单方程模型的几个高级专题
经典单方程模型
1、关于模型关系的假设
• 模型设定正确假设。The regression model is correctly specified. • 线性回归假设。The regression model is linear in the parameters。
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
ˆ e Y Xβ
e1 e2 e e n
四、经典线性回归模型的基本假设 The Basic Assumptions of Classical Linear Regression Model(CLRM)
说明
• 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型 提出若干基本假设。 • 实际上这些假设与所采用的估计方法紧密相关。 • 下面的假设主要是针对采用普通最小二乘法 （Ordinary Least Squares, OLS）估计而提出的。 所以，在有些教科书中称为“The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。 • 在不同的教科书上关于基本假设的陈述略有不同， 下面进行了重新归纳。
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 0 1 1i 2 2i ki Ki
ˆ )2 Q ei2 (Yi Y i
i 1 i 1 n n
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X )) (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
§2 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘估计
二、最大或然估计
三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例
说 明
估计方法： – 3大类方法：OLS、ML或者MM
单方程回归模型的几个专题
.单方程回归模型的几个专题一、名词解释1、虚拟变量2、模型设定误差3、工具变量4、工具变量法5、变参数模型；6、分段线性回归模型7、虚拟变量模型答案：1、把质的因素量化而构造的取值为0和1的人工变量。
2、在设定模时如果模型中解释变量的构成、模型函数的形式以及有关随机误差项的若干假定等内容的设定与客观实际不一致，利用计量经济学模型来描述经济现象而产生的误差。
3、是指与模型中的随机解释变量高度相关，与随机误差项不相关的变量。
4、用工具变量替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量的方法。
5、由于引进虚拟变量，回归模型的截距或斜率随样本观测值的改变而系统地改变7、二、简答题1、模型中引入虚拟变量的作用是什么？答案：（1）可以描述和测量定性因素的影响；（2）能够正确反映经济变量之间的关系，提高模型的精度；（3）便于处理异常数据。
2、虚拟变量引入的原则是什么？答案：（1）如果一个定性因素有m方面的特征，则在模型中引入m-1个虚拟变量；（2）如果模型中有m个定性因素，而每个定性因素只有两方面的属性或特征，则在模型中引入m个虚拟变量；如果定性因素有两个及以上个属性，则参照“一个因素多个属性”的设置虚拟变量。
（3）虚拟变量取值应从分析问题的目的出发予以界定；（4）虚拟变量在单一方程中可以作为解释变量也可以作为被解释变量。
3、虚拟变量引入的方式及每种方式的作用是什么？答案：（1）加法方式：其作用是改变了模型的截距水平；（2）乘法方式：其作用在于两个模型间的比较、因素间的交互影响分析和提高模型的描述精度；（3）一般方式：即影响模型的截距有影响模型的斜率。
4、判断计量经济模型优劣的基本原则是什么？答案：（1）模型应力求简单；（2）模型具有可识别性；（3）模型具有较高的拟合优度；（4）模型应与理论相一致；（5）模型具有较好的超样本功能。
5、模型设定误差的类型有那些？答案：（1）模型中添加了无关的解释变量；（2）模型中遗漏了重要的解释变量；（3）模型使用了不恰当的形式。
经典单方程计量经济学模型专门问题
Y(X,D)α βμ
1 1
X11 X12
X k1 Xk2
1 0
0 1
0 0
0 0
(X, D) 1 1
X13 X14
X k3 Xk4
0 0
0 0
1 0
0 1
1 X16 . X k6 1 0 0 0
女职工本科以上学历的平均薪金：
E ( Y i|X i , D 1 0 , D 2 1 ) ( 0 3 ) 1 X i
男职工本科以上学历的平均薪金：
E ( Y i |X i , D 1 1 , D 2 1 ) ( 0 2 3 ) 1 X i
.
2、乘法方式
• 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同。 • 许多情况下，斜率发生变化，或斜率、截距同时
C t0 1 X t 2 D tX t t
E ( C t|X t,D t 1 ) 0 (1 2 ) X t
E ( C t|X t,D t 0 )0 1 X t
.
3、同时引入加法与乘法形式的虚拟变量
• 当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加 法与乘法形式的虚拟变量。
• 对于一元模型，有两组样本，则有可能出现下 述四种情况中的一种：
发生变化。 • 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来
测度。
.
