将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...
周期函数的傅里叶级数
1 2
An
2
2 (1 ) T
2 3
0
11
21
1
31
8 t 1 2 ( cos n1t sin n1t ) 2 T n1 (n1 ) 0 2 (1) n 1 n
n 1
T 2
f (t )
( 1)
n 1
2
1 2n sin t n T
§ 周期信号的傅立叶级数
4 T 2 2 bn f (t ) sin n1tdt (1 ) 0 T T T 4 T 4 4 4 2 [ t sin n1tdt T (2 t ) sin n1tdt] T 0 T T 4 T 4 16 t 1 2 [( cos n1t sin n1t ) 2 T n1 (n1 ) 0
下形式在一个周期内可写为如出其频谱图求其傅立叶展开式并画如图所示有一偶函数其波形为偶数为奇数下形式在一个周期内可写为如出其频谱图求其傅立叶展开式并画如图所示有一奇函数其波形下形式在一个周期内可写为如出其频谱图求其傅立叶展开式并画形如图所示有一奇谐函数其波coscos出其频谱图求其傅立叶展开式并画形如图所示有一偶谐函数其波sinsin为偶数为奇数周期信号的傅立叶级数周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量各分量所占的比重怎样就采用了称为频谱图的表示方法
n
bn
an
bn an
n tg 1
§ 周期信号的傅立叶级数
根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷 (Dirichlet)条件的周期连续信号 f t 都可表示为 无限多个、频率为基频倍数的复正弦信号的加权 和，若 f t f t kT 其中， 为任何整数，k 为周 期， T 为基频， f 1 1 为相应的角频率，则
(整理)第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB
例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级 则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,
x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数 二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数 收敛，且
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
周期信号的傅里叶级数表
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
傅里叶级数课程及习题讲解
第15章傅里叶级数§15.1傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数 在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑，可视为()f x 经函数系线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nx x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1)周期性每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2)正交性任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m a u x u x u x u x x=⋅⎰，如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰；sin , sin sin sin d 0 m nmx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；sin , cos sin cos d 0mx nx mx nx x ππ-=⋅=⎰；2 1, 11d 2x πππ-==⎰，所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2以2π为周期的傅里叶级数定义1设函数()f x 在[],ππ-上可积，11(),cos ()cos d k a f x kx f x kx xππππ-==⎰0,1,2,k =；11(),sin ()sin d k b f x kx f x kx xππππ-==⎰1,2,k =，称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数称为()f x 的傅里叶级数，记作()f x ～()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑．这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑，其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．定义2如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若[,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论如果()f x 是以2π,]ππ-上按 段光滑，则x R ∀∈，有()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑．定义3设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数称()f x 为的周期延拓．二 习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1)(),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰，所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑，(,)x ππ∈-为所求．(ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰．当1n ≥时，220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰，2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰，所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑，(0,2)x π∈为所求． (2)2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π；解：(i)、()2f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得220112()d d 3a f x x x x πππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，222224cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ--=-=-⎰，2222sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑，(,)x ππ∈-为所求．()2f x =x0a =当1n ≥时，222220224cos cos d |x nx nx x n n n ππππ=-=⎰，2222004224sin sin d |x nx nx x n n n n ππππππ=-+-=-⎰，所以22214cos sin ()43n nx nx f x n n ππ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑，(0,2)x π∈为所求．(3)0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得000111()()d d d 2b a a f x x ax x bx x ππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n x n ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．2设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有2 11()cos d ()cos d ,0,1,2,c n c a f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰， 2 11()sin d ()sin d ,1,2,c n cb f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰．证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有c+2 c+211()cos d ()cos d f t nt t f x nx xππππππ==-⎰⎰．从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰1()cos d f x nx xπππ-=⎰．同理可得2 11()sin d ()sin d c n cb f x nx x f x nx xπππππ+-==⎰⎰．3把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出(1)11114357π=-+-+；(2)111111357111317π=+--+-+；11111157111317=-+-+-+．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得00111()d d d 044a f x x x x πππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，0011cos d cos d 044n a nx x nx x ππππππ--=+=⎰⎰．11211[1(1)]202n n k nn n k+⎧=+⎪=--=⎨⎪=⎩，故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求．(1)取2x π=，则11114357π=-+-+；(2)由11114357π=-+-+得111112391521π=-+-+，于是111111341257111317πππ=+=+--+-+；(3)取3x π=，则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭，11111157111317=-+-+-+．4设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数． 于是由系数公式得11()d ()d 0f t t f x x πππππ=++=⎰⎰．当1n ≥时，02()cos d 2102f x nx x n k n k ππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．02()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰，故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =． 5设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=，所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得112()d ()d ()d f t t f x x f x xπππππππ=++=⎰⎰⎰．当1n ≥时，02()cos d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰． 02()sin d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰，故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=． 6试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ，因为n ∀，1,1d x ππ==⎰，2001cos ,cos cos d (cos21)d 22nx nx nx x nx x πππ==+=⎰⎰，又1,cos cos d 0nx nx x π==⎰；,m n ∀，m n ≠时，0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=++-=⎰⎰．所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ，因为n ∀，2001sin ,sin sin d (1cos2)d 22nx nx nx x nx x πππ==-=⎰⎰，又,m n ∀，m n ≠时，0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=-++-=⎰⎰．所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系． 但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是[0, ]π上的正交系．实因：1,sin sin d 10x x x π==≠⎰．7求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022x f x x ππ-=<<；(),02x f x x ππ-=<< 0a 当1n ≥时，22001sin sin d 022|x nx nx x n n πππππ-=+=⎰，220011cos cos d 22|x nx nx x n n n πππππ-=--=⎰，所以1sin ()n nxf x n ∞==∑，(0,2)x π∈为所求．(2)()f x x ππ=-≤≤；解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为02()02x x f x x x ππ-≤<==⎨⎪≤≤⎪⎩，所以由系数公式得0sin d sin d 22x x x x ππ-=+=．当1n ≥时，sin cos d 2x nx x π==．0sin sin d sin sin d 022n x x b nx x nx x ππππ-=+=⎰．所以211()cos 41n f x nxnππ∞==--，(,)x ππ∈-．而x π=±时，(0)(0)()2f f f πππ±-+±+==±，故211()cos 41n f x nxnππ∞==--，[,]x ππ∈-为所求．(3)2(), (i) 02, (ii) f x ax bx c x x πππ=++<<-<<；解：(i)由系数公式得22218()d 223aax bx c x b cππππ=++=++⎰．当1n ≥时，24an =， 42a n n ππ=--， 故224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑为所求．(ii)由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰2212()d 23aax bx c x c ππππ-=++=+⎰．当1n ≥时，24(1)nan =-， 12(1)n bn -=-， 故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos (1)sin ,(,)nn n a b nx nx x n n ππ∞=+---∈-∑为所求．