初等代数研究期末试题
初等代数复习题及答案
初等代数研究复习题及答案数科院 包晓文（不对的地方欢迎指正）一、填空题1. 康托的基数理论给出的自然数加法的定义是:设A 、B 都是有限集，b B a A ==,，且=⋂B A φ,则称B A ⋂的基数为a 加上b 的和，记作b a +.这里a 叫做被加数，b 叫做加数，求和的运算叫做加法.2. 皮亚诺给出的自然数的公理化定义是:集合N 的元素叫做自然数，如果N 的元素间有一个基本关系“后继”，（用""+来表示），并满足下列公理： I.N ∈1；II. 对任何N a ∈，有唯一的N a ∈+； III. 对任何N a ∈，+a 不是1IV. 对任何N b a ∈,,若+a 与+b 相同，则a 等于b （记作b a =）； V. （归纳公理）若N M ⊆，且 o 1 M ∈102 对任意M a ∈,有M a ∈+,则N M =3. 自然数的最小数原理的内容是（N 任意一个非空子集中必有最小数.）.4. 第二数学归纳法的内容是: 设()n P 是关于自然数n 的命题，若o 1（奠基）()n P 在1=n 时成立；02（归纳）在()n P （k n ≤≤1，k 是任意自然数）成立的假定下，可以推出()1+k P 成立，则()n P 对一切自然数n 成立. 5.777的末两位数字是（ 07 ）．6.分母不大于7的正既约真分数的个数是（ 17 ）.7. 分数2925可以化为( 十进无限 )循环小数，其循环节的长度为（ 3 ）．8. 若(,)1,a b =则(,)ab a b +=（ 1 ）．9.(636,480)-=（ 12 ），[636,480]-=（25440）．10. 函数112+-=x x y 的值域是( ()()+∞⋃∞-,22, ).11. 函数22511x x y x x -+=-+值域是(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-37,3 ).12. 模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）： 定义 如果N m ∈,集合},|{是任意整数t r mt x x K r+==，1,,1,0-=m r ，则称110,,,-m K K K 为模m 的剩余类. 剩余类具有下列比较明显的性质：1）模m 的剩余类110,,,-m K K K 都是Z 的非空子集； 2）每个整数必属于且只属于一个剩余类；3）两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模m 同余.13. 初等函数分为( 代数函数 )和(初等超越函数)两大类. 14. 超越方程包括 (指数方程，对数方程，三角方程和反三角方程)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程无理方程有理方程代数方程方程15. 柯西不等式的内容是( ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221).二、证明题1. 利用自然数的序数理论证明2510⨯=． 证明 212=⨯42121222=+⨯=⨯=⨯+∴ 62222232=+⨯=⨯=⨯+ 82323242=+⨯=⨯=⨯+102424252=+⨯=⨯=⨯+2. 证明任意n 个相邻的整数都构成模n 的一个完全剩余系． 证明 设n a a a ,,,21 是相邻的n 个整数， 任取i a ，j a （j i ≠），则1-≤-n a a ji依据题意，只需证明i a 与j a 不同余则可. 下面用反证法来证明 假设()n a a j i mod =，即i a 与j a 同余则有r nq a i+=1，r nq a j +=2，由此21q q n a a j i -=-已知1-≤-n a a j i ，所以021=-q q ，即21q q =因此j ia a =，这与已知矛盾，故原命题成立。
中学代数研究模拟试题和答案
20 —20 学年上《初等代数研究》期末试卷Ｂ答案及评分标准一、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分）1、2780；2、43x +；3、1；4、(,10)1b =；5、4；6、12； 7、9m ≥； 8、21x -二、判断题（本大题共 5题，每小题2分，共10分）1、╳；2、√；3、╳；4、╳；5、√.三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2 分，共 10 分）1、Ｄ；2、Ｃ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｂ.四、解答题（本大题共 7 题，第1－5小题每题 6分，第6、7小题每题7分，共 44 分） 1、 解：设()()2f x g x =-，则有(0)18,(1)(2)(3)0f f f f =-=== ―――――――――――――――――2分根据多项式关于它的根的分解式，可设()(1)(2)(3)f x A x x x =---再由(0)18f =-，得618,3A A -=-= ―――――――――――――――――2分 所以 ()()23(1)(2)(3)2g x f x x x x =+=---+323183316x x x =-+- ―――――――――――――――――――2分2、 解：24224(1)2(1)a x a x y y ++-+ 22222[(1)]2(1)2(1)a x ya x y a x y =++-++- ―――――――――――2分 22222[(1)]4a x y x y =++- ――――――――――――――――――――2分 2222[(1)2][(1)2]a x y xy a x y xy =+++++- ――――――――――――2分或 2222[()][()]x y ax x y ax =++-+3、 解：因为226sin sin cos 2cos 0x x x +-=，所以有 (2s i n c o s )(3s i n 2c o sx x x x -+=――――――――――――――１分 于是 2s i nc o sx x -=或3sin 2cos 0x x +=得 12t g x =或23tgx =- ――――――――――――――――――――――２分由于2x ππ<<， 所以取23tgx =-―――――――――――――――――1分从而 2222()212322151()3tgx tg x tg x⨯-===---- ―――――――――――――――2分4、 解：不等式同解于不等式组22240104(1)x x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪-<+⎩ （1） （2） （3）――――――――――――――－2分 由（1）式，得24x ≤，于是22x -≤≤ 由（2）式，得1x >-由（3）式，得22230x x +->，于是12x --<或12x -+>――――――――3分所以不等式的解集为：22x <≤ ―――――――――――――――――1分5、 解：令(1)(1)(2)k u k k k k ∆=-++，则 ―――――――――――――――――2分1(1)(2)(3)(1)(1)(2)k k k u u u k k k k k k k k +∆=-=+++--++(1)(2)[(3)(1)]4(1)(2)k k k k k k k k =+++--=++ ―――――――――2分于是111(1)(2)4nnk k k k k k u ==++=∆∑∑111()4n u u +=-1(1)(2)(3)4n n n n =+++ ――――――――――――――――――――――2分6、解：由x =，得x -=，两边平方整理得211)x x +=+ ―――――――――――――――――――――――2分两边再平方整理，得422248230x x x ---=――――――――――――――――――――――2分令42()2248230g x x x x =---=，则0g +=因 ()()25f x g x =+，所以)25f =―――――――――――――――――――――3分7、 解：利用换底公式，有242444log log 2log log log 2x x x x === ――――――――――――――――－1分方程组可写为24433log log (4)log ()log x y x x x y y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩⇒2(4)x y x xx y y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ (1) (2) ―――――2分 由（1）得 24xy x=- 代入（2）式，得244xx x xx-+=-解得4x =-（舍）， 或43x = ―――――――――――――――――――－3分所以方程组的解为 4323x y =⎧⎨=⎩ ――――――――――――――――――――――1分五、证明题（本大题共2题，每小题6分，共12分）证明：（1）91910++== （2）919⋅= 9291(91)1011++++=+=+== 92919199+⋅=⋅=⋅+=+=9392(92)1112+++∴+=+=+== 9392929189+∴⋅=⋅=⋅+=+=―――――――――――3分 ――――――――――3分２、证明：设22x y z k a b ca ca b c===++--+，则有(2)()(2)x a b c k y a c k z a b c k =++⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩ （1） （2） （3） ――――――――――――――――2分 解得 24x y z ak ++=4x z bk -= ―――――――――――――――――――――３分24x y z ck -+=所以1224ab c x y zx zx y z k===++--+―――――――――――――１分。