• 例如，根据消费理论，收入决定消费。但是， 农村居民和城镇居民的边际消费倾向往往是不 同的。这种消费倾向的不同可通过在消费函数 中引入虚拟变量来考察。
1
Di 0
农村居民 城镇居民
C i01 X i2 D iX ii
计量经济学Ⅱ-教学大纲
《计量经济学H》教学大纲课程编号：032203A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：48 讲课学时：32 实验（上机）学时：16 学分：3适用对象：经济学（实验班）先修课程：政治经济学、西方经济学、数理统计、线性代数、经济统计学、计量经济学一、教学目标本课程为高等学校经济学类核心课程，是经济学专业（实验班）本科生的专业课，是在先修初级计量经济学的基础上开设的。
它将经济学、统计学和数学结合在一起，定量化研究经济现象，并透过经济现象揭示其经济活动的本质，以发现经济规律，在培养复合性经济管理人才中起着重要作用。
目标1：进一步了解经济数量分析课程在经济学课程体系中的地位，了解经济数量分析在经济学科的发展和实际经济工作中的作用；目标2：掌握初级至中级水平之间的计量经济学理论与方法，并对计量经济学理论与方法的新发展有概念性了解；目标3：能够建立并应用单方程和联立方程的计量经济学模型，对现实经济现象中的数量关系进行实际分析；目标4:具有进一步学习和应用中级以上计量经济学理论和方法的能力本课程是经济学量化分析的基础，为后续专门类经济金融计量统计方法课程打下基础，为经济学理论课程提供经验研究支持。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程按初级至中级之间水平的内容讲授，重点讲授经典与扩展的单方程计量经济学模型的理论与方法、联立方程计量经济学模型理论与方法、时间序列计量经济学模型、应用模型等。
主要讲授的内容有：单方程的几个专门问题，联立方程计量模型理论与方法，扩展的单方程计量模型，时间序列计量模型，计量经济学应用模型。
通过教学让学生了解更多的建模方法并能应用于实证研究。
教学中的重点是单方程专门问题、联立方程计量经济学模型理论与方法、扩展的单方程计量模型、时间序列计量模型。
突破的难点是单方程模型设定偏误检验、非嵌套假设检验、联立方程模型的识别与参数估计及检验方法、随机变参数模型、非线性模型的参数估计、二元选择模型参数估计、面板数据的设定与参数估计、单整与协整、随机时间序列分析模型与误差修正模型。
第八章 单方程回归模型的相关专题
(8-6)
此时产生的后果如下： （1）过度拟合模型（8-6）的OLS估计量是 无偏的（也是一致的）。即:
E ( 0 ) 0 , E ( 1 ) 1
和 E ( 2 ) 0
（2）标准的置信区间和假设检验仍然是有效 的。 （3）从回归方程（8-6）中估计的α却不是最 优的。
第四，模型(8-13)或其等价方程(8-14)都假定每 单位解释变量变化所带来的概率的变化率是一 个常数，并由斜率值直接给出。 表示家庭收入每增加一个单位，拥有住房 所有权的概率就会增加个单位，而并未考虑家 庭收入的水平，这是与实际相背离的。 考虑到“收益递减”规律，在不同家庭收 入水平条件下，每增加一个单位的家庭收入， 促使拥有住房所有权增加的概率值是不尽相同 的。
3、不正确的函数形式 用进口支出函数（8-1）来说明 如果使用如下形式的进口支出函数：
ln Yi 0 1 ln X 1 i 2 ln X 2 i v i
（8-7）
边际与弹性是不一样的
4、测量误差 如果研究者在使用中没能运用真正 的Yi 和Xi ，而是采用了含有测量误差的 替代变量Y*i和Xi*，使模型变为：
第八章
单方程回归模型的相关专题
本章我们将介绍在实际研究当中非常 有用的几个专题。这些专题是： 模型选择：标准和检验 虚拟因变量模型 自回归模型与分布滞后模型
§8.1 模型选择：标准和检验 一、“好的”模型具有的特性 第一，具有节省性（parsimony） 第二，具有可识别性 第三，具有较高的拟合优度 第四，具有理论一致性 第五，具有较强的预测能力
Yi 0 1 X i u i
Yi——住房所有权状况， 拥有住房所有权取值为l，反之则取为0 Xi家庭收入
{教育管理}单方程模型的高级问题 精品 精品
