周期信号的傅里叶变换
第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析
第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
傅里叶算式
傅里叶算式
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它可以将任意复杂的周期信号分解成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加，从而揭示信号的频谱特性。
傅里叶变换的数学表达式为：
F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt
其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，e^(-jωt)为复指数函数，ω为角频率。
傅里叶变换的逆变换为：
f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω / (2π)
其中，f(t)表示时域信号，F(ω)表示频域信号，e^(jωt)为复指数函数，ω为角频率。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域，可以分析信号的频谱特性，提取信号的频域信息，实现信号的滤波、压缩、调制等操作。
傅里叶变换也有多种变体，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等，用于处理离散信号或高效计算傅里叶变换。
周期信号和抽样信号的傅里叶变换
p样 yn à(nEcɡTsh)ōSua(
ns
2
),
Fs ()
E
Ts
n Sa( ns
n
2
) F (
ns )
f (t)
1 F ()
o p(t) E
τ
o
Ts
fs (t)
o
Ts
t 相t 卷 乘积
t
mom
t
p()
E s
2
s o
s
Fs () E
Ts
2
s
om s
第十五页，共27页。
③冲激抽样(chōu yànɡ)(理想抽样
第二十三页，共27页。
3.频域抽样(chōu yànɡ)及频域抽样(chōu yànɡ)定理
①频域抽样 (chōu yànɡ)
连续 F ()
f (t) 单脉冲
()抽样
重复?
离散 F1()
f1(t) 周期性脉冲(màichōn
F1() F () () 其中 () ( n1)
n
F [ (t nT1)] 1 ( n1)
Sa( 2
)
2
G
()
Sa(100t)
2
200
G200 ()
m 100, 2m 200
f (t) 1
F ()
2 200
o 2
200
t
100 o 100 (m )
第二十一页，共27页。
解： ②
F
[Sa(100t) cos(1000t)]
1[
2 100
G200 (
1000)
100
G200 (
----时域抽样定理
第十三页，共27页。
周期信号的傅立叶变换
H ( j) YZS ( j) F( j)
H ( j) 是线性系统的频率传输函数，有时也叫系统频响 函数。它的定义是零状态响应傅氏变换与激励傅氏变换 之比。
X
2、H ( j)与 h(t)的关系
Q yzs (t) f (t)*h(t) 令 f (t) (t) 则yzs (t) h(t)
F [h(t)] Y(j) H(j)F(j) H(j)
抽样原理图：
f (t)
fs (t ) A/D
f (n)
量化编码
周期 信号
p( t )
需解决的问题
:
fs (t) Fs j与F
由fs t能否恢复f
j 的关系
t
X
二．抽样信号的频谱（单位冲激序列抽样）
f(t)
f(t)
连续信号
1
F j
1
F jft
抽样信号
fs t
o
ot
t
p(t) f(tp)(f(t)t)
F n e jn1t
n
FT j F fT t
F
n
•
F
n
e jn1t
n
•
F
nF
e jn1t
•
F n 2π n1 n
•
2π F n n1 n
X
几点认识
•
FT j 2π F n n1
1 fTt的频谱由冲激序列组成;
(2)这些冲激函数位于谐波频率处: n1 谐波频率
mommoommoomPPPmmmmjjj
(1p(()(11((11tp)))))(t)EEEE
o
ooo TTTSSS o TffSSSfTS(((ttS))t) fS(ftS)(t)
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
第4章_6周期信号的傅立叶变换
4.13bc 4.207
4.14e
4.23
4.41 4.45 4.48
上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函
数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信
号的各谐波角频率 n(n 0,1,2, )处，其强度
为各虚指数分量相应幅度 Fn 的 2 倍。
例4.6-1 求周期性矩形脉冲信号 PT (t) 的频谱函数。
pT t
1
解：
Fn
Sa( n
2
)
(
n)
n
2 s in(n
2 n
)
(
n)
ℱ[pT(t)]
-Ω 0 Ω
图 4.6-2 周期矩形脉冲的傅立叶变换 T 4
例4.6-2 求周期性单位冲激函数序列 T (t)的频谱。
T (t) (t mT ) ( m为整数) n T(t )
周期冲激序列的傅立叶变换
可见：时域中周期为 T 的单位冲激序列，在频域中是
周期为 ，强度为
的冲激序列。其中
2
T
方法二
设周期信号 fT (t)，从该信号中截取一个周期信号，
令其为 f0 (t) 。
fT (t) f0(t)T (t)
fT (t ) F0 ( j ) ( )
2
T
F0( jn) (
n
n)
Fn
1 T
F0 (
j ) n
可见，周期信号的傅里叶系数等于F0 ( j ) 在n处
的值乘上 1 。 T
傅里叶变换的许多性质也可适用于傅里叶级数，这提 供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。
傅里叶变换概念
傅里叶变换概念傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学技术，用于将一个函数从时域（时间域）表示转换为频域表示。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，具有重要的理论和实际意义。
傅里叶变换的概念可以通过将一个信号分解成多个正弦波和余弦波的叠加来解释。