初等数学研究(代数部分)期末复习题
初等数学研究（代数部分）期末复习题习题1.求适合{}1,2{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的一切集合A ，以及他们基数的和。
解：:{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}{1,2,3,4,5}A 它们的基数和为：2333444528+++++++=。
习题2.用自然数序数理论证明：（1）347+=，（2）3412⋅=证： （1）3433(33)(32)((32))((31))(((31)))(((4)))((5))(6)7''''''+=+=+=+=+''''''''''''=+=+====（2）313⋅=又3231313336'⋅=⋅=⋅+=+= 3332323639'⋅=⋅=⋅+=+=34333339312'∴⋅=⋅=⋅+=+=习题3.对任何自然数a ，证明：（1）2a a a ⋅=+，（2）2()a a a a ⋅=++证：有定3中的（1），1a a ⋅=，由（2），211a a a a a a'⋅=⋅=⋅+=+；同理，322()a a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=++。
证毕 习题4.设,m n N ∈，求证： （1）()m n m n ''''+=+ （2）()m n m n m ''⋅=⋅+ （3）()m n m m n n '''''⋅=+⋅+ 证：（1）m n n m ''+=+（交换律）∴()()m n n m n m ''''''+=+=+（性质（2））又n m m n ''''+=+（交换律）∴()m n m n ''''+=+；（2）()()m n m n m m n m '''⋅=⋅+=⋅+；（3）()()()()()m n m n m m n m m n m n m m n n m m n n'''''''''''⋅=⋅+=+⋅=+⋅+''''=+⋅+=+⋅+ 证毕习题5.证明()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅证：设,a b x x N -=∈，则a x b =+原式变为证x c a c b c ⋅=⋅-⋅，即a c x c b c ⋅=⋅+⋅ 由乘法对加法的分配律()a c x b c x c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅∴原式x c a c b c ⋅=⋅-⋅成立，即()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅成立。
代数选论期末试题及答案
代数选论期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + c \)，若 \( f(x) \) 的图像与x轴有两个交点，则 \( c \) 的取值范围是：A. \( c > 4 \)B. \( c < 4 \)C. \( c \leq 4 \)D. \( c \geq 4 \)答案：B2. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是方程 \( x^2 + px + q = 0 \) 的两个根，且 \( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，则 \( p \) 和 \( q \) 的值分别是：A. \( p = -5 \), \( q = 6 \)B. \( p = 5 \), \( q = 6 \)C. \( p = -5 \), \( q = -6 \)D. \( p = 5 \), \( q = -6 \)答案：C3. 若 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3 \)，则 \( x + y \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{6} \)C. \( \frac{1}{9} \)D. \( \frac{1}{12} \)答案：A4. 已知 \( a \)，\( b \)，\( c \) 是等差数列，且 \( a + b + c = 3 \)，\( a + 2b + 3c = 10 \)，则 \( a \)，\( b \)，\( c \)的值分别是：A. \( 1, 1, 1 \)B. \( 0, 2, 4 \)C. \( 1, 2, 3 \)D. \( 2, 2, 2 \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知 \( a \)，\( b \) 是方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两个根，则 \( a^2 + b^2 \) 的值为 ________。
精品《初等代数研究》练习题
《初等代数研究》作业一。
填空题1．第一数学归纳法的内容是____________. 2．函数112+-=x x y 的值域是_________. 3．函数)32(log 4222-+-=x x x y 的定义域是__________. 4．函数2xx e e y --=在),(+∞-∞内的反函数是 .5．模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）_____________. 6．柯西不等式的内容是_____________. 7．切比雪夫不等式的内容是___________. 8．超越方程包括__________. 9．把方程04123356=-++-x x x x 的各个根乘以2，对应的值是 10．=-]231,525[___________. 11．排序定理的内容是_______.12．一元三次方程013=++px x ),(R q p ∈，如果它有三个不等的实根，则27432p q +____________（填大于零，小于零，或等于0）.13.对于一元三次方程),(03R q p q px x ∈=++，如果027432>+p q ，那么该方程根的情况为___________。
14.排序不等式的内容是___________。
15.函数21x x y +=在区间),0(+∞内的最小值为___________。
16.如果一元三次方程),(03R q p q px x ∈=++有三个实根，那么27432p q + ___________ （填大于、小于或等于零）。
17.第二数学归纳法的内容是___________。
18.初等超越不等式包括__________。
二．解方程（组）或不等式（组）1．解方程组⎩⎨⎧=++=+.2)(log ,7log 2log log 4333y x y x2．解不等式.13322-<-+-x x x3．解不等式 .01cos sin 1cos sin >+--+x x x x4．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.34,21sin sin 22πy x y x5．解不等式 .0111222>+-++x x x x6．解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==;6324,91x x yy7．解不等式.1123log 21<--xx8.解方程组⎩⎨⎧=-=+.0)sin(,0)sin(y x y x 9.解不等式.01||22622≥+---x x x x10.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3421sin sin 22πy x y x 三．证明1．已知,1),(=y x 求证1),(=-+y x y x 或2. 2．求证函数1122+-+++=x x x x y 当0=x 时取最小值2.3．已知,,N n m ∈且3≥≥m n ，求证 .)1(mmn n m +>⋅ 4．已知对任意的自然数0,>n a n ，且∑∑===nj nj j ja a1213)(，求证.n a n =5．已知q p ,都是素数，5>>q p ，求证 .24044q p -6．证明：在)(22N n nn∈⨯个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这个3个小 方格构成的L 形块恰好铺满.7．设q p ,是相异素数，求证 111≡+--p q q p （pq mod ）.8．证明函数3311-++=x x y 是代数函数.9．求证：).11(2131211-+>++++n n)(N n ∈10．证明：如果r b a +是二次以上有理系数方程0)(=x f 的一个根，r b a ,,都是有理数，并且r b ,0≠ 是无理数，那么r b a -也是0)(=x f 的根.11．设n a a a ,,,21 是相异的正整数，求证.121122221n n a a a n +++≥+++12．求证：方程0)(23=+++=d cx bx ax x f 的一个根和另一个根的绝对值相等，符号相反的条件是bc ad =（0≠a ）.13．设n n b b b a a a ≤≤≤<>≥≥≥ 21210,0，求证nn n n b b b a a a n b a b a b a ++++++≥++ 21212211)(14．设P 是ABC ∆内一点，321,,r r r 分别是P 到三边321,,a a a 的距离，R 表示ABC ∆ 外接圆半径，证明：.)(2121232221321a a a R r r r ++≤++15.证明：用为3分和5分的邮票可以支付任何n （n 是大于7的自然数）分的邮资。
