浅谈中学数学中的反证法

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浅谈数学中的反证法

浅谈数学中的反证法一、反证法的定义关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。

”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．二、反证法的步骤在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.②提出假设根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.③逻辑证明从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.④肯定结论对原命题的正确性进行肯定.三、反证法的逻辑应用反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.四、中学数学中反证法的应用1)否定性命题的证明例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,两边同时平方得a+c+2√ac=4b.又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,即b=√ac，所以a+c+2√ac=4√ac,所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,所以√a=√c,从而a=b=c,所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.2)限定式命题的证明3)无穷性命题的证明例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2，3，5，7，11，13，17，19......P再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.4)逆命题的证明5)某些存在性命题的证明6)全称肯定性命题的证明7)一些不等量命题的证明8)基本命题的证明五、总结。

浅谈反证法在初中数学解题中的应用

浅谈反证法在初中数学解题中的应用
反证法是一种常用的数学解题方法，在初中数学中也有广泛的应用。

它的基本思想是，在证明某一命题时，先假设该命题不成立，然后通过推导得出矛盾结论，最后证明假设不成立，从而得出原命题的正确性。

在初中数学中，反证法常用于证明“存在性”或“唯一性”等命题。

例如，要证明函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点，可以先假设函数f(x)在区间[a,b]内不存在任何零点，然后通过对函数进行推导，得出矛盾结论，最后证明假设不成立，得出函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点的结论。

反证法在初中数学中的应用还有：
1.证明几何图形的性质，如证明直线平分圆弧的结论，可以先假设直线不平分
圆弧，然后通过推导得出矛盾结论，最后得出直线平分圆弧的结论。

2.证明数学定理，如证明勾股定理，可以先假设勾股定理不成立，然后通过推
导得出矛盾结论，最后得出勾股定理的正确性。

反证法是一种非常有效的数学解题方法，在初中数学中有广泛的应用。

学会使用反证法，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。

反证法在初中数学解题中的应用探讨

反证法在初中数学解题中的应用探讨初中数学作为学生学习的一门重要学科，是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力的重要途径。

在初中数学中，反证法是一种常见的证明方法，也是解决数学问题的有效手段之一。

本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用及其重要性，帮助学生更好地理解和掌握这一证明方法。

一、反证法的基本概念我们先来了解一下反证法的基本概念。

反证法是一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明原命题的方法。

简而言之，就是假设反面，然后推导出矛盾，从而推翻原假设，从而达到证明的目的。

要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法。

假设根号2是有理数，即可以表示为一个分数a/b，其中a、b为整数，并且a、b没有公因数。

那么，根号2=a/b可得2=(a/b)²,进一步可得2b²=a²。

这时候可以得出，a²是2的倍数，那么a也是2的倍数，设a=2m,那么可以得出2b²=(2m)²,得b²=2m².可见b²也是2的倍数，那么b也是2的倍数。

而这与a、b没有公因数的前提相矛盾，所以得出根号2是无理数。

可以看出，通过反证法，我们成功地证明了根号2是无理数的结论。

二、反证法在初中数学中的应用在初中数学中，反证法常常在几何问题、不等式问题以及集合问题中得到应用。

下面我们将通过具体的数学问题来探讨反证法在初中数学中的应用。

1. 几何问题在初中数学的几何学习中，有些问题需要证明一些形状或者性质的关系，可以运用反证法。

证明平行线性质、三角形全等性质以及圆的性质等。

一般来说，通过假设反面，推导出矛盾来证明原命题的正确性。

举个例子，要证明“平行线上的等角是相等的”，可以采用反证法。

可以假设在平行线上存在两个等角，但是这两个角却不相等。

通过推导出这种假设的矛盾，可以证明原命题的正确性。

2. 不等式问题在初中数学的不等式学习中，有些问题需要证明不等式的大小关系，可以运用反证法。

漫谈初中数学解题中的“反证法”

61学子２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。

2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。

3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。

反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。

反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。

二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。

案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。

浅谈中学数学中的反证法

本科生毕业论文浅谈中学数学中的反证法院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级: 2008级数学与应用数学(2)班学号： 200807110211 姓名：黎康乐指导教师：陈志恩完成时间: 2012年5月26日浅谈中学数学中的反证法摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中,最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果.关键词:反证法假设矛盾结论Abstract：The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two。

In indirect proof，the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge，but is scattered，of the concept, application procedures，the scope of use of not understanding of the system，and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects，through all the questions put to the above system induce，this will help the students to learn the required system，improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect。

