量纲分析简介

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i 1
非平凡解： Ci不全部为零。
N
Ci • j,i 0; j 1, , K
i1
N个变量Ci , K个线性无关方程
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• 无量纲量的构造
N
Ci • j,i 0; j 1, , K
i1
根据线性方程组的矩阵理论，
此方程组有N K个独立的 非平凡解，故可构造N K个 独立的无量纲量。
K
Ai Bj ;i j,i 1, , N
j 1
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• 无量纲量的构造
N
Ai Ci N K
Bj
j ,i
Ci
i 1
i1 j1
K
N
B Ci j ,i j i1
j 1
无量纲
N
Ci
j ,i
0
i 1
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• 无量纲量的构造
无量纲
N
Ci j,i
A Bk k
k
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• 量纲分析的实质
量纲分析的实质： 1）只有同类量才能比较大小； 2）物理规律与度量单位无关。
物理规律的数学方程应 当 只用无量纲量来表示。
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• 无源自文库纲量的构造
问题涉及N个量{Ai ;i 1, , N}, 基本量的数目为K， 选取{Bj ; j 1, , K}为基本量。
量纲分析简介
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• 单位与量纲
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• 单位与量纲
量纲：物理量的种类属性。
单位：与某个物理量具 有相同量纲、 用以度量该物理量的标 准量。
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• 有量纲量与无量纲量
有量纲量：量值取决于单位的量。 无量纲量：量值与单位无关的量。 量纲相同的两个量之比是无量纲量。
有关的物理量:T , m, g,l,最大
基本量: 长度, 质量,时间
可构造2个无量纲量:
最大和
T lg
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• 例：单摆
T lg
f (最大) T
f (最大 )
l g
小摆角情况： f (最大 ) f (0)
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• 例：无重力下球形液滴的振动周期
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• 定理
定理：若现象涉及N个物理量， 问题的基本量的数目是K个，则可 构造N K个无量纲量，该现象的 规律由这N K个无量纲量之间 的函数关系表示。
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• 例：单摆
l
最大
mg 单摆周期 T T (m, g, l,最大 )
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• 例：单摆
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• 基本量与导出量
基本量：一组物理量， 每个的量纲都
不能表示为其余各量的 量纲的组合。
导出量：量纲由基本量导出。
国际单位制的基本量：
长度, 质量,时间,电流强度, 热力学温度, 发光强度, 物质的量。
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• 基本量与导出量
任何一个物理量的量纲都可以 用基本量的量纲式表示，并且 这种表示是唯一确定的。
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• 例：无重力下球形液滴的振动周期
振动周期T 半径R
表面张力系数 密度
4 3 1个无量纲量
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• 例：无重力下球形液滴的振动周期
振动周期T
半径R
表面张力系数 密度
T
常数
T0 (R, , )
T0 (R, , )
R3
1/ 2
1/ 2
R 1/ 2 3/ 2
T 1/ 2 R 1/ 2 3/ 2
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