行列式的性质及应用

题目 (1)

摘要 (1)

正文 (1)

一.问题的提出 (1)

二.排列 (1)

三.行列式 (1)

四.n阶行列式具有的性质 (2)

五.行列式的计算 (3)

(一)数字型行列式的计算 (3)

(二)行列式的概念与性质的例题 (6)

(三)抽象行列式的计算 (6)

(四)含参数行列式的计算 (7)

A 的证明 (7)

(五)关于0

(六)特殊行列式的解法 (8)

(七)拉普拉斯定理 (9)

参考文献 (10)

致谢 (11)

外文页 (12)

行列式的性质及计算

王峰

摘 要 在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算,应当在理解n 阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n 阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。

关键词 三角化法 递推法 数学归纳法 公式法

一.问题的提出

在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如

①11112212112222

a x a x

b a x a x b +=⎧⎨+=⎩

②11112211121222221122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩

对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。

二.排列

定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为

(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅= （n 的阶乘个）。

定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它

们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性

134782695

解 逆序数为10，是偶排列。

三．行列式：

定义（设为n 阶）：n 阶行列式

是取自不同行不同列的n 个元素的乘

积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ 表示排列 12n j j j 的

12121211

12121222()121

2(1)n n

n

n

n j j j j j nj j j j n n nn

a a a a a a A a a a a a a τ=

=

-∑

逆序数。

四． n 阶行列式具有的性质

1．性质（1）行列互换，行列式不变。即

111211121121222122221

212n

n n n n n nn

n

n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a =

。

2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即

11121121

2

n i i in n n nn

a a a ka ka ka a a a

=k 1112112

1

2n i i in n n nn

a a a a a a a a a

特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。

3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即

111211112111121112212

1

2

1

2

1212n n n n n n n

n n nn

n n nn n n nn

a a a a a a a a a

b

c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+

。

4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。

5．性质（5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即

111211112112121212

1

2

120n n i i in

i i in i i in

i i in

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==

。 6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即

11121111211112

111

22

12121

2

12

12

121

21

2

1112

112n n n

i k i k in kn i i in k k kn k k kn k k kn k k kn n n nn

n n nn

n n nn

n

i i i a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+=

1212

n k k kn n n nn

a a a a a a

7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即

11

1211112

11112

112112*********

121

212

1

2

11121n

n n

i i in i k i k in kn i k i k in kn k k kn k k kn i i in n n nn

n n nn

n n nn

n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++==---=

11

121121212121

2

1

2

n

k k kn

k k kn i i in i i in n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =----

五.行列式的计算

(一)数字型行列式的计算(四种方法) 1.三角化法