
以上为初三有关菱形的练习题，请思考并回答，如有不清楚处，请及时提出。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。
在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。
本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。
习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BAD=∠DAC=60°。
又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。
又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。
因此，∠CBD的度数为0°。
习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BOA=∠COD=90°。
又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。
根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。
因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。
因此，∠AOB的度数为180°。
习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。
设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。
又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。
根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。
初中数学菱形30题专项练习
菱形30题本专题的制作目的是帮助学生进一步熟悉并掌握菱形的性质和判定，并且能灵活运用到实际题目中。
分了三个模块：①菱形的性质（15题）；②菱形的判定（15题）；共30题。
先仔细研究方法总结，再进行巩固练习。
重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞模块－菱形的性质u歪理·菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它真奇平行四边形的所高性质，还真高自己独特的性质．圄形性质符号表示萎形ABCD边菱形的四条边都相等AB = BC = CD = DAA 菱形的对边平行AB//CD, AD I/BCB命D角菱形的对角相等LDAB = LBCD, LABC= LADC对角菱形的两条对角线亘相垂AClBD线直，AC平分LBAD和ζBCD并且每一条对角线平台一BD平分ζABC和ζADC组对角·菱形的对称性菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．①菱形的对称中心是对角线的交点，过这点的任意直线可将菱开三分成两个全等的图形．Dc②菱形高2条对称轴，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．A。
I/D�王�＠如图，对菱形ABCD的叙述正确的是（）．DA--. j三�cA.AC= BDB.L'.OA B = L'.O BAC.AC l BDD.高4条对称轴。
如图，菱形纸片ABCD中，L'.A= 60。
’折叠菱形纸片ABCD，使点C落在D P( P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则ζD E C的大小为（）．A.78。
B.75。
C.60。
D.45° D C C'。
如图，在三角形ABC中，AB>AC, D、E分别是AB、AC上的点，!:1ADE沿线段DE翻折，使点A藩在边BC上，记为F，若四边形AD F E是菱形，则下列说法正确的是（）．A.DE是l1ABC的中位线C.AF是BC边上的高BB.A F是BC边上的中线D.A F是!:1ABC的角平分线A,,.D人；＼飞FEc＠将矩形纸片ABCD 即日图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB=3，则菱形AECF 的面积为（）．DcDFc协饲→「－－ABAEBA.1B.2{2,C.2./3D.4＠如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0,E 、F分别是AB 、BC 边上的中点，连接EFy 若EF=J言，BD=4，则菱形ABCD 的周长为（）． BDcA.4B.4./6C.4.fiD.28。
2024年中考数学一轮专题速练：菱形
2024年中考数学一轮专题速练：菱形一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023春•长兴县)在菱形ABCD 中,∠ABC ＝60o,若AB ＝3,则菱形ABCD 的面积是( ) A.B.8C.D.2. (2023•遵义)如图,在菱形ABCD 中,AB ＝5,AC ＝6,过点D 作DE ⊥BA,交BA 的延长线于点E,则线段DE 的长为( )A.B.C.4D.3. (2021•蜀山区模拟)如图,菱形ABCD 的边长为12,∠ABC ＝60°,直线EF ⊥AC,垂足为点H,分别交AD 、AB 及CB 的延长线交于点E 、M 、F,若AE:FB ＝1:2,则CH 的长为( )A.12B.10C.8D.6 4. (2021南充)如图,在菱形ABCD 中,∠A ＝60°,点E,F 分别在边AB,BC 上,AE ＝BF ＝2,△DEF 的周长为36,则AD 的长为( )A. 6B.2 3C.3＋1D.23－15. (2023•乐山)如图,在菱形ABCD 中,AB ＝4,∠BAD ＝120°,O 是对角线BD 的中点,过点O 作OE ⊥CD 于点E,连结OA.则四边形AOED 的周长为( )A.9+2B.9C.7+2D.8 6. (2021•安丘市一模)如图,菱形ABCD 的边长为2,∠ABC ＝60°,E 是AD 边的中点,点P 是对角线BD 上的动点,当AP+PE 的值最小时,PD 的长是( )A.3B.23C.33D.3327. (2023•辽阳)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,AC ＝8.BD ＝6,点E 是CD 上一点,连接OE,若OE ＝CE,则OE 的长是( )A.2B.C.3D.48. (2021海南中考)如图,在菱形ABCD 中,点E,F 分别是边BC,CD 的中点,连接AE,AF,EF.若菱形ABCD 的面积为8,则△AEF 的面积为( )A.2B.3C.4D.5 9. (2021•红花岗区二模)如图,已知菱形ABCD,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的点,且满足AH ＝BE ＝CF ＝DG=31AB,则四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比为( )A.94B.95C.33D.3210. (2023•牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点,AD ∥x 轴且AD ＝4,∠A ＝60°,将菱形ABCD 绕点O 旋转,使点D 落在x 轴上,则旋转后点C 的对应点的坐标是( )A.