7.6-7.7泰勒公式与泰勒级数及某些初等函数的幂级数展开式

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泰勒公式和幂级数展开

泰勒公式和幂级数展开

泰勒公式和幂级数展开
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目录
1.泰勒公式和幂级数展开的定义与区别
2.泰勒公式和幂级数展开的联系
3.泰勒公式和幂级数展开的应用实例
4.总结
正文
一、泰勒公式和幂级数展开的定义与区别
泰勒公式和幂级数展开都是数学中常见的用于描述函数近似的方法。

它们之间的区别在于,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式,而幂级数展开则是指在级数的每一项均为与级数项序号 n 相对应的以常数倍的(x-a)的 n 次方(n 是从 0 开始计数的整数,a 为常数)。

二、泰勒公式和幂级数展开的联系
尽管泰勒公式和幂级数展开在定义上有所区别,但它们之间仍然存在紧密的联系。

事实上,泰勒公式可以看作是幂级数展开的一种特殊形式。

具体来说,当泰勒公式中的余项极限为 0 时,泰勒公式就可以展开成幂级数。

三、泰勒公式和幂级数展开的应用实例
泰勒公式和幂级数展开在数学、物理等科学领域中有广泛的应用。

例如,在泰勒级数中,我们可以通过展开式来估计函数的值,而在幂级数展开中,我们可以通过级数项的求和来计算函数的近似值。

四、总结
总的来说,泰勒公式和幂级数展开都是数学中重要的概念和工具。

它们既有区别,又有联系,可以相互转化,同时也有自己独特的应用领域和价值。

初等函数的幂级数展开式

初等函数的幂级数展开式

将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →

常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开在数学的广袤天地中,泰勒级数展开是一个极其重要的概念和工具。

它就像是一把神奇的钥匙,能够帮助我们将复杂的函数拆解成一系列简单的多项式之和,从而更方便地研究函数的性质、进行近似计算以及解决各种实际问题。

首先,咱们来聊聊什么是泰勒级数展开。

简单来说,泰勒级数展开就是把一个函数在某个点附近用一个无穷级数来表示。

这个级数的每一项都是由函数在该点的各阶导数所决定的。

咱们以常见的函数 e^x 为例。

它的泰勒级数展开式为:e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! +。

这里的“!”表示阶乘,比如 3! =3×2×1 = 6 。

这个展开式有一个非常有趣的特点,就是无论在 x 取何值时,这个级数都收敛到 e^x 。

再看看正弦函数 sin(x) ,它的泰勒级数展开式是:sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! +。

可以发现,正弦函数的泰勒级数展开只有奇数项,而且正负号交替出现。

余弦函数 cos(x) 的泰勒级数展开式则是:cos(x) = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! +,与正弦函数类似,它也只有偶数项,并且正负号交替。

