1-1-1集合的含义与表示(一)概论
高一数学必修1教案：1-1集合的含义与表示 含解析 精品
模块纵览课程目标通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性通过函数概念与基本初等函数Ⅰ的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力.学习要求本模块是高中数学的起点.本模块的内容包括：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数及幂函数).主要要求如下:1.了解集合的含义，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集.会用Venn 图表示集合的关系及运算.2.理解函数与映射的概念；会求一些简单函数的定义域和值域；理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数；理解函数的单调性、奇偶性，会判断一些简单函数的单调性、奇偶性；理解函数最大(小)值的概念及其几何意义；会画函数的图象，并运用函数图象理解和研究函数的性质.3.理解有理数指数幂的含义；理解对数的概念及其运算性质；理解指数函数、对数函数的概念、意义和性质，会画指数函数、对数函数的图象.了解指数函数、对数函数模型的实际案例，会用指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题.了解幂函数的概念；结合函数y＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y=x1,y=x 21的图象，了解幂函数的图象变化情况. 4.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系.了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如x 3+ax+b=0,a x +bx+c=0,lgx+bx+c=0的方程的近似解.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单的应用.教学建议1.关于集合的教学，应注意以下问题：集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义.学习集合语言最好的方法是使用.在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，能进行三种语言之间的相互转换，并掌握集合语言.对集合的相等关系、包含关系不要求证明，只要求能判断两个简单集合的相等关系、包含关系.2.关于函数与基本的初等函数(Ⅰ)的教学，应注意以下问题：要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质.函数概念的引入应通过具体实例，让学生体会非空数集之间的一种特殊的对应关系(即函数)，函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.在教学中，应强调对函数概念本质的理解，要结合y=x 2,y=x 3,y=|x|,y=x1等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性(对一般函数的奇偶性，不要作深入讨论).在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理数指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以让学生利用计算器(机)进行实际操作，感受“逼近”的过程.反函数的教学中，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a≠1).不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数.方程实根分布问题，仅限于掌握：①利用一元二次方程根的判别式判别根的个数；②借助图象了解：若f(x)＝ax 2+bx+c ，且f(p)f(q)＜0(p ＜q)，则方程f(x)＝0必有一根x 0∈(p ，q).用二分法求方程的近似解，关键是结合具体例子感受过程与方法.本方法限于用计算器求三类方程：x 3+ax+b=0,a x +bx+c=0,lgx+bx+c=0的近似解.应注意鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题.例如，利用计算器(机)画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等. 在本章教学中，应引导学生阅读有关资料，了解对数的发现历史，了解函数概念的形成、发展及应用.第1章 集合本章概述一、课标要求本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4.能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，培养学生从具体到抽象的思维能力.6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.二、本章编写意图与教学建议1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而发展其运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.培养学生的抽象概括能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用.3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.三、教学内容及课时安排建议1.1集合的含义及其表示整体设计教材分析本节课是学生进入高中的第一节课，教材试图通过清新的风格、流畅的语言，讲述一个乏味的枯燥的理论—集合理论,从而树立学生学习数学的信心，所以在讲授这节课的时候，多通过一些实际的例子，让学生感受集合这一原始的概念，从集合的确定性、互异性、无序性去识别哪些可以组成集合,慢慢地带领学生进入数学语言的王国.通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演.讲授时，可通过数学史，让我们的学生更深入地去了解数学和为数学而献身的数学家，体现数学的人文教育的功能.在教学中不要过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题.三维目标1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.知道常用数集及其专用记号.3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性.4.会用集合语言表示有关数学对象.5.让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.重点难点教学重点：集合的含义与表示方法.教学难点：集合表示法的恰当选择.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)情境1.在充满诱惑的非洲大草原上一群大象正缓步走来;蓝蓝的天空中有一群鸟在欢快地飞翔;清清的湖水里，一群鱼儿在自由而欢快地畅游.以上描述中的“一群象”“一群鸟”“一群鱼”等概念有什么共同特征？答：它们都是可以识别的、确定的一个群体.情境2.军训刚结束不久，大家还记忆犹新，在军训前大家接到一个通知，大致内容是：8月20日8点，高一年级在体育馆集合，进行军训动员.试问在这个通知里的对象是高一学生还是个别的学生？答：是高一的学生.设计思路二(问题导入)问题：就有关A、B两事，向50位同学调查赞成与否，赞成A的人数是全体的五分之三，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成，另外对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多一人.试问在对A、B两事上，就上面的论述知道有几个群体？你能算出问题中的每个群体的人数吗？答：问题中分为：赞成A，赞成B，A、B都赞成，A、B都不赞成四个群体.赞成A有30人，赞成B有33人，A、B都赞成有21人，A、B都不赞成有8人.推进新课新知探究1.集合论的创始者康托尔曾说过：“集合是我们直觉或思维的并且是确定的彼此可以识别的对象的一个群体.”显然这仅是给出一个描述性的说明.集合的概念是数学中不定义的原始的概念.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合的元素一般具有下列特点和性质：确定性：对于一个已知的集合，它的元素是确定的.所谓的确定性就是：任何一个事物a 或者是A的元素.或者不是A的元素，二者必具其一，即a∈A与a A有且只有一个成立.这是证明集合之间关系特别是相等关系时，经常使用的重要依据.确定性是集合概念的根本特征,其实质是明确可以区分的，不容许有含糊不清、模棱两可的情形，例如，较小的数就不能构成一个集合，因为“较小的数”含义模糊.但确定性并不要求有a∈A的具体判定方法，例如，A={超越数}，A作为全体超越数的集合是明确的，但直到现在人们还无法判定π+e是否属于A，尽管如此π+e属于A与不属于A二者必具其一，没有第三种可能，这是确定无疑的，此即集合确定性含义.