(0,2)B.(2,﹣4)C.(2,0)D.(0,2)或(0,﹣2) 二、填空题（本大题共8道小题）11. (2023•无锡)如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝50°,点E 在CD 上,若AE ＝AC,则∠BAE ＝ °.12. (2023•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA＝1,OB＝2,则菱形ABCD的面积为.13. (2023•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD＝2BE,∠DAE＝∠DEA,EO＝1,则线段AE的长为.14. (2021·青岛黄岛区模拟)如图,在菱形ABCD中,BC＝3,BD＝2,点O是BD的中点,延长BD 到点E,使得DE＝BD,连接CE,点M是CE的中点,则OM＝____.15. [2022·呼和浩特]已知菱形ABCD的面积为23,点E是一边BC上的中点,点P是对角线BD上的动点.连接AE,若AE平分∠BAC,则线段PE与PC的和的最小值为,最大值为.16. (2021•绵阳)如图,在菱形ABCD中,∠A＝60°,G为AD中点,点E在BC延长线上,F、H分别为CE、GE中点,∠EHF＝∠DGE,CF＝,则AB＝.17. (2021·浙江金华)如图,菱形ABCD的边长为6 cm,∠BAD＝60°,将该菱形沿AC方向平移2 3 cm 得到四边形A′B′C′D′,A′D′交CD于点E,则点E到AC的距离为________cm.18. （2023贵州黔西南）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为________.三、解答题（本大题共6道小题）19. (2022北京丰台)如图,在四边形ABCD中,∠DCB＝90°,AD∥BC,点E在BC上,AB∥DE,AE 平分∠BAD.(1)求证:四边形ABED为菱形;(2)连接BD,交AE于点O.若AE＝6,sin∠DBE＝35,求CD的长.20. (2021春•禹城市期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是斜边AB的中点,把△BCD 沿BC翻折得到△BCE,作EF⊥AB于点F.(1)求证:四边形BDCE是菱形;(2)若AC＝12,AB＝20,求EF的长.21. (2022北京北理工附中)如图,在菱形ABCD中,E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点,连接EF、FG、EG(1)求证:△EGF为直角三角形(2)连接ED,当103AD=,3tan4EFG∠=时,求ED的长.22. (2023•北京)如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD 的中点,点F,G 在AB 上,EF ⊥AB,OG ∥EF.(1)求证:四边形OEFG 是矩形;(2)若AD ＝10,EF ＝4,求OE 和BG 的长.23. [2022·贺州]如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠C=90°,∠ADB=∠ABD=21∠BDC,DE 交BC 于点E,过点E 作EF ⊥BD,垂足为F,且EF=EC. (1)求证:四边形ABED 是菱形; (2)若AD=4,求△BED 的面积.24. (2021巴中)如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝AD ＝CD ＝12BC.分别以B 、D 为圆心,大于12BD 长为半径画弧,两弧交于点M,画射线AM 交BC 于E,连接DE.(1)求证:四边形ABED 为菱形;(2)连接BD,当CE ＝5时,求BD 的长.。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题（含答案）1.菱形不具备的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线一定相等C. 是轴对称图形D. 是中心对称图形2.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A. 24B. 18C. 12D. 93.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°4.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A. 3B. 2C. 2 3D. 45.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB、BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是（）A. 12 B. 1 C. 2 D. 26.如图，在菱形ABCD中，AB＝16，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A. 10B. 12C. 13D. 147.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，那么使得四边形EPFD为菱形的x的取值范围是______________．8.已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是_________________．9.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C 的坐标是_________________．10.如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长为_________________．11.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)当BE长度为___________时，四边形AECF是菱形．12.如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，点F是点E关于AC所在直线的对称点．(1)证明：四边形CF AE为菱形；(2)连接EF交AC于点O，若BC＝26，求线段OF的长．13.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC的延长线于点E、F，且AE＝CF，连接DE、BF.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)若∠ABD＝30°，AB⊥AC，①当AE与AB的数量关系为___________时，四边形BEDF是矩形；②当AE与AB的数量关系为___________时，四边形BEDF是菱形．