接下来,咱们谈谈泰勒级数展开的作用。

其一,它能够帮助我们进行近似计算。

在实际应用中,很多时候直接计算一个复杂函数的值可能很困难,但通过泰勒级数展开,只取前面几项就能得到一个相当精确的近似值。

比如,在计算 e 的值时,如果精度要求不是特别高,我们可以只取 e^x 泰勒级数展开式的前几项来计算。

其二,泰勒级数展开有助于研究函数的性质。

通过观察函数的泰勒级数展开式,我们可以了解函数的单调性、凹凸性、极值等重要性质。

其三,在解决物理、工程等领域的问题时,泰勒级数展开常常能发挥关键作用。

例如在电路分析、力学计算中,常常会用到函数的泰勒级数展开来简化问题。

那怎么求一个函数的泰勒级数展开呢?这就需要用到函数的求导法则。

7.6 泰勒公式与泰勒级数

7.6 泰勒公式与泰勒级数

麦克劳林(Maclaurin)公式:
f ′′ ( 0 ) 2 注3:当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理. f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! f ( x ) = f ( f 0( ) )+ 0f)′(ξn)( x − (x0+) ) (θ ξ在x0n与x之间) x n ( f n 1 (x ) + ... + x + ⋅ x +1 n! ( n + 1)! x
两函数 Rn (x)及( x − x0 )n+1在以 x0及 x 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得 的区间上满足柯西中值定理的条件,
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x0 ) = n +1 ( x − x0 ) ( x − x 0 ) n +1 − 0
′ Rn (ξ1 ) = (ξ1在 x0与 x之间) n ( n + 1)(ξ1 − x0 )
因为 S
(n+1) n
( (x) = 0, 所以 Rnn+1) (x) = f (n+1) (x)
由 式 则 上 得
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) x x 间 (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) Rn (x) = x x 间 ( n +1)!
e , x ≠ 0 例 f ( x) = 如 0, x=0
− 1 x2
点任意可导, 在x=0点任意可导 且 f 点任意可导

幂级数展开式常用公式 csdn

幂级数展开式常用公式 csdn

幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念,它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在实际问题中,往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式,以便进行进一步的分析和计算。

本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式,以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。

二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式:$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用,特别是在微积分和概率论中。

2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为:$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为:$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为:$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时,$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为:$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。

10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries

10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries

10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries 泰勒级数展开公式是数学中常用的一种方法,用于将一个函数表示为无限项的多项式。

它在微积分、数值计算和物理学等领域中都有广泛的应用。

下面将介绍10个最常见的泰勒级数展开公式。

1.正弦函数的泰勒级数展开公式:\[ \sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} - \frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots \]2.余弦函数的泰勒级数展开公式:\[ \cos(x) = 1 - \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} - \frac{{x^6}}{{6!}} + \cdots \]3.指数函数的泰勒级数展开公式:\[ \exp(x) = 1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \cdots \]4.自然对数函数的泰勒级数展开公式:\[ \ln(1+x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} -\frac{{x^4}}{{4}} + \cdots \]5.正切函数的泰勒级数展开公式:\[ \tan(x) = x + \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{2x^5}}{{15}} + \frac{{17x^7}}{{315}} + \cdots \]6.反正弦函数的泰勒级数展开公式:\[ \arcsin(x) = x + \frac{{x^3}}{{6}} + \frac{{3x^5}}{{40}} + \frac{{5x^7}}{{112}} + \cdots \]7.反余弦函数的泰勒级数展开公式:\[ \arccos(x) = \frac{{\pi}}{{2}} - \arcsin(x) =\frac{{\pi}}{{2}} - \left( x + \frac{{x^3}}{{6}} +\frac{{3x^5}}{{40}} + \frac{{5x^7}}{{112}} + \cdots \right) \]8.反正切函数的泰勒级数展开公式:\[ \arctan(x) = x - \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{x^5}}{{5}} - \frac{{x^7}}{{7}} + \cdots \]9.双曲正弦函数的泰勒级数展开公式:\[ \sinh(x) = x + \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} + \frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots \]10.双曲余弦函数的泰勒级数展开公式:\[ \cosh(x) = 1 + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} + \frac{{x^6}}{{6!}} + \cdots \]这些是最常见的泰勒级数展开公式,它们在数学和科学领域中都有广泛的应用。

常见函数泰勒公式展开式大全

常见函数泰勒公式展开式大全

常见函数泰勒公式展开式大全常见函数的泰勒公式展开式大全在数学中,泰勒公式是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的方法,它是微积分中的重要工具之一。

泰勒公式的展开可以帮助我们近似计算函数在某一点的值,进而研究函数的性质和行为。

下面是一些常见函数的泰勒公式展开式大全。

1.指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式是:$$e^x = 1 + x + %frac{x^2}{2!} + %frac{x^3}{3!}+ %frac{x^4}{4!} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的,并且对于任意实数$x$都成立。