互异性：一个集合中的所含元素不允许重复，确切地说，集合中的相同元素不能算作不同元素，而必须作为同一个元素看待，由此可知，在没有定义“元素相同”之前，元素互异句缺少逻辑基础，并且定义元素的相同又是确定性的必要补充.无序性：集合中的元素可以任意变动次序.此外，集合中元素的个数也没有限制，既可以是有限多个，又可以是无限多个，个数是有限多个是既可以知其确切数，又可以暂不知其确切数，如集合D={不超过10100的素数}.2.非负整数集内排除0的集，表示成N*或N+.3.集合的常用表示方法：列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来.比如用列举法表示“中国古代的四大发明”构成的集合.可表示为{指南针，黑火药，印刷术，造纸术}描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法，它的一般形式是{x|p(x)}.图示法(韦恩图法):画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.记忆技巧:对数集的符号记忆可以联系其英文单词记忆.应用示例思路1例1 一条直线可看作由___________组成的集合；一个平面可看作由___________组成的集合；一个圆可看作由___________组成的集合.分析：本题考查的是集合与元素的概念，以及集合与元素的关系.解：无数个点；无数条直线；无数个点.例2 考察下列每组对象是否能构成一个集合.(1)所有的好人；(2)不超过20的非负数；(3)我们班16周岁以下的学生；(4)高个子的人；(5)充分接近2的实数.解：(2)、(3)能构成集合；(1)、(4)、(5)不能构成集合.点评：数学的解题不是孤立的，它要求我们前后的知识要能联系在一起，抓住集合概念的基本特征，这类问题就很容易了.例3 满足0≤x≤1的实数能否构成一个集合，为什么？分析：依靠集合的特征说话，我们会发现任意一个实数，它要么满足不等式，要么不满足不等式.解：能构成集合，因为它满足集合的三个性质.点评：本题考查了对无限集合的判定，加强对集合的概念的理解.例4 已知集合M={a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 分析：本题主要考查了集合的互异性.答案：D点评：本题从三角形的角度将集合的互异性隐藏在题中，增加了解题难度.例5 (1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；(2)用列举法表示集合A={x ∈N |1≤x ＜8}；(3)试选择适当的方法表示集合：不等式x 2+2＜0的解集.分析：这是一组对集合语言的运用，形成互相的翻译，这也是我们今后学习的方向，用数学的语言来诠释世界.解：(1){大于0而小于10的奇数}；(2){1，2，3，4，5，6，7}；(3)∅.点评：在选择适当的方法表示集合时，要注意其可行性和表示问题的简洁性.思路2例1 求不等式2x-3＞5的解集.分析：这是一个无限集，所以选用描述法表示.解：由2x-3＞5得x ＞4，所以2x-3＞5的解集为{x|x ＞4}.例2 如何表示方程组⎩⎨⎧=-=+0,1y x y x 的解集呢？ 分析：这个问题是一个熟悉的问题，但在集合的观点下，如何正确表示是一个关键.解：{(x,y)}|⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎩⎨⎧=-=+)21,21(2121|),(01y x y x y x y x . 点评：在讲解这个例题时要注意抓住集合的元素个数只有一个，避免产生错误的答案. 例3 求方程x 2+x+1=0所有实数解的集合.分析：运用一元二次方程的知识可以知道，其解集是空集.解：{x|x 2+x+1=0,x ∈R }=∅.点评：对于特殊问题，解题是一定化到最简形式.例4 写出x 2-1=0的解集.分析：有两个元素，所以写解集时要与例2区别开来.解：{x|x 2-1=0}={-1,1}.点评：不要写成{(-1,1)}，这样就错了.知能训练一、课本第7页练习.解答：1.(1){x|x+1}={-1};(2){1,3,5,15};(3){2,4,6,8,10}.2.(1){x|x=2n+1,n ∈N }或{x|x 是奇数};(2){x|x=2n,n ∈N *}或{x|x 是偶数};(3){x|x 2+1≤0,x ∈R }.3.(1)∈,∉,∈,∉,∈,∈,∈,∈;(2)∈,∉;(3)∈,∉;(4)∉,∈.4.(1){0,1,2,3,4};(2){(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)};(3){a,c,e,h,i,m,s,t}.二、补充练习1.下列表达是否正确？说明理由.(1)Z ={全体整数};(2)R ={实数集};(3){(1,2)}={1,2};(4){1,2}={2,1}.2.已知M={2,a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N ，求a,b 的值.3.已知集合A={x|mx 2-2x+3=0,m ∈R }，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围.4.A={x│x ∈N ，x-68∈N }，试用列举法表示A. 解答：1.(1)错,应为{整数}；(2)错,应为{实数}；(3)错,(1，2)表示一个元素；(4)正确,集合元素具有无序性.2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==2.1,411,0b a b a 或3.m=0或m≥31. 4.A={2,4,5}.课堂小结一、在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：1.本节课我们学习过哪些知识内容？2.你认为学习集合有什么意义？3.选择集合的表示法时应注意些什么？二、列举法的特点是：直观、明白，但有其局限性，如“小于1的一切正数”构成的集合就不能把它的元素一一列举出来或列举出有足够代表性且反映出规律的元素,故无限集一般不用列举法.描述法具有抽象概括、普遍性的特点.使用描述法时，应注意：写清楚集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应准确使用“且”“或”；所有描述的内容都要写在大括号内；用于描述的语句力求简明、准确.集合的分类：按元素个数可分为：有限集、无限集、空集.作业1.课本第17页复习题1、2.2.举出你身边的关于集合的事例.不少于6个，要有创新.3.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似的集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示?请同学们通过预习课本回答.设计感想1.利用丰富的背景事例创设问题情境，帮助学生理解抽象的数学概念集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，但这对于刚步入高中学习的高一新生来说却是抽象、枯燥的一个数学概念，因此，从学生们身边熟悉的例子引入，拉近与学生的距离，引导学生透过一系列从具体到抽象、从特殊到一般的事例了解集合的概念.2.提供积极思考、自主探索的空间，使学生成为学习的主体丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式，因此，在本节课的小结中设计了一些问题，让学生独立思考、合作交流,同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点,针对不同问题，能选用合适的集合表示法.在练习过程中要熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法、常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱,对学生解题过程中遇到的困难给予适当引导、点拨.。
1[1].1.1-1集合的含义及其表示
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1.1.1 集合的含义及其表示方法（1）教案【教学目标】1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【教学重难点】教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.【教学过程】一、导入新课军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.二、提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A 分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.⑧3个.⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.结论：1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A3、集合的中元素的三个特性：（1）.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点 一知识要点1．集合的概念（1）集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合（set ）。