《初等代数研究》试卷(A)和试卷(B)
铜仁学院2008级数学本科班 《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分 ）班级________________ 姓 名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。
2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1） 求证：;964)2(≤-a a （2） 求S=的最大值。
333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且 （1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。
《初等数学研究》期末试卷
数学与应用数学专业《 初等数学研究 》一、证明题（本题共3小题，每小题8分，共24分）1. 任何无限集A 必有一子集B 与自然数集N 一一对应。
2、证明：c ab c b c a ab +=++3、在100个连续自然数1,2,3……..99，100中任取51个数，证明在这51个数中，一定有两个数，其中一个是另一个的倍数。
二、计算题(本题共5小题，4、5每小题8分，6、7、8每小题10分，共46分)4、今天是周日，问20035天后是星期几？5、求221365n H H H n n n =++--的特解。
6、在楼房内两层楼梯中间设置一照明灯L，要求在两层的楼梯口各设置一开关x与y同时控制此灯。
具体地说，当上楼时拉开关x使灯L亮，上楼后再拉开关y使灯L灭。
此后又有人上（下）楼，再拉开关x（或y），灯L又亮，此人通过楼梯后，再拉开关y（或x），灯L又灭。
试问开关x与y应如何连接才能实现上述要求。
7、数学系在某次运动会上参加团体操，参加者4人一排，余下一人；5人一排，余下2人；7人一排，余下3人，则该系有多少人参加了团体操。
8、求线性非齐次差分方程组的通解，并求其在初值条件0010,9x y==下的特解。
11224,229.n n nn n nx x yy x y++++=⎧⎨+-=⎩三、解答题(本题共2小题，每小题15分，共30分)9、简述RMI 原则的基本思想，并利用该思想分析解决：在复数集内解方程0653856234=++-+x x x x10、（兔子-狐狸生态模型）如果没有狐狸，假设兔子每年增长10%，但是狐狸的出现使兔子减少，假设兔子减少的数量和狐狸数量成正比，比例系数为0.15。
另一方面，在没有兔子的情况下，假定狐狸数量每年减15%，但是兔子的出现使狐狸数量增长，假设狐狸增加的数量和兔子数量成正比，比例系数为0.1。
假设现有兔子数10个，狐狸数8个，问若干年后兔子与狐狸的数量如何？。
初等数学研究期末考试题目答案
习题一5证明：当n=1时，的倍数。
是9181n 154n=-+ 假设当n=k 时的倍数。
是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。
是）（）（918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++则对∀N n ∈，1n 154n -+是9的倍数. 6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。
假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） =k 21k 21-+（21k 241）（+-）=）（）（1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。
7解：（1）01x 3x 132=---==+，则，αββα （2）3311=-=---ββαα，131313A n2n n 2n nn 2n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++131311n 11n nn ）（）（-+-+---+-=βββαααβα133131n 1n nn ++-+-=βαβα；n 1n A A 3+=+（3）当n=1时，1013A 333=-=βα的倍数。
是10 假设当n=k 时13A 3k3k 3k βα-=的倍数。
是10则当n=k+1时131313A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=⋅-⋅=-=+++k 333k3k 1013βαβα+-=则对∀N n ∈，n 3A 是10的倍数. 21 解：Z=72i 31）（++=+=++1)6isin 6(cos 17ππ)67isin 67(cos ππ+=i 21231--则|Z|=22263241)23-(12-=-=+；则.23arctan 2）（+-=πθ 22 解： |z|=1，，则令ααisin cos z +=∴1z z 2+-=)i sin -sin (2cos cos cos 22ααααα+-则u=222)21(cos 41cos 4cos 4|1z z |-=+-=+-ααα当3u ,1cos max =-=时α；当.0u ,21cos min ==时α 25解：由图像知20)-(-10)-3(-|OD |22=+=；则.312||||||max =+=+=AD OD Z .112||||||min =-=-=BD OD Z,24060180)(arg .30,21sin max =+=∴=∴=Z αα.180)(arg min =Z 习题二1解：设这个多项式为)1()(10-+=x a a x f )4)(2)(1(2)(1(32---+--+x x x a x x a ）.然后将已知点依次代入：;10,10)1(00-=∴=-=a a f ;9,1)2(110=∴+=-=a a a f ;14,63101)4(2210=∴++==a a a a f ;2,21812124218)5(33210=∴=+++==a a a a a f因此，)1(910)(-+-=x x f )4)(2)(1(22)(1(14---+--+x x x x x ）7523--=x x 即.32)3(=f2解：d x c x b x a x x f +-+-+-+-=-)2()2()2()2()2(234令2=x 得165=d ;令0=x 得;8624,165248169=+-+-+-=c b a c b a 即 令1=x 得.119=+-c b a 令3=x 得.269=++c b a 则165,180,75,14====d c b a即165)2(180)2(75)2(14)2()2(234+-+-+-+-=-x x x x x f =.5432234+-+-x x x x7解:(1)法一:原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式=+++444)(y x y x ])([22nxy y x m ++])([22lxy y x k ++则;1;2====l k n m 444)(y x y x +++=222)(2xy y x ++ 法二:22222222444]2)[(2)()(xy y x y x y x y x y x +++-+=+++ =2222222222)(22)(4)(2xy y x y x y x xy y x ++=++++ (2) 2222222)1(122)()1(++++=++++x x x x x x x x2222)1()1()1(21++=++++=x x x x x x(3) 原式为对称式,当)(z y x +-=时原式为零,故z y x ++为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()(((z y x ++))()([222yz xz xy n z y x m +++++]令120,1,1=+===n m z y x 得,令;131,1,1-=-=-=-=n m z y x 得 则).)