(4)()ch , f x x x ππ=-<<；解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰12ch d sh x x πππππ-==⎰．当1n ≥时，222sh 1(1)nna n n ππ=--，所以22sh (1)(1)n n a n ππ=-+． 2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n ππππππ--=-+⎰21nb n =，所以0n b =，故21211()ch sh (1)cos 21n n f x x nx n ππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑， (,)x ππ∈-为所求．(5)()sh ,f x x x ππ=-<<．解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰1sh d 0x x πππ-==⎰． 当1n ≥时，1sh cos d 0n a x nx x πππ-==⎰．1221(1)sh n n b n n ππ+=--，所以122sh (1)(1)n n n xb n π+=-+， 故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑，(,)x ππ∈-为所求．8求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑． 解：由224()3af x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑得211cos n nx n ∞==∑，(0,2)x π∈．而2(00)(20)6f f ππ+=-=，故由收敛定理得22211(00)(20)11cos062n n f f n n ππ∞∞==++-===∑∑．9设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积．由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．故结论成立．10证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设0()2a u x =，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．则0n ∀≥，()n u x 在R 上连续，且0()0u x '=，()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续． 又x R ∀∈，()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ 22Mn ≤．而22Mn∑收敛，所以()()cos sin n n n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛．故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑，则且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续．§15.2以2l 为周期的函数的展开一 基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数 设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换ltx π=，则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数，且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积．于是()01()cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑，其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰．令xt l π=得()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin sin ,cos cos n x n xnt nt l l ππ==， 从而01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑．其中1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰ 1()sin l n l n xb f x dx l l π-=⎰．上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x n x n x a b l l ππ∞=++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑． 其只含余弦项，故称为余弦级数． 同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．于是1()cos d 0l n l n xa f x x l l π-==⎰，012()sin d ()sin d l l n l n x n xb f x x f x x l l l l ππ-==⎰⎰． 从而01()2n n a f x a ∞=+∑由此可知，函数偶延拓() (0,()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展 开为正弦级数必须作奇延拓． 奇延拓() (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨--∈-⎩．二 习题解答1求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1)()cos f x x =(周期π)；解：()cos f x x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥由于(f ()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得22002244cos d cos d a x x x x ππππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，1(1)2(1)2(21)(21)n n n n ππ+-⋅-⋅=++-124(1)(41)n n π+=--． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故121241()cos (1)cos241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．(2)()[]f x x x =-(周期1)；解：函数()[]f x x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．因12l =，所以由系数公式得()()111210022[]d 2[]d 2d 1a x x x x x x x x -=-=-==⎰⎰⎰．当1n ≥时，110011sin 2sin 2d 0|x n x n x x n n ππππ=-=⎰．110011cos2cos2d |x n x n x x n n ππππ-=+⎰1n π-=． 故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3)4()sin f x x =(周期π)；2222解：函数4()sin f x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得 204311cos 2cos 4d 828x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰34=．当1n ≥时，11201,2128n n n n ⎧-=⎪⎪=≠≠⎨⎪⎪=⎩． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故4311()sin cos2cos4828f x x x x==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．(4)()sgn(cos )f x x =(周期2π)．解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l π=，所以由系数公式得0012sgn(cos )d sgn(cos )d 0a x x x x πππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，02sgn(cos )cos d n a x nx xππ=⎰4sin 2n n ππ=024(1)21(21)kn k n k k π=⎧⎪=⎨-=-⎪+⎩．2sgn(cos )sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n xf x x n π∞=+==-+∑，(,)x ∈-∞+∞．2求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因32l =，所以由系数公式得31230001222224()d d d (3)d 33333a f x x x x x x x ==++-=⎰⎰⎰⎰． 当1n ≥时， 2222323cos 3n n n πππ=-．2()sin d 0n b f x nx x πππ-==⎰．故2221231122()cos cos333n n n xf x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． 3将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数．解：函数()2f x xπ=-，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得20021d 0222a x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．当1n ≥时，242102n k n n kπ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．0n b =．故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑．4将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数．解：函数()cos2xf x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．28(41)nn π=-．故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求．5把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数．解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得4240002211()d (1)d (3)d 0422a f x x x x x x ==-+-=⎰⎰⎰．当1n ≥时，402()cos d 44n n xa f x x π=⎰所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos(21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求．6把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++⎪⎝⎭．解：函数()f x ，(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l=0.5，所以由系数公式得11200022()d 2(1)d 3a f x x x x ==-=⎰⎰．当1n ≥时，1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰224n π=．0n b =．所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑．令0x =得22114113n n π∞==+∑，即22116n n π∞==∑． 7求下列函数的傅里叶级数展开式 (1)()arcsin(sin )f x x =；解：函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑，x R ∈．(2)()arcsin(cos )f x x =．解：函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．002arcsin(cos )d 0a x x ππ==⎰，当1n ≥时，202421n k n k n π=⎧⎪=⎨=-⎪⎩．0,1,2,n b n ==．所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n x n π∞===--∑，x R ∈． 8试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑；(2)211sin(21)n n bn x∞-=-∑．解：(1)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下：()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下：()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨-<≤⎩．其图象如下．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰．204()cos d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰． 所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． (2)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下．()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下．()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨--<≤⎩．()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰204()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰． 所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． §15.3收敛定理的证明一 基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++≤∑⎰,其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．推论1设()f x 在[,]ππ-上可积，则lim ()cos d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰, lim ()sin d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰．推论2设()f x 在[,]ππ-上可积，则01lim ()sin d 02n f x n x x π→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰，1lim ()sin d 02n f x n x x π-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰．