行列式的性质及应用

合集下载

简述行列式的性质

简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。

一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。

对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。

对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。

对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。

对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。

二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。

2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。

3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。

4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。

5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

§5 行列式的性质

= a11a22 ⋯ann .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
对角行列式
λ1 λ2
⋱
= λ1λ2 ⋯λn ;
λn
反对角行列式
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n ( n −1 ) 2
λ1λ2 ⋯λn .
λn
一、行列式的性质
a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 记 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 T D= D = ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann a1n a2n
＝
1 5 3 6
＋
2 5 4 6
D 注： =
பைடு நூலகம்
1+ 2
2+3
3＋4 4 + 5
≠
1 2 3 4
＋
2 3 4 5
性质６把行列式的某一列（性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列( 加到另一列对应的元素上去，同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．列式不变．例如
3 1 1 1 3 1 如D = 1 1 3 1 1 1
1 1 1 3
1 1 又D = 1
-1 1 x -1 -1 x +1 -1 x -1 1 -1 -1 x +1 -1 1
(P12例8)
例3 D =
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d

§5 行列式的性质

(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 2 3
例如 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1 2
性质5 (拆分) 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 例如 2 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni
证明
D D1 D2 .
1 2
0
0
3 4 0 0 如D = ? 0 0 -1 3 0 0 5 1
a 0 0 b 0 a b 0 例5 D = 0 c d 0 c 0 0 d
看P15例11
三、小结
行列式的6个性质
同样成立). 计算行列式常用方法 (1) 利用定义;
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
= a4
看P13例9
例4
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
a11
n
a12 a22
a1n a2 n
a21 an1
an 2 ann
性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零；行列式的某一行（列）元素全为零，则行列式为零．
1 2 3 例如 4 5 6 2 4 6 1 2 3
1 24 1
2 5 2

行列式在中学数学中的应用

行列式在中学数学中的应用行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种对于方阵的特殊函数，用于描述和计算矩阵的各种性质。

在中学数学中，我们常常遇到一些看似与行列式无关的问题，但实际上，巧妙地运用行列式能够简化解题过程，提高解题效率。

本文将介绍行列式的基本概念及其在中学数学中的应用，旨在帮助读者更好地理解行列式的意义和作用。

在介绍行列式的应用之前，我们需要先了解一下行列式的定义和性质。

行列式是由矩阵的行和列构成的，表示为一个标量，记作D。

对于一个n阶方阵A，其行列式可以定义为：D = a11 * a22 *... * ann其中aij表示矩阵A中的元素。

行列式具有以下基本性质：行列式与矩阵的阶数有关，即D(A) = D(n)；行列式是唯一确定的，即对于同一个矩阵A，其行列式D(A)是唯一值；行列式的值与矩阵中的元素有关，元素不同则行列式的值也不同。

在中学数学中，行列式可以应用于解线性方程组、求逆矩阵、证明定理等方面。

以下是一些具体应用示例：线性方程组是中学数学中的重要内容，使用行列式可以简化解题过程。

例如，对于以下线性方程组：a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c.. anx + bny = cn我们可以将其系数构成一个n阶矩阵A，将其右侧的常数项构成一个列向量b，则该方程组可以表示为Ax = b。

使用克莱姆法则，我们可以求解出x的值，其中行列式D(A)起到了关键作用。

在中学数学中，我们学习了逆矩阵的概念及其求法。

对于一个n阶方阵A，其逆矩阵A-1满足AA-1 = I，其中I是单位矩阵。

利用行列式，我们可以快速求解逆矩阵。

由D(A) = 0以及D(I) = 1，可得D(AA-1) = D(A)D(A-1) = 0，因此有D(A-1) = 1/D(A)。

在一些定理的证明过程中，行列式也能够发挥重要作用。

例如，对于一个n阶方阵A，如果D(A) ≠ 0，则A可逆。

这个定理的证明就涉及到行列式。

考研数学线代1行列式的性质及应用

第一讲：行列式排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。

n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅=（n 的阶乘个）。

定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。

一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解逆序数为10，是偶排列。

行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的逆序数。

n 阶行列式具有的性质1．性质（1）行列互换，行列式不变。

即111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a=。

2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212n i i in n n nna aa ka ka kaa a a =k 111211212n i i in n n nna a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。

3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。

即1212121112121222()1212(1)n n nnn j j j j j nj j j j n n nna a a a a a A a a a a a a τ==-∑11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+。