常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B 。
（2）元素：集合中每个对象称为该集合的元素（element ），简称元素常用小写的拉丁字母来表示，如a 、b 、c ……2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.3．常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：自然数集内排除0的集合记作N *或N + ，{},3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q（5）实数集：全体实数的集合记作R ．4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)A ，记作a ∈A ．注意“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)A ，记作a ∉A5．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。
注：1．大括号不能缺失.2．有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}３．区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.４．用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}x p x 的形式。
1.1.1集合的含义与表示(一)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1.1.1集合的含义与表示（一）【教材分析】集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等. 【学情分析】由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述. 【教学目标】 1、了解集合与元素的含义并总结集合中元素的特性。
2、知道元素与集合的关系并会用符号表示。
3、熟记常用数集的记法。
【教学重点】了解集合与元素的含义并总结集合中元素的特性。
【教学难点】知道元素与集合的关系并会用符号表示【教学课时】 1 课时【教学方法】自主探究、互助学习【教学过程】教师活动学生活动设计意图问题一：阅读教材p2思考栏目之前的内容，写出集合和元素的定义，并1 / 3举出实例。
问题二: 阅读教材p2思考下方及p3思考之前的内容，并回答以下问题: （1）高一某班的高个子、年轻人、接近0的数能构成集合吗？（2）1，2，3，4，1组成的集合有五个元素，对吗？（3）一个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？由以上三个问题，你能总结出集合的三个特性吗？并回答基础题1题问题三：阅读教材p3思考下三段内容，回答以下问题: (1)高一1班的同学组成集合A，a是1班的学生，b不是1班的学生，那么a与A，b与A之间分别有什么关系？（2）你能记住常见数集及表示符号吗？（3）若N a，但N a，那么a为何值？【主题】1.1.1 集合的含义与表示（一）时间 2019.8.29 【使用时间】第 1 周第 1 课时【编辑】毛庆龄张建廷【审核】赵红玲【编号】10220191【使用时间】第 1 周第 1 课时【编辑】毛庆龄张建廷【审核】赵红玲【编号】10220191 达标检测: 基础题达标检测: 基础题 1、判断下列对象能否组成一个集合？（1）河津二中高一年级全体男生（2）2019年世界杯足球赛参赛的国家（3）某个班级中年龄较小的所有同学（4）的所有近似值（5）大于3的所有自然数 2、完成课本第5页练习1题，第11页习题A组1、2题。
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
高一数学必修1第一章知识点总结
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数
关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
时，都
有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为
y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在
这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右
是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字 母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐 标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以
1-1-1集合的含义与表示
[分析] 首先搞清楚集合的元素是什么，然 后选用适当的方法表示集合．
[解析] (1){1,2,3,4,6,8,12,24}； (2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10} ＝{4,5,6,7,8,9}； (3){x|x2＋ax＋b＝0}； (4){(x，y)|x<0且y＞0}；
(5)∵ x＋3≥0，|y－2|≥0，
[解析]
(1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2＋2x＋1＝0
的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即 a＝－3， ∴方程即为－3x2＋2x＋1＝0， 1 1 ∴x1＝1，x2＝－ ，∴集合 A 中的其它元素为－ . 3 3 (2)若 a＝0，方程化为 2x＋1＝0，此时有且仅有一个根 1 x＝－2；
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1 ＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元 素， ∴所求集合B＝{0,1}； (3)集合A中至多有一个元素包括两种情况： ①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0 或a＝1； ②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0， 且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1； 综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a
[例2] 若x∈{1,3，x3}，则有 ( ) A．x＝0或x＝－1B．x＝－1或x＝3 C．x＝0或x＝－1或x＝3D．x＝0或x＝3 [答案] C [解析] ∵x∈{1,3，x3} ∴x＝1或3或x3 当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3， ∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.
[例3] 若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求 实数x的值． [解析] ∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等， ∴两集合含有相同的元素 即{x，x2}一定含有－1这个元素 由于x2≥0，∴x＝－1.
1.1.1集合的含义与表示
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于 小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于 小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合； 自然数集合，正分数集合，有理数集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义： 、集合的含义：
把研究对象统称为元素， 把研究对象统称为元素，把一些 元素 元素组成的总体叫做集合 简称集）。 集合（ 元素组成的总体叫做集合（简称集）。 用大写字母A， ， 表示集合， 用大写字母 ，B，C…表示集合，用 表示集合 小写字母a,b， 小写字母 ，c …表示集合中的元素 表示集合中的元素
2、 若方程x2－5x+6=0和方程 若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合 则 2=0的解为元素的集合M,则 的解为元素的集合 M中元素的个数为 （ C） 中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合 、 C．3 ． D．4 ．
(整理)1.1.1集合的含义与表示.