定理2设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积，则1sin 12()d 2sin2n tf x t tt πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰，此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3(收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则(0)(0)lim ()022n n f x f x S x →∞-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，定理4如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．定理5如果()f x 在[,]ππ-按段单调，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．二 习题解答1设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x ．证：由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数，且光滑，故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．于是2222111122n nn n nn a b a b a b nn n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211()2n n a b n ''=++．由贝塞尔不等式得221()nn n a b ∞=''+∑收敛，又211n n ∞=∑收敛，从而()012n n n a a b ∞=++∑收敛， 故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛．2设f 为[],ππ-上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则成立贝塞尔(Parseval)等式()2 2220 11()d 2n n n a f x x a b πππ∞-==++∑⎰， 这里,n n a b 为f 的傅里叶系数．证：设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑，因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ，所以0,0N ε∀>∃>，,[,]()m m N x f x S ππε∍>∀∈-⇒-<“”．于是2(),()m m f x S f x S ε--<．而()2 2221()d 2mn n n a f x x a b ππππ-==--+∑⎰．所以m N >时，()222221()d 2mn n n a f x x a b ππππε-=--+<∑⎰，故()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++=∑⎰．3由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式． (1)22118(21)n n π∞==-∑；(2)22116n n π∞==∑；(3)44190n π=∑． 解：(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，由§1习题3得1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑．由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰，即22118(21)n n π∞==-∑．(2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-，由§1习题1(1)得11sin ()2(1),(,)n n nxf x x n ππ∞+==-∈-∑．由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰，故22116n n π∞==∑．(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-，由§1习题1(2)得 2221cos 4(1),(,)3nn xx x n πππ∞==+-∈-∑．由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰， 故44190n π=∑． 4证明：若,f g 均为[,]ππ-上可积函数，且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ，则00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中,n n a b 为f 的傅里叶系数，,n n αβ为g 的傅里叶系数．证：由题设知01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，1()(cos sin )2n n n g x nx nx ααβ∞==++∑．于是 1()()d (),()f xg x x f x g x πππ-=⎰而001(),cos sin ,222n n n a f x a nx b nx αα∞==++∑ cos ,cos n n n n a nx nx a αα==， cos ,cos n n n n b nx nx b ββ==，所以 00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．5证明若f 及其导函数f '均在[,]ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰,()()f f ππ-=，且成立贝塞尔等式，则22()d ()d f x x f x xππππ--'≥⎰⎰．证：因为()f x 、()f x '在[],ππ-上可积，()d 0f x x ππ-=⎰，()()f f ππ-=，设01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．于是由贝塞尔等式得2()d f x xππ-=⎰．总练习题151试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑是以2π为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得001(),1(cos sin ),12nn k k k A a T x A kx B kx A ===++=∑，当1k ≥时，1(cos sin ),cos 02nkk k k A k n A A kx B kx kx k n =≤⎧=++=⎨>⎩∑，1(cos sin ),sin 02nkk k k B k n A A kx B kx kx k n =≤⎧=++=⎨>⎩∑，故在(,)-∞+∞，01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑的傅里叶级数就是其本身．2设f 为[,]ππ-上可积函数，0,,(1,2,,)k k a a b k n =为f 的 傅里叶系数，试证明，当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时， 积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为[]22220 1()d ()2nk k k a f x x a b πππ-=⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 上述()n T x 是第1题中的三角多项式,0,,k k A A B 为它的傅里叶系数．证：设()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑，且00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====， 因为[]2()()d n f x T x xππ--⎰22 ()d 2()()d ()d n n f x x f x T x x T x xππππππ---=-+⎰⎰⎰，而()001()()d 2nn k k k k k A a f x T x x A a B b ππππ-==++∑⎰， () 22201()d 2nnk k k A T x x A B πππ-==++∑⎰，所以[]2()()d n f x T x xππ--⎰故当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时， 积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为[]22220 1()d ()2nk k k a f x x a b πππ-=⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 3设f 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，11()sin d , ()sin d n nb f x nx x b f x nx xππππππ--''''==⎰⎰，若级数n b ''∑绝对收敛，则11122n n n b ∞∞==⎛⎫''+ ⎪⎝⎭∑．证：因为()f x 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数， 所以1()sin d n b f x nx x πππ-''''=⎰2 2 ()cos ()sin d nn n f x nxf x nx x n b ππππππ--=-+=⎰． 即211,n n n b b n ''∀≥=⋅，从而2111,2n n b n ⎛⎫''∀≥+ ⎪⎝⎭又n b ''∑绝对收敛，21n ∑收敛，所以n ∞=1122n n b ∞=⎛⎫''<+ ⎪⎝⎭∑．故结论成立．4设周期为2π的可积函数()x ϕ与()x ψ满足以下关系式(1)()()x x ϕψ-=；(2)()()x x ϕψ-=-．试问ϕ的傅里叶系数,n n a b 与ψ的傅里叶系数,n n αβ有什么关系？解：设()01()cos sin 2n n n a x a nx b nx ϕ∞==++∑，()1()cos sin 2n n n x nx nx αψαβ∞==++∑，(1)则当()()x x ϕψ-=时，0n ∀≥，n α=．1n ∀≥，n β=-．(2)当()()x x ϕψ-=-时，0n ∀≥，n α=-．1n ∀≥，n β=．5设定义在[,]a b 上的连续函数列{}()n x ϕ满足关系0 ()()d 1 bn m a n mx x x n m ϕϕ≠⎧=⎨=⎩⎰，对于在[,]a b 上的可积函数f ，定义()()d , 1,2,b n n a a f x x x n ϕ==⎰，证明21n n a ∞=∑收敛，且有不等式 22 1[()]d b n a n a f x x ∞=≤∑⎰．证：在[,]a b 上的所有可积函数构成的集合中定义内积为(),()()()d b a f x g x f x g x x =⎰，则函数列{}()n x ϕ为标准正交系．令1()(),1,2,m m n n n S x a x m ϕ===∑，则,(),()n n n a f x x ϕ∀=， 又 2 [()()]d bm a f x S x x -⎰22 ()d 2()()d ()d n n f x x f x S x x S x x ππππππ---=-+⎰⎰⎰，而11(),()(),()(),()m m n n n n n n n f x S x f x a x a f x x ϕϕ====∑∑ 21m nn a ==∑． 211(),()m mk k k k k k k a a x x a ϕϕ====∑∑，于是 222 1()d [()()]d 0m b n m an f x x a f x S x x ππ-=-=-≥∑⎰⎰， 所以22 11,[()]d m b n a n m a f x x =∀≥≤∑⎰，即{}()m S x 有上界． 故 21n n a∞=∑收敛，且 22 1[()]d b n a n a f x x∞=≤∑⎰．。
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
一般周期函数的傅里叶级数
2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn
01-傅里叶展开的例
简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析.
设 f ( x) 是周期为 2π的矩形波函数，
在[, ) 上的表达式为
y
π 4
,
π x 0,
f ( x)
π,
4
π
0 x π.
π 4
O
π
4
πx
求该矩形波函数的傅里叶展开式. 图15 6
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
π0
ππ
π
1 π
x2 n
2 n3
sin
nx
2x
n2
cos
nx
0
2π
4
1 π
x2 n
2 n3
sin nx
2x
n2
cos
nx
π
n2 [(1)n 1],
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
2n
0 2n
1 n
,
n 1, 3,5,,
0, n 2, 4, 6,.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
于是当 x kπ, k 0, 1, 2, 时,
f ( x) sin x 1 sin 3x 1 sin(2n 1)x .
1
(1)
n
.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
高等数学同济第五版第11章答案.
(n1 2
(n1 2
所以f(x的傅里叶级数展开式为
(x(2n1n0 1 2
2将下列函数f(x展开成傅里叶级数
(1 (x
解将f(x拓广为周期函数F(x则F(x在(中连续在x间断且
故F(x的傅里叶级数在(中收敛于f(x而在x处F(x的傅里叶级数不收敛于f(x
计算傅氏系数如下
因为 (x是奇函数所以an0(n0 1 2
因而取n6此时
(2 (误差不超过0001
解
由于
故
因此取n4得
(3 (误差不超过000001
解
由于
故
(4cos 2(误差不超过00001
解
由于
故
2利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值
(1 (误差不超过00001
解
因为
所以
(2 (误差不超过00001
解
因为
所以
3将函数excosx展开成x的幂级数
(n1 2
所以 (x
(2
解将f(x拓广为周期函数F(x则F(x在(中连续在x间断且
故F(x的傅里叶级数在(中收敛于f(x而在x处F(x的傅里叶级数不收敛于f(x
计算傅氏系数如下
(n1 2
(n1 2
所以
(x
3设周期函数f(x的周期为2证明f(x的傅里叶系数为
(n0 1 2
(n1 2
证明我们知道若f(x是以l为周期的连续函数则
7将函数f(x2x2(0x分另别展开成正弦级数和余弦级数
解对f(x作奇延拓则an0(n0 1 2而
(n1 2
故正弦级数为
(0x
级数在x0处收敛于0
对f(x作偶延拓则bn0(n1 2而
周期函数的傅里叶级数
傅里叶(Fourier)级数
问题的提出
在自然界和人类的生产实践中, 周期运动很常见.
如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动,
物体的振动, 声、光、电的波动等.