{教育管理}单方程模型的高级问题3.1 虚拟解释变量一.虚拟解释变量模型❖虚拟变量：某些因素对解释因变量是必须的，但它们是定性的、不可计量的；为了将这些变量引入所要研究的模型，必须将它们数量化：比如起作用时赋值1，或0；不起作用时赋值0，或1，这样的变量称为虚拟变量❖比如：天气、季节、性别等❖本节讨论虚拟变量作为解释变量的模型例1❖研究学生体重与身高的关系，随机抽样80名学生，其中48名男生，32名女生（W 表示体重，单位磅；h 表示身高，单位英寸）❖模型A ：(-5.2066) (8.6246)❖模型B:(-2.5884) (4.0149) (5.1613)其中h W5662.506651.232ˆ+-=h D W7402.38238.239621.122ˆ++-=⎩⎨⎧=：女生：男生01D虚拟变量的影响截距项位移男生女生h例2❖研究工作经验对工资的影响，假设由于法律的原因，男性和女性参加工作时的起薪是一样的❖建立模型（Y 是月薪，X 是工龄）uX D Y +++=)(21ββα⎩⎨⎧=：女性：男性01D虚拟变量的影响斜率项位移h男性女性X Y )ˆˆ(ˆˆ21ββα++=X Y 1ˆˆˆβα+=例3❖对例2，如果男女参加工作时的起薪存在性别歧视，应如何修正模型？uX D D Y ++++=)(2121ββαα⎩⎨⎧=：女性：男性01D虚拟变量的影响截距项和斜率项均位移hW男性女性X )ˆˆ()ˆˆ(ˆ2121ββαα+++=X Y11ˆˆˆβα+=例4-A❖研究学历对工作的影响，建立模型（Y:参加工作的起薪）❖模型A:uD b b Y ++=10⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=大学及以上中学小学文盲3210D例4-B❖模型B:uD b D b D b D b b Y +++++=443322110⎩⎨⎧=非大学大学011D ⎩⎨⎧=非中学中学012D ⎩⎨⎧=非小学小学013D ⎩⎨⎧=非文盲文盲014D虚拟变量陷阱❖对模型B⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 110001010010010100011正规方程系数矩阵非满秩矩阵存在多重共线性虚拟变量陷阱❖欲表征的状态数等于虚拟变量个数❖此时存在完全多重共线性❖因此，虚拟变量个数=欲表征的状态数-1例4-C❖模型C ：uD b D b D b b Y ++++=3322110⎩⎨⎧=非大学大学011D ⎩⎨⎧=非中学中学012D ⎩⎨⎧=非小学小学013D季节性变动虚拟变量❖销售函数模型❖考虑销售量的季节性波动，应如何引入虚拟变量?tkt k t t u X b X b b C ++++= 110tt t t kt k t t u Q a Q a Q a X b X b b C +++++++=332211110 ⎩⎨⎧=其它季季第01i Q it i =1,2,3二.结构稳定性检验与分段线性回归1.结构稳定性检验❖检验模型反映的经济结构是否由于受到某种因素的影响而发生变化❖例如:➢时间序列数据，1992年后解释变量的参数可能发生变化➢界面数据，东部省份和中西部省份的回归结果不一致结构稳定性的Chow 检验❖对总样本进行回归❖将总样本分成两个子样本，分别回归❖构造统计量))1(2,1(~)]1(2/[)(1/)]([21212121+-+++-++++-=k n n k F k n n S S k S S S F 经济结构显著变化著变化经济结构稳定，没有显ααF F F F ><参数稳定性Chow 检验❖判断样本扩大时，模型参数的估计是否具有稳定性❖对原样本（n 1）进行回归❖增加n 2个观测值，组成新样本（n 1+ n 2）进行回归❖构成统计量))1(,(~))1(/(/)(1211210+-+--=k n n F k n S n S S F 变化参数不稳定，经济规律有变化参数稳定，经济规律没ααF F F F ><举例❖研究各省市旅游外汇收入，建立模型（Y ：旅游外汇收入；X 1旅行社职工人数；X 2国际旅游人数）：❖得到回归方程：(3.067) (6.653) (3.378)❖分别对东部地区（东北、华北、华东、华南）15省市和西部地区（华中、西南、西北）16省市进行回归uX b X b b Y +++=22110u X X Y +++-=215452.11179.003.151ˆ99.2)25,3(97.1105.0=>=F F2.