§2 行列式的性质与计算

1 2 n

j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn

p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零．比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0

行列式性质及其应用

行列式性质及其应用摘要：在高等院校的基础课线性代数中，行列式的概念与性质以及计算，在线性代数这门课程中占有非常重要的地位，其中行列式性质是首先必须要掌握的重要理论，因为它是计算行列式的关键，如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算出行列式的值是学习线性代数的难点之一．本文简述行列式的概念与性质，着重介绍如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算行列式。

关键词：行列式性质；线性代数；行列式的计算1.行列式的概念定义：称为阶行列式。

其中，等式右端的表示对所有的级排列求和. 称为阶行列式的一般项. 阶行列式有时也简记为det或 .注: (1) 阶行列式是项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2) 的符号为 (不算元素本身所带的符号);(3) 特别，一阶行列式务必不要与绝对值记号相混淆.（4）根据定义求阶行列式，显然十分麻烦，但对于低阶（一般）行列式或零元较多的阶行列式，根据定义计算有时还是较方便的。

比如上三角形的阶行列式的值就等于主对角线元素的乘积。

二、行列式的性质我们将学习的行列式的性质简单的归纳如下：性质1（转置）行列式与它的转置行列式相等，即．注：这个性质告诉我们，行列式的行与列处在相同的地位，即对于行列式的行成立的性质，对行列式的列也成立。

这样，下面我们一般只讨论对行列式的行成立的性质性质2（零值）( 1) 若行列式中有一行元素全为零(简称为零行)，则行列式的值为零;( 2) 若行列式中有两行对应元素相同，则行列式为零;( 3) 若行列式中有两行对应元素成比例，则行列式为零．注：性质2简称为零值性质，它告诉我们，如果行列式有零行，则值为零。

如果有两行相同，或成比例，则值为零。

性质3：（初等变换）( 1)（互换）交换行列式的两行，行列式的值变号；( 2)（提取）行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面，即将行列式的某行所有元素都乘以常数k，等于将k乘以该行列式;( 3)（倍加）将行列式某一行的倍数加到另一行上去，行列式的值不变．注：因为性质3的互换、提取、倍加三条类似于矩阵的初等变换，所以，我们称之为行列式的初等变换性质。

行列式的定义和性质及若干应用论文

行列式及其在初等数学中的应用【摘要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。

1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。

例1 nn D n 000000100200100计算行列式　. 解：　n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n 1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。

