高中数学 胡不归与阿氏圆
第3讲 胡不归+阿氏圆+费马点
第3讲：胡不归+阿氏圆+费马点模块一：胡不归【举例说明】已知D 为射线AB 上一动点，︒=∠30BAC ，AC =32，当AD =__________时，CD AD +21取最小值；AD +2CD 的最小值是__________课堂讲练【例1】（2019桂林）如图，在△ABC 中，∠A ＝15°，AB ＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则22AP+PB 的最小值是（ ）“AP +k•PB ”型作法作图原理点A 、点B 为定点，点P 为BM 上一点，求“PA +k ·PB ”的最小值．作∠MBN ，使得sin ∠MBN = k ，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ ，求“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。
点到直线，垂线段最短“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。
A ．2B ．3C ．62D ．2【例2】（2020•安溪县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连结PD ，则2PD +PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2+22C ．22D ．32+232【例3】（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当2AM +2DM 的最小值为2724时，求b 的值．【例4】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若AB =6cm ，BC =5cm①求EAD sin 的值②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间【例5】如图，在△ACE 中，CA =CE ，︒=∠30CAE ，B e O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上（1）试说明CE 是Be O 的切线（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示Be O 的直径AB（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当OD CD 21的最小值为6时，求Be O 的直径AB 的长变式练习：1．（2018春•鼓楼区期中）已知：A （﹣1，0），C （0，3）在y 轴上选一点P ，使AP +12PC 最短，则P 点坐标为（ ）A ．（0，32）B ．（0，34）C ．（0，35）D ．（0，33）2．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则12AE +CE 的最小值为 ．3．（2020•金台区校级模拟）如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +12BM 的最小值为 ．4．（2020秋•锦江区校级期中）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2E'B的最小值．35．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．CF的最小值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+226．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为，如图所示．抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；PC+PB的最小值．②连结PB，求357．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；OQ的最小值．②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14模块二：阿氏圆前面我们说过胡不归的模型，事实上阿氏圆的模型与其是非常相似的，我们知道“PC kPD +”型中当P 点运动轨迹是直线的时候，他就是胡不归模型。
中考最值系列之胡不归问题
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2MN【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．NM将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．MN【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【2019长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH ． HEDC BAABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α=55HEDCBAEDCB【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．A B CD P【分析】考虑如何构造”，已知∠A=60°，且sin60°，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH=，将问题转化为：求PB+PH最小值．MHPD CBA当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．A BCD PHM【2014成都中考】如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （-2,0），B （4,0），D点坐标为(-，故抛物线解析式为)()24y x x =+-，化简为：2y =问题，此处略去了该题的第二小问．点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【2018重庆中考】抛物线2y x =x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC的解析式为：y =+AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC 取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ⎛- ⎝，则E m ⎛ ⎝，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，22=PE CH m +=+sin ABE ∠=当P点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。