((),,(.1,0yz xz xy z y x z y x f n m ++++=∴==(4)原式为轮换式,当y x =时原式为零,故))()((x z z y y x ---为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()((k ))()((x z z y y x ---(z y x ++)令.2,1260,2,1-=∴-====k k z y x 得则=++++xyz y x x z z y ))()((-2))()((x z z y y x ---(z y x ++) 8解:（1）))((15x x 6x x 22234l nx x k mx x ++++=+-+- =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++-=+15161kl nk m l l m n k n m ；设;5,3==l k 则.2,1-==n m则).52)(3(15x x 6x x 22234+-++=+-+-x x x x（2）=++++21x 29x 20x 7x 234))((22l nx x k mx x ++++ =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+2129207kl nk m l l m n k n m ；设;7,3==l k 则.5,2==n m则=++++21x 29x 20x 7x 234).75)(32(22++++x x x x9解：（1））5()3()152)(3(45x 21x x 2223+-=-+-=+--x x x x x （2）)6792)(1(6x 13x 2x 72x 23234-++-=+--+x x x x=)2)(12)(3)(1(+-+-x x x x（3）原式为轮换式,当y x -=时原式为零,故))()((x z z y y x +++为原式的一个因式,.设=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x k +++ 令.10,1,1====k z y x 得则=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x +++ （4）)2)(12]()6)(4[(4x -24)14x 24)(x 11x (x 222+++++=++++x x x x x=-24x 242)(12()2)(12)(6)(4(x x x x x x x x -+++++++）=)2410()2)(12)(6)(4(2+++++++x x x x x x x =)2415)(6)(4(2++++x x x x10解：（1）]6016)[(60164(x 3x -12)10)(x 6)(x 5)(x (x 4222x x x x +++++=++++）=-23x 222236016(4)60164(x x x x x x -+++++）=]6016(2][3)6016[2(x 22x x x x x -+++++） =）120312)(12035(2x 22++++x x x )426535(+-=x )8)(152)(426535(++--x x x （2）7x 44x 27x 2x 234+---))((22l nx x k mx x ++++= =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=++-=+744272kl nk m l l m n k n m ；设;1,7==l k 则.7,5-==n m则7x 44x 27x 2x 234+---)17)(75(22+-++=x x x x)2537)2537)(75(2--+-++=x x x x （ 16解;（1）5432534)2()2()2()2(2-x A 2)-(x 6x 2x x 2-+-+-+-+=-+-x Ex D x C x B 设 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.22,54,42,15,2=====E D C B A则.)2(22)2(54)2(42)2(152-x 22)-(x 6x 2x x 25432534-+-+-+-+=-+-x x x x（2）2222221)x (13-x A 1)x -3)(x -(x 16x 4x 5+-+++-++=++-x EDx x x c Bx 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.3,2,2,1,1-=-=-=-==E D C B A则.1)x (32123-x 11)x -3)(x -(x 16x 4x 5222222+---++---+=++-x x x x x 22 解:;471,71,3xx 222121=+=+∴=+-xx x x 则.18)11(x x (21212323=+-+=+--x x xx 即.52347218x3x x 2x 2223-23=++=++++-28. (1) =72cos7cos0cos ππ++)73-cos(73cos πππ++)7-cos()72-cos(ππππ++=1 (2) =）（ 1tg 1+）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)]145(tg 1[ -+ =）（1tg 1+）（2tg 1+）（3tg 1+)1tan 11tan 11(+-+ =2）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)43tan 1( +=222 (3) =++2)240cos 1(++2)280cos 1( ++2)2120cos 1( 2)2160cos 1( + =+++++++280cos 1)160cos 120cos 80cos 40(cos 24[412160cos 1 ++++2240cos 1 ]2320cos 1+=++++++280cos )160cos 120cos 80cos 40(cos 26[412160cos ++2240cos ]2320cos=]40cos 2120cos 80cos )20cos 2180cos 40(cos 412[81+--+--++=]25)20cos 80cos 40(cos 512[81--++=1619)20cos 20cos 2120cos 2(8516523=-+- 。
初等代数研究练习题
初等代数研究练习题答案 一、填空题
1 3 4 x2 3x 3 1 a ab 3、 4、1 2 ab
1、 f ( x )
2、
( x 1) 2( x 1)
3
2
3( x 1) 4
5、 （1）90； （2）15 8、最大值
min S 2 x1 3x 2 x3 x1 x 2 2 x3 8 2 x1 x 2 3x3 20 x1 x 2 2 x3 2
x1 0, x2 0, x3 无非负限制
2、如果某线性规划问题的约束方程组为
x1 - x2 + x3 =4
x1 - x2 +3 x3 =8
x3 =2
于是得基本解 X
( 2)
0 2 2
因为-2 0，所以它不是基本可行解
7
1、设
tan 2, 求 sin
2 cos 得值 sin cos
3
2、计算 cos[ 3、解方程
1 3 arc cot( )] 的值。 2 4
x
2
3x 4 2 x 1 1
4、设正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长为 2，求∠ PCQ。 5、设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的边长为 a，试求 B 到平面 AB1C 的距离。 maxS=80 x1 +45 x2 20 x1 +5 x2 400 15 x1 +10 x2 450
初等代数研究练习题 一、填空题 1、已知三次多项式 f(x)在 x=-1,0,1,2 时函数值分别为 1,2,3,2,则 f(x)= 2、多项式 3、已知 4、 。 。 。 。
初等数学研究期末复习：解答题doc