中学数学中的反证法

归纳法：通过归纳推理，从特殊到一般，得出一般结论
的方法
关系：反证法和归纳法是两种不同的证明方法，但在某些情况下可以相互补充，共同证明一个命
题
区别：反证法主要适用于证明一个命题为真，而归纳法则主要适用于证明一个命题
为假
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来证明结论不成立演绎法是一种直接证明方法，通过已知条件推导出结论反证法适用于难以直接证明的问题，而演绎法适用于容易直接证明的问题
05
简洁明了：反证法可以简洁明了地证明一个命题易于理解：反证法易于理解，易于掌握广泛应用：反证法在数学中广泛应用，可以解决许多问题逻辑严密：反证法逻辑严密，可以保证证明的准确性
反证法需要找到与结论相反的命题，可能难以找到
反证法需要假设结论不成立，可能导致结论错误
反证法需要证明假设不成立，可能难以证明
04
解方程：通过反证法证明方程无解
解不等式：通过反证法证明不等式成立
解函数问题：通过反证法证明函数性质
解数列问题：通过反证法证明数列性质
证明两直线平行证明三角形全等证明四边形内角和为360度证明圆周角等于360度
反证法在解三角函数问题时的应用反证法在证明三角函数恒等式时的应用反证法在解决三角函数不等式问题时的应用反证法在解决三角函数最大值和最小值问题时的应用
反证法和演绎法都是数学证明的重要方法，各有优缺点，需要根据具体情况选择使用
汇报人：
证明一个命题的否定为真，但无法直接证明原命题为假
03
假设结论不成立假设结论成立的条件假设结论成立的结果假设结论成立的结论
推导出与已知条件相矛盾的结论
假设结论成立

浅谈“反证法”在高中数学的应用

浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。

这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。

反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。

这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。

根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。

下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。

证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。

根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。

但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。

因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。

通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。

虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。

一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。

如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。

反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。

通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。

使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。

因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。

在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。

这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。

毕业论文：浅谈中学数学中的反证法-审核通过

毕业论文学生姓名XXX 学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014 年 5 月摘要：反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用。

关键词：反证法,适用范围，假设Abstract：Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view。

In this article，we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it。

Furthermore，we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction，scope of application ，hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证:假设假设亚里士多德的断言是正确的。

设物体a 比物体b 的重量重很多，则a 应比b 先落地。

现在把物体a 和b 绑在一起成为物体c ，则c =a +b 。

一方面，由于c 比a 要重,它应该比a 先落地.另一方面，由于a 比b 落得快,a 、b 一起的时候，b 应该是“拉了a 的后腿”迫使a 的下落速度减慢，所以,物体c 应该比a 后落地.这样一来，c 应比a 先落地又应比a 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的。

浅谈反证法在中学数学中的应用

目录一反证法的概念二反证法的逻辑依据、种类及步骤（1）反证法逻辑依据（2）反证法种类（3）反证法步骤三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题（2）限定式命题（3）无穷性命题（4）逆命题（5）某些存在性命题（6）全称肯定性命题（7）一些不等量命题的证明（8）基本命题四运用反证法应该注意的问题（1）必须正确否定结论（2）必须明确推理特点（3）了解矛盾种类浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。

运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。

关键词:反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。

”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。

这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

一反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

反证法是数学中常用的间接证明方法之一。

反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。

通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。

中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。

浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法.1.2 反证法的来源1.2.1 古希腊的反证法反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何.1.2.2 中国古代数学的反证法在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例).1.2.3 反证法的其他来源① 墨子的“归谬法”例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在这里是证明一个命题为真.② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪.1.3 反证法的一般步骤学习反证法应把握它的一般步骤:反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.具体方法：命题r=在C下，若A则B反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾例1求证 A(原论题)证明 (1)设非A真(非A为反论题)(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)(3)非B(已知)(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)(5)所以，A(非非A=A).例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a的素数都不能整除a，则a是素数.证明假设a是合数，记a=bc (b、c∈Z，且b， c＞1)，由于a不能被大于1且不大于a的素数整除，所以b＞a，c＞a，从而bc＞a，这与假设a=bc矛盾，故a是素数.2. 反证法的适用范围究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便.2.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例3 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角.证明假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾. 故∠A，∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.2.2限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.例4 求证：素数有无穷多个.证明假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的.2.3某些存在性命题例5 设x，y∈(0,1)，求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x，y，使|xy - ax - by|≥31成立.证明假设对于一切x，y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜31恒成立，令x = 0， y = 1 ，则|b|＜31令x = 1 ， y = 0，得| a| ＜31令x = y = 1,得| 1 - a - b| ＜31.但| 1 -a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞1 -31-31=31产生矛盾，故欲证结论正确.2.4一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.2.5基本命题例6. 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点.证明假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点.2.6整除性问题例7. 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明假设a、b不都能被3整除.分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不被3整除，矛盾.（3）同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.参考文献[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92.[2]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994（7）：22-23.[4]颜长安.反证法初探[J].数学通讯. 2001（13）：22-24.[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊. 1997（4）：33-35.[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J]. 数学教学研究.1999（4）：12-13.。

中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法摘要小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,哪些类型的问题适用于反证法,以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。