数学上, 用周期函数来描述它们. 最简单最基本
的周期函数是正弦型函数
角频率
谐函数
简谐波 简谐振动
Asin t()
振幅
时间
初相
周期 2
2
2
2
在连 x(x 续 (2k 点 1))处收 f(x 敛 ). 于
f (x)的图象
y 和函数的图象
3 2
2 3
•
O •
•
x
•
2
傅里叶(Fourier)级数
f ( x) 4(2coxssinx)
1 sin 2x
2
2
1
(32c
o3x s sin 3x) 3
1 4
sin 4
x
(52 2co5x s1 5si5 nx)
12dx2,
1 co nd s x1 sin n d x0
com scxonsd xx sim nsx in n d x0,m n
sim n cxonsd xx0
co2snxdx sin2nxdx 其m ,中 n1 ,2 ,
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶系数 (Fourier coefficient)
最简单最基本的周期函数是谐函数周期振幅时间角频率简谐波简谐振动正弦型函数傅里叶fourier级数物体的振动问题的提出如矩形波除了正弦函数外常遇到的是非正弦周期函数傅里叶fourier级数把一个周期运动如矩形波分解为简谐振动的反映在数学上是把一个周期函数ft表示为各类正弦函数的迭加sincoscossinsincoscoscossi满足什么条件系数才能展为如何确定
傅里叶级数课程及习题解
第15章 傅里叶级数§15.1 傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数 在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑，可视为()f x 经函数系21, , ,, ,n x x x线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nx x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1 三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos2, sin2, , cos , sin ,x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m au x u x u x u x x=⋅⎰，如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰；sin , sin sin sin d 0 m nmx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；sin , cos sin cos d 0mx nx mx nx x ππ-=⋅=⎰；2 1, 11d 2x πππ-==⎰，所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2 以2π为周期的傅里叶级数定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，11(),cos ()cos d k a f x kx f x kx xππππ-==⎰ 0,1,2,k =；11(),sin ()sin d k b f x kx f x kx xππππ-==⎰ 1,2,k =，称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑称为()f x 的傅里叶级数，记作()f x ～()01cos sin 2nn n a a nx b nx ∞=++∑．这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．二、傅里叶级数收敛定理定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑，其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．定义2 如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若[,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论 如果()f x 是以2π]上按 段光滑，则x R ∀∈，有()01()c o s s i n 2n nn a f x a nx b nx ∞==++∑．定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数() (,] ˆ()(2) (2,2],1,2,f x x f x f x k x k k k πππππππ∈-⎧=⎨-∈-+=±±⎩称()f x 为的周期延拓．二 习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰，所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑，(,)x ππ∈-为所求．(ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰．当1n ≥时，220011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰，22011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰，所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑，(0,2)x π∈为所求． (2) 2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π； 解：(i)、()2f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得220112()d d 3a f x x x x πππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，2211cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰211sin 2sin d |x nx x nx xn n ππππππ--=-⎰22d(cos )x nx n πππ-=⎰222224cos cos d (1)|nx nx nx x n n n ππππππ--=-=-⎰，2211sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰212cos cos d |x nx x nx xn n ππππππ---=+⎰22d(sin )x nx n πππ-=⎰2222sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑，(,)x ππ∈-为所求．解：(ii)()2f x =x (0,2)x π∈其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得222200118()d d 3a f x x x x πππππ===⎰⎰．当1n ≥时，22220011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰2220011sin 2sin d |x nx x nx xn n ππππ=-⎰2202d(cos )x nx n ππ=⎰222220224cos cos d |x nx nx x n n n ππππ=-=⎰，222211sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2220012cos cos d |x nx x nx xn n ππππ-=+⎰22042d(sin )x nx n n πππ=-+⎰2222004224sin sin d |x nx nx x n n n n ππππππ=-+-=-⎰，所以22214cos sin ()43n nx nx f x n n ππ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑，(0,2)x π∈为所求． (3) 0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．由系数公式得000111()()d d d 2b a a f x x ax x bx x ππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，02011cos d cos d n a ax nx x bx nx xππππ-=+⎰⎰2[1(1)]n a b n π-=--0011sin d sin d n b ax nx x bx nx xππππ-=+⎰⎰1(1)n a b n ++=-所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n x n ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．2 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有2 11()cos d ()cos d ,0,1,2,c n ca f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰，2 11()sin d ()sin d ,1,2,c n cb f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰．证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有211()cos d (2)cos (2)d(2)cc f x nx x f t n t t ππππππππ-+=---⎰⎰ c+2 c+2 11()cos d ()cos d f t nt t f x nx x ππππππ==-⎰⎰．从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰2 11()cos d ()cos d c n cca f x nx x f x nx xππππ+-==⎰⎰c+2 11()cos d ()cos d f x nx x f x nx xππππππ-++⎰⎰1()cos d f x nx xπππ-=⎰．同理可得2 11()sin d ()sin d c n cb f x nx x f x nx xπππππ+-==⎰⎰．3 把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出(1)11114357π=-+-+；(2) 111111357111317π=+--+-+；(3)11111157111317=-+-+-+．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得00111()d d d 044a f x x x x πππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，0011cos d cos d 044n a nx x nx x ππππππ--=+=⎰⎰．11sin d sin d 44n b nx x nx xππππππ--=+⎰⎰11211[1(1)]202n n k n n n k+⎧=+⎪=--=⎨⎪=⎩，故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求．(1) 取2x π=，则11114357π=-+-+； (2) 由11114357π=-+-+得111112391521π=-+-+，于是111111341257111317πππ=+=+--+-+；(3) 取3x π=，则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭，所以11111157111317=-+-+-+．4 设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数． 于是由系数公式得000111()d ()d ()d a f x x f x x f x xπππππππ--==+⎰⎰⎰11()d ()d f t t f x xπππππ=-+⎰⎰11(2)d ()d f t t f x xππππππ=-++⎰⎰11()d ()d 0f t t f x x πππππ=++=⎰⎰．当1n ≥时，0011()cos d ()cos d n a f x nx x f x nx xππππ-=+⎰⎰11()cos()d ()cos d f t nx n x f x nx xππππππ=+++⎰⎰101(1)()cos d n f x nx x ππ++-=⎰02()cos d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．0011()sin d ()sin d n b f x nx x f x nx xππππ-=+⎰⎰02()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰，故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =．5 设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=，所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得000111()d ()d ()d a f x x f x x f x xπππππππ--==+⎰⎰⎰0011()d ()d f t t f x x πππππ=-+⎰⎰0011(2)d ()d f t t f x x ππππππ=-++⎰⎰000112()d ()d ()d f t t f x x f x x πππππππ=++=⎰⎰⎰． 当1n ≥时，0011()cos d ()cos d n a f x nx x f x nx xππππ-=+⎰⎰11()cos()d ()cos d f t nx n x f x nx xπππππ=++⎰⎰1(1)()cos d nf x nx xππ+-=⎰02()cos d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰．0011()sin d ()sin d n b f x nx x f x nx xππππ-=+⎰⎰02()sin d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰，故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=．6 试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ，因为n ∀，1,1d x ππ==⎰，2001cos ,cos cos d (cos21)d 22nx nx nx x nx x πππ==+=⎰⎰，又01,cos cos d 0nx nx x π==⎰；,m n ∀，m n ≠时，cos ,cos cos cos d mx nx mx nx xπ=⎰0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=++-=⎰⎰．所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系． 就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ，因为n ∀，2001sin ,sin sin d (1cos2)d 22nx nx nx x nx x πππ==-=⎰⎰，又,m n ∀，m n ≠时，sin ,sin sin sin d mx nx mx nx xπ=⎰0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=-++-=⎰⎰．所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系． 但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是 [0, ]π上的正交系．实因：1,sin sin d 10x x x π==≠⎰．