1．1．1集合的含义与表示1. 元素：我们把研究的对象统称为元素；常用小写字母a , b , c …表示元素。
2. 集合：把能够确定的不同元素的全体叫做集合,简称集.常用大写字母A ，B ，C …表示。
3. 集合的性质:(1)确定性:元素必须是确定的。
是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若有，则能构成集合，否则不能构成集合。
(2)互异性:元素必须是互异不相同的。
(3)无序性: 元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合。
4. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的。
5. 集合与元素的关系:如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 6. 重要的数集:N ：自然数集(含0)N+：正整数集(不含0) Z ：整数集 Q ：有理数集 R ：实数集7. 空集（∅）：把没有元素的集合叫做空集，记作∅。
8. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示列举法：将集合中元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，用花括号{ }括起来。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
如： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
区间表示：设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：① 满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合, 叫作闭区间，记作 [a,b]； ② 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合, 叫作开区间，记作 （a,b ）；③ 满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合, 叫作半开半闭区间，分别记作{}|10x R x ∈<{}|∈一般符号范围共同特征练习：一、说法正确的是( )1. 接近于0的数的全体构成一个集合2. 棱柱的全体构成一个集合3. 未来世界的高科技产品构成一个集合4. 不大于3的所有自然数构成一个集合5. 漂亮的花6. 正三角形全体二、集合{1，2}与集合{（1，2）}是否相等？集合{(1，2)，(2，1)}与集合{(2，1)，（1，2）}是否相等？ 三、⑴ 0 ∅ ⑵ {0} ∅四、用列举法表示下列集合：(1) 方程x x =2 的所有实数根组成的集合； (2) 方程0)1(2=-x 的所有实数根组成的集合； (3) 由1～20以内的所有质数组成的集合。
1.1.1 集合的含义与表示
下列能构成集合的是（ B ） A.中央电视台著名节目主持人 B.2010年广州亚运会中的志愿者 C.2010年上海世博园中所有漂亮的展馆 D.世界上的高楼
2.集合的相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集 合是相等的。
注：
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁 字母a,b,c,…表示集合中的元素。
A {0,1,2,3,,999}
(2)设方程 x 2 1的实根组成的集合为B，则
B {1,1}
(3)设全体负整数组成的集合为C，则
C {1,2,3,4,}
例7：写出关于x的方程 x 2 (a 1) x a 0 的解集
2 解:由 x (a 1) x a 0 ，得 ( x a)( x 1) 0
例３：已知 A {x | 3 3x 0}，则下列各式正确的是（
）
A.3 A C.0 A
解析：A {x | x 1} 由于 3 1,1 1,0 1,1 1 则有 3 A,1 A,0 A,1 A 答案：C
B.1 A D. 1 A
例4：含有两个实数的集合A可以表示为{a 3,2a 1} ，求实数a满 足的条件 解：因为A {a 3,2a 1} 中含有两个元素，由集合中元素的互异 性，可得：
解：设方程 x 2 2 0 的实数根为x，并且满足条件 x 2 2 0 ，因 此，用描述法表示为： A {x R | x 2 2 0} 方程 x 2 2 0 有两个实数根 2 , 2 ，因此用列举法表示为：
A { 2 , 2}
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）， 记作N
集合1.1节集合的含义和表示-1.2节集合的基本关系
1.集合的含义与表示集合的概念： 指定的某些对象的全体称为集合。
常用大写字母A ，B ，C ，D …标记 集合中的每个对象叫作这个集合的元素。
常用小写字母a ，b ，c ，d …标记元素与集合间的关系：常用的数集： 自然数集，记作N ； 正整数集，记作N+ ； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R集合中的元素的三个特性：确定性；互异性；无序性集合的表示方法：1.把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫列举法2. 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法.空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作一．.集合的判定例1.判断下列各组对象能否构成集合？（1）不小于20且不大于2015的所有正整数。
（2）方程062=--x x 的实数根。
（3）比较高的人。
二．元素与集合关系的判断例2.给出下列系：①;21R ∈ ②;3Q ∉ ③;3N ∉- ④;3Q ∈- ⑤N ∉0 其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4三．依据集合中元素的性质求参数的范围例3.求集合{}x x x ,2,2-中的元素x 的取值范围。
四．利用列举法表示集合例4. 用列举法表示集合 ,;a A A A a a ∈属若在集合中,就说集合记作于,;a A A a a A ∉不若不在集合中,说集合记作属于就① 方程()0122=++-y x 的解集； ② 正偶数组成的集合；③ 奇数组成的集合；④ 化简式子y y x x +所得的结果构成的集合。
⑤ 方程0122=++x x 的解集。
五．已知用其他方法表示的集合，试用描述法表示例5. 用描述法表示集合① 被3除余1的正整数组成的集合；② 坐标平面内第一象限的点组成的集合；③ 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,2,1④六．集合的相等问题例6.下列各集合M 与N 中，表示相等的集合是A. (){}{}1,0,1,0==N MB. (){}(){}0,1,1,0==N MC. (){}(){}10,,1,0====y x y x N M 且D. {}{}14.3,==N M π例7.已知集合{}0,,,1,,2b a a B a b a A +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，若A=B ，求20152015b a +的值。
1.1.1 集合的含义与表示(1)
如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为 S=T 。显然我们有其中符号 称为当且仅当，表示左边的命题与右边 的命题相互蕴含，即两个命题等价。
并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记 作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。 交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或 B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 交集越交越少。 若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A。
相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A 的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B'}。 绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作 A'或∁u（A）或~A。有U'=Φ；Φ'=U 。
定义：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂 集。 定理：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。
由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科 学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论 体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都 构筑在严格的集合理论上。
有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ， 我们称之为空集，记为∅。 空集是个特殊的集合，它有2个特点：
列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中 的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母a,b,c,d组成的集 合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
1-1-1集合的含义与表示1
用集合所含元素的 表示集合的方 法，称作描述法． 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集 合元素的 ，再画 一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中 元素所具有的 ．它的一般形式是 {x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“ ”为代表元素， “ ”为元素x必须具有的共同特征，当 且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该 集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性 的特点，当元素个数较多时，一般选用此 法．
(2)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某 些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素 按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序， 当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全 不同时，它们也表示同一集合． 例如：{a，b}和{b，a}表示同一个集合． (3)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集 合中的元素都是互不相同的个体．如：给出集 合{1，a2}，我们根据集合中元素的互异性，就 已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一 集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1， 而另一个一定不是1，所以a≠1，且a≠－1.
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)， 可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合； 也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的 集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1， ∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1 上的点}．
总结评述：用描述法表示的集合，认识它 一要看集合的代表元素是什么，它反映了集 合元素的形式；二要看元素满足什么条 件．对符号语言所表达含义的理解在数学中 要求是很高的，希望同学们能逐步提高对符 号语言的认识.
集合 D 中的元素是点， 这些点必须满足的条件是它们 在二次函数 y＝－x2＋6 的图象上，且横坐标、纵坐标都必 须是自然数； p 集合 E 中的元素是 x，它必须满足的条件是 x＝ ，其 q 中 p＋q＝5，且 p∈N，q∈N*.