关键词反证法命题反设归谬结论０引言反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。

它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。

在中学数学中，反证法是一个难点。

在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。

加之，现在课本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用。

但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果。

论文中通过几个例子表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。

深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

１反证法的由来反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。

法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。

欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。

２什么是反证法反证法是从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。

它是反设后通过归谬使命题得到证明的方法，所以，反证法又称“归谬法”。

浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。

因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。

在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。

下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。

一、反证法的来源对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。

有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。

这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。

隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。

那他到底是怎样觉察到的呢？实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。

小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。

当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。

二、反证法的定义及理解一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。

也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。

三、反证法的解题思路及步骤设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤：1.反设：作出与要证结论相反的假设；2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾；3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法数学与计算机科学学院数学与应用数学[摘要]反证法一种间接的数学证明方法,也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立,然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少,但应用广泛,能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质,切实掌握它的解题要领,能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力.[关键词]反证法命题中学数学高考高等数学有个著名的"道旁苦李"的故事：传说,王戎从小就非常聪明.有一天,他和小伙伴们出去游玩,发现路边有几株李树,树上结满了李子,而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上,摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动,王戎说："如果李子不苦的话,早就被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的."这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜,不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法.1 反证法的由来反证法是数学中的一种证明方法,它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》〔平面几何卷〕中作了最准确、最简明扼要的描述："反证法在于表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾".反证法作为一种最重要的数学证明方法,在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明"素数有无穷多"的结论,欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"的结论, "最优化原理"的证明,伽利略推翻"不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比"的断言,"上帝并非全能"的证明,都用了反证法.2 反证法的概念反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法,是数学中常用的间接证明方法之一,属于"间接证明"的一类.即肯定题设而否定结论,从而导出矛盾,推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括："若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾".具体来说就是,假设命题的结论不成立,在已知条件和"否定命题结论"的新条件下,通过逻辑推理,得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾,从而断定命题结论的反面不成立,即证明了命题的结论一定是正确的,当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法.3 反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律".在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时为真,其中至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的"矛盾律".