动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型是由胡不归与阿氏共同提出的一个数学
模型。
该模型用于描述和分析物体在胡不归的假设条件下的运动轨迹。
其中，胡不归的假设条件是指物体在运动过程中受到的外部力可以忽
略不计，即在理想的情况下进行研究。
而阿氏圆则是由阿氏提出的一
个圆形轨迹模型，用于描述物体在惯性系下的运动轨迹。
在该模型中，胡不归和阿氏假设物体在运动过程中不受外力作用，因此物体会沿着一个圆形轨迹进行运动。
这个圆形轨迹被称为阿氏圆。
胡不归和阿氏通过对物体运动的分析和计算，得出了一些关于运动轨
迹的重要结论。
根据该模型，物体在阿氏圆上的运动满足某些特点。
首先，在给
定的时间段内，物体在阿氏圆上的运动速度是恒定的。
其次，在同一
圆上不同位置的物体所处的时间间隔是相等的。
最后，在阿氏圆上的
任意两点之间，物体所经过的弧长与圆心之间的夹角成正比。
胡不归和阿氏圆数学模型在物体运动的研究和应用中具有重要的
意义。
通过这个模型，我们可以更加深入地理解物体在惯性系下的运
动特点。
同时，该模型也能够为我们提供一种计算物体运动轨迹和速
度的方法，从而对各种相关问题进行分析和解决。
总的来说，胡不归和阿氏圆数学模型为我们提供了一种简单而有
效的描述物体运动的工具，为物理学和工程学的发展做出了重要贡献。
胡不归-阿氏圆问题修改版
胡不归-阿氏圆问题已知定点A 、B ，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)；点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；构造出新的线段，使其等于aPA ；构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=21、22和23时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（21PA+PB ），PA+2PB=2（22PA+PB ）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；要求：在直线l 上找一点P ，使得21PA+PB 最小.【分析】利用sin30°=21构造出PH=21PA ，当B 、P 和H 共线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH 取得最小值【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ， 则点P 即为所求，此时21PA+PB 最小，最小值即为 线段BH 的长.问题概述方法原理解题思路【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a 为22、23时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上一动点，连接PB ，当P 点坐标为_________时，21PA+PB 取得最小值，最小值为__________；（2）如图2，直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为y 轴上一动点，连接PA ，当P 点坐标为________时，2PA+√2PB 取得最小值，最小值为_________.图1 图2【分析】（1）根据模型构造出21PA 找出P 点，借助含30°角的直角三角形解出OP 长和BH长，从而求出P 点坐标和21PA+PB 的最小值；（2）2PA+√2PB=2（PA+22PB ），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A 作射线AC ，与y 轴正半轴交于点C ，使∠OAC=30°，过点B 作BH ⊥AC 于H ，交x 轴于P ，则PH=21PA ，此时12 PA+PB 取得最小值，即为BH 长；已知∠OBP=30°， ∴OP=3OB =3,则P （3，0）又OC=3OA =3，∴BC=3+3，∴BH=23BC=2333+，即12PA+PB 的最小值为2333+；（2）如图，过点B 作射线BC ，与x 轴的正半轴交于点C ，使∠OBC=45°，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交 y 轴于点P ，此时2PA+√2PB 取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=√22AC=2√2，∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P （0，1）；即当P 点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB 取得最小值42.【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为（ ）A ．2＋5B ．2＋6C ．4D ．32【分析】由于AP=CP ，AP ＋BP ＋CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD 为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），∴即求PA+21PB 的最小值，连接AE ，作∠DBE=30°，交AC 于E ，过A 作AF ⊥BE ， 垂足为F ，在Rt △PBF 中，∵∠PBF=30° ，∴PF=21PB ， ∴PA+21PB 的最小值即为AF 长，易得∠PAO=30°， ∴OP=3AO=36，AP=2OP=362，BP=OB-OP=2-36， ∴PF=21BP=22-66，∴AP+PF=262 ，AP+BP+CP 的最小值为2＋6 ，故选B.【小结】1.求解AF 也可放到△ABE 中，用等面积法计算；2.点P 为△ABC 的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)135lBA变式训练1-2如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题2-1如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，22）， C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为线段AD 、DC ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______ 【分析】设CD 上速度为v ，AD 上速度为3v ，则全程时间t=v CD vAD+3=)(311CD AD v +，当31AD+CD 最小时，总时间最少；分析条件知CO=31AC ，过点D 作DH ⊥AC 于H ，构造△ADH 和△ACO 相似，则DH=31AD ，又CD=BD ，则需DH+BD 最小，此时B 、D 、H 共线且BH ⊥AC ，借助相似易得点D 坐标.