7 求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022xf x x ππ-=<<； 解：(),02x f x x ππ-=<<其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得2200011()d d 02x a f x x x πππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，220011cos d d(sin )22n x xa nx x nx n ππππππ--==⎰⎰22001sin sin d 022|x nx nx x n n πππππ-=+=⎰，220011sin d d(cos )22n xxb nx x nx n ππππππ---==⎰⎰220011cos cos d 22|x nx nx x n n n πππππ-=--=⎰，所以1sin ()n nxf x n ∞==∑，(0,2)x π∈为所求． (2)()f x x ππ-≤≤；解：()f x x ππ-≤≤作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为02()02x x f x x x ππ-≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩，所以由系数公式得01()d a f x xπππ-=⎰00sin d sin d 22x x x x ππ-==． 当1n ≥时，0sin cos d sin cos d 22n x xa nx x nx x ππ-=+0sin cos d 2x nx x π==．0sin sin d sin sin d 022n x x b nx x nx x ππ-==．所以211()cos 41n f x nxn∞=-，(,)x ππ∈-．而x π=±时，(0)(0)()2f f f πππ±-+±+=±，故211()cos 41n f x nxnππ∞==--，[,]x ππ∈-为所求．(3) 2(), (i) 02, (ii) f x ax bx c x x πππ=++<<-<<；解：(i)由系数公式得2001()d a f x xππ=⎰222018()d 223a ax bx c x b c ππππ=++=++⎰． 当1n ≥时， 2201()cos d n a ax bx c nx xππ=++⎰ 2220011()sin (2)sin d |ax bx c nx ax b nx xn n ππππ=++++⎰24an =， 2201()sin d n b ax bx c nx x ππ=++⎰2220011()cos (2)cos d |ax bx c nx ax b nx xn n ππππ=-++-+⎰42a n n ππ=--，故224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑为所求．(ii)由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰2212()d 23aax bx c x cππππ-=++=+⎰．当1n ≥时，21()cos d n a ax bx c nx xπππ-=++⎰211()sin (2)sin d |ax bx c nx ax b nx xn n ππππππ--=++++⎰24(1)n an =-，21()sin d n b ax bx c nx xπππ-=++⎰211()cos (2)cos d |ax bx c nx ax b nx xn n ππππππ--=-++-+⎰12(1)n bn -=-，故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos (1)sin ,(,)nn n a b nx nx x n n ππ∞=+---∈-∑为所求．(4) ()ch , f x x x ππ=-<<；解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰12ch d sh x x πππππ-==⎰．当1n ≥时，1ch cos d n a x nx xπππ-=⎰11ch sin sh sin d |x nx x nx xn n ππππππ--=-⎰21sh d(cos )x nx n πππ-=⎰2211sh cos ch cos d |x nx x nx xn n ππππππ--=-⎰222sh 1(1)nna n n ππ=--，所以22sh (1)(1)n n a n ππ=-+． 11ch sin d ch d(cos )n b x nx x x nx ππππππ---==⎰⎰ 11ch cos sh cos d |x nx x nx xn n ππππππ--=-+⎰21sh d(sin )x nx n πππ-=⎰2211sh sin ch sin d |x nx x nx xn n ππππππ--=-+⎰2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n ππππππ--=-+⎰21nb n =，所以0n b =，故21211()ch sh (1)cos 21n n f x x nx n ππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑， (,)x ππ∈-为所求．(5) ()sh ,f x x x ππ=-<<．解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰1sh d 0x x πππ-==⎰．当1n ≥时，1sh cos d 0n a x nx x πππ-==⎰．11sh sin d sh d(cos )n b x nx x x nx ππππππ---==⎰⎰11sh cos ch cos d |x nx x nx xn n ππππππ--=-+⎰121(1)sh ch d(sin )n x nx n n πππππ+-=-+⎰122211(1)sh ch sin sh sin d |n x nx x nx xn n n ππππππππ+--=-+-⎰1221(1)sh n n b n n ππ+=--，所以122sh (1)(1)n n n xb n π+=-+， 故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑，(,)x ππ∈-为所求．8 求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑．解：由224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a b nx nx x n n ππ∞=++-∈∑得 221()(362)12f x x x ππ=-+222326πππ=-+211cos n nx n ∞=+∑211cos n nx n ∞==∑，(0,2)x π∈．而2(00)(20)6f f ππ+=-=，故由收敛定理得22211(00)(20)11cos062n n f f n n ππ∞∞==++-===∑∑．9 设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积．由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．1()sin d n b f x nx xπππ-'=⎰1()sin ()cos d |nnf x nx f x nx x na ππππππ--'=-=-⎰故结论成立．10 证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设0()2a u x =，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．则0n ∀≥，()n u x 在R 上连续，且0()0u x '=，()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续． 又x R ∀∈，()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ n n n a n b ≤+22M n ≤．而22Mn∑收敛，所以()()cos sin n n n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛．故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑，则11()(cos sin )()n n nn n s x na nx nb nx u x ∞∞==''=-+=∑∑且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续．§15. 2 以2l 为周期的函数的展开一 基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数 设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换ltx π=，则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数，且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积．于是 ()01()c o s s i n2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑， 其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰ 1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰．令x t l π=得 ()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin sin ,cos cos n x n xnt nt l l ππ==， 从而01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑． 其中 1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰1()sin l n l n x b f x dx l l π-=⎰．上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x n x n x a b l l ππ∞=++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑．其只含余弦项，故称为余弦级数．同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．于是 1()cos d 0l n l n xa f x x l l π-==⎰， 012()sin d ()sin d l l n l n x n x b f x x f x xl l l l ππ-==⎰⎰． 从而01()sin 2n n a n x f x a l π∞=+∑其只含正弦项，故称为由此可知，函数(),(0,)f x x l ∈要展开为余弦级数必须作偶延拓．偶延拓() (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展开为正弦级数必须作奇延拓． 奇延拓() (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨--∈-⎩．二 习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式(1) ()cos f x x =(周期π)；解：函数由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得 22002244cos d cos d a x x x x ππππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，222cos cos2d n a x nx x πππ-=⎰204cos cos 2d x nx xππ=⎰22[cos(21)cos(21)]d n x n x xππ=++-⎰220011sin(21)sin(21)(21)(21)||n x n x n n ππππ=++-+-1(1)2(1)2(21)(21)n n n n ππ+-⋅-⋅=++-124(1)(41)n n π+=--． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故121241()cos (1)cos 241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．(2) ()[]f x x x =-(周期1)；解：函数()[]f x x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数． 因12l =，所以由系数公式得()()1112100022[]d 2[]d 2d 1a x x x x x x x x -=-=-==⎰⎰⎰．当1n ≥时，2222()()1121022[]cos2d 2[]cos2d n a x x n x x x x n x xππ-=-=-⎰⎰110012cos2d d(sin2)x n x x x n x n πππ==⎰⎰110011sin2sin2d 0|x n x n x x n n ππππ=-=⎰．()1121022[]sin 2d 2sin 2d n b x x n x x x n x xππ-=-=⎰⎰101d(cos2)x n x n ππ-=⎰110011cos2cos2d |x n x n x x n n ππππ-=+⎰1n π-=． 故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3) 4()sin f x x =(周期π)；解：函数4()sin f x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得 442200224sin d sin d a x x x x πππππ-==⎰⎰22041cos2d 2x x ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰204311cos2cos4d 828x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰34=．当1n ≥时，204311cos2cos4cos2d 828n a x x nx xππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰11201,2128n n n n ⎧-=⎪⎪=≠≠⎨⎪⎪=⎩． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故4311()sin cos2cos4828f x x x x ==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．2222(4) ()sgn(cos )f x x = (周期2π)．解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l π=，所以由系数公式得0012sgn(cos )d sgn(cos )d 0a x x x x πππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，2sgn(cos )cos d n a x nx x ππ=⎰202224cos d cos d sin 2n nx x nx x n πππππππ=-=⎰⎰4sin 2n n ππ=024(1)21(21)kn kn k k π=⎧⎪=⎨-=-⎪+⎩．2sgn(cos )sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n x f x x n π∞=+==-+∑，(,)x ∈-∞+∞．2 求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因32l =，所以由系数公式得 31230001222224()d d d (3)d 33333a f x x x x x x x ==++-=⎰⎰⎰⎰． 