任何复杂的周期信号都可以被视为多个不同频率的正弦波的叠加。
傅里叶变换就是将这个信号从时域分解成它不同频率的正弦波和余弦波分量的过程。
傅里叶变换的数学表示如下：F（ω）= ∫ f(t) * e^(-jωt) dt其中，F（ω）表示频域函数，f(t)表示时域函数，e^(-jωt)是欧拉公式中的复指数函数，ω是变量频率。
根据傅里叶变换的定义，我们可以将一个复杂的时域信号分解成多个频率分量，并且这些分量对应于频域函数F（ω）的不同频率部分。
傅里叶变换提供了一种量化信号在频域上的能力，揭示了信号的频谱特征，可以从中提取出信号中的频率、幅度、相位等信息。
傅里叶变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶变换常用于滤波、降噪、频谱分析等任务。
例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，通过分析频谱可以得知声音中包含的不同音调的频率和强度。
在图像处理领域，傅里叶变换可以提供图像的频域信息，用于图像增强、去噪、压缩等任务。
通过傅里叶变换，我们可以将一个图像分解成不同空间频率上的分量，从而更好地理解图像的特征和结构。
在通信系统中，傅里叶变换常用于信号调制、解调、信道估计等任务，以提高通信信号的传输质量和效率。
此外，傅里叶变换还有着重要的数学和物理意义。
傅里叶变换将一个函数从时域转换到频域，可视化了函数在不同频率上的分布情况。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数中的周期性模式展示出来，并且可以通过重建时域函数来还原原始信号。
为了实现傅里叶变换，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过利用对称性质和迭代计算来大大加快傅里叶变换的计算速度，使得实时处理和大规模数据分析成为可能。
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
周期信号的傅立叶变换
又F 1[s
()]
1
s
n
(t
nTs )
fs (t)
f
(t) * 1
s
(t
n
nTs )
1
s
n
f
(t) *
(t
nTs )
1
s n f (t nTs )
由上式可知，假如有限时间信号f (t)的频谱函数
F ( j)在频域中被间隔为s的冲激序列采样,则被取样 后频谱Fs ( j)所对应的时域信号fs (t)以Ts为周期的序列.
举例4.6.2 已知周期为T的单位冲激函数序列T (t)
T (t)= (t mT ) m
式中m为整数。求其傅里叶变换?
解：根据前面的结论
F[ fT (t)] 2 Fn ( n) n
Fn ？
1
Fn T
T
2 T
fT (t)e jnt dt，n 0，1， 2，....
2
Fn
1 T
无失真传输频率特性
设输入信号为f (t），那么经过无失真传输后，输出信号 y(t) Kf (t td )
Y ( j) Ke jtd F ( j)
系统的频率响应
H ( j) Ke jtd
其幅频特性和相频特性分别为
H ( j) | K () td
结论
为使信号无失真传输，对频率响应函数提出的要 求，即在全部频带内，系统地幅频特性应为一常 数，而相频特性应为通过原点的直线。
(
1
j 1)
Y ( j)
1
1 1
( j 2)( j 1) ( j 1) j 2
取傅立叶反变换
y(t) (et e2t ) (t)
例4.7 1某LTI系统的幅频响应|H(j)|和相频特性如图，
3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析
2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1
2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最 强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立 叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。 由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为 了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几 次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1
jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t
F0 Fn e
n1
jn1t
Fn e
n1
又有
F0 Fn e jn1t
n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究， 并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在 他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时， 成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他 的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基 本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也 不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条 件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表 示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献， 然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大 程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶 级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果 比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来分析各种信号的频率成分。