【解答】如图，作DH ⊥AC 于点H ，交AO 于D ，此时整个运动时间最少，易证△BOD ∽△AOC ，则OAOB OC OD ==221，∴OD=221OC =42，∴D （0，42）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a 的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x 2+x+3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点E ，使QE+EB 的值最小，求E 的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化典型例题3-1如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 为直角边AC 上一 点，且CD=2，将CD 绕着点C 顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D 的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+21BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C 为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B 中，CD'=21BC ，据此在CB 上截取CF=21CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B ，将21BD'转化为D'F ，即求AD'+D'F 的最小值，A 、D'、F 共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB 上截取CF=21CD'=1，∴21==''CBD C D C CF ，又∵∠FCD'=∠D'CB ，∴△CFD'∽△CD'B ，∴21=''B D FD ,即D'F=21BD'，要使AD'+21BD'最小，则需AD'+D'F 最小，此时A 、D'、F 三点共线，AD'+D'F 的最小值即为AF 长，在Rt △ACF 中， AF=22CF AC +=2213+=10， 即AD'+21BD'的最小值是10.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax 2﹣6ax+6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ． ①在x 轴上找一点Q ，使△OQE ′∽△OE ′A ，求出Q 点坐标．②求BE ′+AE ′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
胡不归+阿氏圆(学生版)
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题线段最值问题—胡不归问题和阿氏圆问题
专题07 线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题【问题引入】在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【题型一——胡不归问题】【模型介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】【问题】点A 为直线l 上一定点，点B 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，要使√22AP ＋BP 最小．【作法】过点 A 作∠NAP ＝45°，过点 P 作 PE ⊥AN ，在直角三角形中将√22AP 转化为 PE ，使得√22AP ＋BP ＝PE ＋BP ，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB ”型问题转化为“PA+PC ”型．注意：而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【典型例题】【例1】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：（1）AE=_______．（2）CD +√55BD 的最小值是_______．【答案】（1）2√5（2）4√5【解析】解：（1）∵tanA=2，BE ⊥AC∴BE AE =2∴设AE=x ，BE=2x∴x 2+(2x )2=102∴x =2√5（2）如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点H∵AE=2√5，AB=10∴AE AB =2√510=√55 ∴sin ∠ABD =DF BD =√55 ∴DF=√55BD∴CD +√55BD =CD +DF∵当C 、D 、F 三点共线时，CD +DF 最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=2AE=4√5∴CD +√55BD 的最小值时4√5【练1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA=3，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√1010BD 的最小值是【答案】6√10【解析】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点HAB C DE∵tanA=3，BE⊥AC，AB=AC=20∴BEAE =3∴设AE=x，BE=3x ∴x2+(3x)2=202∴x=2√10∴sin∠ABD=DFBD =√1010∴DF=√1010BD∴CD+√1010BD=CD+DF∵当C、D、F三点共线时，CD+DF最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=3AE=6√10∴CD+√55BD的最小值时6√10【练2】如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 3，P 是对角线 BD 上的一个动点，则12BP＋PC 的最小值是_______．