当1n ≥时，12012222cos d cos d 3333n n x n xa x x x ππ=+⎰⎰3222(3)cos d 33n x x xπ+-⎰21011212d sin sin 33n x n x x n n ππππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ 3212(3)d sin 3n x x n ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰ 10121214sin sin d sin 333n n x n x n n n ππππππ=-+⎰3322121212sin (3)sin sind 333n n x n xx x n n n ππππππ-+-+⎰12201432sin cos 323n n xn n ππππ=+32221432sin cos 323n n xn n ππππ--2222323cos 232n n n πππ=-2222334cos2cos 223n n n n ππππ-+2222323cos 3n n n πππ=-． 2()sin d 0n b f x nx x πππ-==⎰．故2221231122()cos cos333n n n x f x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．3 将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数．解：函数()2f x xπ=-，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得20021d 0222a x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰．当1n ≥时，2cos d 2n a x nx x πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰22sin sin d 2x nx nx x n n πππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰202cos nxn ππ=-242102n k n n kπ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．0n b =．故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑．4 将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数． 解：函数()cos2xf x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．02cos sin d 2n x b nx x ππ=⎰ 0111sin sin d 22n x n x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ 011cos cos 1221122n x n x n n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=-+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦28(41)nn π=-．故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求．5 把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数．解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得4240002211()d (1)d (3)d 0422a f x x x x x x ==-+-=⎰⎰⎰．当1n ≥时，402()cos d 44n n x a f x xπ=⎰240211(1)cos d (3)cos d 2424n x n x x x x x ππ=-+-⎰⎰220022(1)sin sin d 44n x n x x x n n ππππ=-+⎰ 442222(3)sin sind 44n xn xx x n n ππππ--⎰22208cos 4n xn ππ=42228cos 4n xn ππ+ 2282cos 1(1)2n n n ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭220421642n k n k n π≠-⎧⎪=⎨=-⎪⎩ 所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos (21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求．6 把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 解：函数()f x ，(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得11200022()d 2(1)d 3a f x x x x ==-=⎰⎰．当1n ≥时，1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰1120022(1)sin (1)sin d x n x x n x xn n ππππ=---⎰11222222(1)cos cos d x n x n x xn n ππππ=--⎰224n π=．0n b =．所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑．令0x =得22114113n n π∞==+∑，即22116n n π∞==∑．7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ()arcsin(sin )f x x =；解：函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得 0,0,1,2,n a n ==．02arcsin(sin )sin d n b x nx x ππ=⎰20222sin d ()sin d x nx x x nx x ππππππ=+-⎰⎰22022cos cos d x nx nx xn n ππππ-=+⎰2222()cos cos d x nx nx x n n πππππππ--+-+⎰204cos d nx x n ππ=⎰24sin 2n n ππ=2024(1)21k n kn k n π=⎧⎪=⎨-=-⎪⎩所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑，x R ∈．(2) ()arcsin(cos )f x x =．解：函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得002arcsin(cos )d 0a x x ππ==⎰，当1n ≥时，2arcsin(cos )cos d n a x nx x ππ=⎰02cos d 2x nx x πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰22sin sin d nx nx xn n ππππ=+⎰202421n k n k n π=⎧⎪=⎨=-⎪⎩．0,1,2,n b n ==．所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n x n π∞===--∑，x R ∈．8 试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑； (2) 211sin(21)n n bn x∞-=-∑．解：(1)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下：()02()()2f x x x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下：()0ˆ()(2)2x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨-<≤⎩．其图象如下． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰．2()cos d n a f x nx xππ=⎰20222()cos d ()cos d f x nx x x nx xπππππ=+⎰⎰ 202()[cos cos()]d f x nx n nx xπππ=--⎰204()cos d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． (2) 先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下． ()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下．()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨--<≤⎩．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又)x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰02()sin d n b f x nx xππ=⎰20222()sin d ()sin d f x nx x f x nx xπππππ=+⎰⎰202()[sin sin()]d f x nx n nx xπππ=+-⎰204()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑．§15. 3 收敛定理的证明一 基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++≤∑⎰,其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数． 推论1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则lim ()cos d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰, lim ()sin d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰．推论2 设()f x 在[,]ππ-上可积，则01lim ()sin d 02n f x n x x π→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰，1lim ()sin d 02n f x n x x π-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰．定理2 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积，则()1()cos sin 2nn k k k a S x a kx b kx ==++∑1sin 12()d 2sin2n tf x t tt πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰，此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则(0)(0)l i m ()022n n f x f x S x →∞-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，定理4 如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．定理5 如果()f x 在[,]ππ-按段单调，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．二 习题解答1 设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x ．证：由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数，且光滑，故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．1()sin d n b f x nx xπππ-'=⎰1()sin ()cos d |nnf x nx f x nx x na ππππππ--'=-=-⎰于是2222111122n nn n nn a b a b a b n n n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211()2n n a b n ''=++．由贝塞尔不等式得221()n nn a b ∞=''+∑收敛，又211n n∞=∑收敛，从而()12n n n a a b ∞=++∑收敛， 故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛．2 设f 为[],ππ-上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则成立贝塞尔(Parseval)等式()2 2220 11()d 2n n n a f x x a b πππ∞-==++∑⎰， 这里,n n a b 为f 的傅里叶系数．证：设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑，因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ，所以0,0N ε∀>∃>，,[,]()m m N x f x S ππε∍>∀∈-⇒-<“”．于是2(),()m m f x S f x S ε--<．而(),()(),()2(),,m m m m m f x S f x S f x f x f x S S S --=-+()()22 2222200 11()d 222m m n n n n n n a a f x x a b a b ππππππ-==⎡⎤=-+++++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰()2 2221()d 2mn n n a f x x a b ππππ-==--+∑⎰．所以m N >时，()222221()d 2mn n n a f x x a b ππππε-=--+<∑⎰，故 ()2222011()d 2n n n a a b f x xπππ∞-=++=∑⎰．3 由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．(1) 22118(21)n n π∞==-∑；(2) 22116n n π∞==∑； (3) 44190n π=∑． 解：(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，由§1习题3得1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑．由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰，即22118(21)n n π∞==-∑． (2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-，由§1习题1 (1)得11sin ()2(1),(,)n n nxf x x n ππ∞+==-∈-∑．由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰，故22116n n π∞==∑．(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-，由§1习题1 (2)得2221cos 4(1),(,)3nn xx x n πππ∞==+-∈-∑．由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰，故44190n π=∑．4 证明：若,f g 均为[,]ππ-上可积函数，且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ，则。