两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说"A或者非A",这就是逻辑思维中的"排中律".反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据"矛盾律",这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以"否定的结论"必为假.再根据"排中律",结论与"否定的结论"这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,所以我们得到原结论必为真.因此反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的.4 反证法的一般步骤4.1反设假设命题所要证明的结论不成立,而设结论的反面成立.反设是反证法的第一步,也是重要的一步.反设是否准确、全面,将会影响后续的推导.在反设时,主要要学会这两步：1、分清题设和结论.2、对结论4.2归谬：由命题的反设和命题的条件出发,引用论据进行推理,推导出与已知条件﹑公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.4.3结论：由所得的矛盾,判断产生矛盾的原因在于反设是假,从而说明反设的结论不成立,则原命题的结论成立.4.3.1由反设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾例1：已知：0a b c ++>,0ab bc ca ++>,0abc >. 求证：0a >,0b >,0c >.证明:<1>反设: 假设a ,b ,c 不都是正数.<2>归谬: 由0abc >可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数. 不妨设：0a >,0b >,0c >.则由0a b c ++>,可得()c a b >-+. 又0a b +>,()()()c a b a b a b ∴+<-++. ()()()ab c a b a b a b ab ++<-+++.即22ab bc ca a ab b ++<---. 20a >,0ab >,20b >.2222()0a ab b a ab b ∴---=-++<.0ab bc ca ∴++<.这与已知0ab bc ca ++>矛盾.<3>结论：所以假设不成立,因此0a >,0b >,0c >.成立． 4.3.2由反设或已知推出的结果与已学公理相矛盾例2:在同一平面内,若1l ,2l 是垂直于直线l 的两条不同的直线,则直线若1l ,2l 不相交. 证明:〔1〕反设:假设1l ,2l 相交〔2>归谬:因为1l ,2l 相交,所以从直线l 外一点〔1l ,2l 交点〕引两条直线1l ,2l 与 l 垂直,又由平面几何知识可知,从直线l 外一点不可能引两条不同直线1l ,2l 与l 垂直, 这显然与公理相矛盾.<3>结论:假设不成立.因此若直线1l 与直线2l 同时垂直于直线l ,则1l ,2l 不相交. 4.3.3由反设或已知推出的结果与已学定理相矛盾例3：已知:如图1,设点A 、B 、C 在同一直线上,求证：过A 、B 、C 三点不能作圆. 证明：〔1〕反设：假设过A 、B 、C 三点能作圆.〔2〕归谬:设此圆圆心为O ,则A 、B 、C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦, 由垂径定理：O 既在AB 的中垂线OM 上,又在BC 的中垂线ON 上,从而过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直.与定理"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾. 〔3〕结论:假设不成立.故过同一直线上A 、B 、C 三点不能作圆.图14.3.4由反设或已知所推出的结果与反设相矛盾例4：求证2是无理数.证明：<1>反设：假设2是有理数,不妨设2qp=<p ,q 为互质的正整数> <2>归谬:由反设有2222p q q p =⇒=,故2必是q 的因数. 设2q m =<m 为正整数>,则2224p m =,所以222p m =. 故2又是p 的因数.因此p , q 有公因数2. 这与p , q 为互质的正整数相矛盾.〔3〕结论:假设2是有理数不成立,故2是无理数. 4.3.5由反设或已知所推出的结果与明显的事实相矛盾例5：2().f x x px q =++求证：(1)f ,(2)f ,(3)f 中至少有一个不小于12.证明：〔1〕反设：假设(1)f ,(2)f ,(3)f 都小于12.〔2〕归谬：由题意(1)1f p q =++,(2)42f p q =++,(3)93f p q =++. 所以(1)2(2)(3)2f f f -+=.则 1112(1)2(2)(3)(1)2(2)(3)22222f f f f f f =-+≤++<+⨯+=. 显然矛盾.〔3〕结论：假设不成立,故(1)f ,(2)f ,(3)f 中至少有一个不小于12.4.3.6由反设或已知所推出的结果自相矛盾例6：已知a ,b ,()0,1c ∈．求证：()1a b -,()1b c -,()1c a -不能同时大于14. 证明：〔1〕反设：假设三个式子同时大于14,即()114a b ->,()114b c ->,()114c a ->.〔2〕归谬：三式相乘得()31(1)(1)14(1)a b b c c a --->因为01a <<,所以0(1)114a a <-<<. 同理,0(1)114b b <-<<,0(1)114c c <-<<. 所以()31(1)(1)14(2)a b b c c a ---<显然〔1〕与〔2〕矛盾.〔3〕结论：所以假设不成立,故原命题成立．5 中学数学中用反证法的常见类型反证法曾经是在平面几何中出现过,并且对数学的其它各部分内容,如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用到.则,究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？另外我们在解题时,题目未指明用什么方法,我们会思考是选择直接证法还是间接证法好呢？甚至有些命题必须用反证法才能证明,到底怎样的题目适合用反证法呢？当然没有特定的标准,但我们在实践当中,可以总结出有以下几种命题适合用反证法来证明.5.1基本命题即学科中的起始性命题,此类命题能够应用的已知条件及定理、公式、法则较少,或由已知条件所能推出的结论很少,因此用直接证明较难入手,此时用反证法更容易奏效.如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时,最初只是提出少量的定义、公理.因此,起始阶段的一些性质和定理很难直接推证,它们多数宜用反证法来证明.例7：求证：两条直线如果有公共点,最多只有一个公共点. 证明：假设直线a 与b 有两个公共点A ,B .则A ,B 都属于a ,A ,B 也都属于b , 因为两点决定一条直线,所以直线a ,b 重合. 所以假设不成立,则原命题正确.5.2否定性命题结论以"没有......","不......","不能......","不存在......"等形式出现的问题,直接证明有困难,一般用反证法来证明.例8：求证：在一个三角形中,不能有两个角是钝角.即已知：A ∠,B ∠,C ∠是三角形ABC 的三个内角.求证：A ∠,B ∠,C ∠中不能有两个钝角. 证明：假设A ∠,B ∠,C ∠中中有两个钝角.不妨设90A ∠>,且90B ∠>,则180A B C ∠+∠+∠>.这与定理"三角形内角和为180"定理矛盾. 