2.三角函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式是:$$%sin(x) = x - %frac{x^3}{3!} + %frac{x^5}{5!} -%frac{x^7}{7!} + Íots$$余弦函数的泰勒公式展开式是:$$%cos(x) = 1 - %frac{x^2}{2!} + %frac{x^4}{4!} -%frac{x^6}{6!} + Íots$$这两个展开式在$x=0$附近是收敛的,并且对于任意实数$x$都成立。

3.对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式是:$$%ln(1+x) = x - %frac{x^2}{2} + %frac{x^3}{3} -%frac{x^4}{4} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的,并且对于$-1<x%leq 1$都成立。

4.幂函数的泰勒公式展开式幂函数的泰勒公式展开式是:$$(1+x)^a = 1 + ax + %frac{a(a-1)}{2!}x^2 + %frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的,并且对于任意实数$a$和$-1<x%leq 1$都成立。

5.反正弦函数的泰勒公式展开式反正弦函数的泰勒公式展开式是:$$%arcsin(x) = x + %frac{x^3}{3}+ %frac{1}{2}Íot%frac{3}{4}Íot%frac{x^5}{5}+ %frac{1Íot3}{2Íot4}Íot%frac{3Íot5}{4Íot6}Íot%frac{x^7}{7} + Íots$$这个展开式在$x=-1$到$x=1$之间是收敛的,并且对于任意实数$x$都成立。

泰勒展开公式与泰勒级数

泰勒展开公式与泰勒级数

泰勒展开公式与泰勒级数概述泰勒展开公式是数学领域中的重要工具,用于将一个函数表示为无穷级数的形式。

它由18世纪的英国数学家布鲁克·泰勒提出,被广泛应用于近似计算、微积分、物理学等领域。

本文将介绍泰勒展开公式的原理及其在实际问题中的应用。

泰勒展开公式的原理泰勒展开公式是一种将函数表示为无穷级数的方法。

它利用函数在某一点的各阶导数来逼近函数在该点附近的取值。

泰勒展开公式的一般形式如下:$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\fr ac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\fr ac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\c d ot s$$其中,$f(x)$是待展开的函数,$f(a)$是函数在点$a$处的值,$f'(a)$是函数在点$a$处的一阶导数,$f''(a)$是函数在点$a$处的二阶导数,依此类推。

$(x-a)^n$是展开的项,$n$表示项的阶数。

应用示例:正弦函数的泰勒展开为了更好地理解泰勒展开公式,让我们以正弦函数为例进行展开。

正弦函数的泰勒展开公式如下:$$\s in(x)=x-\f ra c{x^3}{3!}+\fr ac{x^5}{5!}-\f ra c{x^7}{7!}+\c d ot s$$我们可以将该公式用于近似计算。

假设我们想要计算$\s in(1)$的近似值,可以选择取展开的前几项进行计算。

例如,我们取前四项进行计算,则有:$$\s in(1)\ap pr ox1-\f ra c{1^3}{3!}+\f r ac{1^5}{5!}-\f ra c{1^7}{7!}$$通过计算可得近似值为约0.841。

泰勒级数的收敛性泰勒级数并不是对所有函数都适用的,其收敛性需要满足一定条件。

在实际应用中,我们需要注意以下几点:-函数必须在展开点附近的某个闭区间内具有所有阶数的导数。

-函数在展开点附近的导数必须足够光滑。

常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开在数学的广袤领域中,泰勒级数展开是一个极其重要的概念和工具。

它为我们理解和处理各种函数提供了一种强大的方法。

首先,让我们来理解一下什么是泰勒级数展开。

简单来说,泰勒级数展开就是把一个复杂的函数在某个点附近用一系列简单的幂函数相加的形式来近似表示。

我们从最简单也最常见的函数开始,那就是指数函数 e^x 。

它的泰勒级数展开式在 x=0 处为:e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!+这个展开式有无穷多项。