【答案】3√32【解析】解：如图，作PM⊥AB于点M，CH⊥AB于点H∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30°∴PM=12PB∴12BP＋PC=PM+PC∵当C、P、H三点共线时，PM+PC最小，即为CH 在Rt△CBH中，CH=BC×sin60°=3√32∴12BP＋PC的最小值时3√32【练3】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则PB +√32PD的最小值等于________．【答案】3√3【解析】解：如图，作PH⊥AD于点H∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∵∠DAB=60°∴∠HDP=60°∴sin∠HDP=√32∴PH=√32PD∴PB +√32PD=PB+PH∵当B、P、H三点共线时，PB+PH最小，即为BH在Rt△ABH中，BH=AB×sin60°=3√3∴12BP＋PC的最小值时3√3【题型二——阿氏圆问题】【模型介绍】所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
动态几何之胡不归阿氏圆 旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
“费马点”-“胡不归题”--“阿氏圆”等问题)
“费马点”-“胡不归题”--“阿氏圆”等问题)1、两点之间线段最短；2、三角形的两边之和大于第三边；3、点到直线之间的距离垂线段最短；两条平行线之间垂线段最短。
方法：1、通过轴对称变换转化；2、通过旋转变换转化;3、通过平移转换转化;4、通过构造全等三角形转化。
分类探索:一、不做任何变换方法策略：像第1题这样的题目，不用做任何几何变换，可直接用两边之和大于第三边，三点共线时，两条线段和等于第三条线段。
二、先做轴对称变换方法策略：以上这些题目，都是常见的将军饮马类问题，采用的解题策略是先做轴对称变换，再用两点之间线段最短，或者是点到直线之间的距离垂线段最短，或者用两边之和大于等于第三边（共线时取等号），此类问题可以总结为：化折为直，化直为垂。
三、先做旋转变换方法策略：这两道题目，采用的解题策略和费马点类问题类似，都是先做旋转变换，我们把有公共端点的三条线段称为星型摆放的线段，通过旋转60产生等边三角形，从而将星型摆放的线段转化成首尾相连的线段，然后再利用两点之间线段最短，此类问题可以总结为：化星为折，化折为直。
如果有动点出现，后面再加上化直为垂。
四、先做平移变换方法策略:这两道题目，采用的解题策略先做平移变换，把两条分离的线段首尾相接起来，然后再利用两点之间线段最短，此类问题被称为沿河饮马问题。
五、先通过动点的直线轨迹作轴对称变换方法策略这三道题目，采用的解题策略是先找出动点的轨迹，这种题目的轨迹是一条直线，然后再做轴对称变换，将这条直线同侧的两条线段转化到两侧去，最后再利用两点之间线段最短解决问题，此类问题被称为隐形将军饮马问题。
六、先构造全等方法策略:这里题目比较少见，是先通过构造全等三角形，将两条线段重新拼接，再利用相似找出新图形之间的线段关系，利用两点之间线段最短解决问题。
解题思想方法;1、常见的将军饮马类问题，采用的解题策略是先做轴对称变换，再用两点之间线段最短，或者是点到直线之间的距离垂线段最短，或者用两边之和大于等于第三边（共线时取等号），此类问题可以总结为：化折为直，化直为垂。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
胡不归与阿氏圆问题
圆中最值问题之“阿氏圆与胡不归”问题1. 如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段AE 上．设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD，当12CD+OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．2.在△A B C中，∠A B C=90°，B C=8,A C=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接A D、BD、CD，则12BD+AD 最小值解析：根据阿氏圆定义12CDBC=为定值，不妨设BC 与圆C交于点E，取EC中点F，已知12FC CDCD BC==且∠FCD=∠DCB,所以△FCD∽△DCB ,FD=12BD,所以12BD+AD=FD+AD≥AF，由勾股定理可得103. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4 ，⊙C的半径为2，点D是⊙C上的动点，点E在BC上，CE=1，连接AD、DE，则1AD+2DE的最小值为 .24.在△A B C中，A B=9，B C=8，∠A B C=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连接 PB、PC，则3PC+2PB的最小值为 .5.如图，在R t△A B C中，∠A C B=90°，C B=4，C A=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP 的最小值为 .6. 如图 ，已知点 P 是边长为 6 的正方形 A BCD 内部一动点，PA=3，求12PC PD +的最小值； 7.如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=18，BC=25，点 M 是矩形内部一动点，MA=15，当35MC MD +最小时，画出点M 的位置，并求出35MC MD +的最小值.8. 如图，BE 、A C 为四边形 A B C E 的 对 角 线，C E =2，∠C A E =60°，∠C A B =90°， ∠C B A =30°，连接 BE ，求 BE 的最大值.9.如图，已知AC=4，BC=3，AB=5，⊙C 的半径为4，⑴点D 为⊙C 上的动点，连接AD ，BD,则23AD BD +的最小值为 . ⑵点P 为⊙C 上的动点，连接AP ，BP, 则12AP BP +的最小值为 .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则12PD PC +的最小值为 ；4PC +的最小值为 .11.如图，⊙O ，MO=2，∠POM=90°，Q 为⊙O 上一动点，则PQ 的最小值为 .12.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上一动点，则12PD PC +的最小值为 .13.