所以假设不成立.因此一个三角形不可能有两个钝角.5.3限定式命题即结论中含有"至多"、"至少"、或"最多"等词语的命题例9：已知函数()f x 是单调函数,则方程()0f x =最多只有一个实根. 证明：假设方程至少有两个根1x ,2x 且12x x ≠, 则有()()12f x f x =12()x x ≠.这与函数单调的定义矛盾,所以假设不成立.故原命题成立.5.4无穷性命题即命题的结论是无限的又无法一一列出,而命题结论的反面却是有限的、肯定的,这时适合用反证法. 例10：求证：素数有无穷多个.证明：假设素数只有n 个,为12,......n P P P ,取整数12......1n N P P P =⨯⨯⨯+, 显然N 不能被这几个数中的任何一个整除.因此,或者N 本身就是素数〔显然N 不等于"12,......n P P P 中任何一个"〕,或者N 含有除这n 个素数以外的素数r ,这些都与素数只有n 个的假定相矛盾. 故素数个数不可能是有限的,即为无限的.5.5逆命题某些命题的逆命题,用反证法证明时可利用原命题的结论,从而带来方便. 例11：原命题：若四边形有一个内切圆,则对边之和必相等.已知原命题成立,试证明其逆命题也成立.证明：逆命题为：若四边形对边之和相等,则它必有一个内切圆. 如图2,若(1)AB CD AD BC+=+,设四边形ABCD 不能有一个内切圆, 则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切,而BC 与⊙O 相离或相交,过C 作⊙O 的切线交AB 或延长线于点E ,由原命题：(2)AE CD AD CE+=+当BC 与⊙O 相离时,()()12-得AB AE BC CE -=-. 则BC CE BE =+,这与"三角形两边之和大于第三边"相矛盾；图2 当BC 与⊙O 相交时,()()21-得AE AB CE BC -=-,则BC CE BE =+,同样推出矛盾.则BC 与⊙O 不能相交或离,则BC 与⊙O 必相切,故逆命题成立.5.6唯一性命题即结论含有"只有......","有且只有......"等形式的词语的命题.以否定唯一性为条件,得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论,从而肯定结论.例12：已知0a ≠,求证：关于x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：假设方程0(0)ax b a +=≠至少存在两个根. 不妨设其中的两根分别为1x ,2x 且12x x ≠. 则1ax b =,2ax b =.则12ax ax =. 则12()0a x x -=因为12x x ≠,则120x x -≠. 则0a =与已知矛盾.所以假设不成立,故原结论成立.5.7肯定性命题即结论含有"必然......","必是......"等形式的词语的命题,将原来的肯定命题转化为否定命题,再利用该否定命题找出矛盾,从而证明原命题成立.例13:已知a,b,c 均为正整数,且满足222a b c +=,a 为质数,求证：b 与c 两数必为一奇一偶.证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数,由222a b c +=,得()2()c b c b a +-=, 由假设c b +和c b -同为偶数,则2a 必为偶数,故a 也为偶数. 因为a 是质数,所以2a =,即有()()4c b c b +-=,所以22c b c b +=⎧⎨-=⎩或 41c b c b +=⎧⎨-=⎩与b ,c 均为正整数矛盾,所以假设不成立.故b 与c 必为一奇一偶.5.8某些存在性命题即结论含有"存在......"等形式的词语的命题,当满足结论的结果难以找出时,可用反证法去证明对于"任意......."都会使结论的反面成立,从而得到矛盾,所以原命题得证.成立.所以假设不成立,故原结论正确.5.9全称肯定性命题即结论含有"任意......","对一切.......","全......."等形式的词语.这类命题难以证明时,可用反证法证明"存在......"使结论不成立,从而得到矛盾,所以原命题得证.例15：求证：大于1的任何整数一定有质因数. 证明：假设存在一个大于1的整数n 没有质因数,即n 大于1且不是质数〔因为质数本身是质因数〕,则n 必为合数. 则n 必有一个不等于n 的真因数1n ,故n 大于1n , 这里1n 也必不是质数,否则n 有质因数；同理可得,1n 也有一个真因数2n ,使1n 大于2n ,2n 也必不是质数. 依次类推,可得n 大于1n ,2n ,3n ......这表明,在n 与1之间有无限多个不同的整数这与一个确定的整数n 与1之间只能有有限个不同的整数矛盾. 故原命题成立.5.10不等性命题即要证明的结论中含有不等号,有时候直接证明难有思路,可用反证法,找到矛盾,从而原命题得证.6 用反证法解高考题反证法是中学数学的一种重要的证明方法,也是高考数学要求掌握的一种证明方法.它适用于直接证明比较繁琐甚至非常困难的题目,在各省的高考题中,有些题从正面做比较复杂或难以想到,有时候换种思路,从反面来思考寻找矛盾会简单很多.纵观历年高考题,你会发现反证法在平面解析几何、数列、空间几何等都有广泛的应用,只要平时多留心,多思考,就会发现发证法不失为解题的一种好方法.例17：〔20####〕如图3,已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M 、 N 分别为AB ,DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.证明：假设直线ME 与BN 共面,则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN . 由已知,两正方形不共面,故AB ⊄平面DCEF . 又AB CD ,所以AB 平面DCEF .又因为MBEN ⋂平面平面DCEF=NE .所以AB EN . 又AB CD EF ,所以EN EF ,这与EN EF E ⋂=矛盾,故假设不成立.所以ME 与BN 不共面,它们是异面直线. 图3例18：〔20####〕点()00,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,0cos x a β=,0sin y b β=,02πβ<<,直线2l 与直线1l ：00221x y x y a b +=垂直,O 为坐标原点, 直线OP 的倾斜角为α,直线2l 的倾斜角为γ.证明: 点P 是椭圆22221x y a b+=与直线1l 的唯一交点.证明：将0cos x a β=,0sin y b β=代入椭圆方程中,()()2222cos sin 1a b a b ββ+=,则点P 在椭圆上.同理点P 也在直线1l 上.假设直线1l 与椭圆的交点不止一个,还有另一个人交点()111,P x y . 由点1P 在椭圆上,有2211111122221(1)x y x y x y a b a b+=+=.又有1P 在直线1l 上,有0011221x y x y a b +=,即110221(2)x y x y a b +=.由〔1〕与〔2〕式可得点()111,P x y 、()00,P x y 均在直线l ：11221x y x y a b +=上, 又因为这两点都在直线1l 上,则直线1l ：00221x y x y a b +=与直线 1122:1x y l x y a b +=是同一条直线. 所以10x x =,10y y =,所以点P 与点1P 是同一点,与假设矛盾. 故假设不成立,所以原命题成立. 