工程力学第十章矩阵位移法PPT课件

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• 写成矩阵形式为：
K11 K12 K21 K22 K31 K32
K13 K23
12
M M
1 2
K33 3 M 3
• 简式为： K M
• 式中： [K]为结构总刚度矩阵
•
{Q}为结点转角列阵
•
{M}为结点力矩列阵
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• 17.1.4 形成单元刚度矩阵
uie
0
0
EA l
u
e j
0
0
2i1 4i1
0 M
4i1
2
3i
2
2i1M 2
4i1 3i 4i1M 2
2
4i1 3i2
M M
23 32
24ii22
2i2 4i2
M2
4i1 3i2 M2
(4i1 3i2 )
2
3i2 M 2 4i1 3i2 0
• 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, • 完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成 • 是直接刚度法的核心部分。
杆系结构的有限单元法
——柔度法
矩阵位移法——刚度法(直接刚度法)*
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。
有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式；
K11 K12 K13
K
K21
K22
K23
K31 K32 K33
K111 K211
0
K112 K212 K222
K322
0
K223
K323
4i1
2i1
0
2i1
4i1 4i2
2i2
• 0
2i2
4i2 图17-4
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• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 =10，连同已获得的[K]，以及各结点荷载 值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i1
2i1 4i1 4i2
0 2i2
0
2
M M
1 2
0
2i2
4i2 3 0
• 据矩阵运算的基本法则，则得：
4i1 4i2
2i2
2i2 4i2
• 例17-7：计算如图17-8所示结构的各杆的杆端力 • 解：
X
e i
EA l
u
e i
0
0
EA l
u
e j
0
0
Yie
0
12EI l3
vie
6EI l2
e i
0
12 l
EI
3
v
e j
6EI l2
e j
M
e i
0
6EI l2
vie
4EI l
e i
0
6EI l2
v
e j
6EI l2
e j
X
e j
EA l
第十章 矩阵位移法
第• 一节 矩阵位移法的概念
• 第二节 单元刚度矩阵
• 第三节 结构刚度矩阵
•
第四节 坐标转换矩阵
•
第五节 非结点荷载的处理
•
第六节 矩阵位移法的解题步骤
•
第七节 结构分析的计算机方法简介
•
小结
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第一节 矩阵位移法的概念
• 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。
｛矩阵力法
M12 2i 2
M 21 4i1 2
M 23 3i2 2
M 32 0
•２．整体分析
• ①建立位移法基本方程；
•
M 2 0 : M 21 M 23 M 2
M 2 (4i1 3i2 ) 2 • ②求杆端弯矩；
３.绘M图。
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• 17.1.2 直接刚度法
•
对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知
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• 第二节 单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化
• 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。
• 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
•
图7-6
• 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法
• 例17-3：写出图示结构的杆端力矩
• 解： 据转角方程可得：
• • •
M 1 4i1 2i 2
M 式中
2
2i 1
4i 2
•
i EI
l
• 上式写成矩阵形式为
M M
1 2
e
4i 2i
2i 4i
1 2
e
[ K]e { }e
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• 17.1.5 形成总刚度矩阵
• 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵：
e v j
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
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• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。
直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
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• 以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。
•1.单元分析
• ①确定基本未知量， 2 , • ②划分单元杆； 12杆,23杆; • ③列各杆端转角位移方程
• 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。
• 17.1.3 转角位移方程
K111 K12 2 K13 3 M 1 K211 K22 2 K23 3 M 2 K311 K32 2 K33 3 M 3
• 式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当θj=1 时，在结点i处并在θi方向上所需加的结点力矩总和。
2 3
M 0
2
• 解得：
M2
2 3
4i1 3i2 M2
2(4i1 3i2 )
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• 17.1.7 求单元杆端力
• 例7-5：求图7-5所示连续梁
• 的杆端力
• 解： 由题可知 杆1
M M
12 21ห้องสมุดไป่ตู้
[K]1 1
4i1 2i1
• 杆2
• 以i为原点，从i到j的方向为 轴的 正向，并以 轴的正向逆时针
转900为 轴的正 向，这样的坐标系x称为单元局部坐标x系
单元杆端力和杆y端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标
的意思。
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• 如图，结点的杆端位移列向量为：
e
ui
i
e
v
e i
e i
e
u j
j e