7.6-7.7泰勒公式与泰勒级数及某些初等函数的幂级数展开式

把x 0代入以上各式，得
a
f (0),a1
f '(0),a2
f '(0) , 2!
, an
f (n)(0) , n!
.
这就是所要证明的。
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
23
n
x (1,1]
例 4 将函数sin x 展开成(x ) 的幂级数。
4
解 因为
sin x sin[ ( x )]
4
4
sin cos( x ) cos sin( x )
4
4
4
4
1 [cos(x ) sin( x ),
2
4
4
并且有（见例2，例3）
cos(
x
)
1
(
x
4
)2
(
x
4
)4
(
x
),
4
2!
4!
sin( x
)
(x
)
(x
4
)3
(
x
)5
4
(
x
),
4
4
3!
5!
所以
sin x
1 2
1
(
x
4
)
(
x
4 2!
)2
(
x
4 3!
)3
( x ).
例5
将函数
f
(x)
x2
1 4x
展开成( x 3
1) 的幂级数。
解 因为
f
(x)
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
(n 1)!
n!
n!
(1 x)s( x)
2 x ( 1) x2 2 ( 1) ( n 1) xn1
2!
n!
s( x)
s( x) , 且 s(0) 1.
s( x) 1 x
两边积分 x s( x) dx x dx,
0 s( x)
0 1 x
得 ln s( x) ln s(0) ln(1 x),
x
1)n
(1 x 3).
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
练习题
一、将下列函数展开成x 的幂级数,并求展开式成立的
区间:
1、a x ；
2、(1 x) ln(1 x);
3、arcsin x ；
(2n)! ( n! )2
(n
3 1)(n
2)2n
(
x
2
1)n2
(0 x 2).
三、
n0
1 ( 2n1
1 3n1
)( x
4)n
( 6,2) .
四、
2 sin
1 2
n0
2n
(1)n (2n
1)!
(
x
1)2
n
cos
1 2
n0
2
n
(1)n (2n
1)!
(
x
1)2n1
(,).
4、 1 x . (1 x)3
二、将函数 f ( x) x 3 展开成( x 1) 的幂级数,并求展
开式成立的区间 .
三、将 函 数
f (x)
x2
1
展 开 成( x 4)
3x 2
的幂级
数.
四、将级数
n1
( 1) n1 2 n1
x 2n1 的和函数展开成( x (2n 1)!
1)
的幂级数 .
函数 f ( x)的麦克劳林级数是 x 的幂级数，现在我们
证明，如果 f ( x)能展开成x 幂级数，那么这种展开式是 唯一的，它一定与 f ( x) 的麦克劳林级数（3）一致。 事实上，如果 f ( x)在点x 0的某邻域（-R,R） 内能展开成的幂级数，即
f ( x) a a1 a2 x2 an xn , (4) 对一切 x (R, R)成立，那么根据级数在收敛 区间内可以逐项求导，有
f '( x) a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
f ''( x) 2!a2 3 2a3 x n(n 1)an xn2 ,
f ''( x) 3!a3 n(n 1)(n 2)an xn3 ,
f (n)( x) n!an (n 1)n(n 1) 2an1x ,
f (")( x ) ( x n!
x )n
,
(2)
称此幂级数为函数f ( x)的泰勒级数。当x x时，
f ( x)的泰勒级数收敛于f ( x ).
问题 当x x时，（2）是否收敛于f ( x)?
定理 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
)
内lim n
f (n) (0) ( 1) ( n 1), (n 0,1,2, )
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n!
lim an1 n 1,
n an
n1
R 1,
在(1,1)内, 若
s( x) 1 x ( 1) ( n 1) xn n!
x )
f '( x ) ( x 2!
x )2
f ('')( x ) ( x n!
x )n
Rn( x)
记为pn( x) Rn( x) (1)
在Pn( x)中让项数趋向于无穷而成为幂级数
f ( x )
f '( x )( x
x )
f (n)( x ) ( x 2!
x )2
1 x 2 24 246
(2n)!!
[1,1]
双阶乘
2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式.
例如 cos x (sin x)
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 收敛域为[1,1].
当 1, 1时, 有
2
1 1 x x2 x3 (1)n xn 1 x
(1,1)
1 x 1 1 x 1 x2 1 3 x3 (1)n (2n 3)!! xn
2 24 246
(2n)!!
[1,1]
1 1 1 x 1 3 x2 1 3 5 x3 (1)n (2n 1)!! xn
s( x) ( 1)x ( 1) ( n 1) xn1 (n 1)!
xs( x) x ( 1)x2 ( 1) ( n 1) xn
(n 1)!
利用 (m 1) (m n 1) (m 1) (m n) m(m 1) (m n 1)
3)
1 2(1
x)
1 2(3
x)
4(1
1 x
1)
8(1
1 x
1)
,
而
2
4
4(1
1 x
1)
1 4
n0
(1)n 2n
(
x
1)n
(1 x 3),
2
8(1
1 x
1)
1 8
n0
(1)n 4n
(
x
1)n
4
(3 x 5),
所以
f
(x)
x2
1 4x
3
n0
(1)n
(
1 2n2
1 22n3
)(
练习题答案
一、1、
(ln a)n xn
( x )；
n0 n!
2、 x (1)n1 xn1 (1 x 1)； n1 n(n 1)
3、
x
n1
(n!
2(2n)! )2(2n
1)
(
x 2
)2n1
(1 x 1)；
4、 n2 xn1 (1,1).
n1
二、1
3 2
(
x
1)
n0
(1)n
x (1,1)
即 ln s( x) ln(1 x) ,
s( x) (1 x) , x (1,1)
(1 x)
牛顿二项式展开式
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n! x (1,1)
注意: 在x 1处收敛性与的取值有关.
1 收敛域为(1,1); 1 1 收敛域为(1,1];
Rn
(
x)
wk.baidu.com
0.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
f (x)
n i0
f
(i) ( x0 i!
)(
x
x0
)i
Rn ( x)
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim n
Rn ( x)
lim[
n
f
(x)
sn1( x)]
0;
充分性 f ( x) sn1( x) Rn( x),
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x (,)
arctan x
x dx 0 1 x2
x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
35
2n 1
x [1,1]
ln(1 x) x dx
0 1 x
x 1 x2 1 x3 (1)n1 xn
一、泰勒级数
上节讨论了求幂级数的和函数，本节讨论相反的问题：
给出一个函数f (x),是否能找到这样一个幂级数，它
在某区间内收敛，且其和恰好为 f (x). 如果能找到这
样的幂级数，我们就说，函数 f ( x) 在该区间内能展
开成幂级数。
f ( x)的n阶泰勒公式
f (x)
f ( x )
f '( x )( x
2!
n!
由于M的任意性, 即得
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2, )
例1 将f ( x) e x展开成幂级数.
解 f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1. (n 0,1,2, )
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
M 0, 在[M , M ]上 f (n) ( x) e x e M
e x 1 x 1 x2 1 xn (n 0,1,2, )
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
例3 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) ( 1) ( n 1)(1 x)n ,
lim[
n
f
(
x)
sn1
(
x)]
lim
n
Rn
(
x)
0,
即
lim
n
sn1
(
x
)
f ( x),
f ( x)的泰勒级数收敛于 f ( x).
在（2）式中取x 0,得
f (0) f '(0)x f ''(0) x2 f (n)(0) xn , (3)
2!
n!
级数（3）称为函数 f (x) 的麦克劳林级数。