小学奥数分数求和专题归纳与总结
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分数求和
分数求和的常用方法：
1、 公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、 图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从 而找出简便方法。
3、 裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的 拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、 分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分 化简的部分结合在一起简算。
5、 代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出
典型例题 、公式法:
计算：2008 2008 2008 爲 …2006 2007
2008 2008
分析：这道题中相邻两个加数之间相差盏8，成等差数列，我们
可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）X 项数+2来计算
2008 2008 2008 2008 2008 2008
=10031
二、图解法：
计算：1 + 1 + 1 +丄+丄+丄
2
4
8
16
32
64
分析：解法一，先画出线段图：
12 3 4 2006 2007
1 2007
+
2008 2008
X 2007 -2
1 111
64)
63 64
1
2
2X
— 1+1
1
+1 +丄+丄一 4 8 16 32
丄+丄+
16
32
所以, + 1 + 1 +丄+ 丄 + 4
8
16
32
1
63 64
64
解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因 此'只要添上一个加数右，就能凑成 算式之和。
£ 64 63 64
解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半， 根据这一特点, 我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分
设1
1 1 + 1
+ 1
+ 丄+丄 + 1
①
2 4 8
16 32
64
那么, 2 (1 + 1 1 + — 1 + 1 1 + — )X 2
2
4 8 16
32 64
1 + —
=1 +
1
+
1
+ 1
+
2
4
8
16
32
②
用②一①得
1
32 ,依次向前类推，可以求出
1 2 -1 2 -1 2
8 1 + 4 1
+ 4
+ — -+ 一
16 32
64
+丄+ 丄+(
16
32 +丄+ (-+
16
32
丄
64
从图中可以看出:扌+ 4 + 8 +16 + 32 + 64=1 -右=詈
1 8 1 8
1
1
+ -- ) 64 64 1
64 1
32 ' 64
3 5
'3
5丿 2
这些分母均为两个连续自然数的乘积。
治石刖。这样将连加运算变成加减混合运算’中间分数互相
抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
1
1 1
1 1
1 1 +
+ - + + +…… + + 2 6 12 20 30
90
110
=1
1 1 1
1 1
1111
一
+
+ + -------- 1 - -
2 2
3
3
4
9 10 10 11
=
11
3^=33_专。所以’我们可以将题中的每一个加数都扩大
倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。
9 37
35 63 99
143
195 255
1 1
1 X 丄=4 x(1 — - )X 」，
1 3 3 2
1 1 1 1
三、裂项法
1、计算: 11111
丄+丄+丄+丄+丄+
2
6
12
20
30
1 1
+ — + --
90
110
分析: 由于每个分数的分子均为 1 ,先分解分母去找规律：2=1
X 2, 6=2 X 3 , 12=3 X 4, 20=4 X 5,
30=5 X6 ,……110=10 X 11 ,
再变数型：因为^1 - 1，
1
1 1
_ 1 1 1 1 _
1 ............ 6
2
3 2 3，12 3
4 3
4，
2、计算:
+
1 5
分析：因为2=1
1 5 + —
29 33
1 1 4
5 9 5 9 ' 9 13
9 13 4 33 37
1
1 9 13 4
= 1 29 33 = 29 1 33
， 1 1 + + - 1 5
5 9 9
—+ —4
5
5 1 + 5
_ 37)
(1
(1 (1
1
+……
13 —+
13 + _ 9 1
+
1 1
+
9
13
1 1
+ +
29 33
33 37
……+ 29 33
1 +
29
+
)—4
33 37 1 +
33
33
3、计算：21 — 4
3 15
分析：因为4 =4 X 1 =4
3 3 4
1
=4 X — =4 15
15
11