初等数学研究期末复习题：解答题代数部分1．已知函数f (n )的定义域和值域都是N ，且(1)f (2)=2；(2)对m 、n ∈N ，有f (mn )=f (m )f (n )；(3)m >n ⇒f (m ) >f (n )．求证：对任意n ∈N ，有f (n )= n ．2．用跳跃归纳法证明：任一正方形可剖分成个数多于5个的正方形．3．对任意自然数n ，设sincosnnnρθθ=+，若1sin cos ρθθ=+是有理数，试证n ρ是有理数．4．证明：当n >2时，n 与n !之间至少存在一个质数．5．设a 、b ∈Z ，证明：在a ，b ，a +b ，a －b 中必有一个是3的倍数．6．已知,k n N∈，n a 表示12kkkn++⋅⋅⋅+的个位数字，求证：120.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是有理数．7．证明：实数集是不可数集． 8．设α是无理数，求证：3(1)α+与3(1)α-不能同为有理数．9．设(1)n N n ∈>，求证：111s in 2n n k k nnπ--==∏．10．已知cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，求证：co s 2co s 2co s 2sin 2sin 2sin 20αβγαβγ++=++=．11．圆内接六边形ABCDEF 的三条边AB ，CD ，EF ，都等于该圆的半径，求证：另三边BC ，DE ，F A 的中点P ，Q ，R 构成一个正三角形．12．设1z i +≤，求z和arg z 的最大值与最小值．13．已知,,a b c R∈且0a b c ++=，求证：555222333523abcabcab c ++++++=．14．分解因式：5555()x y z xyz++---．15．已知(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 都是多项式，且432()1F x xx xx =++++，5525()()()()()P x x Q x x R x F x S x ++=⋅，求证：1x-是(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 的一个公因式．16．确定正整数k 值，使432()22f x xx k xk x =--+-能分解成整系数因式．17．已知a b c b cc aa b++=---，求证：222()()()a bc b c c a a b ++=---．18．已知1xyz=，2xy z ++=，22216xyz++=，求111222x y zy z xz x y+++++的值．1920．已知1224lo g 18,lo g54ab ==，求证：5()1a b a b +-=．21．实数,x y 满足2220xy x +-=，求22xy-的值域．22．求下列函数的值域：(1)yx =-(2)y=23．求函数22331221x x yxx ++=++的值域．24．证明sin cos y x x=+的最小正周期是2π．25．证明2sin yx=不是周期函数．26．证明：函数sin y x=是超越函数．27．已知()(y f x x =∈R )的图像关于点0(,)a y 和直线()xb a b =≠都对称，求证：()f x 是周期函数．28．求函数229(,)()f m n m n n =-+⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．29．解方程：222916(3)xxx +=-．30．解方程：2660x x ---=．31(x a +=∈R )．32．解方程：3233110x x x --+=．33．解方程：3120x x --=．34．解方程：432420x x xx +---=．35．解方程：7654322513135210xxx x x x x +----++=．36．解方程组3355x yy x ==⎧⎨⎩．37．解方程组123x x y y y y z z z zx x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．. 38．解方程组222333333x y z x y z x y z ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．39．已知：22221,1(,,,,,2)a b kab c dkcd a b c d k R k +-=+-=∈<，求证：2a c b d -≤．40．已知01(1,2,,)i x i n ≤≤=⋅⋅⋅，121nSx x x =+++⋅⋅⋅+，求证：121212(1)(1)(1)1nn nx x x x x x S x S x S x ++⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅-≤---．41．已知0(1,2,,)i x i n >=⋅⋅⋅，求证：12121212()nnx x x x x x nnn x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅．42．设,,0x y z ≥且1x y z ++=，求证：7227y z zx x y x y z ++-≤．43．解关于x 的不等式组：22(1)020x a x a x -++>-<⎧⎨⎩．441<+．45．解关于x 的不等式：2x a x ++<．46．已知数列{}n a 的前n 项和(1033)2n n n S -=，(1)求通项n a ；(2)求n S 的最大值．47．求和231234122222nn nnn S -+=+++⋅⋅⋅++．48．已知数列{}n a 中，设10a =，121n n n a a nn++=+，求通项公式n a ．49．已知数列{}n a 中，11a =，21a =，12n n n a a a --=+(3)n ≥，求通项公式na ．50．已知数列{}n a 中，11a =,27a =，且124461nn n a a a n --=-++，求通项公式n a ．几何部分1．已知：在⊿ABC 中，BE 平分∠ABC 而交AC 边于E ，CF 平分∠ACB 而交AB 边于F ，且BE =CF ．求证：AB =AC ．2．设E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD =∠EDC =15°．求证：⊿EAB 是正三角形． 3．AD 是⊙ABC 的直径，过点D 作圆的切线，交CB 的延长线于P ，连PO 并延长交AB 、AC 于M 、N ．求证：OM =ON ．4．设AB 是⊙O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作两弦CD 、EF ，记P 、Q 依次为AB 与CF 、ED 的交点．求证：PM =MQ ．5．在锐角⊿ABC 中，过各顶点作其外接圆的切线，A 、C 处的两切线分别交B 处的切线于M 、N ，BD ⊥AC 于D ．求证：BD 平分∠MDN ．6．已知：AD 是⊿ABC 的高，P 是AD 上任一点，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于E 、F ．求证：DA 平分∠EDF ．7．在⊿ABC 中，AB =AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED =2∠CED =∠A ．求证：BD =2CD ．8．在⊿ABC 中，若D 、E 在BC 上，且∠BAD =∠CAE ．求证：22B E A B E CB D CD CA ⋅=．9．已知：正⊿ABC 的边长为1，等腰DBC 的顶角∠BDC =120°，以D 为顶点任作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连MN ．求证：⊿AMN 的周长等于2．10．已知：R 、r 分别是⊿ABC 的外接圆和内切圆的半径，I 是内心，AI 的延长线交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．11．菱形ABCD 的内切圆切各边于E 、F 、G 、H ，在弧EF 与弧GH 上分别作此圆的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ．求证：MQ //NP ．12．在⊿ABC 中，已知AB =AC ，AD 、BE 是高，且交于H ，E F ⊥BC 于F ，M 是AH 的中点，延长AD 到G ，使DG =EF ．求证：BM ⊥BG ．13．已知：⊿ABC 内接于⊙O ，L 、M 和N 分别为弧BC 、弧CA 和弧AB 的中点，连结NM 、LM 分别交AB 、BC 于D 、E ，I 是⊿ABC 的内心．求证：D 、I 、E 三点共线．14．由圆内接四边形各边中点向对边引垂线，证明这四垂线共点．15．证明：三角形三边的中点，三高之足，垂心与各顶点所连线段的中点，这九点共圆．16．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条内角平分线长分别为a b c t t t 、、，求证：()2a b c t t t a b c ++≤++．17．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．求证：222222()()()abca b b c c a ++≥+-+-+-．18．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3︰4︰1，点M 、N 分别在线段AC 、CD 上，且B 、M 、N 三点共线，AM ︰AC =CN ︰CD ．求证：M 、N 分别是AC 、CD 的中点． 19．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于其内一点，且OA =OC ，OD =3OB ，在AC 、CD 上各取一点M 、N ，使AM ︰AC =CN ︰CD =︰3．求证：B 、M 、N 三点共线．20．P 为⊿ABC 的BC 边上任一点，作PE //AB 交AC 于E ，PF //AC 交AB 于F ，设1A B CS =．求证：B P F C P E A F P E S S S 、、至少有一个不小于49．21．已知凸五边形ABCDE 中，每一顶点与其相邻的两顶点所成的三角形的面积都是1．求A B C D E S ．22．