1.1.1集合的含义与表示1
课题：§集合教材分析：集合概念及其大体理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都成立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在愈来愈普遍的领域种取得应用。
课型：新讲课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的明白得集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的大体概念与表示方式；教学难点：运用集合的两种经常使用表示方式——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学进程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问那个通知的对象是全部的高一学生仍是个别学生？在那个地址，集合是咱们经常使用的一个词语，咱们感爱好的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的整体，而不是个别的对象，为此，咱们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的整体。
阅读讲义P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论开创人康托尔称集合为一些确信的、不同的东西的全部，人们能意识到这些东西，而且能判定一个给定的东西是不是属于那个整体。
2.一样地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的整体叫集合（set），也简称集。
3.试探1：讲义P3的试探题，并再列举一些集合例子和不能组成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特点（1）确信性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或是A的元素，或不是A的元素，两种情形必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于那个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不该重复显现同一元素。
（3）集合相等：组成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）若是a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）若是a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）∈（举例）6.经常使用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方式咱们能够用自然语言来描述一个集合，但这将给咱们带来很多不便，除此之外还经常使用列举法和描述法来表示集合。
1.1.1集合的含义与表示
页眉内容集合与函数的概念○学○习○导○言章节知识概述现实世界风云变幻，但并非是深不可测，你知道如何去描述客观世界吗？这就涉及到我们本章所要学习的知识：集合与函数的概念.本章共分为三大节：第一大节讲的是集合.“集合是高中数学的基本概念”，集合语言的是现代数学的基本语言.使用集合语言可以简洁、准确地表达一些数学内容.高中数学课程只是将集合作为一种语言来学习.在本节的学习过程中，我们将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言交流的能力.第二大节讲的是函数的基本概念及其表示.函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应语言加以刻画.由此可以看出，函数是高中数学重要内容.不仅如此，函数还是学习高等数学的基础.函数现象大量地存在我们的周围，与我们的生活息息相关，是我们认识世界和改造世界的有力的工具，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.第三大节讲的是函数的基本性质.本节中系统地归纳了高中数学阶段所学函数的基本性质，有助于我们加深对函数概念的理解.与此同时，本节还给出了研究一般函数的方法，帮助我们提高研究函数性质的能力.本章的重点是体会集合语言的使用，理解函数的概念，掌握函数的性质，并学会研究函数一般性质的方法.本章的难点是对函数概念的理解与对函数性质的把握.《集合与函数的概念》是整个高中数学的基础，学好本章对把握整个高中数学起着至关重要的作用.课标理念感悟一．知识与技能目标1．通过对具体实例，了解集合的概念，体会元素与集合之间的“属于”关系，理解两个集合之间的包含关系，能识别给定集合的子集，理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的并集与交集，并在此基础上理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2．通过丰富的实例，进一步体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要的数学模型，在此基础上学习用集合与对应语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解函数的要素，会求一些简单的定义域与值域；了解映射的概念.3．在实际问题中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.4．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，结合具体函数，了解奇偶性的含义.二．过程与方法1．能过对集合的研究，学会运用集合语言描述数学问题，并解决相关的集合中的运算问题.2．通过对函数的概念的理解与分析，体会函数在实际生活中的作用.3．通过对函数性质的研究，体会研究数学问题的一般方法，理解函数的性质在研究函数问题中的作用.三．思想与情感目标1．学会从综合运用集合语言描述数学问题，培养自己良好的数学意识，体会数学知识来源于实际生活，从而培养自己对数学的兴趣.2．通过对函数概念与性质的学习，体会学习严谨与和谐之美，激发自己研究数学的热情，培养自己严谨的治学态度.3．通过对全章的学习，领悟集合与函数在日常生活中的应用，从而培养自己解决综合问题的能力与良好的数学思维品质.1.1集合1.1.1 集合的含义与表示一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说：“我们今天学习了‘集合’.”数学家想：对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了.因此他关切地问：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂!一点也不难.”父亲还是放心不下：“你们老师是怎么教的？”女儿说：“老师先让男孩子站起来，说：‘这是男孩组成的集合.’然后又让女孩子站起来，说：‘这是女孩组成的集合.’最后老师问我们：‘都懂了吗？’大家回答说：‘都懂了!’”听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：“那么，世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？”迟疑了一会儿，女儿最终回答道：“不能!除非它们都能站起来.”大家认为这位小孩回答的是否是正确的呢？当我们学习了本节“集合的含义与表示”以后，也许你就能给出一个恰当的评价了.研习教材重难点研习点1 集合的概念（重点）1．集合的概念集合论是德国数学家康托尔在19世纪未创立的，集合是近代数学中不加定义的原始概念之一，不能用其它概念给它下定义，只能给出其描述性的说明：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，它常用小写的字母,,a b c表示，我们把一些元素组成的总体叫做集合(set)，简称集.集合通常用大写的字母,,A B C表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于（not belong to ）集合A ，记作a A ∉.例如：我们用A 表示“1，2，…,20”中所有的质数组成的集合，则应该有3,4.A A ∈∉2．集合中元素的特征从上面描述性的说明中可以看出集合应具以下几个性质：（1）确定性：即给定的集合，它的元素必须是确定的.