例19：〔20####〕设12a ,,n a a 是各项均不为零的等差数列〔4n ≥〕,且公差0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列〔按原来的顺序〕是等比数列.求证：对于一个给定的正整数()4n n ≥,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12,,n b b b ,其中任意三项〔按原来顺序〕都不能组成等比数列．证明：假设对于某个正整数n ,存在一个公差为1d 的n 项等差数列 11111,,,(1)b b d b n d ++-11(,0)b d ≠,其中三项111b m d +,121b m d +,131b m d +成等比数列,这里12301m m m n ≤<<≤-,则有2121111131()()()b m d b m d b m d +=++ 化简得22132112131(2)()m m m b d m m m d +-=-()1由110b d ≠知,31322m m m +-与2213m m m -或同为零,或均不为零.若13220m m m +-=且22130m m m -=,则有2131302m m m m +⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即()2130m m -=,得13m m =,从而123m m m ==,矛盾.因此,若13220m m m +-≠且22130m m m -≠,故由〔1〕得2213111322m m m b d m m m -=+-因为1m ,2m ,3m 均为非负整数,所以上式右边为有理数,从而11b d 是一个有理数. 于是,对于任意的正整数4n ≥,只要取11b d 为无理数,则相应的数列12,,n b b b就是满足要求的数列.例如,取11b =,12d =,则n 项数列1,1+21+221+n-12，，，（）满足要求.7 高等数学中的反证法应用举例反证法不仅在中学数学中应用广泛,它也是高等数学中必不可少的一种数学证明方法.一些大学生认为,高等数学比初等数学抽象、不易接受,对许多较复杂的题目更是无从下手,刚开始学习就产生畏惧感,久而久之会越来越不喜欢数学.其实高等数学并没有则可怕,它是将初等数学思想升华,把一些问题想得更加透彻,一些定理的适用范围更广.同样的一道证明题,同样是反证法,可用初等数学知识来想和用高等数学的思想来想,思想层次上是不一样的.下面将用例子来说明反证法在高等数学中的应用.例20：证明2不是有理数.分析：我们知道,有理数恒可表示为既约分数ab〔a ,b 为互质的自然数〕的形式,直接证明这个命题需要证2不是任何一个既约分数,这不仅涉及既约分数的无限集,也难以把2与ab联系起来.可如果使用反证法就会简单得多,具体证明可见例4.例21：任一收敛数列的极限都是唯一的.证明：假设一收敛数列{}n x ,其极限不唯一,则至少存在两个数a ,b ,适合n lim x n a →∞=,则根据极限定义,存在自然数1N 与2N ,使得因此,当{}12max ,n N N ≥时,有0n 0b-x a εε<<+.显然矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 这两个例子都是反证法在高等数学中的应用.例20和例4所要证明的命题是一样的,可以看出即使需要证明的命题一样,证明过程一样,但用初等数学的思想和用高等数学的思想是不一样的,从高等数学的角度看问题程度更高,但也是要建立在初等数学的基础之上.例21是反证法中唯一性类型命题,不管是初等数学还是高等数学对于唯一性命题直接证明一般难于表述,用反证法会容易许多.8 小结反证法是数学中一种重要的证明方法,是"数学家最精良的武器之一",在许多方面都有着不可替代的作用.它是从否定命题的结论出发,通过正确的逻辑推理导出矛盾,从而证明了原命题的正确性的一种重要方法.在数学解题中,也常用间接的方法,即有些命题不易用直接的方法去证明,这时可通过证明它的等价命题真,从而断定原命题真的证明方法〕来证题.著名的英国数学家..G H 哈代对于这种证明方法做过一个令人满意的评论.在棋类比赛中,经常采用的一种策略是"弃子取势",即牺牲一些棋子来换取优势.反证法在初等数学和高等数学中都应用广泛,它以独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义,能提高学生的数学解题能力.参考文献[1]赵雄辉.证明的方法[M].##：##人民.2001：85-92[2]邓传斌.反证法漫谈.中学数学杂志[M].1996年第2期.[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994〔7〕：22-23.[4]龙##.反证法的理论基础与适用范围[J].##师专学报.1999[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊.1997〔4〕：33-35.[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J].数学教学研究.1999〔4〕：12-13.[7]李云涛.浅谈反证法[DB/OL][8]华东师范大学数学系.数学分析〔上册〕.：人民教育.1993.9Reduction to absurdity on Mathematics Teaching in high schoolInstitute of mathematics and puter scienceMajor of Mathematics and Applied Mathematics[Abstract]Reduction to absurdity, a kind of indirect proof of mathematics method, also is a kind of important mathematics thought. It starts with the assumption that a proposition is false, and then deduce the apparently contradictory results, and thus conclude that the original assumption does not hold, the original proposition be proved. The general steps of proof is that give negative hypothesis, find the absurdity,make conclusion. Although the table of contents is less in the middle school mathematics textbooks, but it is widely used,can also cultivate students' reverse thinking .This paper will expounds the concept , proof steps, ways of thinking and application types.To profoundly understand the essence of absurdity, to grasp the essentials of solving it, can improve the logical thinking ability and the ability to solve practical problems.[Keywords]Reductio Proposition Middle school mathematics College entrance examinationHigher mathematics。