⊿PQR 与⊿P ′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 是它们的公共部分，若记AB =a 1，BC =b 1，CD = a 2，DE = b 2，EF = a 3，F A = b 3．求证：222222123123a a ab b b ++=++．23．设I 是⊿ABC 的内心，AI 、BI 、CI 分别交对边于A ′、B ′、C ′，记12Aα=∠，12Bβ=∠，12Cγ=∠．求证：(1)1(1ta n ta n )2A I A A βγ=+'，1(1ta n ta n )2B I B B γα=+'，1(1ta n ta n )2C I C C αβ=+'；(2)18427A IB IC I A A B B C C ⋅⋅<≤'''⋅⋅．24．证明：任意四边形的面积不大于对边乘积之和的一半．25．设一直角∠MON ，试在OM 、ON 边上及角内各求一点A 、B 、C ，使得BC +CA =l (定长)，且四边形ACBO 的面积最大．26．已知点A 为平面上两半径不等的⊙O 1 和⊙O 2的一个交点，外公切线P 1P 2的切点P 1、P 2，另一条外公切线Q 1Q 2的切点Q 1、Q 2，M 1、M 2分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点．求证： ∠O 1A O 2=∠M 1A M 2．27．在等腰⊿ABC 中，顶角∠ACB =80°，过A 、B 引两直线在⊿ABC 内交于一点O ，若∠OAB =10°，∠ABO =20°．求证：∠ACO =60°．28．设E 、F 分别是⊿ABC 的AB 、AC 上的点，BE =CF ．求证：EF <BC ．29．设P 是平行四边形ABCD 内一点，使∠P AB =∠PCB ．求证：∠PBA =∠PDA ． 30．在⊿ABC 中，点D 是AB 的中点，E 、F 分别在边AC 、BC 上，证明：⊿DEF 的面积不大于⊿ADE 与⊿BDF 的面积之和．31．四边形ABCD 内接于圆，另一直径在AB 上的半圆与其他三边都相切．求证： A D B C A B +=．32．设P 是正⊿ABC 内任一点，且P A a =，P B b =，P C c =，试用a 、b 、c 表示⊿ABC 的面积．33．求证：三角形的外心、垂心、重心共线．34．三个全等的圆有一个公共点O ，且都在一个已知三角形内，每一个圆都与三角形的两边相切．求证：这个三角形的内心、外心与点O 共线．35．已知四边形ABCD 的任一组对角之和为θ．求证：222()()()2c o s A C B D A B C D A D B C A B B C C D A D θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅．。
初等数学研究期末试题及答案A
初等数学研究期末试题及答案A延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸课程名称: 初等数学研究任课教师姓名: 左晓虹卷面总分: 100 分考试时长: 100 分钟考试类别:闭卷 ? 开卷 ? 其他 ? 注:答题内容请写在答题纸上，否则无效(一、单选题(4*10=40分),,,,,,1(设，是向量，命题“若，则”的逆否命题是 ( ) ||||ab,abab,,,,,,,,,,，则 (B)若，则 (A)若||||ab,||||ab,ab,,ab,,,,,,,,,,(C)若，则 (D)若，则 ||||ab,||||ab,ab,,ab,,x,,22(设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ( )2222(A) (B) (C) (D) yx,,4yx,4yx,,8yx,8fx()fxfx()(),,fxfx(2)()，,yfx,()3(设函数(R)满足，，则函数的图像x, 是 ( )xx,64((R)展开式中的常数项是 ( ) (42),x,,20,15(A) (B) (C)15 (D)205(某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )2,(A) ,83,(B) 8,382,,(C)2,(D) 3[0,)，,6(函数在内 ( ) fxxx()cos,,(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点第 1 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点227(设集合， MyyxxxR,,,,{||cossin|,}1MN:}，为虚数单位，R，则为( ) ix,Nxx,,,{|||2i1](0(A)(0，1) (B)，1][01)[0(C)， (D)，xxx1238(右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的x,6x,9p,8.5p12独立评分，为该题的最终得分，当，，x3时，等于( )(A)11 (B)10 (C)8 (D)7l9(设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点y(,),(,)xyxy(,)xyxn112233通过最小二乘法得到的线性回归方程(如右图)，以下结论中正确的是 ( )l(A)和的相关系数为直线的斜率 yx(B)和的相关系数在0到1之间 yxl(C)当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 nl(D)直线过点 (,)xy10(甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )1151(A) (B) (C) (D) 363696二、解答题(10*5=50分，选做5道题目即可), ，,ACD90AEBC,1(如右图，?B=?D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE的长度(第 2 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸1,,fx()(0,)，,f(1)0,gxfxfx()()(),，2( 设函数定义在上，，导函数，( fx(),xgx()(1)求的单调区间;1gx()(2)讨论与的大小关系; g()x3(植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米(开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值( 4(叙述并证明余弦定理(((1)作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容; 5(2)请至少列出与三角形相关的5个性质命题(6(就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语( 三、证明题(10分)ABACD,,如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，EDE,ABCABC,BCAA11111ABAC,平面，求证:( BCC1一、选择题(4*10=40分)1(C 2( B 3( B 4( C 5( A6( B 7( C 8( C 9( D 10( D二、解答题(10*5=50分，选做5道题目即可),，,ACD90AEBC,1.如图，?B=?D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE(AEBC,解:因为，,，,ACD90，所以?AEB=又因为?B=?D，所以?AEB??ACD，……5分ACAD所以, ,AEABABAC,，64所以， AE,,,2AD122222BEABAE,,,,,6242在Rt?AEB中，(………………………5分第 3 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸1,,fx()(0,)，,f(1)0,gxfxfx()()(),，2. 设函数定义在上，，导函数，( fx(),xgx()(1)求的单调区间;1gx()(2)讨论与的大小关系; g()x1,fxxc()ln,，f(1)0,ln10，,cc,0解:(1)?，?(为常数)，又?，所以，即，cfx(),x1fxx()ln,?;， gxx()ln,，xx,1x,1,,gx()0,x,1?，令，即，解得，…………2分 ,0gx(),22xx,gx()0,gx()(0,1)gx()x,(0,1)当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间;,x,，,(1,)gx()0,gx()(1,)，,gx()当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间;…………3分111(2)，设， gxx()ln,,，hxgxgxx()()()2ln,,,,，xxx2(1)x,,则， hx(),,2x1h(1)0,x,1当时，，即， gxg()(),x,,x,，,(0,1)(1,):hx()0,h(1)0,当时，，，(0,)，,hx()因此函数在内单调递减，1hxh()(1),01,,x当时，=0，?; gxg()(),x1hxh()(1),x,1当时，=0，?( ………………5分 gxg()(),x3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米(开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为(解:(方法一)设树苗放在第个树坑旁边(如图)， i1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是siiiiiii,,，，,，，，,，，，,，，，,，(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10？？iiii(1)(20)(120)，,，， ,，，,,，,，10[(20)]iiii22第 4 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸2，…………………………8分 ,,，10(21210)iii,10所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米. 11s……………………2分(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