而且,随着项数的增加,这个级数对 e^x的近似就越精确。

再来看正弦函数 sin(x) ,它在 x=0 处的泰勒级数展开式是:sin(x)= x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! +可以看到,正弦函数的泰勒级数展开式是由奇数幂的项组成,而且正负号交替出现。

余弦函数 cos(x) 在 x=0 处的泰勒级数展开式为:cos(x) = 1 x^2/2!+ x^4/4! x^6/6! +与正弦函数类似,余弦函数的泰勒级数展开式也是由幂函数组成,但这里是偶数幂的项,同样正负号交替。

接下来是对数函数 ln(1 + x) ,它在 x=0 处的泰勒级数展开式是:ln(1 + x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 +注意,这个展开式的成立条件是-1 < x <= 1 。

然后是(1 + x)^α 类型的函数,它的泰勒级数展开式是:(1 +x)^α = 1 +αx +α(α 1)x^2/2! +α(α 1)(α 2)x^3/3! +这个展开式被称为二项式展开。

那么,泰勒级数展开有什么用呢?其一,它能帮助我们进行函数的近似计算。

在实际问题中,有时候直接计算一个复杂函数的值很困难,但通过泰勒级数展开,只取前面有限的几项,就可以得到一个相对简单且足够精确的近似值。

其二,在数学分析和理论研究中,泰勒级数展开可以帮助我们更深入地理解函数的性质。

比如,通过研究级数的收敛性,我们能了解函数在不同区间的表现。

常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开在数学的广袤天地中,泰勒级数展开是一个极为重要的概念和工具。

它为我们理解和处理各种函数提供了一种强大的方法。

那么,什么是泰勒级数展开呢?简单来说,就是将一个复杂的函数在某个点附近用一系列简单的幂函数相加的形式来近似表示。

让我们先来看看一些常见的函数及其泰勒级数展开。

首先是指数函数$e^x$ 。

它在$x=0$ 处的泰勒级数展开为:\e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots\这个展开式的每一项都是通过求导得到的。

比如,$e^x$ 的一阶导数还是$e^x$ ,在$x=0$ 处的值为 1,所以第一项是 1;二阶导数也是$e^x$ ,在$x=0$ 处的值为 1,所以第二项是$\frac{x^2}{2!}$,以此类推。

接下来是正弦函数$\sin x$ ,在$x=0$ 处的泰勒级数展开为:\\sin x = x \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\frac{x^7}{7!}+\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}+\cdots\余弦函数$\cos x$ 在$x=0$ 处的泰勒级数展开则是:\\cos x = 1 \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\再看一下对数函数$\ln(1 + x)$,它在$x=0$ 处的泰勒级数展开是:\\ln(1 + x) = x \frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} +\cdots +(-1)^{n 1}\frac{x^n}{n} +\cdots\这些常见函数的泰勒级数展开有什么用呢?首先,它们可以帮助我们进行近似计算。

常见函数泰勒公式展开式大全

常见函数泰勒公式展开式大全

常见函数泰勒公式展开式大全函数的泰勒公式是数学中非常重要的工具之一。

它可以将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数,从而方便我们进行更深入的研究和计算。

在数学中,常见的函数泰勒公式展开式包括:1. 指数函数的泰勒展开式:e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...2. 正余弦函数的泰勒展开式:cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...3. 自然对数函数的泰勒展开式:ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...4. 幂函数的泰勒展开式:(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/2! + (n(n-1)(n-2)x^3)/3! + ...5. 反正切函数的泰勒展开式:arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...这些展开式在数学和工程领域中被广泛应用。

它们可以用于近似计算,求解微分方程,以及研究函数的性质和行为。

泰勒公式展开式的精确性取决于展开点的选择和展开的级数项的截断。

一般来说,如果函数在展开点附近具有光滑的性质,那么展开式的精度会更高。

但是,需要注意的是,展开式并不一定在整个定义域都收敛,所以在具体应用中需要注意选择合适的展开点和级数项截断。

总之,泰勒公式展开式是一种非常有用的数学工具,可以帮助我们更好地理解和研究各种函数。

熟练掌握这些常见函数的泰勒展开式,将有助于我们在数学和科学领域中进行更精确的计算和分析。

函数展开成幂级数泰勒公式

函数展开成幂级数泰勒公式

经济数学
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!