即给定一个集合A ，那么任何一个元素a 在不在这个集合中就确定了.也就是说a A ∈或a A ∉必须有且只有一种情形成立.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在集合中只能算作一个元素.例如方程2(1)(2)0x x -+=的解只能写成{1,2}-，而不能写成{1,2,2}--.（3）无序性：集合中元素的排列是无次序的，例如{1,2,3}与{1,3,2},{2,3,1}等应表示同一个集合. 判断一组对象能否构成集合，关键是看对象是否满足集合中元素绵三个特征，特别看是否满足确定性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.典例1. 判断下列各组对象能否构成集合？（1）不小于2004且不大于2010的所有正整数； （2）方程2102xx -+=的实数根； （3）比较矮的人.【研析】（1）不小于2004且不大于2010的所有正整数x 满足20042010x ≤≤，其中正整数有2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010.满足集合中元素的三个特征，从而不小于2004且不大于2010的所有正整数能构成集合.（2）因为方程2102x x -+=的根的判断式21(1)41102∆=--⨯⨯=-<，从而方程2102x x -+=没有实数根.因此方程2102x x -+=的所有实数根能构成集合，这个集合是空集.（3）比较矮的人不能构成集合.因为人的高矮是相对而言的，我们无法找出一个客观标准，使得在这样的一个标准下能说清楚某个人倒底是高还是矮，也就是说这样的对象不满足集合元素的确定性，从而我们可以认为比较矮的人不能构成集合.3．数学中一些常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或N +； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ； 全体实数组成的集合称为实数集，记作R . 【领悟·整合】 数“0”的归属新的国际标准定义自然数集含元素0，并且0是最小的自然数，这样做一方面是为了推广国际标准化组织（ISO ）制定的国际标准，另一方面，0还是十进制数｛0,1，2，……,9｝中最小的数.有了0，对于,a N a a N ∈-∈便有了依据.研习点2 集合的表示方法（重点） 1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.在使用列举法时必须应注意以下几项事项： （1）元素间用“，”分隔；（2）集合中元素必须满足元素的三个特征；（3）对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号，例如不超过1000的正整数构成的集合可表示为{1,2,3,,1000}.2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体的做法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为{|p D p ∈适合的条件｝，其中p 叫做代表元素，D 为p 的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果从上下文关系来看，p D ∈是明确的，那么p D ∈可以省略，只写元素p，写成{|p p 适合的条件｝.例如{|13}x R x ∈≤<也可以表示成{|13}x x ≤<；{|31,}B x Z x k k Z =∈=-∈也可表示成{|31,}B x x k k Z ==-∈. 使用描述法应注意以下事项：（1）应写清楚该集合中元素的代表元素.如集合{|13}x x ≤<不能写成{13}x ≤<，这样就少了代表元.再如集合22{(,)|1}x y x y +=与集合22{|1}y x y +=表示不同的两个集合，前者是点集，而后者是数集，区别就在于它们的代表元不同. (2)准确地说明该集合中元素的特征.(3)应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的：{,|(1,2)}x y （），事实上它应表示为{(,)|1,2}x y x y ==，或表示为{(1,2)}.【知识·链结】 描述法采用的三种数学语言描述法的语言形式主要有三种：文字语言、符号语言和图形语言.例如表示直线y x =上所有点组成的集合，可采用以下三种形式来表示： （1）自然语言：直线y x =上所有点组成的集合；（2）符号语言：{(,)|}x y y x =（3）图形语言：在平面直角坐标系内画出第I,II 象限的角平分线.典例2.用列举法表示下列集合：（1）{(,)|3,,}x y x y x N y N +=∈∈； （2）{|3,,}y x y x N y N +=∈∈.―――――――【研析】（1）与（2）两个集合有着本质的区别，其中（1）中集合的元素是有序实数对(,)x y ，可以理解为直角坐标平面上点的坐标，故其集合应理解成点集，并且若a b ≠时，(,)a b 与(,)b a 表示不同的元素；而（2）则是一个数集，另外还应注意0.N ∈从而： （1）,x y都是自然数，而303301221=+=+=+=+，故对应的集合为{(0,3),(3,0)，(1,2),(2,1)}；（2）集合中的元素是自然数y ，故集合为{0,1,2,3}.3．列举法与描述法的比较列举法与描述法各有优点，应根据具体问题确定使用那种集合的表示法，列举法具有直观、明了的特点，但有些集合是不能用列举法表示出来的，例如方程30x ->的解集.描述法把集合中所具有元素的特征性质描述出来，具有抽象、概括、普遍性的特点.表示一个集合可认为是进行如下过程：列举法典例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x xx --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数组成的集合. 【研析】（1）用描述法表示为2{|(23)0}x R x xx ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}.-（2）用描述法表示为{|27}x Zx ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.4．集合的分类根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集.元素个数是有限多个的集合称为有限集(finiteset)，例如{1,2,3}，{|14}x Z x ∈≤≤都是有限集；元素个数是无限的集合称为无限集(infinite set)，例如{|14}x R x ∈≤≤就是无限集；我们把不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作∅.例如求方程210x x ++=所有实数解的集合.因为方程210x x ++=没有实数解，从而2{|10}.x R x x φ∈++==【探究·发现】 a 与{}a 、x 与φ的关系a 与{}a 是截然不同的，一般而言，a 表示一个元素，而{}a 表示一个集合.比如2{2,3}∈，0{0}∈，0{2,3}∉等表示方法都是正确的，而象0{0},{0}{0,1}=∈等表示方法都是错误的.空集φ是不含有任何元素的集合，即φ中没有元素.因此无论何时何处，“x φ∈”的写法总是错误的，而“x φ∉”的写法却又总是正确的.典例4.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.【研析】（1）{(,)|0,0}x y x y <<，它是无限集；（2）{2,2,4,6,8}-，共有5个元素，是有限集； （3）{|107,}x x k k Z =+∈，它是无限集.探索解题新思路基础思维探究题型一 集合概念的考查【典例1】分析下列各组对象能否构成集合：（1）比2008大的数；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点； （3）正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象的交点； （4）面积比较小的三角形.―研析 （1）中“几个数”、（2）中的“若干个点”和（4）中的“面积比较小”都是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合.而（3）中正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象没有交点，所以这两个函数的图象的交点能构成集合，这个集合是空集.