(完整)初等代数研究试题
第【1】页 共【6】页注意事项：● 适用学生：11级统招学生● 考试方式：开卷笔试● 考核时间：100分钟● 总 分：100分一、选择题（总分10分，每题2分）１．若,012=++x x 则=+17171x x ( )A.1B. -1C. 2D.-2 ２．若215+=x ，则=++531x x x （ ）A. 215+B. 215- C. 215-- D. 215+-３．若518,9log 18==ba ．则=45log 36（ ） A.a ba -+2 B. ab a ++2 C. a b a --2 D. a ba +-2 ４．若0cos 2cos sin sin 6,222=-+<≤ααααππx ，则 =+αα2cos 2sin （）A.137-B.1312- C.135 D.137５．函数x x y -+=1的值域为（ ）A.[]2,1-B. []2,1C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,1第【2】页 共【6】页二、填空题（总分20分，每空2分）1. 数系的扩展方式有 和 两种方式.2．如果()1,=b a ，则d by ax =+一定有 ；若()11,y x 是d by ax =+的特解，则d by ax =+的通解公式是 ．3．方程()0=+k y f 各根分别比方程()0=x f 的各根 ．4．y x +的互为有理化的因式为 ．5．把方程0104234=--++x x x x 的各个根变号，得到的方程为 ．6．若 ，则必存在整数y x ,，使d by ax =+．7．在实数集R 内，形如 或 的分式叫做基本真分式（或最简部分分式）．三、解答题（总分40分，每题8分）１．求不定方程71513=-y x 的通解公式．第【3】页 共【6】页 ２．解方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++.294,33,10x z z y y x zx yz xy z y x３．分解因式222255372z yz xz y xy x +--++．第【4】页 共【6】页 ４．将229323+---x x x x 展开成部分分式．５．用综合除法分解()692323-+-=x x x x f 的因式．第【5】页 共【6】页四、证明题 （总分20分，每题10分）1．若333cz by ax ==，且1111=++zy x ，则 3333222c b a cz by ax ++=++．２．已知0,1=++=++z c y b x a c z b y a x ．求证：1222222=++cz b y a x ．第【6】页 共【6】页五、应用题 （总分10分，每题5分）1．（百马问题）一百马，一百瓦，大马驮五，中马驮三，两小马驮一瓦，最后不剩马和瓦，问大马、中马、小马各有几何？2．有一块正方形的钢板ABCD （如图），其中一个角有部分损坏( A 处阴影)，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH ，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，问应按怎样的角度x 来截？AB CDE F GH x。
研究报告初等数论期末温习
,题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡,二、求高次同余式的解：)105(mod 0201132≡-+x x 。
三、求高次同余式的解:,27100x x ++≡(mod,13).四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭,,91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。
求兵数。
七、设,b a ,是两个正整数，证明:,b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +,是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数.八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a,>,0是整数，p 为素数）的形式。
九、证明:,,若方程,11...0n n n x a x a -+++=,(0,i n a >,是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明:,,,若(,)1a b =，,则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。
十二、设p 是奇素数,1),(=p n ,,证明:,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21,(mod,p ).十三、设m,>,1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ,个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。
十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系,,则g γ通过模m 的一个缩系。
第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡解答：,(111,321)3,375=,,,,,∴同余式有三个解,,,,,11175321x (mod )333≡,即,37x 25(mod107)≡,,,,,4x 75(mod107)≡,,,又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡,,,,,因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。
初等代数试卷加答案
第 1 页 （共 3 页）玉溪师范学院20 至20 学年上学期期末考试试卷课程名称：《初等代数研究》（编号：Ｂ）（本卷满分100分，考试时间120分钟）考试方式:考试考查闭卷开卷仅理论部分其他 )系（院）：数学系 专业：数学与应用数学 年级：05 级 班学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分一、填空题（本大题共 8 题，每空3 分，共24 分）1、设2356,0,0,0a b c a b c ++=>>>，求2a bc 的最大值 2780.2、已知函数()xf x a b =+的图象经过点（1，7），其反函数的图象经过点（4，0），则()f x =43x + .3、已知3310(mod 9),09a a ≡≤<，则a = 1 .4、既约真分数ab可以化为纯循环小数的充要条件是 (,10)1b = .5、如果复数22(34)(56)m m m m i --+--是纯虚数，则m = 4 . 6、求的值12. 7、若不等式27x x m ++-≤有实数解，则m 的取值范围是 9m ≥ . 8、已知(1)(32)0x x --<21x - . 二、判断题（本大题共5题，正确的打“√”，错误的打“×”，每题2分，共 10分）1、 若12(,,,)1n a a a =，则12,,,n a a a 两两互素. （ × ）2、 设α是无理数，则33(1)(1)αα++-不能全是有理数. （ √ ） 3、 函数()1f x =与0()g x x =表示同一个函数. （ × ） 4、函数(y ln x =是非奇非偶函数. （ ×） ５、设110n n a a a a a -=，则正整数a 能被11整除的充要条件是01211(1)n na a a a -+-+- （ √ ）三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2分，共 10 分）1、 函数22()log (23)f x x x =--的单调递增区间是（ D ）Ａ、(,1)-∞- Ｂ、(,1)-∞ Ｃ、(1,)+∞ Ｄ、(3,)+∞ 2、 下列不等式中，正确的是（ C ）Ａ、12x x +≥ Ｂ、sin cos 2αα+≥ 22≥ Ｄ、2412216x x x ++≥ 3、 曲线32(1)(1)x y x -=+在区间[]1,5上是（ A ）Ａ、凹的 Ｂ、凸的 Ｃ、有凹有凸4、多项式32()51f x x ax x =+++被2x -除所得余数为3，则a =（ D ） Ａ、1 Ｂ、1- Ｃ、4 Ｄ、4- 5、已知集合{}(,)2M x y x y =+=，集合{}(,)4N x y x y =-=，则MN =（ B ）Ａ、3,1x y ==- Ｂ、{}(3,1)- Ｃ、(3,1)- Ｄ、{}3,1-请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。