x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!


x

x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
经济数学
例如
f
(x)

e

1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)

f ( x)的麦氏级数为 0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x) 的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
33
3
3
x1 3
经济数学
x 1 ( x 1) 1
4 x
4 x

1(x 3

1)

( x 1)2 32

(x
1)3 33

(x
1)n 3n

于是
f
(n) (1) n!

1 3n
,
x1 3

f
(n) (1)
n! 3n .
经济数学
例8 将
展成 x-1 的幂级数.
-----拉格朗日中值定理
2、若 Rn (x) o[( x x0 )]n ,则称为皮亚渃型余项
3、当 x0 0 时,泰勒公式称为麦克劳林公式
f (x)

第六节泰勒公式与泰勒级数

第六节泰勒公式与泰勒级数

第六节泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数是微积分中的重要概念,可用于近似计算函数的值。

本文将对泰勒公式与泰勒级数进行详细介绍,并说明其应用。

一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在其中一点附近的展开式。

对于充分光滑的函数f(x),在x=a处进行展开,泰勒公式的一般形式为:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中,f(a)为函数在x=a处的值,f'(a)、f''(a)等为函数在x=a处的导数,R_n(x)为余项,表示泰勒公式的误差。

二、泰勒级数当展开点a为0时,泰勒公式称为麦克劳林级数。

麦克劳林级数的一般形式为:f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...+f^n(0)x^n/n! +R_n(x)可以发现,麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式。

三、泰勒级数的应用1.近似计算通过泰勒级数,我们可以用低阶多项式来近似计算一个函数的值。

只需要计算前几项,就可以在展开点附近得到较为准确的近似值。

这在数值计算中十分有用,尤其是对于复杂函数,可以通过截断泰勒级数来简化计算过程。

2.函数分析泰勒级数提供了一种分析函数性质的工具。

通过观察级数的收敛性和余项,可以推断函数的性质。

例如,若余项趋于0,那么泰勒级数可以收敛到函数的真实值;若余项有界,那么级数在展开点附近收敛。

3.极值和拐点泰勒级数可以帮助我们分析函数的极值和拐点。

通过求导,我们可以得到函数的驻点,然后通过泰勒级数展开驻点附近的函数,进一步分析函数的极值和拐点。

4.函数逼近泰勒级数可以用于函数逼近。

通过选择合适的展开点和截断阶数,可以用低阶多项式来近似复杂函数。

这对于在数值计算中需要高效计算函数值的问题非常有用。

泰勒Taylor级数展开

泰勒Taylor级数展开

| z |
| z | 1
将两式按对角线相乘,得
ez 1 1 1 2 1 1 z 1 z 1 z 1! 1! 2! 1 1 1 3 1 z ... 1! 2! 3! | z | 1
1 例6:把函数 2 展开成z的幂级数,即在 (1 z )
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆
证明:由柯西公式
1 f ( ) f ( z) d C 2i R1 z 1 将 z 展开为幂级数
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 ( z z0 ) /( z0 )
k 0
讨论:
1. 收敛范围:
对给定z0点,找f(z)最靠近z0的奇点z1 ,一般
即|z1-z0|为收敛半径。 2. 解析函数的又一充要条件: f(z)在区域B内解析,当且仅当f(z)在B内任一点 的某邻域内可展开成幂级数。 3. 展开系数的唯一性。
二、将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方法,即求出 f(n)(z0)代入即可,这种方法称为直接展开法。
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k


z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2:将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式,可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k cos(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z来自 | R)k 0