φ反思领悟 判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性.构成集合的对象是确定的，是指能让人们说清楚的对象，存在可以，不存在也可以.如（3）中两个图象没有交点，这两个函数的交点也能构成集合，不过是空集φ罢了.不能构成集合的对象是不确定的对象，是指让人们说不清楚的对象，存在与不存在都是模糊的，如（1）、（2）、（4）中的对象.【拓展·变式】1.给出下列四组对象，能构成集合的是（ ）A ．某班所有高个子的同学B ．著名的艺术家C ．一切很大的数D ．倒数等于它本身的实数题型二 集合中元素性质的理解【典例2】求集合2{,2,}xx x -中的元素x 的取值范围.研析 集合中的元素必须满足互异性，因此x 的取值必须满足集合中的三个元素互不相等，从而由元素的互异性可知，x 必须满足2222x x x x x x ⎧-≠⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得1x ≠-，2x ≠且0.x ≠故x 的取值范围是{|1,2,0}.x R x ∈≠-探索发现 在求解有关的集合中元素的问题时，互异是至关重要的，应引起足够的重视.互异性是指集合中没有两个相同的元素，相同的元素只能算作是一个元素.【拓展·变式】2.已知集合22{2,(1),33}A a a a a =++++且1A ∈，求实数a 的值. 题型三 考查集合的表示方法【典例3】试选用适当的表示方法表示下列集合： （1）一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合；（3）反比例函数254y x =-的自变量的值组成的集合.研析 （1）3(,)|{(1,4)}26y x x y y x ⎧=-+⎫⎧=-⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭，从而由一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}.-（2）22{|24}{|(1)3}{|3}y y x x y y x y y =-+==-+=≥，从而由二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合为{|3}.y y ≥（3）25{|}{|2}4x y x x x ==≠±-，从而由反比例函数254y x =-的自变量的值组成的集合为{|2}.x x ≠±推广引申 只有确定的对象才能构成集合，可根据对象的特点或个数的多少来表示集合，如对象的个数较少的有限集可采用列举法，而其它的一般采用描述法.在本例中，代表元素份别为点、函数值、自变量.因此在解题过程中不能将点的坐标表示成{1,4}-，也应注意对比（2）和（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围在着本质的区别，分析时时应引起特别的注意.另外，在表示集合的过程中，要特别注意数学语言、符号的规范使用.【拓展·变式】3. 下列的研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数（2）某班所有个子高的同学； （3）不等式217x +>的整数解.题型四 对集合分类的考查【典例4】判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集，指出其元素的个数. （1）{|4012124031}A x Z x =∈-<-≤；（2）平面内到线段AB 的两个端点距离距离相等的点P 的集合.【研析】（1）由4012124031x -<-≤可得401324030x -<-≤，解得120152006.2x -<≤再由x Z ∈得{2015,2014,,2006}A =--，所以集合A 是有限集，共有4022个元素.（2）到线段AB 的两个端点的距离相等的点P 都在线段AB 的垂直平分线上，集合可表示为{|}P PA PB =，它是无限集.思维指南 在第（1）小题中，4022是这样算出来的：连续的整数1,,r r n m m m +中，共有1n r m m -+个整数.【拓展·变式】4.下面给出四个集合：①方程3(3)(1)0x x +-=的解集；②以A 为圆心，m 为半径的圆上所有点的集合； ③不等式324x -<的解集； ④{M =平行四边形}其中无限集的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4综合思维探究题型一 学科内综合题【典例5】已知集合2{|210},A x R ax x a =∈++=为实数.（1）若集合A 是空集，求实数a 的取值范围；（2）若集合A 是单元素集，求实数a 的值；（3）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.研析 （1）若集合A 是空集，则应有2240a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得 1.a > （2）若集合A 是单元素集，则①若0a =，则此时1{|210}{}2A x R x =∈+==-；②若0a ≠，则240a a ∆=-=，即1a =，此时2{|210}{1}.A x R x x =∈++==-因此0a=或 1.a =（3）若集合A 中至多有一个元素，即集合A 为空集或单元素集，则0a =或 1.a ≥探索发现 集合的有关概念是集合有基础知识，常与方程的根等知识综合应用，有时需用到分类讨论思想.对于以20axbx c ++=的形式出现的方程，应注意二次项系数a 能否为零，因为只有当0a ≠时，才能利用二次函数的判别式来研究实数根与系数的关系.【拓展·变式】5. 已知集合{|A a =关于x 的方程241x x a-=+有惟一解}，用列举法表示集合A . 题型二 开放探究题【典例6】如图所示，用集合语言表示射线AB 上所有点构成的集合和这条射线上所有点的纵坐标构成的集合.研析 设直线AB 的解析式是y kx b =+，因为直线AB 过点（1,0）、（0,2），从而得021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩所以直线AB 的解析式是 1.y x =-所以射线AB 上所有点构成的集合是{(,)|1,0}x y y x x =-≥； 在1y x =-中，令0x =，得 1.y =-yxO 112AB所以，射线AB 上所有点的纵坐标构成的集合是{|1}.y y ≥-交流探讨 正确区分点集与数集是解决本题的关键.代表元素是什么应当分析清楚，因为这决定了集合所表示的内容.如本题中，“射线上的所有点”指明了该集合是点的集合，而“所有点的纵坐标”则指明了集合是数的集合.【拓展·变式】6.用描述法表示图中阴影部分（含边界）的坐标的集合.题型三 课标创新题【典例7】已知集合22{|,,}Ma a x y x y Z ==-∈，试判断一切奇数是否都属于集合.M研析 一切奇数都属于集合M.因为任意的一个奇数均可以表示成21n +的形式，而2221(1)n n n +=+-，所以21n M+∈.理念链接 要判断一个元素是否属于一个集合，我们只需看该元素是否满足该集合中元素的性质即可.对于本题而言，我们只需判断任何一个奇数是否能写成22xy -(其中,x y 都是整数)的形式即可得出结论.【拓展·变式】7．对于本例中给出的集合M ，你还可以得到那些常见的结论？试着写出两个.高考思维探究集合的观点已渗透到数学的各个分支，是高考试题中必考的内容.对于集合概念的考通常分为两类：一类是考查集合本身的性质；另一类是将集合作为工具，与其他知识综合起来形成新的知识网络进行考查. 【典例8】（2008年山东济宁一中模拟）已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的值是（ ）A ．0a= B ．98a≥C ．0a =或98a ≥D ．不能确定【研析】讨论方程2320ax x -==的实根情况，从中确定实数a 的取值，由题知方程有一个实数（两个相等实根）或没有实根两种情况. （1）当0a =时，原方程可化为320x -+=，解得23x =，符合题意；（2）当0a≠时，原方程2320ax x -==是一元二次方程，由980a ∆=-≤得98a ≥，即方程此时无实根或有一个实根（两个相等的实根），符合题意. 综上可知，0a=或98a ≥. 品思感悟 对于方程“2320ax x -+=”应首先考虑其是否是一元二次方程，即考查最次项前的最高次项的系数是否为0.若为0，则此方程即为一元一次方程，当然只有一个实根；否则，应当令0.∆≤【拓展·变式】8．（2006年广东湛江）如果集合A={x |a x 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ）A.0B.0 或1C.1D.