14.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的一点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．参考答案：1-6 BABABD7.1≤x≤38. 239. (－5，4)10.24 511. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ECA＝90°，∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE，∴BE＝CE＝12BC＝5.12. (1)证明：∵∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，∴CE＝12AB＝EA，∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，∴AE＝AF，CE＝CF，∴CE＝EA＝AF＝CF，∴四边形CF AE是菱形；(2)解：四边形CF AE是菱形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴OE＝12BC＝262＝6，∴OF＝ 6.13. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，OA ＝OC ， ∴∠EAO ＝∠FCO ， 在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC∠EAO ＝∠FCO AE ＝CF， ∴△AOE ≌△COF (SAS )； (2)解：①AE ＝AB ；②AE ＝13AB .14. (1)证明：由折叠的性质可知DG ＝FG ，ED ＝EF ，如图，∠1＝∠2，∵FG ∥CD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴FG ＝FE ，∴DG ＝GF ＝EF ＝DE ， ∴四边形DEFG 为菱形；(2)解：设DE ＝x ，根据折叠的性质得，EF ＝DE ＝x ，EC ＝8－x ， 在Rt △EFC 中，FC 2＋EC 2＝EF 2， 即42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝8－x ＝8－5＝3， ∴CE DE ＝35.。
中考数学菱形试题及答案
中考数学菱形试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是菱形的性质？A. 对角线互相垂直B. 四边相等C. 对角线平分一组对角D. 所有内角都是直角答案：D2. 菱形的对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积相等吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题3. 若菱形的边长为5厘米，其对角线长度分别为d1厘米和d2厘米，根据菱形的性质，d1² + d2² = __________。
答案：254. 菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，那么对角线AC的长度为__________。
答案：6√3厘米三、解答题5. 如图所示，菱形ABCD中，E是边AB上的一点，且AE=2厘米，EB=4厘米。
求证：△AED≅△ECB。
证明：∵ ABCD是菱形∴ AB=AD，∠A=∠D又∵ AE=2厘米，EB=4厘米∴ AB=AE+EB=6厘米∴ AD=6厘米在△AED和△ECB中，{AD=AB{∠A=∠C{AE=CB∴ △A ED≅△ECB（SAS）6. 已知菱形ABCD的周长为20厘米，对角线AC的长度为6厘米，求菱形的面积。
解：∵ 菱形ABCD的周长为20厘米∴ AB=5厘米（因为四边相等）设对角线BD与AC相交于点O，由于菱形的对角线互相平分，所以AO=OC=3厘米根据勾股定理，可得：BO² = AB² - AO² = 5² - 3² = 16∴ BO = 4厘米菱形的面积= (AC × BO) / 2 = (6 × 4) / 2 = 12平方厘米四、计算题7. 菱形PQRS的边长为x厘米，对角线PR和QS的长度分别为10厘米和8厘米。
求菱形PQRS的面积。
解：设对角线PR和QS相交于点O，根据菱形的性质，O是PR和QS的中点。
∴ OP = PR / 2 = 5厘米，OQ = QS / 2 = 4厘米在△OPQ中，根据勾股定理：OQ² + PQ² = OP²4² + x² = 5²16 + x² = 25x² = 9x = 3厘米（取正值）菱形PQRS的面积= (PR × QS) / 2 = (10 × 8) / 2 = 40平方厘米注意：以上试题及答案仅供参考，实际中考试题可能会有所不同。
中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°4.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A.63米B.6米C.33米D.3米6.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH的长等于( )A.4.5B.5C.6D.97.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( )A.△EGH为等腰三角形B.△EHF为等腰三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EGF为等边三角形8.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A.①③B.②③C.③④D.①②③9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN 分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅只是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断10.已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2 024个图形中直角三角形的个数有( )A.4 048个B.4 046个C.2 024个D.2 023个二、填空题11.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)12.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).13.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是.14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.15.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B ﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2025米停下，则这个微型机器人停在点.16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D(3，2)，点P对角线OC上的一个动点，已知A(-1，0)，则AP+BP的最小值是__________.