例 2 一个n 阶行列式ij n a D 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij 则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：由　ji ij a a 知ii ii a a ，即n i a ii ,2,1,0 .故行列式可表示为000321323132231211312n nnn nn n a a a a a a a a a a a a D , 由行列式的性质'A A ，000)1(0000321323132231211312321323132231211312n n n n nn n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n D 1 .为奇数时，得当n ,　n n D D 因而得0 n D . 2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用设含有n 个变元的1 n 个一次线性方程组为.0,0,0,122,111,122221*********n n n n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1 n , 不失一般性, 假定不等于零的1 n 阶行列式是nn n n nn a a a a a a a a a A ,13,12,122322113121. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得11A x d x i i),,3,2(n i （2）式中i d 是行列式1d 的第1 i 列元素换以1,12111,,, n a a a 所成的行列式. 也就是nn i n n i n n n ni i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312. 把i d 中第1 i 列移到第一列, 得nn i n i n n n ni i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(. 上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故i i i A d 2)1( .代入（2）式, 得112)1(A x A x i i i , 或111)1(A x A x i i i . 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,, 成比例, 式中i A ),,2,1(n i 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab .解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b 原式()()()abc bc c b ab a c ab b a 111111c a a abc bcacabb c b111010bc a bcaabc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a()()()()abc ab bc b a ac bc c a()()()()abc b a c b a c a b c a()()()abc a b c a b c .例3.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd .解: 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab22()(2)cd abab cd bcbc cd ab cd bc1(2)2()1cd abab cd bc bc cd2(2)ab cd bc .3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知0 c b a , 求证abc c b a 3333.证明：令abc c b a D 3333, 则0000321acb b ac acbb ac c b a c b a c b a acbb a cc b a D r r r . 命题得证.例3.2.2已知,1,1,1 ay cx cy bx by ax 求证222c b a ca bc ab .证明：令)(222c b a ca bc ab D , 则0000111111213c ba cb a cy bx cbay cx a c by ax b a c ba cb a D yc x c c命题得证.例3.2.3 已知0 c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333.证明：令)(333333c a b c a b a c c b b a D , 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca abD cb ac a c b c a c b c()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c()()()()b c a c a b c a c而0 c b a , 则0 D , 命题得证.4．行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR 的面积S 是11121332211y x y x y x (3) 的绝对值.证明: 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：2121(,,0)PQ x x y y u u u r , 3131(,,0)PR x x y y u u u r则21213131(0,0,)x x y y PQ PR x x y y u u u r u u u rPQR 面积为1sin ,2S PQ PR PQ PR u u ur u u u r u u u r u u u r=12PQ PR u u ur u u ur2121313112x x y y x x y y11212131311102x y x x y y x x y y11223311121x y x y x y . 4.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为01112211 y xy x y x . （4）证明: 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为212212y y y y x x x x .将上式展开并化简, 得021122121 y x y x y x y x xy xy此式可进一步变形为0111122112121y x y x x x yy y x此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 4.1.3 应用举例例 :若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y , 22(,)x y , 求直线方程. 解: 设直线l 的方程为0 c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有.0,0,02211c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即01112211 y x y x y x . 则所求直线l 的方程为0112211 y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x , 平面S 过C ,, , 则平面S 的方程为01111333222111 z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x , 圆O 过C ,, , 则圆O 的方程为0111133232322222211212122 y x y x y x y x y x y x y xy x . 4.2 行列式在平面几何中的一些应用4.2.1 三线共点平面内三条互不平行的直线.0,0,0333322221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是0333222111 c b a c b a c b a . 4.2.2 三点共线平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是0111332211y x y x y x . 4.2.3 应用举例例: 平面上给出三条不重合的直线:00333322221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若0333222111 c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明：设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为1112223330a b c a b c , 将第1列乘上1x , 第2列乘上1y , 全加到第3列上去, 可得：1111111222121233313130a b a x b y c a b a x b y c a b a x b y c . 因为P 在1L 与2L 上, 所以111110a x b y c , 且112121231313220()a b a x b y c a x b y c a b 11223331313000a b a b a b a x b y c若1111122220a b a bL a b a b 与2L 平行, 若P c y b x a 031313也在3L 上321,,L L L 交于一点,无论何种情形, 都有321,,L L L 不组成三角形.