傅里叶级数与函数的展开
傅里叶级数与函数的展开傅里叶级数是一种将周期性函数分解为无穷多个正弦和余弦函数的方法。
通过将一个周期为T的函数f(x)表示为正弦和余弦函数的线性组合，可以将复杂的函数形式简化为一系列简单的分量。
傅里叶级数展开不仅在数学领域有广泛的应用，而且在工程、物理、计算机科学等多个领域也有重要的实际应用。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念和数学原理，以及展开函数的方法和应用。
一、傅里叶级数的基本概念和数学原理傅里叶级数的基本概念是将周期为T的连续函数f(x)表示为以基频率为1/T的正弦和余弦函数的线性组合。
对于一个周期为T的函数f(x)，它的傅里叶级数展开可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中a0/2是恒定分量，表示函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn为傅里叶系数，ω是角频率，n取正整数表示谐波的阶数。
傅里叶级数的数学原理是基于正交函数的性质。
正交函数是指在某个区间上内积为0的函数，而正弦和余弦函数是正交函数的典型例子。
通过选择合适的基函数，可以将任意函数展开成正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数展开的实质是通过构造适当的线性组合，使得每个正弦和余弦函数与原函数在一个周期内的匹配程度最好。
二、展开函数的方法展开函数的方法有两种：傅里叶级数展开和傅里叶变换。
傅里叶级数展开适用于周期性函数，而傅里叶变换适用于任意函数。
下面将分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 傅里叶级数展开对于一个周期为T的函数f(x)，傅里叶级数展开的步骤如下：步骤1：求解恒定分量a0/2，可以通过计算函数f(x)在一个周期内的平均值得到。
步骤2：求解傅里叶系数an和bn，可以通过计算函数f(x)与正弦和余弦函数的内积得到。
具体计算公式为：an = (2/T) * ∫[0,T] f(x)*cos(nωx) dxbn = (2/T) * ∫[0,T] f(x)*sin(nωx) dx其中∫[a,b]表示对区间[a,b]的积分。
周期函数的傅里叶级数展开式
An a b
2 n
2 n
an n arctan bn
基波(fundamental wave)或一次谐波(first harmonic)：
A1 sin( 1t 1 )
n次谐波(n-th harmonic)：
An sin( n1t n )
(n 1)
二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波(higher order harmonic)
§81 周期函数的傅里叶级数展开式
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … )
满足狄里赫利条件(Dirichlet condition)
傅里叶级数：
a0 f ( t ) (an cosn1t bn sinn1t ) 2 n 1
傅里叶系数：
a0 1 2 T
t 0 T t0
f ( t ) dt
2 an T
2 bn T
t 0 T t0
t 0 T t0
f ( t ) cos n 1t dt
f ( t ) sinn 1t dt
频率相同的余弦项与正弦项合并为一个正弦函数
an cosn1t bn sinn1t An sin( n1t n )
n 1
An sin( n1t n ) ( n 1,3,5,)
n 1
值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性， 仅决定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为 奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和 时间起点的选择有关。 返回
t0 T t0
T 2 0
f ( t ) sin ( n 1 t ) dt
将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...
习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式):(1))2121(1)(2<≤--=x x x f ;解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 而 611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1c o s )1(2/12dx x n x a n π221212)1(2c o s )1(4ππn x d x n x n +-=-=⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以∑∞=+-+=12122c o s )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=1211210 101 )(x x x x x f ;解 21)(12121111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--12121111c o s c o s c o s c o s )(xd x n x d x n x d x n x x d x n x f a n ππππ2s i n 2])1(1[122πππn n n n +--= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12c o s 2+-= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).而在(-∞, +∞)上f (x )的间断点为x =2k , 212+k , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅,故 }s i n 2c o s21c o s ]2s i n 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n nπππππππ-++--+-=∑∞=(x ≠2k , 212+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(3)⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(3133330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3c o s 3c o s )12([313c o s )(313333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),]3s i n 3s i n )12([313s i n )(313333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),而在(-∞, +∞)上, f (x )的间断点为 x =3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅, 故}3s i n 6)1(3c o s ])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n xn n x n n x f ππππ,(x ≠3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解 正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),2s i n 4]s i n )(s i n [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )故 ∑∞==122s i n2s i n 14)(n lx n n nlx f πππ, x ∈[0, l ].余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l=-+=⎰⎰,⎰⎰-+=ln dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ])1(12c o s 2[222n n n l ---=ππ(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ) b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), 故l x n n n l l x f n n πππc o s ])1(12c o s 2[124)(122∑∞=---+=, x ∈[0, l ].(2)f (x )=x 2(0≤x ≤2).解 正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),]1)1[()(168)1(2sin 223122--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2s i n }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2s i n }]1)1[(2)1({81231xn n n n n n πππ∑∞=+--+-=, x ∈[0, 2).余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为3822220==⎰dx x a222)(16)1(2cos 22ππn dx x n x a n n -==⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),故2c o s)(16)1(34)(12xn n x f n n ππ∑∞=-+=2c o s)1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=, x ∈[0, 2].。
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数(完整版)实用资料
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1) (),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<<(2)2(),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<< （3）,0(),(,0,0).,0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩解 （1）()i()f x 是x ππ-<<的奇函数，所以0,1,2,n a n ==1022cos (1)2sin ,n n n b x nxdx n nπππ---===⎰因()f x 在x ππ-<<连续且光滑，所以11(1)2sin ,(,).n n x nx x n ππ-∞=-=∈-∑()ii 20012,a xdx πππ==⎰201cos 0,n a x nxdx ππ==⎰2012sin(),n b x nx dx nππ==-⎰因()f x 在(0,2)π上光滑且连续，所以1sin 2,(0,2).n nxx x n ππ∞==-∈∑（2） (i) 2()f x x =是(,)ππ-上的偶函数,故0,1,2,;n b n ==2012()3a f x dx ππππ-==⎰,222311sin 2cos 2sin ()cos cos n x nx nx nx nxf x nxdx x nxdx nπππ+-==⎰⎰ 223221sin 2cos 2sin 4(1)4()cos cos (1)n n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n n n πππππππ--+--====≥⎰ 又2()f x x =在(,)ππ-上光滑，故22211(1)4,(,).3n nn x x x n πππ∞=-=+∈-∑ (ii) 222200118()3a f x dx x dx πππππ===⎰⎰，22223201sin 2cos 2sin 4()cos (1),n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n ππππ+-===≥⎰ 222231cos 2cos 2sin 4()sin (1).n n x nx nx nx nx b f x nxdx n n n πππππ-++===-≥⎰又2()f x x =在(0,2)π上光滑，故22214cos 4(sin ),(0,2).3n nx x nx x n n πππ∞==+-∈∑(3)00011()[](),2a f x dx axdx bxdxb a πππππππ--==+=-⎰⎰⎰002211()cos [cos cos ]2(), (cos 1)0, n a f x nxdx ax nxdx bx nxdx a b n b a n n n n πππππππππ--==+-⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数10011(1)()sin [sin sin ]cos (),n n a b b f x nxdx ax nxdx bx nxdx n a b n nπππππππ+--+-==+=-=+⎰⎰⎰所以1112()1(1)()cos(21)()sin ,4(21)n n n b a a b f x n x a b nx n n ππ+∞∞==---=+-++-∑∑(,).x ππ∈- 2. 把函数,04(),04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出：11111157111317=-+-+-+解：()f x 是(,)ππ-上的奇函数,故0,0,1,2,n a n ==.1,211cos ()sin sin 220,n n n b f x nxdx nx nn n ππππ⎧-⎪====⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数. 又()f x 在(,0)(0,)ππ-连续,故1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑.当23x π=时, 12sin (21)23()3214n n f n πππ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-∑.当213n k -=时,2sin (21)0,3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2131n k -=+时,2sin (21)32n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2132n k -=+时,2sin (21)3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦所以,11111(1)4257111317π=-+-+-+,即111111657111317=-+-+-+.3．设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=。
周期不为2π的周期函数转换为傅里叶级数
设脉冲信号函数f (x)是周期为4的周期函数， 它在一个周期的表达式为
0, f ( x) = k ,
−2 ≤ x < 0 0≤ x<2
如何将f (x)展开成傅里叶级数？
二、 概念和公式的引出
周期为2l的函数的傅里叶级数展开与其 系数的计算公式如下：
a0 ∞ nπx nπx f ( x) = + ∑ (an cos + bn sin ), 2 k =1 l l
0, f ( x) = k ,
−2≤ x < 0 0≤ x<2
(k > 0)
如右图所示，把它展开成 傅里叶级数。
解 按周期为2l的函数展开成傅立叶级数的计算 公式，这时l=2，有
2 1 2 1 2 1 0 a0 = ∫ f ( x)dx = (∫ 0dx + ∫ kdx)= ( kx ) 0 = k 0 2 2 −2 2 −2
函数展开成傅里叶级数
(1)n1 n
sin
nx
( x ; x π, 3π, ) .