三、解答题17.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．18.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则当BE＝______时，四边形BFCE是菱形.20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH. 求证：∠DHO＝∠DCO.23.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,▱ABCD将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图224.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6.(1)实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF.(2)推理计算：四边形BFDE的面积为.参考答案1.D.2.B3.C4.B.5.A.6.A.7.D.8.A9.C10.A.11.答案为：OA＝OC.12.答案为：菱形．13.答案为：(－5，4).14.答案为：16.15.答案为：B.16.答案为：2 5.17.证明；(1)∵△ABC≌△ABD∴∠ABC＝∠ABD∵CE∥BD∴∠CEB＝∠DBE∴∠CEB＝∠CBE．(2)∵△ABC≌△ABD∴BC＝BD∵∠CEB＝∠CBE∴CE＝CB∴CE＝BD∵CE∥BD∴四边形CEDB是平行四边形∵BC＝BD∴四边形CEDB是菱形．18.证明：(1)∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，同理∠DAE＝∠FDA ∵AD＝DA∴△ADE≌△DAF∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF＝∠FDA.∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形.19.证明：(1)∵AB＝DC∴AB＋BC＝DC＋BC∴AC＝DB.在△AEC和△DFB中AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF∴△AEC≌△DFB(SAS)∴EC＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴EC∥BF∴四边形BFCE是平行四边形.(2)4.当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE∵AD＝10，AB＝CD＝3∴BC＝10﹣3﹣3＝4∵∠EBD＝60°∴BE＝BC＝4∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形.20.(1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠COD＝90°∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝4∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2 3∴在△ACE中，AE＝27.21.解：(1)∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AO＝OC∴OM＝ON.(2)∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6∴BO＝2 5∴BD＝2OB＝4 5∵DE∥AC，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形∴DE＝AC＝8∴△BDE的周长是：BD＋DE＋BE＝BD＋AC＋(BC＋CE)＝45＋8＋(6＋6)＝20＋4 5. 即△BDE的周长是20＋ 5.22.证明：∵四边形ABCD是菱形∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB于H∴∠DHB＝90°.在Rt△DHB中，OH＝OB∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD∴∠OBH＝∠ODC.∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°∴∠DHO＝∠DCO.23.解：(1)C.=15,AE⊥BC,∴AE=3.(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.又△AEF经平移得到△DE'F'∴AF∥DF',AF=DF'∴四边形AFF'D是平行四边形.又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.②如图,连接AF',DF.在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=10.在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=310. ∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为10,310.24.解：(1)如图，DE、DF为所作；(2)∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°，AB=2BC=12∵BD为∠ABC的角平分线∴∠DBC=∠EBD=30°∵EF垂直平分BD∴FB=FD，EB=ED∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°∴DE∥BF，BE∥DF∴四边形BEDF为平行四边形而FB=FD∴四边形BEDF为菱形在Rt△ADE中，DE=AE而AE=AB﹣BE∴12﹣BE=BE，解得BE=8在Rt△BDC中，CD=BC=2∴四边形BFDE的面积=×8×2=8.。
中考数学总复习《菱形》专项测试卷带答案