分段线性回归❖模型结构发生变化，但回归函数保持连续❖在一个时刻结构发生变化：YX1tt b t tt t tb t t t u X X Y D u X Y D T t b b t D u D X X X Y +++-==++==⎩⎨⎧≤<≤≤=+-++=)()(10)(1)1(0)(21120110111111210βββββββββ时，当时，当❖在两个时刻结构发生变化：⎪⎩⎪⎨⎧≤<++++--≤<+++-≤≤++=⎩⎨⎧≤<≤≤=⎩⎨⎧≤<≤≤=+-+-++=)()()()()()()1()(1)1(0)(1)1(0)()(232123120212112011022211122311210T t b u X X X b t b u X X b t u X Y T t b b t D T t b b t D u D X X D X X X Y t t b b t t b t t t tb t b t t t ββββββββββββββββ分段形式：3.2 虚拟因变量(受限因变量、分类选择模型)❖被解释变量是定性变量。
计量经济学(内蒙古大学) 第八章 经典单方程计量经济学模型：专门问题(滞后变量模型)
第四章: 经典单方程计量经济学模型： 专门问题(滞后变量模型)
经世致用 管人悟道
内蒙古大学经济管理学院
在许多情况下被解释变量Y 不仅受到同期的解
释变量Xt 的影响，而且和X的滞后值Xt-1， Xt-2 ，
…,有很强的相关性 。
例如，人们的储蓄和当期的收入以及过去几期的收 入有着很强的相关性；固定资产的形成不仅取决 于现期投资额而且还取决于前几个时期的投资额 的影响等。这样的社会现象还有很多，有经济方 面的，也有其它领域的，对这些问题进行讨论就
经世致用 管人悟道
6
内蒙古大学经济管理学院
一、分布滞后模型的概念及相关问题
于是，由该例可以得到以下消费函数关系式
Yt 常量 0.4 X t 0.3X t 1 0.2 X t 2 ut
式中， Y=消费支出，X=收入。该方程就 是一个分布滞后模型，它表示收入对消费的 影响分布于不同时期。
在经济活动中，某一个经济变量的影响不仅 取决于同期各种因素，而且也取决于过去时期的各 种因素，有时还受自身过去值的影响。例如，居民 现期消费水平，不仅受本期居民收入影响，同时受 到前几个时期居民收入的影响。
把这些过去时期的变量，称作滞后变量， 把那些包括滞后变量作为解释变量的模型称作 滞后解释变量模型。
经世致用 管人悟道
5
内蒙古大学经济管理学院
一、分布滞后模型的概念及相关问题
什么是分布滞后模型？ 例如：消费者每年收入增加10000元，假如,该
消费者把各年增加的收入按照以下方式分配：当年
增加消费支出4000元，第二年再增加消费支出3000
元，第三年再增加消费支出2000元，剩下的1000元 作为储蓄。第三年的消费支出不仅取决于当年的收 入，还与第一年和第二年的收入有关。当然，还可 以和前面更多期有关。
第八章 单方程回归模型的几个专题
第八章 单方程回归模型的几个专题8.1虚拟变量（dummy variable ）8.1.1 概念与用作在实际建模过程中，被解释变量不但受定量变量影响，同时还受定性变量影响。
例如需要考虑性别、民族、不同历史时期、季节差异、企业所有制性质等因素的影响。
这些因素也应该包括在模型中。
为此人们采取了一种构造人工变量的方法，将这些定性变量进行量化，使其能与数值变量一样在回归模型中得以应用。
构造的规则是当某种属性存在时，人工变量取值为1；当某种属性不存在时时，取值为0。
在计量经济学中，我们把反映定性因素变化，取值为0或1的人工变量称为虚拟变量。
习惯上用D 表示。
如：引入虚拟变量的作用主要有三个：1）可以描述定性因素的影响；2）能够正确反映经济变量的相互关系，提高模型的精度；3）便于处理异常数据。
当样本资料中存在异常数据时，一般有三种处理方式。
一是直接剔除；二是平滑掉；三是设置虚拟变量。
8.1.2 虚拟变量的设置 1、设置规则1）一个因素多个属性：若定性因素有M 个不同的属性，或相互排斥的类型，在模型中则只能引入M-1个虚拟变量，否则会引起完全多重共线性。
2）多个因素多个属性：每个因素的引入方法均按上述原则。
2、引入方式：1）加法方式（截距移动） 设有模型，y t = β0 + β1 x t + β2D + u t ,其中y t ，x t 为定量变量；D 为定性变量。
当D = 0 或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=+++=++1)(012010D u x D u x tt t t βββββ0204060204060X Y图8.1 测量截距不同D = 1或0表示某种特征的有无。
反映在数学上是截距不同的两个函数。
若β2显著不为零，说明截距不同；若β2为零，说明这种分类无显著性差异。