不能确定开拓学习新视野悖论了解一些悖论的基本知识，可以激发兴趣，启发思维，活跃思维.悖论与通常所说的诡辩是不同的，诡辩不仅通过公认的理论可以明显看出其错误性，而且还可以通过已有理论、逻辑来推断其的原因.悖论虽然让人感到其不妥的，但从其所在的理论体系内部却不能阐明其错误的原因.悖论对于其所在的（或当时的）科学理论体系而言是一种解释不了的矛盾.正如Y.Hillel 所说：如果某种理论的公理或推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾命题的等价性，那么我们就说这个理论包含了一个悖论.1902年罗素提出：集合可以分为两类，一类是集合A 是它本身的元素（这种集合称为本身分子集），如“一切概念的集合”，它本身也是一个概念，它属于这个集合“一切集合的集合”也是一个本身分子集；第二类是非本身分子集，这就是我们平常所见的集合，比如有理数集Q ，它不是有理数，所以Q Q ∉.那么一切非本身分子集的全体构成的集合{|}Wx x x =∉是哪一类集合呢？ 如果W 是非本身分子集，从概念上看，应有W W∉，但从W 的元素构成来看，应有WW∈；如果W 是本身分子集，从概念上看，应有WW ∈，可是再从W 的元素构成来看，应有W W∉. 这样就得出了一个悖论，称为罗素悖论.原因是“一切”两字不能漫无边际地泛泛使用，应当有一定的约束.1919年罗素还把上述悖论改写为更为通俗的“理发师悖论”：某村只有一个理发师，且该村的人都需要理发.理发师约定，给且只给村中不给自己理发的人理发.试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，那么就违背了他自己的约定，如果理发师不给自己理发，那么按照他的约定，他就应该给自己理发.其实这一悖论产生的原因是理发师的约定中，虽然没有说明该村的一切人（或所有的人），实际上是指所有人，而也包括了他自己.十九世纪中叶以后，数学界的气氛是自庆自慰的，罗素悖论出现以后，一片哗然，使人们对数学理论的正确性产生了怀疑，形成了数学史上的第一次数学危机，弗雷格正要出版《算法基础》第三卷，他称：一个科学家所遇到的最不合心意的事情，莫过于在他工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信（提出了罗素悖论），将我置于这个境地.戴德金也因此收回了正欲出版的名著《什么是数和数是什么》.以罗素悖论为起点，连续出现了一系列的悖论，尖锐地冲击了当时沉醉于丰硕成果中的过分乐观的人们.当然在惊异之余，人们还是获得了重大的进步，取得了人类实践上的重大突破.现大由于科学的发展，各大领域中出现大量的思维、推理上被称为悖论的问题，下面摘录《科学美国人》杂志社编发的“悖论箱”中的几例，以此增添兴趣.1．梵学者的预言印度预言家的女儿，在纸上用一句话写一件事，让她父亲预言这件事在下午三点前是否会发生，并在一张卡片上写“是”或“不”.此梵学者，在卡片上写了一个“是”字.而她女儿在纸上所写的却是：在下午三点以前，你将写一个“不”字在卡片上.梵学者发现，他被女儿捉弄了，因为无论是他在卡片是写“是”还是“不”都与他的预言相悖，他根本不可能作出正确的预言.这种悖论的另一种形式是让计算机“亮红灯”（是）与“亮绿灯”（不）来预言它下一次亮的是不是绿灯.这在逻辑上是不可能成立的.2．选举悖论有三个对象A 、B 、C 竞选，民意测验表明：三分之二的选民愿意选A 不愿意选B ，也有三分之二的人愿意B 而不愿意选C ，问是否愿意选A 的人比愿意选C 的人多?答案是不一定的.事实上，每个对象都可能有三分之二的可能愿意选他而不愿意选另一个.例如：肯尼迪·阿洛曾根据这一条统计性悖论及其它逻辑原理证明了：一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的,他因此项成果获得了1972年诺贝尔经济学奖.3．关于时间的悖论一盏灯，开一分钟，闭半分钟，再开四分之一分钟，闭18分钟，……如此下去，问最后这盏灯是开着还是闭着?哲学家马克斯·布莱克的另一种叙述方式：一个球在A 盘中停1分钟，传到B 盘中停12分钟，再传回A 盘中停14分钟，如此下去，最后球停在哪一个盘中？与这有关的一个悖论是一个多数人熟悉的经典悖论：一只飞虫在两位骑自行车相对而行的人之间来回飞行（两车同速，匀速为2公里/小时，相距1里）.当两车在中点碰面时，飞虫是向着哪一个方向？飞虫共飞了多少距离？（第二个问题的实际计算很简单，因为两车相遇时为14小时，故为14×飞虫速度）.优化解题新演练一、理解与应用1．下列对象能组成集合的是（ ）A ．大于6而小于9的整数B ．长江里的大鱼C ．某地所有高大建筑群 D2．给出四个关系中式：①{0}φ=；②0{(0,0)}∈；③0{0}∈；④*0N ∉.其中表述正确的是（）。
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⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我 们所说的“一些元素”是确定的．
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现 了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的 元素是不重复出现的． ⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．集合的相等
3.集合与元素的记法： 集合常用大写字母A,B,C,D……表示； 元素常用小写字母a,b,c,d……表示；
1、列举法: 把集合的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示 集合.
例2 用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2)由方程 x2 x 的所有实数根组成的集合
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
(4)不等式 x 7 3 的解集？？？
x73
2、描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合.
➢ 特殊数集的表示法：
非负整数集（或自然数集）：记作N;
正整数集：记作N*或N+; 整数集：记作Z; 有理数集：记作Q;
实Hale Waihona Puke 集：记作R.4.元素和集合的关系： 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A, 记作a A,
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A, 记作a A,
P5练习1
二、集合的表示法
作业 1．课本习题1.1 A组1-4做在书上
1.1.1集合的含义与表示
在小学和初中,我们已经接触过一些集合. 例如,自然数集合,有理数集合,不等式x-7<3的 解的集合,到定点的距离等于定长的点的集合, 到一条线段的两个端点距离相等的点的集 合……
(1)中国的四大发明; (2)1~20以内的所有质数; (3)所有的正方形; (4)不等式x-5<9的解集; (5)方程x2+3x-2=0的所有实数根; (6)崇仁中学2015年9月入学的所有的高一学生;
一、集合的含义
1、集合的概念：
一般地,我们把研究对象统称为元素 (element),把一些元素组成的总体叫做集合 (set),简称集.
例1.判断下列对象是否组成集合 (1)大于3小于11的偶数; (2)高一(5)班个子高的同学; (3)全国的小河流; (4)方程x2-3x+2=0的所有实数根.
2、集合中元素具有的几个特征
形式如 :{ | }
例3 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集 合; (2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
例4.用恰当的方法表示以下集合 (1)小于5的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)大于10小于20的所有实数组成的集合; (4)不等式x-2<13的解集.
集合的表示
表示方法
自然语言
集合语言
列举法 描述法
一般情况，对有限集，在元素不太多的情况下，宜 采取列举法，它具有直观明了的特点；
注意元素的互异性
对无限集，一般采用描述法表示.
P5练习2
课堂小结
1．集合的定义;
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法；