中考数学总复习《菱形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.20°B.60°C.70°D.80°2.菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的边长是( )A.6B.4C.5D.203.如图,以O为圆心,OA长为半径画弧分别交OM,ON于A,B两点,再分别以A,B 为圆心,OA长为半径画弧,两弧交于点C,分别连接AC,BC,则四边形OACB一定是( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=4,若菱形ABCD的面积为32√3,则CD的长为( )A.4B.4√3C.8D.8√35.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC 中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是(限填序号).6.点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为.7.(2024·山东济宁一模)已知四边形ABCD是一张矩形纸片,将四边形CDEF沿EF 翻折,使点C和点A重合,点D落在点G处,连接CE.(1)求证:△ABF≌△AGE;(2)求证:四边形AECF是菱形.【B层·能力提升】8.如图,在菱形ABCD中,AC=2√3,∠DAB=60°,则菱形ABCD的周长为( )A.4B.4√3C.8√3D.89.如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边△EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点B,D,E,G在同一直线上:若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β=( )A.42°B.43°C.44°D.45°10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则BC的长为.11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(1,√3),则顶点B的坐标是.12.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD.若AD=4 cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积是cm2.13.如图,四边形ABCD是平行四边形.(1)尺规作图;作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.【C层·素养挑战】14.课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.求证:▱ABCD是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD 是菱形;②延长BC 至点E ,连接OE 交CD 于点F ,若∠E =12∠ACD ,求OFEF的值.参考答案【A 层·基础过关】1.如图,菱形ABCD 中,连接AC ,BD ,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)A.20°B.60°C.70°D.80°2.菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的边长是(C) A.6B.4C.5D.203.如图,以O 为圆心,OA 长为半径画弧分别交OM ,ON 于A ,B 两点,再分别以A ,B 为圆心,OA 长为半径画弧,两弧交于点C ,分别连接AC ,BC ,则四边形OACB 一定 是(B)A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形4.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,过点D 作DH ⊥AB 于点H ,连接OH ,OH =4,若菱形ABCD 的面积为32√3,则CD 的长为(C)A.4B.4√3C.8D.8√35.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC 中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是①(限填序号).6.点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为62°.7.(2024·山东济宁一模)已知四边形ABCD是一张矩形纸片,将四边形CDEF沿EF 翻折,使点C和点A重合,点D落在点G处,连接CE.(1)求证:△ABF≌△AGE;(2)求证:四边形AECF是菱形.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,将四边形CDEF沿EF翻折,使点C和点A 重合,点D落在点G处∴AB=CD=AG,∠B=∠D=∠G=90°,∠BAF=90°-∠FAE=∠GAE∴△ABF≌△AGE(ASA).(2)∵四边形ABCD是矩形,由(1)得△ABF≌△AGE,∵CF=AF=AE,AE∥FC∴四边形AECF是平行四边形.∵CF=AF∴四边形AECF是菱形.【B层·能力提升】8.如图,在菱形ABCD中,AC=2√3,∠DAB=60°,则菱形ABCD的周长为(D)A.4B.4√3C.8√3D.89.如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边△EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点B,D,E,G在同一直线上:若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β=(C)A.42°B.43°C.44°D.45°10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则BC的长为12.11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(1,√3),则顶点B的坐标是(-1,√3).12.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD.若AD=4 cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积是8√3cm2.13.如图,四边形ABCD是平行四边形.(1)尺规作图;作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.【解析】(1)如图所示,MN即为所求.(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,∴∠CAE=∠ACF.如图,设EF与AC交于点O∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=OC,EF⊥AC.∵∠AOE=∠COF∴△AOE ≌△COF (ASA),∴OE =OF ∴四边形AFCE 为平行四边形. ∵EF ⊥AC ,∴四边形AFCE 为菱形.【C 层·素养挑战】14.课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在▱ABCD 中,对角线BD ⊥AC ,垂足为O. 求证:▱ABCD 是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,AD =5,AC =8,BD =6. ①求证:▱ABCD 是菱形;②延长BC 至点E ,连接OE 交CD 于点F ,若∠E =12∠ACD ,求OFEF的值.【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO=DO,又∵BD⊥AC,垂足为O∴AC是BD的垂直平分线∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形.(2)①在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=8,BD=6∴AO=CO=12AC=4,DO=12BD=3,又∵AD=5在△AOD中,AD2=AO2+DO2∴∠AOD=90°,即BD⊥AC,∴▱ABCD是菱形;②如图,设CD的中点为G,连接OG∴OG是△ACD的中位线∴OG=12AD=52由①知:四边形ABCD是菱形∴∠ACD=∠ACB,又∵∠E=12∠ACD∴∠E=12∠ACB,又∵∠ACB=∠E+∠COE ∴∠E=∠COE,∴CE=CO=4∵OG是△ACD的中位线,∴OG∥AD∥BE∴△OGF∽△ECF,∴OFEF =OG CE又∵OG=52,CE=4,∴OFEF=524=58.。