例：中国成年人体重y （kg ）与身高x （cm ）的回归关系如下：–105 + x D = 1 (男)y = - 100 + x - 5D =– 100 + x D = 0 (女)注意：① 若定性变量含有m 个类别，应引入m -1个虚拟变量，否则会导致多重共线性，称作虚拟变量陷阱（dummy variable trap ）。
单方程计量经济学模型第二章经典单方程计量经济学模型
• 回归分析构成计量经济学的方法论基础， 回归分析构成计量经济学的方法论基础， 其主要内容包括： 其主要内容包括： • （1）根据样本观察值对经济计量模型参 数进行估计，求得回归方程； 回归方程； 回归方程 • （2）对用回归方程进行分析、评价及预 测。
例2.1中，个别家庭的消费支出为：
(*) 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（ 确定性（ 系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分 ） 确定性 )部分。 （2）其他随机 非确定性 随机或非确定性 随机 非确定性（nonsystematic)部分µi。 部分
二、总体回归函数
例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研 ： 究该社区每月家庭消费支出 家庭消费支出Y与每月家庭可支配收 家庭消费支出 家庭可支配收 入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区 家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入 差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该 散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。 该线称为样本回归线（sample regression lines）。 样本回归线（ ）。 样本回归线 记样本回归线的函数形式为： ˆ ˆ ˆ Yi = f ( X i ) = β 0 + β 1 X i 称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。 样本回归函数（ 样本回归函数 ， ）
四、样本回归函数（SRF） 样本回归函数（ ）
总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在 一次观测中得到总体的一个样本。 问题： 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？ 如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 2.2： 2.1 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本， 问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？
单方程计量经济学应用模型
单方程计量经济学应用模型引言单方程计量经济学应用模型是经济学中常用的一种分析工具，它通过建立和估计单个经济变量〔即单方程模型〕的数学关系，来研究经济现象之间的因果关系。
本文将介绍单方程计量经济学应用模型的根本原理和常见的应用案例。
模型根本原理单方程计量经济学应用模型的根本原理是建立一个经济变量Y与其他相关变量X之间的数学关系。
这个数学关系通常采用线性回归模型来表示，即：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y是被解释变量〔也称为因变量〕，X1, X2, …, Xn是解释变量〔也称为自变量〕，β0, β1, β2, …, βn是回归系数，ε是误差项。
通过对经济数据进行统计分析，我们可以估计出这些回归系数的值，从而得到关于经济现象之间的因果关系的量化结果。
应用案例消费者支出模型消费者支出是宏观经济中的一个重要变量，在经济政策制定和预测分析中起着重要的作用。
通过建立消费者支出模型，我们可以研究消费者支出与其他经济变量之间的关系，并预测未来的消费者支出水平。
消费者支出模型常常包括收入、利率、通货膨胀等变量作为解释变量，以消费者支出作为被解释变量。
通过对历史数据进行回归分析，我们可以估计出这些变量对消费者支出的影响，并进行预测。