如图，点C 的坐标为（2,5），点A 的坐标为（7,0），⊙C B 为⊙C 上一动点，5OB AB +的最小值 .14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （6，-1）,M （4,4），以M 为圆心，径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为 .第14题图第15题图15.在平面直角坐标系中，A（2，0），B(0，2),C(4，0),D(3，2),P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是 .16.如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则PD+PC的最小值为 .217.在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB、PC,则3PC+2PB的最小值为 .18.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O,P是⊙O上的一动点，PA+PB的最小值为 .19.如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上的一动点，则2PB+PC的最小值为 .第19题图第20题图20.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 .21.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，⊙A与BC相切与点E，点P是⊙A上一动点，的最小值为 .22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上一点，且APBP=m，点F在以点P为圆心，AP为半径的⊙P上，则CF+mBF的最小值为，此时AP= 。
PA+kPB最值探究(胡不归+阿氏圆)及以阿氏圆为背景的线段和最值问题
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
【资料1】“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
胡不归及阿氏圆
浅谈线段之和“胡不归”仃灯破故事,说的兄卜身在他乡的小伙子,得知父弟•. 一的消息后便II仪辻路回-• 然|厲当他气喘吁吁地来到父亲的面前时.老人別刚咽气了人们告诉仙.・右:弥・老人在不断喃喃地叨念：“胡不归?胡不归? ”早期的科学家曾为这则占老的传说中的小伙子设想了一*路线。
(如卜•图)A是出发地，B 是H的地：AC &•条驿(・而驿|r徉H的地的・侧是沙地。
为了急切回家.小秋了选择了直线路程AB。
但足，他忽略了在驿道上行走要比任妙土地•苦“•走快的迖•囚素c如果他能选择•乂介适的路线(尽管这条珞线长一些.但是违度町以加快)，足可以提前抵迖栄门的，那么.址' 支足那条路线呢？显然.根4W两种路廊的棚伽在共上街左的速度值•町以右AC I•选定点D,小伙了从A走到D,然厉从D折往B,可电最早到达B・用现代的科学语言表迖，就是：石在驿道I •彳J走的速度为％,化沙地I.I JA L的速度为V：,即求^+― 的故小仇例題1、如图.P为止方形ABCD对角纹BD I.动点.若AB — 2・则AP I BP CP的最小值为_____解析:•••正方形ABCD为轴对称图形• •/\P=PCAAP+BPK：P=2AP+BP= 2(AP+- BP)2•••即求AP+丄BP的最小値2J接卜尢就是套路我们要构造一个丄3P；I俅2连接AU,作ZDBE=3()。
，交AC于&过A作AHI BE・垂足为I； ffiRtA PBF 中,・.・ZPBI；=3()>2山此我们把构造出來了—•••解R 角M AO=B(>=72AP^-BP 的展小値即为AF 线段的KMVVZlL\ll=45\ ZAEIi=6()恨据面枳注.丄人£・B0二丄〃£2 2求出 A V^yfl-y/b（此外本題费马点亦可）例题2【题21】如图1所示.点川为口线/外一定点，点伏C 为比线/上M 宦点.且,1〃 = 2・ZJZ?C = 15°.点〃为口线/上的动点，请确定点P 的 位世.便"+丄/炉址小.并求出这个*4小値 7B AB住初二〃"彳从 总结步骤:【解析】如图2,将II 线/绕点〃逆时针旋转30°貳厂的位歆 过点 A^ADL 厂交/于点P',在宜线/上収任意点P,作PELT 于点E,在 直角三角形〃妙中，PE =丄3P,冋理刖2 2AP+丄 BP = AP + PE 工 AD = AP4 严D 二人P4 ' BP',当点 P 与点2 2P'重合时取等号•在RZPD 中.BP'= “ 屮=2&cos 30° y/3 3T范当列建时，gp'重合，如悴取得虽小值®笫 步：将所求线段和改写为PA+’PB 的形式（上VI ） ni m小••炽/1PB 的」偵.PA #J 畀侧.构進-•个如度cu 便得sina=一 m第三步：过A 作第二妙所构适的角的 边匝线，该匝线段即为所求赧小伯 第四步,计算即诃模型具体归纳如下:茨:PA+n/mPB(问JS关键处H摊n/m 这个分数梅造岀sinzCBP=n/mlK94« PA4-n/mPB= AP・PD再利用垂线段最炷即可练习1如岸，条笔直的公路I穿过草原，公路边存消防站A，加离公路5 T•米的也方居尺点B・A、B的直线距离13 TX.吠，居尺点B看火，消防员受命欲前往救火,若消防车右:介路I的杲快速度是80 T米〃卜时・而右:草地I •的呆快速度是40 T米〃卜时.则•消防车在出发臥加快经___ 小时町到达居尺点B.S怙琨酥：汨鮎河从公路的沖逵入草如了絞.)练习2【题22】如图I,在平面直角坐标系中，己知A (0.4),〃(-10),在皿上有-动点G,求BG+护的最小值.练习3（北京东城区1观年离考備25》如囤假设河的一令岸边为言线X/iCl.vr;于c, s B. 2＞在"V上，现离将货切心处运（£月处，经陆路3与水路DB・已知4C=[0公塾BC=SO 公里，又陆跻单位距离的运扫罡水路运捻的2倍.为使运腰少，D点应选在蹈5C卢耳多运M?・练习4如用，AABC &&f（]坐杯系屮，AB-AC, A （0, 2近）.C（1, 0）, D 为射线AO卜.一点.一动点P从A出发.运动路径为ATDTC.点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍•咚使整个运动时间最少•则点D的坐标应为________________练习5 如图,菱形ABCD的对角线AC上有-动点P・BC=6, ZABCJ50•，则线段AP+BP+PD 的最小值为练习6如图.在丫商直角坐标系中，二次函数y=ax2-bx^c的图象经过点A （-1, 0〉. B CO. ■近）• C （2. 0）,其对称轴九I交丁点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；2）若P为y轴上的一个动点，连接PD.则±PB+PD的最小值为 :练习7如I絹&AACE屮.CA=CE, ZCAE=30% G）0经过点C,且圆的直径AB任线段AE上.（1）试说明CE是O0的切线：（2＞若厶ACE«；'AE边上的高为h,试用含h的代数式衣示©0的直径AB：（3）设点D是线段AC上任总一点（不介端点），连接0D,为丄CD+OD的最小2值为6E・J・求GO的直径AB的长.附加（阿氏圆问题）何氏冏也是彤WA Y—PB的形式（上VI）瓜终还是化分为整。