中考数学菱形试题及答案
中考数学菱形试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 菱形的对角线互相垂直，那么菱形的对角线长度之比为：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:1答案：A2. 菱形的周长为20厘米，那么其边长为：A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A3. 菱形的对角线互相垂直平分，那么菱形的一个内角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B4. 菱形的对角线互相垂直且相等，那么菱形的面积为：A. 4平方厘米B. 8平方厘米C. 16平方厘米D. 32平方厘米答案：B5. 菱形的对角线长度分别为6厘米和8厘米，那么菱形的面积为：A. 12平方厘米B. 24平方厘米C. 36平方厘米D. 48平方厘米答案：B6. 菱形的边长为5厘米，对角线长度分别为6厘米和8厘米，那么菱形的高为：A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 6厘米答案：B7. 菱形的对角线长度之比为3:4，那么菱形的边长为：A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米答案：C8. 菱形的周长为16厘米，那么其对角线长度之和为：A. 8厘米B. 16厘米C. 24厘米D. 32厘米答案：C9. 菱形的对角线长度分别为10厘米和20厘米，那么菱形的面积为：A. 50平方厘米B. 100平方厘米C. 150平方厘米D. 200平方厘米答案：B10. 菱形的对角线长度之比为2:3，那么菱形的边长为：A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 12厘米答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 菱形的对角线互相垂直平分，如果一条对角线的长度为8厘米，那么另一条对角线的长度为____厘米。
答案：82. 菱形的边长为6厘米，对角线长度分别为6厘米和8厘米，那么菱形的面积为____平方厘米。
答案：243. 菱形的对角线长度之比为1:2，那么菱形的边长为____厘米。
答案：√54. 菱形的周长为24厘米，那么其边长为____厘米。
中考数学复习----《菱形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《菱形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。
几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形2.利用平行四边形判定：①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。
②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
练习题1、（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．2、（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：这个条件可以是AB＝AD，理由如下：由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．3、（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【分析】由AB∥CD，AB＝CD得四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．4、（2022•辽宁）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝43，则四边形CEDF的周长是．【分析】连接EF交CD于O，证明四边形CEDF是菱形，可得CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，可得CE＝＝＝4，故四边形CEDF的周长是4CE＝16．【解答】解：连接EF交CD于O，如图：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，故答案为：16．。
初三数学菱形试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则∠BAD的度数是：A. 120°B. 60°C. 30°D. 90°2. 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若AC=10cm，BD=6cm，则菱形ABCD的周长是：A. 32cmB. 26cmC. 24cmD. 30cm3. 菱形的一个内角是∠A，则∠A的邻补角是：A. ∠BB. ∠CC. ∠DD. ∠A本身4. 菱形对角线的交点将菱形分成了四个全等的：A. 三角形B. 四边形C. 矩形D. 梯形5. 在菱形ABCD中，若对角线AC=8cm，BD=6cm，则菱形ABCD的边长是：A. 10cmB. 12cmC. 6cmD. 8cm二、填空题（每题5分，共25分）6. 菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直平分。
7. 菱形的对角线相交于一点，且该点将对角线平分。
8. 菱形的对角线互相垂直，且互相平分。
9. 菱形的对角线相等，则该菱形是正菱形。
10. 菱形的对角线互相垂直平分，则该菱形是正方形。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知菱形ABCD中，∠ABC=75°，求∠BAD的度数。
12. （10分）菱形ABCD的对角线AC=12cm，BD=8cm，求菱形ABCD的周长。
13. （10分）在菱形ABCD中，对角线AC=10cm，BD=6cm，求菱形ABCD的边长。
四、应用题（每题10分，共20分）14. （10分）一个菱形的边长为8cm，对角线相交于点O，求点O到菱形各顶点的距离。
