浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法

摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。

关键词：反证法；中学数学；应用；

On the Proof by Contradiction in Middle School

Mathematics

Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.

Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;

目录

目录

浅谈中学数学中的反证法 (1)

1 引言 (1)

2 反证法的产生 (1)

2.1古希腊的反证法 (1)

2.2 中国古代数学中的反证法 (2)

3 反证法的定义与步骤 (2)

3.1 反证法的定义 (2)

3.2反证法的解题步骤 (2)

4 反证法的分类与科学性 (4)

4.1反证法的分类 (4)

4.1.1归谬法例题 (4)

4.1.2穷举法例题 (4)

4.2反证法的科学性 (5)

4.2.1反证法的理论依据 (5)

4.2.2反证法的可信性 (5)

4.3为什么要使用反证法 (6)

5 反证法在中学数学中的应用 (6)

5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)

5.2命题采取否定形式 (7)

5.3有关个数的命题 (9)

5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)

5.5不等式类型 (11)

5.6几何类型题 (12)

6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)

6.1反设要正确 (13)

6.2 要明确推理特点 (13)

6.3能灵活运用 (13)

6.4 反证法与举反例不等同 (14)

6.5熟悉矛盾的种类 (14)

7 总结 (14)

参考文献 (14)

致谢 (15)

浅谈中学数学中的反证法

1 引言

反证法是间接论证的方法之一，早在古希腊,一些数学家就用反证法解决了许多数学问题。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”，它在中学数学中有着不可替代的重要作用，一般来说，当学生遇到不容易或者不能从正面进行证明的题目时，则可以尝试运用反证法进行证明。反证法弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，运用反证法可以培养和提高学生的逆向思维能力和创造思维能力，把不可能转化为可能。教师应要结合熟悉的生活实例和典型的数学例题，帮助并引导学生了解反证法继而使用反证法，然后运用反证法拓宽学生解决问题的思路。不仅在中学数学中能运用反证法，生活中也能运用反证法解决问题。如李某与朋友们外出游玩，看到路边的树上结满了果子，朋友们都去摘取果子，唯独李某站在原地一动不动，一朋友问他为什么不去摘取，李某说：“在路边的树上结满果子必然是苦的”，朋友摘取果子尝试，果然是苦的。为什么李某在还未尝试果子前就知道是苦的？因为李某巧妙地使用了反证法，如果果子是甜的，路边树上的果子已被采摘。像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是说明它的反面是错误的，从而得出它本身是正确的。我们知道，推理与证明是数学问题解题的基本思维过程，从上面的故事中，我们生活中可以使用推理与证明的思维方式进行思考问题。

2 反证法的产生

2.1古希腊的反证法

西方的数学在毕达哥拉斯学派的影响下，他们认为“万物皆数”（指整数），数学知识是可靠和准确的。但随着第一次数学危机的发生，自根号二的发现，使希腊人重新审视了他们自己的数学，从此他们放弃了以数为基础的几何。第一次数学危机使他们无法依靠图形和直观，因此，西方数学必须以证明为主来证明数学。而他们要的是准确性的数学。它的表现形式是：逻辑、演绎的体系。可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。希腊人认为数值计算是几何证明之后的一个应用，他们更注重演绎与证明，指出“不要近似”，也就是要达到“明确的形式证明和公理的使用”［1］。最开始运用到反证法的是古希腊最盛名的数学家