77某些初等函数的幂级数展开式

77某些初等函数的幂级数展开式



.
n1 n n1 n
1 x 1
注:常用函数的麦克劳林级数
(1)
ex



xn
n0 n!
x (, )

(2) sin x (1)n
x2n1
x (, )
n0
(2n 1)!
(3)
cos x

(1)n
x2n
n0
(2n)!
x (, )

1 4
1
1 x
1

1 8
1
1 x
1
2
4
其 中 1 (1)n ( x 1)n
1 x 1 n0
2
2
(1 x 3)
1
1 x1
(1)n ( x 1)n
n0
4
(3
x

5)
4

x2

1 4x

3


(1)n (
n1
1 2n2

1 3n
,
x1 3

f
(n) (1)
n! 3n .
例5
将f ( x)
x2
1 展开成(x 1)的幂级数. 4x 3

1
1
x2 4x 3 ( x 1)( x 3)
1( 1 1 ) 2 x1 x3

1 [
1

1
]
2 2 ( x 1) 4 ( x 1)
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
M 0,
用余项判 断更简单

初等函数的幂级数展开式

初等函数的幂级数展开式

xn1
ln 1 x
x(1,1]
sinx x
x3 3!

x 5 x 7 (1)n x2n1
5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
16
coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
2 ! 4 ! 6!
(2n)!
x (, ) (1x)m1mx m(m1) x2
2! m (m1) (mn1)xnx(1,1)
n! 当 m = –1 时
1 1 x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
1
f(nn)(!x0)(xx0)n Rn(x) 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1
称为拉格朗日余项 .
( 在 x 与 x0 之间)
3
若函数 f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f(x0) f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2
3 n0
n0
(1)n12n1xn
n0
3
1 x 1
2
2
13
例7. 将
1
展成 x-1 的幂级数.
x2 4x 3
解:
Байду номын сангаас
x21 4x3(x1)1x (3)
11 2(1x) 2(3x)

1
41 x
2
1


1
81 x
4
1

( x12)
1 1 x 2 x n x
1 x
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把x 0代入以上各式,得
a
f (0),a1
f '(0),a2
f '(0) , 2!
, an
f (n)(0) , n!
.
这就是所要证明的。
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0

f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
(n 1)!Байду номын сангаас
n!
n!
(1 x)s( x)
2 x ( 1) x2 2 ( 1) ( n 1) xn1
2!
n!
s( x)
s( x) , 且 s(0) 1.
s( x) 1 x
两边积分 x s( x) dx x dx,
0 s( x)
0 1 x
得 ln s( x) ln s(0) ln(1 x),
23
n
x (1,1]
例 4 将函数sin x 展开成(x ) 的幂级数。
4
解 因为
sin x sin[ ( x )]
4
4
sin cos( x ) cos sin( x )
4
4
4
4
1 [cos(x ) sin( x ),
2
4
4
并且有(见例2,例3)
cos(
x
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x (,)
arctan x
x dx 0 1 x2
x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
35
2n 1
x [1,1]
ln(1 x) x dx
0 1 x
x 1 x2 1 x3 (1)n1 xn
f (")( x ) ( x n!
x )n
,
(2)
称此幂级数为函数f ( x)的泰勒级数。当x x时,
f ( x)的泰勒级数收敛于f ( x ).
问题 当x x时,(2)是否收敛于f ( x)?
定理 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
)
内lim n
2!
n!
由于M的任意性, 即得
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2, )
4、 1 x . (1 x)3
二、将函数 f ( x) x 3 展开成( x 1) 的幂级数,并求展
开式成立的区间 .
三、将 函 数
f (x)
x2
1
展 开 成( x 4)
3x 2
的幂级
数.
四、将级数
n1
( 1) n1 2 n1
x 2n1 的和函数展开成( x (2n 1)!
1)
的幂级数 .
lim[
n
f
(
x)
sn1
(
x)]
lim
n
Rn
(
x)
0,