15. （10分）一个菱形的对角线长分别为10cm和6cm，求菱形的周长。
答案：一、选择题1. A2. A3. D4. A5. A二、填空题6. 相等7. 对角线交点8. 垂直平分9. 对角线相等 10. 对角线互相垂直平分三、解答题11. ∠BAD=105°12. 菱形ABCD的周长为40cm13. 菱形ABCD的边长为8cm四、应用题14. 点O到菱形各顶点的距离分别为4cm、4cm、4cm、4cm15. 菱形的周长为32cm。
中考数学试卷菱形大题题目
一、题目：已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为CD上的一点，AE=8cm，BE=10cm，AF⊥CD于F。
（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若∠EBC=θ（0°＜θ＜60°），求证：AB=2sinθ；（3）若BE=10cm，CD=12cm，求菱形ABCD的周长；（4）设AB=2x（x＞0），求菱形ABCD的面积S，并求x的取值范围。
二、解题步骤：（1）证明：由菱形性质知，AB=BC，AD=DC。
∵∠ABC=60°，∴∠B=∠C=60°。
∵AF⊥CD，∴∠ADF=90°。
在△ABE中，∠B=60°，AB=AE=8cm，BE=10cm。
由勾股定理可得：BE²=AB²+AE²，即10²=8²+8²，得AB=8cm。
∴AB=BC=8cm。
又∵AF⊥CD，∴∠BAF=∠B=60°。
∴∠BAE=∠BAF+∠AEF=60°+90°=150°。
∵AB=AE=8cm，∴∠ABE=180°-∠BAE=180°-150°=30°。
∴∠ABE=∠BAE，∴AB=BE。
∴四边形ABEF是矩形。
（2）证明：由（1）知，AB=8cm。
∵∠EBC=θ，∴∠ABC=60°-θ。
在△A BE中，∠B=∠ABC=60°-θ。
由正弦定理可得：AB/sinθ=BE/sin60°，即8/sinθ=10/√3。
∴sinθ=8√3/10。
∵sinθ=AB/2x，∴2x=8√3/10。
∴x=4√3/5。
∴AB=2x=2×4√3/5=8√3/5。
∴AB=2sinθ。
（3）解：由（1）知，AB=8cm。
∵CD=12cm，∴菱形ABCD的周长为：4×AB=4×8cm=32cm。
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中考菱形专题附参考答案1、（2012•泸州）如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（ ） A ． 24 B ． 16 C ． 4 D ． 22、（2013凉山州）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173、（2013•绵阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ）A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm 4、（2013•内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= ．图5BCDA5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，折叠菱形纸片ABCD ， 使点C 落在DP （P 为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ．则∠DEC 的大小为（A ）78°（B ）75°（C ）60°（D ）45°6、（2013•黔西南州）如图5所示，菱形ABCD 的边长为4，且AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，∠B=60°，则菱形的面积为_________。
（5题）ABCDEC P HGOD CBA 3题图7、（2013，河北）．如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =8、（2013•安徽）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是___________．9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.11、（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．12、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．第8题图DABCPM N10题图13、（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．14、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．15、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE 交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．16、（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．17、（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．18、（2013•龙岩）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且80AC =，60BD =．动点M 、N 分别以每秒１个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A OD 和D A ®运动，当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）记D M N D 的面积为S , 求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；（3）当t =30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO ＝∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD 的距离；若不存在，请说明理由．答案考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：根据菱形得出AB=BC ，得出等边三角形ABC ，求出AC ，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC ， ∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，（第18∴AC=AB=4，∴正方形ACEF 的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故选C ．