投资决策模型投资是经济中的另一个重要变量，对经济增长和资源配置起着重要作用。
通过建立投资决策模型，我们可以研究投资与其他经济变量之间的关系，并预测未来的投资水平。
投资决策模型常常包括利率、企业利润、经济增长等变量作为解释变量，以投资作为被解释变量。
通过对历史数据进行回归分析，我们可以估计出这些变量对投资的影响，并进行预测。
价格影响模型价格影响模型是研究价格与其他经济变量之间的关系的重要工具。
通过建立价格影响模型，我们可以研究价格与供应、需求等因素之间的关系，并分析价格变动对经济的影响。
价格影响模型常常包括供应量、需求量、生产本钱等变量作为解释变量，以价格作为被解释变量。
单方程模型的高级问题(ppt 81页)
1P(Yi 1| Xi)0(1P(Yi 1| Xi)) P(Yi 1| Xi)
因此X对 i，模型拟合的事 是实 因上 变不 量的期望值， 而是因变1的 量概 取率
线性概率模型的问题
(1)随机项非正态性
Yi只取两个值，而
ui
Yi
(1
(1 2Xi )(11 2Xi )
Pi (1 Pi )
对不同的样本点X，i的取值不同，所P以i不同，
因此ui异方差
异方差的处理
随机项异方差，OLS估计量线性无偏但不是有效的 用加权最小二乘法（WLS）处理 方程两边同时除以 Pi(1Pi )
(3)值域问题
问题：条件期望的值可能超出[0,1]区间，这是线性概率模 型的严重缺点
处理：
大于1的当作1，小于0的当作0 采用Logit 或Probit模型
(4)拟合优度问题
线性概率模型的拟合优度一般不高，在0.2到0.6之 间
Yˆ
LPM
Yˆ
无约束
1
1
受约束
LPM
0
0
X
(a )
X
(b)
对于受约束的LPM(b)一般 R 2 不会大，大多数实例 R2(0.2,0.6)
2
X
），
i
因此 ui也取两个值。
当 Yi 1时， ui 1 1 2 X i
当 Yi 0时， ui 1 2 X i
显然，我们不能再假定
u
是正态分布的：
i
实际上它遵循二项分布 。
但是 OLS 点估计仍然是无偏的。
(2)异方差
ui
7.单方程回归模型的几个专题
Y ( 1 2 D) ( 3 4 D) X u 即：Y 1 2 D 3 X 4 ( DX ) u
0 其中，D={ 1 战时 平时
此式等价于下列两个单独的回归式：
战时：Y 1 3 X u 平时：Y ( 1 2 ) （ 3 4）X u
log Y 2.82 0.64 log X 0.48 log P (0.42) (0.03) (0.12)
R 2 0.99
回归结果表明，需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹 性是0.48，这两个系数都显著异于0。
例2．柯布-道格拉斯生产函数 生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一 种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）为
非线性回归方法的步骤
1． 首先给出各参数的初始估计值（合理猜测值）; 2． 用这些参数值和X观测值数据计算Y的各期预测值 ˆ ; （拟合值） Y 3．计算各期残差，然后计算残差平方和∑e2; 4．对一个或多个参数的估计值作微小变动； ˆ Y ˆ 、残差平方和∑e2； 5．计算新的Y预测值 Y 6．若新的∑e2小于老的∑e2，说明新参数估计值优于 老估计值，则以它们作为新起点； 7．重复步骤4，5，6，直至无法减小∑e2为止。 8．最后的参数估计值即为最小二乘估计值。
r=2 r
Yt=β 1+β 2Xt + ut
ˆ , ˆ 将OLS法应用于此模型，可求得β 1和β 2的估计值 1 2
从而可通过下列两式求出a和b估计值：
ˆ ˆ) log( a 1 ˆ ˆ b
2
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如
ˆ 和 ˆ ，而 BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量 1 2
Ch16单方程回归模型的几个专题
5.ADL模型存在多重共线性问题。 模型存在多重共线性问题。 5. 模型存在多重共线性问题 ADL模型不存在多重共线性问题。 模型不存在多重共线性问题 模型不存在多重共线性问题。 6.在一般到特殊建模过程中 在一般到特殊建模过程中， 6.在一般到特殊建模过程中，允许 根据t 根据t检验剔除任何一个不显著的差 分变量。 分变量。
