材料力学_陈振中_习题第十一章静不定结构

第十一章 静不定结构

11.3求图示静不定梁的两端反力。设固定端沿梁轴线的反力可以省略。 解：（a ）问题是二次静不定的。由对称性2

ql B A R R ==（向上）。研究图示同解梁。变形

条件 06)

2/(2)2/)(2/(2

/3

2

=-+=

EI

l q EI l ql EI l m A A θ

解得 12ql

A m -=（逆），由对称性12

ql

B M =

11.4a 图示结构中，梁为16号工字梁，拉杆的截面为圆形，d =10mm,两者均为A3钢，E=200GN/m 2.试求梁及拉杆内的最大正应力。

解：问题是一次静不定的。去B 变形谐调条件为B B f δ=。 即 -EI

l N B δ3+EA

l N EI ql B 14

8=

解得

()()()N N ql B 3

400010/5000101138105.14324531⨯==⨯⨯⨯⨯+π 梁的M 图如图。 k N m M 0.22max =

kN N N B BC 5.14== 于是，杆内 210105.144max /1563

3m MN A

N BC ==

=

⨯⨯⨯πσ 梁内

210141100.22max /1563

6max m MN z

W M ==

=

⨯⨯σ

11.4作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的ＥI 皆相等。

解：（a ）问题是一次静不定的。去C 处多余约束，静定基如图。变形谐调条件0=c f 。

11)(Rcx x M = （0≤1x ≤α）,22)(Px Rca x M -= （0≤2x ≤α）

⎰⎰

⎰

=-=

-+=

=∂∂l

a

a

EI Pa EI

Rca EI

EI

Rc

M EI

M

c adx Px Rca dx x Rcx dx f 0

23422111110)()(3

3

x 1

解得 P R C 8

3

=（向上） Pa a R M C B 83

==, a a C B P P a R M 85=+-= ，M 图如图示。

（c ）问题是二次静不定的。去A 点两个位移约束，静定基如图。变形谐调条件为

0=A u ， 0=A v 。 11)(x R x M X = （0<1x <4）,

2

222

2

)(qx Y X x R a R x M -+= （0<2x <7 ） ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-+=-+==-+=-++=⎰⎰⎰+b EI qb EI b R EI ab R qx Y X EI A EI qab EI ab R EI b a a R a b qx Y X EI X EI A Y X Y X dx x x R a R v adx

x R a R dx x x R u 083222221

623)3(0022

2111110)(0

)()(4322

23

2222 化简，代入数据⎩⎨⎧=+=+21

228

712

712

343800Y X Y X R R R R

解得 kN R X 318.2-=， kN R Y 49.12=。 m kN a R M X B ⋅-==27.9 kN b R a R M qb Y X C -=-

+=8.192

2极值点 m x q

R M Y

123.3==

，.23.102

2

kNm x R M M qx M Y E =-

=, M 图如图所示。

11.7为改善桥式起重机大梁的刚度和强度，在大梁的下方增加预应力拉杆CD 。梁的计算简图如图b 所示。由于CC ’和DD ’两杆甚短，且刚度较大，其变形可以不。试求拉杆CD 因吊重P 而增加的内力。 解：由静平衡得2

P

B A R R =

-将拉杆CD 切开如图，设在P 作用下切口沿1x 方向位移为P

1∆在单位力11=X 作用下切口沿1x 方向位移为11δ，则在P 及1X 联合作用下切口沿1x 方向位移011111=∆+=∆P X δ

P

M 图

9.27

x )

(x 1 1N ( M(x )

在P 作用下梁轴力及拉杆CD 轴力0==CD AB N N

[]

{}EI

L Pe L P L PL EI EA C EA C EI

P c N N M 8)2(4)(221

42121113121111

1002 ----=++⨯⨯-⨯⨯-=++=

∆ωωω

)()(1

2

1

11

1

11A A

I E EA EA

EI e e ++

=+

+

⨯=

δ代入①得[

]0)(8)

(11

1212

=+++--EI

ZL e P A A E x

得)(8)2()(11

112

1

1128)

(A

A I E A A I E E EI ZL Pe I L Pe X ++-++=

=

-

11.9 图示静不定刚架的EI 为常量。试用卡氏定理或莫尔积分，直接求出铰支座的反力。 解：问题是二次静不定的。去C 处两个位移我余约束，得静定基如图所示。 变形谐调条件为0=c u ，0=c v 。

用卡氏定理 2/2/)(2

111l R qx x R x M H v --= （0≤x 1

10

211

221)2/)(2/(2

1dx l l R x R dx x R u H qx V EI H EI c {⎰

=--=

1

112110

)2/(2

1

dx x l R x R v

H qx v EI

c

l/2

化简 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-8

41

3112

41247ql H V ql V H R R R R 解得 10

ql

H R =

（向左）， ql R v 20

9

=（向上）

11.10 链条的一环如图所示。试求环内最大弯矩。

R V