下面是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：正弦信号是基本的周期信号，其傅里叶变换是两个峰值的Delta函数，分别位于正负频率轴上。
峰值的高度与正弦信号的振幅成正比。
2. 方波信号：方波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。
每个Delta函数的幅值与方波的斜率成正比。
3. 三角波信号：三角波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其奇倍频的频率轴上。
每个Delta函数的幅值与三角波的斜率成正比，而且随着频率的增加而逐渐减小。
4. 窗函数信号：窗函数信号可以用来限制一个信号的频率范围。
常见的窗函数信号有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
它们的傅里叶变换都是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。
不同的窗函数有不同的幅值分布。
5. 常见滤波器的傅里叶变换：滤波器可以用来去除一个信号的某些频率成分。
常见的滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。
它们的傅里叶变换都有不同的频率响应曲线，用来描述信号在不同频率上的响应情况。
以上是一些常见信号的傅里叶变换，它们可以用来分析和处理各
种实际的信号。
在实际应用中，傅里叶变换经常和其它技术一起使用，如滤波、采样、量化等，以实现更复杂的信号处理任务。
傅里叶变换常用公式推导
傅里叶变换常用公式推导傅里叶变换是一种将信号从时域（时序）转换到频域（频率）的数学技术。
它将任意周期函数或有限时间信号分解成一组不同频率的正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的常用公式包括（但不限于）傅里叶级数、傅里叶变换、傅里叶逆变换等。
傅里叶级数是将周期函数分解成一组正弦和余弦函数的和。
设周期为T的连续信号x(t)，其傅里叶级数公式为：x(t) = Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]= a₀/2 + Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]其中，a₀、aₙ、bₙ为系数，通过以下推导可得出它们的表达式：1.对于周期为T的函数x(t)，其傅里叶级数展开为：x(t) = A₀ + Σ[Aₙcos(nω₀t + φₙ)]其中，A₀、Aₙ、φₙ是系数。
2.将x(t)在一个周期内积分得到：∫[0,T]x(t)dt = A₀T + Σ[Aₙ/Tsin(φₙ)]3.由于x(t)在一个周期内的平方和等于其乘以自身的积分值，即：∫[0,T]，x(t)，²dt = ，A₀，²T + Σ[(Aₙ/T)²]4. 根据Dirichlet条件，对于x(t)在一个周期内可积，即：∫[0,T]，x(t)，²dt < ∞5.根据以上两个公式，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞由于正弦函数和余弦函数的平方和有界，所以以上公式成立。
6.将傅里叶级数展开的表达式带入公式(5)，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞7.假设T=2π/ω₀，则ω₀T=2π，进一步有：(A₀(2π/ω₀))²+Σ[(Aₙ/(2π/ω₀))²]<∞8.将公式(7)整理，可得：(1/2π)Σ[A₀²+(2π/ω₀)²(Aₙ²+Bₙ²)]<∞根据以上推导，我们可以求解出傅里叶级数中的系数a₀、aₙ、bₙ。
周期信号的傅里叶变换
1 Xn T
n T1 2 T 1 1 2 jn 1 t X e n
x( t )e jn 1t dt
4
单周期信号的傅里叶变换
X d ( ) xd ( t )e j tdt Nhomakorabeadt
1 Xn T1
T1 2 T 1 2
x( t )e jn 1t dt
x(t)
xs(t) x( t ) T xs(t)
0
t
0
T
2T
3T
t
11
调制信号x(t)
抽样
xs(t)
数字信号 量化编码 载波信号
这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期 信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频 点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。 这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特 例。 三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号 xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：
X ( )
n
0
T1
t
jn1t e
X
n
2 ( n 1 )
n 1 E 1 Sa ( n 1 ) 2 n
9
x0(t) E
E
X0() 2/
0
t E/T1 x(t) E Xn
2/
2.3.4 周期信号的傅里叶变换
前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是 周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱 密度函数的概念。 本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数 ,即 求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶 变换的特例的结论。 周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在 频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。 因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不 同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先 求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再 求任意周期信号的傅里叶变换。