这说明由0333222111c b a c b a c b a , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.3 行列式在三维空间中的应用4.3.1 平面组设由n 个平面方程构成的方程组为.0,0,022221111n n n n d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （5）若方程组(5)中的z y x ,,各代以t zt y t x ,,, 并用)0( t t 乘以(5)式两端: 得.0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a n n n n （6）),,,(t z y x 叫做点),,(z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵n n n c b a c b a c b a A 222111 及n nn n d c b a d c b a d c b a B22221111的秩)(A r 及)(B r 有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当0)()( B r A r , 则方程组中各系数全是0.(Ⅱ)当,1)(,0)( B r A r 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解0 t .当0 t ,t x ,t y , t z将趋近于无穷大（假设t 趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n 个平面在无穷远重合.(Ⅲ)当1)()( B r A r , 则在矩阵A 及B 中所有二阶行列式全是0. 所以我们有),,2,1,(.n j i d d c c b b a a ji j i j i j i以上等式表示n 个平面相合成一个平面01111 d z c y b x a .(Ⅳ)当,2)(,1)( B r A r 方程的系数中至少有两组数如ii i i d c b a ,,,及jj j j d c b a ,,,满足以下关系式.jij i j i j i d d c c b b a a上式表示平面.0,0 j j j j i i i i d z c y b x a d z c y b x a平行但不相合. 也就是平面组中n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.(Ⅴ),2)(,2)( B r A r 则矩阵A 及B 中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设2211 b a b a .我们必可求得ii i n m l ,,适合下式：),,4,3(.0,0,0,021212121n i d n d m d l c n c m c l b n b m b l a n a m a l i i i i i i i i i i i i i i i i式中0 i n , 否则行列式2211b a b a将等于0. 所以)()(122221111d z c y b x a m d z c y b x a l n t d z c y b x a i i ii i i i.以上等式表示平面).,,4,3(,0n i d z c y b x a i i i i经过直线,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a就是n 个平面全经过一条直线.（Ⅵ）当,3)(,2)( B r A r 并假定02211 b a b a方程组的系数至少有一组ii i i d c b a ,,,适合以下关系：0,0222111222111 iiiiiic b a c b a c b a c b a c b a c b a （i 是n ,,4,3 中的一数）以上第一个等式表示组中第i 平面i i i i d z c y b x a ,与直线,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a平行. 又因第二个不等式表示第i 平面不经过上述直线, 所以n 个平面有平行的交线.例如由方程组,0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a i i i i解得333222111333222111333222111333222111c b a c b a c b a t b a d b a d b a d z a d c a d c a d c y d c b d c b d c b x.因为行列式033222111 c b ac b a c b a .而其它三个行列式不全是零故0 t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.（Ⅶ）当3)(,3)( B r A r , 并假定0333222111 c b a c b a c b a .在这种情况下, 平面,0,0,0333322221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a相交于一点. 又因0333322221111 ii i i d c b a d c b a d c b a d c b a ,（n i ,,5,4 ）故平面i i i i d z c y b x a经过前面三个平面的交点, 就是n 个平面有一个交点, 不在无穷远.（Ⅷ）当4)(,3)( B r A r , 则矩阵B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设333322221111 iiiid c b a d c b a d c b a d c b a .（i 是n ,,5,4 中的一数）以上不等式表示平面i i i i d z c y b x a ,不经过前三个平面的交点. 4.3.2 点组设有n 个点, 它们的齐次坐标各是n nnnt z y x t z y x t z y x 22221111此点组的相关位置与坐标做成的矩阵n nn nt z y x t z y x t z y x X 22221111的秩r 有关系. 分别叙述如下:（Ⅰ）当0 r , 则n 个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.（Ⅱ）当1 r , 假定01 x , 很容易推得(因为X 中所有的二阶行列式等于0)),,4,3,2(.1111n i t t z z y y x x ii i i上式表示n 个点全重合. （Ⅲ）当2 r , 并假设02211 y x y x ,因X 中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得ii i n m l ,,适合以下方程：),,,4,3(,0,0,0,021212121n i t n t m t l z n z m z l y n y m y l x n x m x l i i i i i i i i i i i i i i i i式中i n 不等于0, 否则行列式2121y y x x将等于0. 故可求得).(1),(1),(1),(121212121t m t l n t z m z l n z y m y l n y x m x l n x i i ii i i ii i i ii i i ii假设点),,,(1111t z y x 及),,,(2222t z y x 的连线为,0,022221111t D z C y B x A t D z C y B x A把),,,(i i i i t z y x 的等值代入上式, 易验证点),,,(i i i i t z y x 在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i 可以是n ,,4,3,2 , 所以n 个点全在一直线上. （Ⅳ）当3 r , 并假定,0333222111 z y x z y x z y xX 中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得i i i i k n m l ,,,适合下式：,0,0,0,0321321321321i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t k t n t m t l z k z n z m z l y k y n y m y l x k x n x m x l式中i k 不等于0, 否则行列式 .0333222111 z y x z y x z y x 从以上方程组求得：),(1),(1321321y n y m y l k y x n x m x l k x i i i ii i i i ii ).(1),(1321321t n t m t l k t z n z m z l k z i i i ii i i i ii设点),,,(),,,,(22221111t z y x t z y x 及),,,(3333t z y x 所确定的平面是.0 Dt Cz By Ax把ii i i t z y x ,,,的等值代入上式, 甚易验明点),,,(i i i i t z y x 在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i 可以是n ,,6,5,4 , 所以n 个点共在一个平面上. （Ⅴ）当4 r , X 中至少有一个四阶行列式如0333322221111 ii i i t z y x t z y x t z y x t z y x .i 是n ,,7,6,5,4 中任一个数. 以上不等式表示点),,,(i i i i t z y x 不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点),,,(i i i i t z y x 在平面0 Dt Cz By Ax上, 则以下关系成立.,0,0,0,0333322221111i i i i Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax也就是行列式.0333322221111 iiiit z y x t z y x t z y x t z y x这与假设矛盾.x 5．