胡不归与阿氏圆
11胡不归和阿氏圆1.1 胡不归胡不归问题识别条件：动点P 的运动轨迹是直线（或线段） 方法：1、将所求线段和改为n AP BP m +的形式（1nm<） 2、作CAD θ∠=，使sin nmθ=3、过点B 作BE AD ⊥交AC 于点P4、nAP BP m+的最小值转化为垂线段的长例1．在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，P 是边AC 上的一个动点，则21P A +PB 的最小值是_______．例2．如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则55CD BD +的最小值是_______．例2图 例3图例3．如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么12OD BD +的最小值为（ ） A ．32B ．3C ．312+D ．13+ABCDE2例4．（19下 二中学区二模）如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且22OC OA ==，点D 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求出抛物线的解析式；213222y x x =-- （2）连接AD 和BC ，AD 交BC 于点E ，当:5:4ABE BDE S S ∆∆=时，求点D 的坐标； （3）点F 为y 轴上的一点，且D （2，﹣3），求10DF 的最小值．33练习1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-+的顶点为A 点，且与x 轴的正半轴交于点B ，P 点为该抛物线对称轴上一点，则12OP AP +的最小值为 .练习2．已知二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、C 两点，点C （3，0），与y 轴交于点B （0，-3）．P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2PD PC +的最小值是________．4练习3．（18下 广西二模）如图1，抛物线223y x bx c =-++经过(3,0)B ，(0,4)C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在一点E ，使得BDE ∆是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，P 为抛物线在第一象限内一动点，过P 作PQ BC ⊥于Q ，当PQ 的长度最大时，在线段BC 上找一点M 使45PM BM +的值最小，求45PM BM +的最小值．551.2 阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB +”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“AP nPB +”转化为“AP PM +”问题关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型6例1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合PBPA=k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点C （m ，0），D （0，n ），点P 是平面内一动点，且OP ＝r ，设ODOP=k ，求PC +kPD 的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ；第二步：证明kPD ＝PM ；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ， 又∵∠POD ＝∠MOP ，∴△POM ∽△DOP ． 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为△ABC 内一动点，满足CD ＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+32BD 的最小值．77例2．如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点P 是正方形ABCD 内部的一点，且满足4BP =，则12PD PC +的最小值是（ ）A. 6B.8C. 10D.12例3．已知扇形COD 中，90COD ∠=︒，6OC =，3OA =，5OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值．练习1．在三角形ABC 中，45B ∠=︒ ，4BC =，点D 在BC 边上且30BAD ∠=︒，点P 是AD 上任意一 点，连接CP ，则12CP AP +的最小值是_________．练习2．如图，在Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则12AP BP +的最小值为_________．。
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“PA+k·PB”型的最值问题
【问题背景】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】
线段最值问题常用原理：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
（216－56.52）÷216
≈0.738≈73.8％
“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)
将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；
“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
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