周期信号的傅里叶变换
Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。
第三章傅里叶变换90页PPT
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
1、 三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f(t)a0 (anco0tsbnsin 0t)正、余弦级数形式 n 1
或
f(t)c 0 cncon s0t(n) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
1 例 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，
而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称
为有效频带。
有效频带的带宽——
以下 图 为 或 例 f
点规之定间为的由频坐带标。原点 至2 频谱包络第一f个 零1
B Bf
Fn
A
F0 T
图 中 T14
6
4
2
1 2 1
2
4
6
n1
有效频带：
sg (t)n 2 U (t)1
U(t ) 1
j
1 2
sgn(t )
1
-1
t
sg (t)n 2 j1 2 j2
2．尺度压、扩性质
若 f (t )F() 则 f (at )1 F( )
aa 式中，a为正实常数。
例：
A f (t ) AG(t )
0
|t |
2
|t |
2
F ( )ASa ()
Fn
1
T1
T1
2 T1
2
f(t)ejn1tdt
A1
T1 jn
ejn1t
1
2
2
T121 A22Aeejn2j1n1-tdetj
n1T1
2j
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周期信号虽然不满足绝对可积的条件， 但其傅里叶变换是存在的。 由于周期信号频谱是 离散的， 所以它的傅里叶变换必然也是离散的， 而且是由一系列冲激信号组成。 下面先 讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
f (t) e j 0t
如图 3-26 所示。
f (t)
(1)
．．．
．．．
2T T 0 T 2T
t
(a)
．．．
1 Fn T
．．．
2
02
(b)
图 3 - 26
四、一般周期信号的傅里叶变换
．．．
2
(c)
F(j ) ()
02
对于一般周期为 T 的周期信号 f (t) ，其指数型傅里叶级数展开式为
f (t)
Fn e jn t
n
式中
记为 PT (t) 。试求其频谱函数。
f (t) PT (t)
1
t T / 2 0 /2 T
(a)
F(j )
(b) 图 3 - 27
解 由式 (3-26) 可知，图 3-27(a) 所示周期性矩形脉冲信号 f (t ) PT (t ) 的傅里叶系数
为
n
Fn
Sa( )
T
2
代入式 (3-82) ，得
F( j )
数 Fn 的 2 倍。
可见， 周期信号的频谱是离散的。 但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念， 因此周期
信号 f (t ) 的傅里叶变换 F ( j ) 不同于傅里叶系数 Fn ，它不是有限值，而是冲激函数，
这表明在无穷小的频带范围 ( 即谐频点 ) 取得了无穷大的频谱值。
例 3-20 图 3-27(a) 表示一周期为 T ，脉冲宽度为 ，幅度为 1 的周期性矩形脉冲信号，
e e j 0t
j 0t
f1 (t ) cos 0t 2
t
其频谱函数
1
F1 ( j )
2(
0) 2 (
0)
2
(
0) (
0)
(3- 77)
对于正弦信号
e e j 0t
j 0t
f2 (t ) sin 0t
2j
t
有
1
F2 ( j )
2(
0) 2 (
0)
2j
j(
0) (
0)
(3- 78)
它们的波形及其频谱如图 3-25 所示。
t
因为
1 2 ()
由频移性
1e j 0t
2(
0)
1e j 0t
2(
0)
(3-76)
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率
ω 0 随时间旋转， 经傅里叶变换
后， 其频谱为集中于 0 ，强度为 2 的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中 的频率转移。
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换
对于余弦信号
2
n
P (t )
Sa( ) ( n )
Tn
2
n
2sin( )
2 ( n)
n
n
（ 3-83 ）
式中
2 T 。可见，周期矩形脉冲信号 PT (t) 的傅里叶变换由位于
0, , 2 , 处
的冲激函数所组成，其在
n 处的强度为
n 2 sin( )
2
n
。 图 3-27(b) 给出了
T 2 情况下的频谱图。
f1 (t) cos 0t
1
t
()
． ．．
0
F1( j ) ()
．．．
0
0
-1
f2 (t) sin 0t
1 -1
()
．．．
t
0
图 3 - 25
Im F2 ( j )
．．．
0
0 ()
三、单位冲激序列 T (t ) 的傅里叶变换 若信号 f (t ) 为单位冲激序列，即
f (t ) T (t )
(t nT ) (3-79)
n
则其傅里叶级数展开式为
f (t)
n
1 e j nt T
(3-80)
对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得
1
F( j )
2 ( n)
Tn
( n ) (3-81)
n
式中
2 T。
可见， 时域周期为 T 的单位冲激序列， 其傅里叶变换也是周期冲激序列， 而频域周期为
，冲激强度相等， 均为 。周期单位冲激序列波形、 傅里叶系数 Fn 与频谱函数 F ( j )
2
T
Fn ,
1 T 2 f (t)e jn t dt
T T2
.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到
Fn 与时间 t 无关，可得
F(j )
Fn 2 (
n
n) 2
Fn (
n
n ) (3-82)
式(3-82) 表明，一般周期信号的傅里叶变换 ( 频谱函数 ) 是由无穷多个冲激函数组成， 这 些冲激函数位于信号的各谐波频率 n (n 0, 1, 2, ) 处，其强度为相应傅里叶级数系