三阶行列式在高中几何中的应用5.1三阶行列式的定义：符号111213212223112233122331313233133221132231122133113223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．5.2利用三阶行列式求法向量5.2.1．定义：设平面内不共线的两个的向量的坐标为1111()e x y z u r，，，2222()e x y z u u r，，，则行列式111222i j kx y z x y z r r r叫平面的一个法向量，记为n r．例：直棱柱111ABC A B C 中，112AB AC AA， 90BAC ，D 为棱1B B 的中点．求平面ADC 的一个法向量．如图，建立空间直角坐标系A xyz ，则1C(000)A ，，， 1(002)A ，，，(010)B ，，，1(012)B ，，，(100)C ，，，1(102)C ，，，(011)D ，，，取面ADC 内两个不共线向量1)，(100)AC u u u r，，，则平面ADC 的一个法向量为：y 2 1l 011(011)100i j kj k r r r r r，，； 5.2.2．应用举例（1）证明线面平行：平面的一个非零法向量是n r，平面外一条直线l 的一个非零方向向量是v r，则//l 平面的充要条件是0n v r r ．n r（2）求二面角：面 I 面l ，面的一个非零法向量是n r，面的一个非零法向量是m u r ，则二面角l 的大小为：arccos m n u r r，或arccos m n u r r ，．【例1】正三棱柱111ABC A B C ，底面边长为2，D 是AC 的中点．（I ）证明：1//AB 平面1DBC ； C的余弦值．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz ，则：(000)C ，，1(00C ，， (020)B ，，，1(02B ，，10)A ，，，11A ，，10)22D ，，，则n r3(0)22DB u u u r ，，，11(22DC u u u u r ，平面1DBC 的一个法向量为：3322244212i j n k jr r r r r r即32n r ，，1(1AB u u u r，13(1(22933022AB n u u u r r ，1AB n u u u r r，所以1//AB 平面1DBC ．（Ⅱ）面1DBC 的一个法向量为：3(22n r ，，面1BC C 的一个法向量为：0002i j m r r u r，(00)m ur ，，则3|cos |4||||m n m n m n u r ru r r u r r ，，因此二面角1D BC C 的余弦值为34．（3）求异面直线的公共法向量：a 与b 是异面直线，向量1111()v x y z u r ，，是直线a 的方向向量，2222()v x y z u u r，，是直线b 的方向向量，则异面直线a 与bx111222i j k n x y z x y z r r r r法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a 和b ，且他们的一个法向量为n r ，因为直线a n r ，记垂足为M ，b n r ，记垂足为N ，则线段MN 的长就是异面直线a 和b 的距离，如图，记法向量n r 与BA uu u r的夹角为，则0|||cos |||MN NA u u u u ru u u u r ，即0|||||cos |MN NA u u u u r u u u u r ， 00|||||||cos |||n n MN e NA e NA u u u u r u u r u u u u r u u r u u u u r ，故0||||||||||n NA n AB MN n n r u u u u r r u u u ru u u u r r r ．其中A 、B 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上．【例2】已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1．求异面直线1DA 与AC 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则(000)D ，，， (100)A ，，，1(101)A ，，，(010)C ，，，1(101)DA u u u u r ，，，(110)AC u u u r，，于是异面直线1DA 与AC 的一个法向量为101(111)110i j kn j k i r rr rr r r，，分别在异面直线1DA 与AC 各取一点A 、D ，异面直线1DA 与AC 的距离为z||3||n ADdnr u u u rr，，，，5.2.3利用三阶行列式求平面方程定理：过三点111()A x y z，，、222()B x y z，，、333()C x y z，，的平面的方程为：111212121313131x x y y z zx x y y z zx x y y z z．定理：若平面的方程为：0Ax By Cz D，则平面外一点000()P x y z，，到平面的距离为：d ．【例3】已知正方形ABCD的边长为4，CG 平面ABCD，2CG ，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面EFG的距离．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz，则：(040)B，，，(240)E，，，(420)F，，，(002)G，，，则平面EFG 的方程为：0022040020402002x y z即：88481632440x y z z y x亦即：360x y z所以(040)B，，到平面EFG的距离为：d ．利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体1111ABCD A B C D的一个顶点A引出的三边所对应的向量111()AB x y zu u u r，，、222()AD x y zu u u r，，、1333()AA x y zu u u r，，，则平行六面体的体积为：A 1111222333x y z V x y z x y z 平行六面体．说明：定理中的三向量只要是平行六面体的同一顶点引出的都可以，如BA uu u r、BC uuu r 、1BB u u u r等都行．定理：记四面体S ABC 的一个定点S 引出的三边所对应的向量坐标分别为：111()SA x y z u u r ，，、222()SB x y z u u r ，，、333()SC x y z u u u r ，，，则四面体S ABC 的体积为：11122233316S ABCx y z V x y z x y z ．说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如BA uu u r 、BC uuu r 、1BB u u u r等都行．2.事实上，1112223331122x y z V V x y z x y z 三棱柱平行六面体，所以1136V V V三棱锥三棱柱平行六面体．【例4】已知正四棱柱1111ABCD A B C D ，点E 是棱1DD 上的中点，截面EAC 与底面ABCD 所成的角为4，2AB ．求三棱锥1B EAC 的体积．解：记BD 与AC 交点为O ，由正方形ABCD 性质知O 是AC 中点且 BO AC ，E 是棱1DD上的点，易知EA EC ，则EO AC，所以EOA 4EOA，所以DE DO，1DD ，建立如图所示的空间直角坐标系：D xyz ，则：(00E ，，(200)A ，，，1(22B ，，(020)C ，，，其中向量1(02B A u u u r ，，，1(20BC u u u r ，，， 1(220)B E u u u r ，，，于是三棱锥1B EAC 的体积为：1021120|66322B EAC V ．说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和致谢本文是在张红老师的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.[2]高杨芝. 行列式浅说[M]. 江苏: 江苏人民出版社, 1958.[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.[5]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.[6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 上海中学数学, 2004(3), 40-41.[7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28.[8]彭丽清. 行列式的应用[J]. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.The determinant and its application in ElementaryMathematicsXuLijiao 2011031142 Advisor:ZhangHongMajor in Pure and Applied MathematicsCollege of Mathematics and Computer Science【Abstrac 】 Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following four aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations;examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. in the final, using the three order determinant in senior middle school mathematics.【Keywords】:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group。