级数的和函数的图形如下：
y
3π 2π π O π 2π 3π x
π
如果函数 f (x) 仅仅只在 π, π 上有定义,并且满足收敛
定理的条件, f (x) 仍可以展开成傅里叶级数.方法:
1、周期延拓 在[π, π) 或 (π, π] 外补充函数 f (x) 的定义，
π
( n 0,1, 2, 3, ) ,
函数 f (x) 的傅里叶系数.
若三角级数
a0 2
n 1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
中的系数是
函数 f (x) 的傅里叶系数，这样的三角级数叫做函数
f (x) 的傅里叶级数.
函数 f (x) 定义在 , 上,周期为 2π ，在一个周期
0
x sin nxdx
π
1 π
x cos nx n
sin nx 0 n2 π
cos nπ n
(1)n1
(n 1, 2,3,
).
n
f (x) 的傅里叶级数展开式为
f
(x)
π 4
2 π
k 1
1 (2k 1)2
cos(2k
1) x
n1
x, 0,
π x 0, 0 x π.
将 f (x) 展开成
傅里叶级数,并作出级数的和函数的图形.
解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点 x (2k 1)π
处间断,其中 k 0, 1, 2, ,在其他点处连续.
函数展开成傅里叶级数
定理(收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
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(1) sin nx d x 1 sin nxdx 0
0
1
0
1
2 1 cos nx 1 cos nx 1 cos n n 0 n n 4 , 当n 1 , 3 , 5 , 2 1 (1) n n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , )
π π a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx π 2 π π k 1 k 1 π
a0 2 , 2
1 π 则 a0 f ( x )dx . π π
( 2) 求 an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
(二)、三角函数系的正交性
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1 cos nx d x 1 sin nx d x 0 cos k x cos nx dx
函数展开成傅里叶级数
函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是数学中一种十分重要的展开形式，它将一个周期函数展开成一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这种展开形式可以用来描述周期性变化的信号，并且在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
我们来看一下什么是周期函数。
周期函数是指在某个固定的时间间隔内，函数的值以相同的方式重复出现。
比如，正弦函数sin(x)就是一个周期函数，它的周期是2π。
周期函数在自然界中很常见，比如物体的振动、电流的变化等等。
傅里叶级数的基本思想是，通过将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，来近似表示原函数。
这个线性组合的系数就是傅里叶级数的系数，它们代表了原函数中各个频率分量的贡献程度。
具体来说，假设我们有一个周期为T的函数f(x)，它可以表示为如下的傅里叶级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0/2是直流分量，an和bn是傅里叶系数，n是频率的倍数，ω0=2π/T是角频率。
傅里叶级数的展开系数可以通过求取函数f(x)与正弦余弦函数的内积来计算。
具体地，对于每一个正整数n，我们可以分别求取函数f(x)与cos(nω0x)和sin(nω0x)的内积来计算an和bn的值。
这个内积的计算可以通过积分来进行。
假设f(x)在一个周期内的积分为A，那么an和bn的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * cos(nω0x) dxbn = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * sin(nω0x) dx这样，我们就可以通过计算这些积分来得到傅里叶系数，从而得到函数f(x)的傅里叶级数展开。
傅里叶级数的展开形式非常有用，因为它可以将一个复杂的周期函数简化成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。
这使得我们可以更好地理解函数的周期性特征，并且可以方便地对函数进行分析和处理。
在信号处理中，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。
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习题11-8
1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式):
(1))2
12
1(1)(2<≤--=x x x f ;
解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 而 611)1(4)1(2/1221
0221
020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,
⎰-=21022/1c o s )1(2/12dx x n x a n π
2
2
121
2
)1(2c o s )1(4π
πn x d x n x n +-=
-=⎰
(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以
∑
∞
=+-+=1
2
1
2
2c o s )1(1
1211)(n n x n n x f ππ
, x ∈(-∞, +∞).
(2)⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧
<≤-<≤<≤-=1
21
12
1
0 101 )(x x x x x f ;
解 2
1)(1
2
121
1
11
-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,
⎰⎰
⎰⎰-+==--1
2
121
1
11
c o s c o s c o s c o s )(x
d x n x d x n x d x n x x d x n x f a n ππππ
2
s i n 2])1(1[122πππ
n n n n +--= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰
⎰⎰-+==--1
2
1210
1
1
1
sin sin sin sin )(ππππ
π
ππ
n n n 12
c o s 2+-= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).
而在(-∞, +∞)上f (x )的间断点为x =2k , 2
12+k , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅,
故 }s i n 2c o s
21c o s ]2s i n 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n n
πππππππ
-++--+-=∑∞
=
(x ≠2k , 2
12+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).
(3)⎩⎨
⎧<≤<≤-+=3
0 1 03 12)(x x x x f .
解 1])12([3
1)(3
13
33
30-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,
]3
c o s 3
c o s )12([3
13c o s )(3
13
3
3
3
⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ
])1(1[62
2
n n --=
π
(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),
]3
s i n 3
s i n )12([3
13s i n )(3
13
3
33
⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππ
n n )1(6-=π
(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),
而在(-∞, +∞)上, f (x )的间断点为 x =3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅, 故
}3
s i n 6)1(3c o s ])1(1[6{21)(1122∑∞
=+-+--+-=n n n x
n n x n n x f ππππ,
(x ≠3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).
2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:
(1)⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤-<≤=l
x x l l x x x f 2l
20 )(; 解 正弦级数:
对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
2s i n 4]s i n )(s i n [22
22
121
0π
πππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )
故 ∑∞
==
1
2
2s i n
2s i n 14)(n l
x n n n
l
x f ππ
π, x ∈[0, l ].
余弦级数:
对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为
2])([22
121
00l dx x l xdx l a l
=-+=⎰⎰,
⎰⎰-+=l
n dx l x n x l dx l x n x l a 2
1210]cos )(cos [2ππ
])1(12
c o s 2[22
2n n n l ---=ππ
(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ) b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), 故
l x n n n l l x f n n πππ
c o s ])1(12c o s 2[124)(1
2
2
∑∞
=---+=, x ∈[0, l ].
(2)f (x )=x 2(0≤x ≤2).
解 正弦级数:
对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
]1)1[()
(168)1(2sin 2
2312
2--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,
故 2
s i n }]1)1[()(168)1{()(1
31x n n n x f n n n πππ∑∞
=+--+-=
2s i n }]1)1[(2)1({8
1231x
n n n n n n πππ∑∞
=+--+-=, x ∈[0, 2).
余弦级数:
对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为
3
82
22
20==⎰dx x a
2
2
2)
(16
)1(2cos 2
2ππn dx x n x a n n -==⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
故
2
c o s
)(16)1(34)(12x
n n x f n n ππ∑∞
=-+=
2
c o s
)1(16341
2
2x n n n n ππ
∑
∞
=-+=, x ∈[0, 2].。