（2013•绵阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ） A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm（2013•内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= 5 ．考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析： 作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小，连接AC ，求出OC 、OB ，根据勾股定理求出BC 长，证出MP+NP=QN=BC ，即可得出答案． 解答：解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∠QBP=∠MBP ， 即Q 在AB 上， ∵MQ ⊥BD ，HGODCB A10题图∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO=∠DCO.（2013•龙岩）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且80AC =，60BD =．动点M 、N 分别以每秒１个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A O D和D A ®运动，当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）记DM N D 的面积为S , 求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；（3）当t =30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO ＝∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD17题图. (1)在菱形ABCD 中，∵AC ⊥BD∴AD.∴菱形ABCD 的周长为200. ····························· 4分 (2) 过点M 作MP ⊥AD ，垂足为点P . ①当0＜t ≤40 ∵35MP OD Sin OAD AM AD ∠=== ∴MP =35t∴12S DN MP =⨯∙=2310t ························································································································ 6分②当40<t 50≤时，∴80-MD t = ∵Sin MP AOMD AD∠=ADO=∴MP =4(70)5t -∴DMN 12S DN MP ∆=∙ 222228(35)49055t t t =-+=--+·························································································· 8分 ∴223,040102(35)490,40505t t S t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪--+<≤⎪⎩当0＜t ≤40时，S 随t 的增大而增大，当t ＝40时，最大值为480. 当40＜t ≤50时，S 随t 的增大而减小，当t ＝40时，最大值为480.综上所述，S 的最大值为480. ····························································································· 9分 （3）存在2个点P ，使得∠DPO =∠DON . ········································································ 10分 方法一：过点N 作NF ⊥OD 于点F ，则401203024505NF ND Sin ODA =∙∠=⨯==，DF =30903018.505ND Cos ODA ∙∠=⨯==∴OF =12，∴24tan 212NF NOD OF ∠=== ···································································· 11分 作NOD ∠的平分线交NF 于点G ，过点G 作GH ⊥ON 于点H .∴12ONF OGN OFG S OF NF S S ∆∆∆=∙=+1122OF FG ON GH =∙+∙1()OF ON FG =+∙∴FG=OF NF OF ON ∙==+∴tan GF GOF OF ∠==设OD 中垂线与OD 的交点为K ，由对称性可知：∴1122DPK DPO DON FOG ∠=∠=∠=∠ ·································································· 12分∴15tan DK DPK PK PK ∠===∴PK··········································································································· 13分 根据菱形的对称性可知，在线段OD 的下方存在与点P 关于OD 轴对称的点'P . ∴存在两个点P 到OD.··························4分方法二：如图，作ON 的垂直平分线，交EF 于点I ，连结OI ，IN.过点N 作NG ⊥OD ，NH ⊥EF ,垂足分别为G ，H. 当t =30时，DN =OD =30，易知△DNG ∽△DAO ， ∴DN NG DGDA AO OD ==． 即30504030NG DG ==． ∴NG =24,DG =18．······································································································· 10分 ∵EF 垂直平分OD ，∴OE = ED ＝15，EG =NH =3． ······················································································ 11分 设OI =R ，EI =x ,则在Rt △OEI 中，有R 2=152+x 2 ① 在Rt △NIH 中，有R 2=32+(24-x )2 ②由①、②可得：152x R ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴PE=PI+IE．····························································································13分根据对称性可得，在BD下方还存在一个点'P也满足条件．∴存在两个点P，到OD.（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。