甘肃民族师范学院初等代数期末考试题
数学系数学与应用数学专业2010－2011学年度第一学期期末考试卷 《初等数学研究》试卷（A 卷）一、填空题（每空3分，共60分）1.数系扩展的方法主要有 和 两种。
2.自然数的任何非空集合A 含有一个 。
3.在3571265、4867156、6272985中，能被3整除的数是 。
4.任意两个相异的实数之间，存在 实数。
5.代数基本定理：在复数域内，任意),2(z n n n ∈≥次一元多项式都可以被分解为 个一次因式的乘积。
6.在实数集，有理数集和整数集中，不可列集是 ，在实数域，有理数域，复数域中，不是有序域的是 。
7.函数F(x)= -1的（x ∈R ）的周期是 ；8.已知3)1(+=+x x f ，则)(x f =；9.在多项式321x x x ++，2132x x +和123322221x x x x x ++中，对称多项式是 ，轮换多项式是 。
10.已知31=+xx ，则441xx += 。
11.复合二次根式42-+x x 的化简结果是 。
12.复数z与它的共轭复数z相等的充要条件是 。
13.设1,0≠>a a 且，则=)(log 21x x a。
14.在实数域上将66yx -分解因式的结果是 。
15.函数3822++-=x x y 的单调区间是 。
16.函数xx x f 32tan2sin )(=的最小正周期是 。
17.由1,2,3,4,5五个数字组成的没有重复的数字的五位数的个数是 。
二、解答题 1. 分解611623+++x x x 的因式。
2. 已知方程x x x g x f 4)(,2)(==，解方程))(())((x f g x g f =。
3. 设方程0123=-+x x 的三根为321,,x x x ，试作一方程使其根分别为21x x ，32x x 和31x x 。
4. 解不等式x x 2cos sin ≥。
三、证明题 1. 设,01,1=++==b a b a 求证：b a ,都是三次单位根；（8分）2. 设).1ln()(2++=x x x f（1） 确定)(x f 的定义域和奇偶性；（4分） （2） 求证)(x f 在其定义域上是增函数。
初等代数复习题（全）
初等代数复习题（全）初等代数复习题1.11. 自然数的一般定义和严格的定义。
2. 0和N 的关系。
3. 奇数和偶数。
4. 质数和合数。
5. 0的性质 1.31. 什么叫做数学归纳法？2. 用数学归纳法主要解决什么问题？3. 用数学归纳法证明下列等式： (1)2)1(4321+=++++n n n (2) 2127531n n =-+++++ (3))1(2642+=+++n n n (4))12)(1(613212222++=+++n n n n (5)223333)1(41321+=++++n n n(6))2)(1(31)1(433221++=+++?+?+?n n n n n6.1一、什么叫做单项式？二、什么叫做单项式的系数？什么叫做单项式的指数？三、什么叫做单项式的加法，减法，乘法，除法？四、解答题：1、计算下列各题：（1）)83(4322yz x xy -（2）)32)(73(3323c b a b a - （3）)125.0(2.332n m mn - （4）)53(32)21(322yz y x xyz -- （5）)2.1)(25.2)(31(52 2y x axy ax x -（6）3322)2()5.0(52xy x xy y x --- （7）)47(123)5(232y x y x xy --?-（8）)4()()6()3(523223a ab ab ab b b a ----+- 2、已知：4=x ，81-=y 求代数式52241)(1471x xy xy ??的值。
3、已知：693273=?m m，求m 。
4、若32=a ，62=b，122=c，求证：c a b +=26.3.1一．多项式的定义二．多项式的次数和系数三．两个多项式相等的条件。
6.3.21.二项式10)3(-x 的展开式中，x 6的系数是( )A.－27C 610B.27C 410C.－9C 610D.9C 4102. 6)12(xx -的展开式中，常数项是（） A.－20 B.20 C.－160 D.1603.(x ＋1)4·(x －1)5的展开式中，x 4的系数为（）A.－40B.10C.40D.454.已知(2x 2＋31x )n(n ∈N *)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是（） A.4 B.5 C.9 D.10二、填空题（每题5分，共20分）5.在(x 2－x 21)9的展开式中，第4项的二项式系数是______，最后一项的系数是______.6.(1－3a ＋2b)5展开式中不含b 的项系数之和是________. 三、解答题（每题10分，共30分）7.已知(a ＋31b )n的展开式中的第4项与第2项系数的比是15：1，求展开式的倒数第3项.8.在二项式(x ＋421x )n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.参考答案A 卷1.D 点拨：T r+1=C r10x 10-r(-3)r ,令10-r=6,得r=4,∴x 6的系数为9C 410.2.C3.D 点拨：含x 4项的系数为C 44C 15（-1）1+C 24C25（-1）2+C 04C 35（-1）3=45.4.B 点拨：T r+1=C rn (2x 2)n-r·x -3r=2n-rn x 2n-5r.令2n-5r=0，则n 的最小值是5.二、5.84,-5121点拨:第4项的二项式系数为C 39=84. 最后一项是第10项，系数为C 99(-21)9=-5121.6.-32 点拨：令b=0；a=1，得不含b 的项系数之和是（1-3）5=-32.三、7.解：由C 3n :C 1n =15:1得（n-1）（n-2）=90.解得n=11.∴倒数第3项为T 10=55ab -3.8.解:展开式前三项的系数为1,2n ,8)1(-n n ,依题意,1+8)1(-n n =n.解得n=8或n=1(舍).∴T r+1=rr C 821·x 4-34r.设T r+1项是有理项,则==.8,,2,1,0,4 r k r∴r=0,4,8.∴展开式中的有理项是T 1=x 4,T 5=835x,T 9=22561x .7.1一、分式的定义。
初二(下)期末代数测试题(人教版)
初二（下）代数期末测试一、填空题:(3分×lO=30分)1．关于x 的方程1)(5332+-=-k x k x 的解是正数，那么k 的值满足________。
2.若解关于x 的方程113-=--x m x x 产生增根，那么m 的值为________。
3.若1558.0,558.178.333==x ,那么x=________。
4.在下列各数中：-0.32，0.5，202002.1,8.0,4.0,0,36,711,5,33--π……有理数是_________________________，无理数是__________________________________ 。
5.当x=______时，54++x 有最小值，这个最小值是________。
6.如果正数a 满足a >3a ，则a______;如果a =3a ，则a=______;如果a <3a ，则a_____。
7.若1≤a ≤2．化简22)2()1(-+-a a =___________。
8.若x-7是7的算术平方根，则x=_________。
9.已知实数a 满足a a a =-+-20042003，那么22003-a =________。
10.52222-=+a b b 其中a,b 为有理数，则a=______．b=______。
二、选择题:(3分×5=15分)1．a 是任意实数，下列判断一定正确的是( )：A ．a>-aB ．a a >2C.23a a >D.2a ≥0 2.下列命题中，正确的是( ).A.有理数与无理数之和是无理数。
B.有理数与无理数之积是无理数。
C.无理数与无理数之和是无理数。
D.无理数与无理数之积是无理数。
3.如果a 是正数,它的算术平方根是b ，那么(a+1)的平方根是( )。
A.±)1(2+bB.±1+bC.±12+bD.±2)1(+b4.若22)3(-=x ，33)2(-=y ,则x+y 的所有可能的值为( )。