一般二阶电路

电路分析基础——第二部分：8-7
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状态方程的矢量矩阵表示形式
x’wk.baidu.com= Ax + Bw
（8-62）
x’ = [x’1, x’2]T，为状态变量的变化率矢量；
x = [x1, x2]T，为状态变量矢量； w = [w1 , w2 , •••, wm] T，为输入变量矢量，m为变量个数；
A = [aij]，为状态变量组合系数组成的2×2矩阵；
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i C = k11u C + k12i L + h11u s
（8-53）
u L = k21u C + k22i L + h22u s
（8-54）
式中各系数是与 N 内部结构和元件参数有关的常数。根据电容和 电感 的伏安关系，可得
C
duC dt
= k11u C + k12i L + h11u s
diL1 dt
= a”11iL1 + a”12iL2 + b”11u s
diL2 dt
= a”21iL1 + a”22iL2 + b”22u s
（8-61） （8-62）
以上针对图8-22中只有一个电源的情况下的方程组。对于有 多个独立电源的情况，方程组的前两项不变，而最后一项从一项 增加为与独立电源个数相同的若干项。
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8-7* 一般二阶电路
状态变量：动态电路中，动态元件的连续电压或连续电流称
为动态变量，典型为电容电压或电感电流。
状态方程：动态电路中，根据KCL或KVL列写的、由状态变
量及其一截微分以及输入电压或电流构成的方程称为状态方程。
除了前面介绍的一阶电路和LC二阶电路以外，其他二阶电 路，以及高阶电路也可以用状态方程来描述。
B = [bij]，为输入变量组合系数组成的2×m矩阵。
状态方程的列写步骤
第一步：把 C 用电压源 u C 置换、L 用电流源 i L 置换，使原电路 成为一个电阻电路；
第二步：用任何方法解出这个电阻电路的电压源 uC 支路的电流 iC 和电流源 i L 支路的电压 uL ，类似于 (8-53)、(8-54) ；
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写成矩阵形式为
u’C i’L
=
0
–
1 L
1
C
–
R L
uC + iL
0
1 L
us
注意：图8-24例8-12是采用本节方法，按照列写状态方程的步
骤求解的，希望同学们自学并与前面所讲过的例题进行比较。
= iL
L
diL dt
=–
uC
– RiL +
us
duC dt
=
1 C
iL
diL dt
=–
1 L
uC –
R L
iL+
1 L
us
+ uR – i(t)
L
+
+ uL －+ C
– us
uC–
图8-3(b) RLC串联电路
R +
– us 图8-23
iL +－
uL
i
+
uC –
C
电源置换等效电路
电路分析基础——第二部分：8-7
（8-55）
L
di L dt
= k21u C + k22i L + h22u s
（8-56）
整理得
duC dt
= a11u C + a12i L + b11u s
di L dt
= a21u C + a22i L + b22u s
（8-57） （8-58）
这是两个联列的一阶常系数微分方程组，它反映了(8-51)、(8-52)
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-7
状态方程具有一定的标准形式，可以遵循系统化的列写步 骤。本节重点介绍状态方程的列写方法和解法。
二阶电路：动态电路中，由两个动态元件构成的动态电路称
为二阶电路，典型为电容电感型、电容电容型或电感电感型。
电路分析基础——第二部分：8-7
iC
状态方程的物理意义：状态方程体
现了电路状态演变的情况，具体地说， 就是反映了状态变量的变化率是状态
（8-51）
i L1
(b) i L1
di L dt
=
f2(u C,
i L,
us)
（8-52）
L1
+ u L1
–
若图8-22(a)中的网络 N 为一个有源电阻
N
+ u L2 L2
–
网络，则用电压源 u C 置换电容、电流 源置换电感 i L 以后，用叠加定理可得
(c)
图8-22 二阶电路的三种 基本结构形式
+ C – uC
2/7 iL
N
+ uL L
–
变量当前值和当前输入变量的函数。
状态方程的具体形式：对任何二阶
电路（图8-22），其输入为一个独立电 压源u s，则状态方程可描述为
i C1 + C 1 – u C1
(a) i C2
N
+ u C2 – C 2
duC dt
= f1(u C, i L, u s )
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第三步：用 C 或 L 去除方程式两边，就得到状态方程的标准形 式。
举例：还是以图8-3(b)为例，按照以上步骤来列写状态方程。
用电压源和电流源置换后的电路如图8-23所示。由叠加定理得
即 故得
iC = iL uL = – uC – RiL + us
C
duC dt
两式所提出的要求。显然这是线性函数。
电路分析基础——第二部分：8-7
同样，对于图8-22(b)所示的双 C 二阶电路，可得
duC1 dt
= a’11uC1 +
a’12uC2 +
b’11u s
duC2 dt
= a’21uC1 + a’22uC2 + b’22u s
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（8-59） （8-60）
对于图8-22(b)所示的双 L 二阶电路，可得