行列式的性质及其运用

1111
解： D 1
3
1
1 r1 r2 r3 r4
1
3
1
11 6
3
1
r2 r1
1 6 0 r3 r1
2
0
0
1131
1131
1 1 3 1 r4 r1 0 0 2 0
1113
1 1 1 3 1113
0002
6 23 48 ．
1.2 行列式性质的运用
例题
ab
c
d
例 5 计算行列式 D a a b a b c
0 0 a 2a b
0 0 3a 7a 3b
00 0
a
1.2 行列式性质的运用
例题
方法二：
ab
c
a ab abc D
a 2a b 3a 2b c
d abcd 4a 3b 2c d
ab c
d
0 a r4 r3
r3 r2
ab
abc
r2 r1 0 a 2a b 3a 2b c
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 D
a j1 a j2
ain
ai1 ka j1 ai2 ka j2
ri krj
a jn
a j1
aj2
ain ka jn a jn
an1 an2
ann
an1
an2
ann
1.1 行列式的性质
性质
性质 2、性质 3 和性质 5 常用来计算行列式，它们的标记如下． ① 互换 i,j 两行（列）： ri rj (ci c j ) ． ② 第 i 行（列）乘以某非零常数 k： kri (kci ) ． ③ 将第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列）上： ri krj (ci kcj ) ．

行列式的相关性质与应用

二、行列式的性质掌握丁行列式的定义，我们根据它的定义可以得出它的性质，掌握了它的性质，更方便有效地进行行列式的计算．下边就是它的基本性质．其中用Ｄ来表示行列式．性质１：行列式和它的转置行列式相等．换句话说，也就是行列式的行和列互换后，行列式是不变的．可以表示为：（ＤＴ）Ｔ＝Ｄ．
行列式的变换是十分灵活的，巧妙的变换要根据它的形式多观察，把它变成熟悉的形式或者变成符合性质的形式．所以说一个行列式的计算得到的结果虽然一样，但是它们中间的变换形式可能不一样．
四、总结
行列式作为最基本的数学工具之一，都有着非常重要的应用．
【参考文献】［１］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》北京：高等教育出版社（第二版），１９８７．［２］熊廷煌．高等代数简明教程．武汉：湖北教育出版社（第一版），１９８７．［３］刘金山，吴明芬．线性代数解题方法．广州：华南理工大学出版社，２０００（６）．［４］张禾瑞，郝炳新．高等代数．北京：高等教育出版社（第四版），１９９９．［５］王品超．高等代数新办法．济南：山东教育出版社，１９８９．［６］许甫华，张贤科．高等代数解题方法．清华大学出版社，２００１（１）．［７］钱吉森．高等代数题解精粹．北京：中央民族大学出版社，２００２（１），［８］宣飞红．线性代数．厦门大学出版社，２００３（１）．［９］钱芳华，黎有高，ｌ、淑云，邓培民．高等代数习题课教材．桂林：广西师范大学出版社，１９９７（１）．［１０］李启文，谢季坚．线性代数理论与解题方法．长沙：湖南大学出版社，２００１．［１１］许仲．线性代数典型题分析解集．西安：西北工业大学出版社，２０００．［１２］刘先忠，杨明．线性代数．北京：高等教育出版社．［１３］潘宴仲，李洪军．高等代数与几何．西安：西安交通大学出版社，１９９９（１）．［１４］王萼芳．高等代数教程习题集．北京：清华大学出版社，１９９７（１）．［１５］张远达．线性代数原理．上海：上海教育出版社，