lim
n
sn1
(
x
)
f ( x),
f ( x)的泰勒级数收敛于 f ( x).
在(2)式中取x 0,得
f (0) f '(0)x f ''(0) x2 f (n)(0) xn , (3)
2!
n!
级数(3)称为函数 f (x) 的麦克劳林级数。
练习题答案
一、1、
(ln a)n xn
( x );
n0 n!
2、 x (1)n1 xn1 (1 x 1); n1 n(n 1)
3、
x
n1
(n!
2(2n)! )2(2n
1)
(
x 2
)2n1
(1 x 1);
4、 n2 xn1 (1,1).
n1
二、1
3 2
(
x
1)
n0
(1)n
)
1
(
x
4
)2
(
x
4
)4
(
x
),
4
2!
4!
sin( x
)
(x
)
(x
4
)3
(
x
)5
4
(
x
),
4
4
3!
5!
所以
sin x
1 2
1
(
x
4
)
(
x
4 2!
)2
(
x
4 3!
)3
( x ).
例5
将函数
f
(x)
x2
1 4x
展开成( x 3
1) 的幂级数。
解 因为
f
(x)
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
1 2(1
x)
1 2(3
x)
4(1
1 x
1)
8(1
1 x
1)
,

2
4
4(1
1 x
1)
1 4
n0
(1)n 2n
(
x
1)n
(1 x 3),
2
8(1
1 x
1)
1 8
n0
(1)n 4n
(
x
1)n
4
(3 x 5),
所以
f
(x)
x2
1 4x
3
n0
(1)n
(
1 2n2
1 22n3
)(
x (1,1)
即 ln s( x) ln(1 x) ,
s( x) (1 x) , x (1,1)
(1 x)
牛顿二项式展开式
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n! x (1,1)
注意: 在x 1处收敛性与的取值有关.
1 收敛域为(1,1); 1 1 收敛域为(1,1];
x )
f '( x ) ( x 2!
x )2
f ('')( x ) ( x n!
x )n
Rn( x)
记为pn( x) Rn( x) (1)
在Pn( x)中让项数趋向于无穷而成为幂级数
f ( x )
f '( x )( x
x )
f (n)( x ) ( x 2!
x )2
函数 f ( x)的麦克劳林级数是 x 的幂级数,现在我们
证明,如果 f ( x)能展开成x 幂级数,那么这种展开式是 唯一的,它一定与 f ( x) 的麦克劳林级数(3)一致。 事实上,如果 f ( x)在点x 0的某邻域(-R,R) 内能展开成的幂级数,即
f ( x) a a1 a2 x2 an xn , (4) 对一切 x (R, R)成立,那么根据级数在收敛 区间内可以逐项求导,有
例1 将f ( x) e x展开成幂级数.
解 f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1. (n 0,1,2, )
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
M 0, 在[M , M ]上 f (n) ( x) e x e M
e x 1 x 1 x2 1 xn (n 0,1,2, )
s( x) ( 1)x ( 1) ( n 1) xn1 (n 1)!
xs( x) x ( 1)x2 ( 1) ( n 1) xn
(n 1)!
利用 (m 1) (m n 1) (m 1) (m n) m(m 1) (m n 1)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
例3 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) ( 1) ( n 1)(1 x)n ,
Rn
(
x)
0.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
f (x)
n i0
f
(i) ( x0 i!
)(
x
x0
)i
Rn ( x)
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim n
Rn ( x)
lim[
n
f
(x)
sn1( x)]
0;
充分性 f ( x) sn1( x) Rn( x),
(2n)! ( n! )2
(n
3 1)(n
2)2n
(
x
2
1)n2
(0 x 2).
三、
n0
1 ( 2n1
1 3n1
)( x
4)n
( 6,2) .
四、
2 sin
1 2
n0
2n
(1)n (2n
1)!
(
x
1)2
n
cos
1 2
n0
2
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