论文题目浅谈中学数学中的反证法

论文题目浅谈中学数学中的反证法论文题目浅谈中学数学中的反证法浅谈中学数学中的反证法目录1. 引言2. 反证法的定义、逻辑依据、关键及一般步骤3. 反证法的适用范围4. 举例5.运用反证法应注意的问题6.参考文献论文摘要:介绍反证法的地位、阐明其定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类～探索反证法在中学数学中的应用。

在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要作出选择和判断，进而进行推理，作出决策，因而义务教育阶段，数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的……推理能力。

长期以来中学数学教材重视了对学生直接推理能力的培养，而淡化了对学生间接推理能力的培养，有的同学不习惯用反证法解决问题，甚至怀疑这种方法是否有道理，可是数学的研究说明，要是不用反证法，很多定理就推不出来。

反证法是数学中不可缺少的推理方法，也是经过实践检验、证明是正确可靠的推理方法。

为了对反证法在生活重要性有一个初步认识，下面先从流传了近1800年的"道旁苦李"的故事说起:有一群小朋友正在郊外玩耍，忽然看见路边有棵李树，树上结满了李子，上面的李子个大皮红。

小朋友都争先恐后地跑去摘李子，只有其中一个叫王戎(234?305 )的小朋友却站着不动。

有人奇怪地问他为什么不去摘李子，王戎回答说:“路边的李树，结满了果实而没有人摘，说明这李子一定是苦的。

”同伴们听了，拿到嘴里一尝，果然是苦的。

大家都觉得王戎太聪明了。

这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。

这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

1. 反证法的定义、逻辑依据、关键及一般步骤定义:反证法是通过论证命题的矛盾判断的虚假性，从而确定命题真实性的一种证明方法，属于"间接证明"的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

逻辑依据:反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律"。

浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法1. 定义与基本原理反证法，又称归谬法，是数学证明中一种重要且独特的证明方法。

其基本思想是先假设命题的反面（即要证命题的否定）成立，然后通过合理的逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果，从而由于矛盾的存在，证明原假设（即命题的反面）不成立，进而间接证明原命题成立。

2. 逻辑依据与分类逻辑依据反证法的逻辑依据在于反证法的逻辑结构——反设、归谬、存真。

即首先反设命题的反面为真，然后通过逻辑推理导出矛盾，最后根据矛盾律（在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想不能同时为真，必有一假），断定反设不成立，从而肯定原命题为真。

分类根据反设后推导出的矛盾点不同，反证法可以分为直接反证法和间接反证法。

直接反证法是通过推导出与已知事实或定理直接相矛盾的结果来证明；间接反证法则是通过假设多个情况并分别推导矛盾，最后排除所有可能，从而证明原命题。

3. 应用步骤1. 反设：根据原命题，假设其反面成立。

2. 归谬：基于假设，通过逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果。

3. 存真：由于矛盾的存在，根据矛盾律，断定原假设（即命题的反面）不成立，从而间接证明原命题成立。

4. 适用范围反证法在数学中广泛应用于证明存在性命题、唯一性命题以及某些难以直接证明的命题。

特别是在处理一些“至少”、“存在”等类型的命题时，反证法往往能化繁为简，提供简洁明了的证明思路。

5. 典型例题解析例：证明根号2是无理数。

反设：假设根号2是有理数，那么它可以表示为两个互质的正整数的比，即存在正整数m,n(m,n互质)使得根号2 = m/n。

归谬：两边平方得2 = m^2/n^2，即m^2 = 2n^2。

由于m,n互质，若n为奇数，则m^2为偶数，进而m也为偶数，设m = 2k（k为正整数），则4k^2 = 2n^2，即n^2 = 2k^2，同样推出n为偶数，这与m,n互质矛盾。

存真：因此，假设不成立，根号2是无理数。

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中经常使用的一种推理方法，它可以帮助我们证明一个命题是错误的。