矩阵的行列式

矩阵的行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在代数方程、矩阵计算和向量空间等方面都有广泛应用。

本文将介绍行列式的定义、性质和应用，并且重点解释行列式的计算方法。

一、行列式的定义行列式是一个方块矩阵中用一对竖线“| |”括起来的一个特殊代数表达式，可表示为：│a11 a12 … a1n││a21 a22 … a2n││ … … … … ││an1 an2 … ann│行列式的值可以用“det(A)”来表示，其中“A”为一个n阶方阵，即A 是一个n×n的矩阵，而“n”为行列式的阶数。

二、行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1. 行对换的性质：如果行列式中交换了两行的位置，行列式的值会变号。

2. 列对换的性质：如果行列式中交换了两列的位置，行列式的值会变号。

3. 行成比例的性质：如果行列式中有两行成比例，行列式的值为零。

4. 元素乘法的性质：如果行列式中某一行的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。

5. 行列式具有可加性：如果行列式中某一行的每个元素都加上对应的另一行的元素，行列式的值保持不变。

这些性质是行列式计算的基础，可以通过这些性质来简化行列式的计算过程。

三、行列式的计算方法行列式的计算主要有两种方法：代数余子式法和按行（列）展开法。

1. 代数余子式法：代数余子式法是行列式计算的常用方法。

它通过选定行或列，将行列式展开为该行（列）上的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即：det(A) = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n其中，A11、A12、…、A1n就是a11、a12、…、a1n的代数余子式。

2. 按行（列）展开法：按行（列）展开法是行列式计算的另一种方法。

它通过选定一行（列），展开为该行（列）上的每个元素与对应的代数余子式乘积之和的形式，即：det(A) = a11C11 + a12C12 + … + a1nC1n其中，C11、C12、…、C1n就是a11、a12、…、a1n的代数余子式。

高考数学知识点解析行列式的性质与计算

高考数学知识点解析行列式的性质与计算高考数学知识点解析：行列式的性质与计算在高考数学中，行列式是一个重要的知识点，它在解决线性方程组、向量的叉积等问题中发挥着关键作用。

接下来，咱们就一起深入探讨行列式的性质与计算方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、行列式的定义首先，咱们来了解一下行列式的定义。

对于一个二阶行列式，它的形式是：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼对于一个三阶行列式，其形式为：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼从二阶和三阶行列式的定义，我们可以推广到更高阶的行列式。

二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。

所谓转置行列式，就是将原行列式的行与列互换得到的新行列式。

例如，二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼它的转置行列式为：＼＼begin{vmatrix}a ＆ c ＼＼b ＆ d＼end{vmatrix}＼这两个行列式的值是相等的。

2、互换行列式的两行（列），行列式的值变号。

比如对于二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼如果将第一行和第二行互换，得到：＼＼begin{vmatrix}c ＆d ＼＼a ＆ b＼end{vmatrix}＼那么这个新行列式的值是原行列式值的相反数。

行列式性质及其计算方法

行列式性质及其计算方法
目录页
Contents Page
1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的符号变化。以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时，需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。

本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。

对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。

（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。

（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。

（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。

二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。

如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。

利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。

2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。

对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。

3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。

矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。

行列式性质详解及应用

行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。

一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。

设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。

根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。

若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。

二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。

该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。

2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。

通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。

三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。

1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。

对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。

2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。

行列式的性质及若干应用

行列式的性质及若干应用作者：唐楠许峰周继振来源：《科技视界》2016年第21期【摘要】行列式理论是高等数学理论的重要分支，也是现代物理和工程实践中不可缺少的数学工具。

它不仅能够运用在线性方程组的求解问题，还可以将其应用于解析几何、向量空间等高等数学的各个领域。

本文介绍行列式理论的若干应用，使得读者能够对行列式这部分知识有更全面的了解，并增加对行列式的学习兴趣。

【关键词】行列式；线性方程组；应用0 引言行列式理论是高等数学[1]的重要内容，同时也是现代物理及其他一些工程实践中不可缺少的工具。

本文将通过典型的应用实例，利用行列式理论进行分析求解。

这种结合应用背景的理论学习，有助于培养学生学习高等数学的学习兴趣，并进一步加深对于行列式理论的理解。

行列式的研究源于线性方程组[2-4]的求解，莱布尼兹、马克劳林都在求解线性方程组的过程中使用了行列式理论。

1545年，意大利数学家卡尔达诺在求解两个线性方程组时，采用了程序表的计算规则。

1748年，马克劳林在他的《代数论著》中利用行列式的方法给出了含两个、三个和四个未知量的解。

1750年，克莱姆在他的代表作《线性代数分析导言》中给出了利用线性方程组的系数来确定方程组解的表达式。

18世纪，作为数学的一个研究领域，行列式理论被建立。

随后，以柯西为代表的数学家不断发展并完善了一般行列式理论。

1 行列式的几何应用【参考文献】[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988.[2]彭丽清.行列式的应用[J].忻州师范学院学报，2005，21（5）：40-41.[3]张锐，杨海成.泰勒公式在不等式和.行列式中的应用[J].数学教学研究，2009，28（10）：53-56.[4]周革生.三角形面积公式的行列式形式及应用[J].中国科技信息，2006（13）：271-271.[责任编辑：王伟平]。

行列式及其应用

行列式及其应用注意本文参照 M I T MIT MIT公开课, 可以看成是笔记。

什么是行列式一个矩阵通常包括很多信息，比如是否可逆等等。

而对于每一个方阵，都有一个数能够表示关于矩阵的很多信息，这个数就叫做行列式。

（本文从性质入手讲，推导并不严谨，不过这些性质都是经过严格证明了的）行列式也可以看做是从矩阵到实数的一个映射。

要注意的是只有方阵才有行列式行列式的表示法若 A A A为方阵，则其行列式可表示为： d e t ( A ) 或∣ A ∣ det(A)或\\ \left| A \right| det(A)或∣A∣行列式的基本性质行列式的基本性质有3条，并且从这三条基本性质能够推出其他性质以及行列式的表达式。

下面给出三条基本性质。

① 单位矩阵的行列式为 1 ①单位矩阵的行列式为1 ①单位矩阵的行列式为1对于这条性质没有过多的解释，有点类似于定义，将单位矩阵映射成为实数中的1，也符合简便性。

② 交换矩阵中的任意两行，所得的矩阵的行列式符号变号②交换矩阵中的任意两行，所得的矩阵的行列式符号变号②交换矩阵中的任意两行，所得的矩阵的行列式符号变号第二条性质表明，由单位矩阵的行列式可以推出所有置换矩阵的行列式，如果交换两行再交换回来，符号不变，与行列式的唯一性不矛盾。

这里其实隐含了置换矩阵的一个性质，即同一个矩阵经过奇数次行交换所得到的矩阵与经过偶数次行交换所得到的矩阵必然不同。

因此，行列式的符号是惟一的，行列式也是唯一的, 保证了唯一性。

③ 对于矩阵某一行的线性组合可以反映到行列式的线性组合上③对于矩阵某一行的线性组合可以反映到行列式的线性组合上③对于矩阵某一行的线性组合可以反映到行列式的线性组合上线性组合这一概念贯穿线性代数的整个学习过程，行列式也不例外。

对于上述性质，用语言表述不太直观，下面举例：∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ = ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \left| \begin{matrix} a & b\\ c & d\end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} \ a ^ {'} & \ b ^ {'}\\ c & d \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} a + a ^ {'} & b + b ^ {'}\\ c & d\end{matrix}\right| \\ \ \\ \left| \begin{matrix} ta & tb \\ c & d \end{matrix}\right| = t \left|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right|∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a′c b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣a+a′cb+b′d∣∣∣∣∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣第三个性质所表明的线性组合一次只能用于一行，不能多行一起使用，也就是说两个矩阵的行列式之和不等于两个矩阵之和的行列式。