在初中数学中，我们经常会在解题过程中运用反证法来断定一个命题的正确性，或者找到一个反例来否定一个命题。

一、反证法的基本思想反证法是一种证明方法，通过反证法可以推断出某些事物的非真实性或者不存在性。

其基本思想是反设所证命题的否定命题，然后通过证明所得到的结果与已知事实矛盾，从而得出所证的命题是成立的结论。

二、反证法在初中数学解题中的典型案例1. 一元二次方程无解性证明在初中数学中，我们学习了一元二次方程的求解方法，通常的形式是ax^2 + bx + c = 0。

如果我们想证明一个一元二次方程无实数解，就可以运用反证法。

我们可以按照以下的步骤进行证明：反设方程ax^2 + bx + c = 0有实数解，即方程存在实数根。

那么我们可以求出方程的判别式Δ=b^2-4ac，如果Δ<0，则方程无实数解。

2. 整数平方根不是整数的证明在初中数学中，我们学习了整数的性质，其中有一条是“如果一个整数不是平方数，那么它的平方根不是整数”。

我们可以通过反证法来证明这个命题：反设一个整数的平方根是整数，即√n是整数。

那么我们可以得到n=√n^2是一个平方数。

但是根据正整数的性质，如果n不是平方数，那么n的平方根不是整数。

从而得出矛盾，证明了原命题是正确的。

1. 提高逻辑思维能力通过运用反证法解题，可以帮助学生培养逻辑思维能力。

学生需要反设一个命题的否定命题，并通过逻辑推理来得出结论，这种训练能够提高学生的逻辑推理能力和思维能力。

2. 帮助理解抽象概念在初中数学中，有许多抽象概念需要学生进行理解和运用，如实数的性质、多项式的因式分解、几何图形的性质等。

通过反证法来解题，可以帮助学生更好地理解和应用这些抽象概念，提高他们的数学水平。

3. 培养问题解决能力反证法在数学解题中的运用，需要学生灵活运用所学知识来解决问题。

反证法在中学数学中的应用及教学研究

反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法是求证数学问题中常见的一种间接证明方法，广泛应用于中学数学各知识分支中。

以下是反证法在中学数学中的应用及教学研究：
应用：
1. 反证法在中学数学中主要用于证明某些命题或不等式。

例如，在证明三角形中的一些性质时，常常采用反证法。

2. 在几何学中，反证法也被广泛应用于证明一些关于图形的基本性质。

例如，在证明勾股定理时，常常采用反证法。

3. 在代数中，反证法也被用于证明一些不等式或等式。

例如，在证明一些代数恒等式时，常常采用反证法。

教学研究：
1. 反证法的应用：在中学数学教学中，教师需要引导学生理解反证法的原理和应用。

教师可以通过实例和练习题来帮助学生理解反证法的应用。

2. 反证法的思维方式：反证法是一种间接的证明方法，需要先假设相反的结论，然后推导出矛盾，从而否定假设并证明原命题。

这种思维方式需要教师在教学过程中引导学生逐步掌握。

3. 反证法的技巧：在应用反证法时，需要一些技巧，例如如何假设相反的结论、如何推导出矛盾等。

教师需要在教学过程中引导学生掌握这些技巧。

4. 反证法的意义：反证法是一种重要的数学证明方法，它能够帮助学生训练逻辑思维和创造性思维，提高分析和解决问题的能力。

因此，教师在教学过程中需要强调反证法的意义和作用。

总之，反证法在中学数学中具有广泛的应用和教学研究价值。

通过掌握反证法的原理、技巧和思维方式，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养和能力。

反证法在初中数学解题中的应用探讨

反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是一种常见的证明方法，它的核心思想是通过假设反面来得出正面结论。

在初中数学中，反证法也是常用的解题方法。

在本文中，我们将探讨反证法在初中数学解题中的应用。

一、什么是反证法反证法是一种常见的证明方法。

它的核心思想是：在证明某个命题时，我们先假设它的反面成立，再通过逻辑推理得到矛盾结论，从而说明这个假设是错误的，因此原命题成立。

例如，在证明“对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数”时，可以采用反证法。

我们假设n是奇数，即n=2m+1，其中m是整数。

那么，n²就是(2m+1)²=4m²+4m+1，显然是奇数，而不是偶数。

这与原假设矛盾，所以我们得到结论：对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数。

在初中数学中，反证法广泛应用于各个领域，例如代数、几何、概率等。

下面我们将以一些例子来说明。

在代数中，反证法通常用于证明一个方程没有实数根。

例如，我们考虑如何证明方程x² + 1 = 0 没有实数解。

我们可以采用反证法，假设有一个实数x满足x²+1=0，那么x²=-1，这个方程没有实数解，因此假设成立的前提是错误的，所以原方程没有实数根。

2. 反证法在几何中的应用在几何中，反证法通常用于证明某个结论是错的或者某条性质是不成立的。

例如，在平面几何中，我们想要证明“一个正方形的对角线互相垂直”。

我们可以采用反证法，假设正方形的对角线不互相垂直。

在图中，我们可以找到一个三角形ABC,因此∠ABD +∠AED + ∠BDE + ∠DEC = 360°。

然而，由于正方形的每个内角是90°, 因此∠ABD + ∠BDE = 90°, ∠AED + ∠DEC = 90°。

将它们代回原方程中，我们得到90°+90°+90°+90° = 360°, 说明原假设错了，证明了对角线互相垂直的结论。

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。

通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。

这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。

在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。

通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。

它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。

在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。

反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。

它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。

熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。

1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。

这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。

反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。

假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。

我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。

这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。

反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。

在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。

了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。

反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。

2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。