△PCEt=93.392+0.7987t-0.0445PCEt-1 =93.392+0.7987t(τ (1.678) (1.360) (-1.376) R2=0.0221 =326.63+2.8752t△PDIt=326.63+2.8752t-0.1569PDIt-1 (τ (2.755) (2.531) (-2.588) R2=0.0757 1% 5% 10% -4.067 -3.46 -3.2447 *** ** *
4
两个非相关的 I(0)序列的相 I(0)序列的相 关系数的分布
-0.3
0.3
0.6 两个非相关的 I(1)序列的相 I(1)序列的相 关系数的分布
-1
1
0.6 两个非相关的 I(2)序列的相 I(2)序列的相 关系数的分布
-1
1
xt=xt-1+vt, vt~IID(0, σ2v) yt=yt-1+ut, ut~IID(0, σ2u) E(vtut)=0 yt=B1+B2xt+wt t(B2)不服从t分布，B2=0是真实的， 不服从t 是真实的， 不服从 分布， 是真实的 但被错误拒绝的概率常常非常高。 但被错误拒绝的概率常常非常高。
EG两步法 EG两步法 第一步：OLS法估计协整参数向量。 法估计协整参数向量 第一步：OLS法估计协整参数向量。 第二步： 第二步：利用第一步中得到的残差值 作为误差修正项加入到误差修正模型 中估计短期参数 参数。 中估计短期参数。 所有估计量具有一致性。 所有估计量具有一致性。协整参数的 估计具有超一致性和强渐近有效性。 估计具有超一致性和强渐近有效性。 小样本特性不是很好。 小样本特性不是很好。 协整回归的R 接近1 协整回归的 2接近1时，小样本特性 不是一个严重问题。 不是一个严重问题。
ch8-单方程模型高级问题
根据这个模型可 以求出各个参数
阿尔蒙滞后
考伊克变换只能表示影响递减的情形
阿尔蒙模型的好处在于，它可以用多项式近似获得连续函数， 反映各种复杂的影响，比如在两三个季度或两三年后才产生的 影响
34
阿尔蒙滞后
(权重)
i
1
2
3
4
5
6
i(滞后)
35
2.内生滞后变量模型
(1)部分调整模型
例：某家公司的理想库存水平为 Y * ，实际库存水平 Y ，假设 理想的库存水平由销售量决定：
对原样本（n1）进行回归
增加n2个观测值，组成新样本（ n1 + n2 ）进行回归
构成统计量
( S0 S1 ) / n2 F ~ F (n2 , n1 (k 1)) S1 /(n1 (k 1))
F F F F 参数稳定，经济规律没有变化 参数不稳定，经济规律变化
8
非线性模型的一般方法(2)
泰勒级数展开
Y f ( X 1 , X 2 , X k ; b1 , b2 , , b ) 设定一组初始值b10 , b20 , , b 0 泰勒级数展开 Y f ( X 1 , X 2 , X k ; b10 , b20 , , b 0 ) f 1 2 f [ ]bi 0 (b j b j 0 ) [ 2 ]bi 0 (b j b j 0 ) 2 b 2 j 1 b j j 1 j ˆ ˆ ˆ 省略高阶项作最小二乘估计，得b11 , b21 , , b 1 重复上述步骤，逐步收敛
1：男性 D 0：女性
15
虚拟变量的影响
截距项和斜率项均位移
W
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 男性 Y ( ) ( ) X
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中国电力工业基本建设投资与发电量
年度 基本建设投资X 发电量 （亿元） （亿千瓦时）
年度
基本建设投资X 发电量 （亿元） （亿千瓦时）
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
30.65 39.98 34.72 50.91 50.99 48.14 40.14 46.23 57.46 76.99 107.86
单方程模型的几个高级专题
分布滞后模型 (W: 10.2-10.3,18.1) 趋势因素的影响 (W: 10.5) 非平稳性的影响 (W: 11.1，18.3) 非平稳性的检验(W: 18.2) 协整关系与误差修正模型(W: 18.4) 格兰杰因果检验 (W: 18.5) 面板数据方法 (W: 13-14) 受限因变量模型 (W: 17)
MA(1)
1. 经验加权法
Y t= α 0 + β 0 X t + β1 X t−1 + β 2 X t−2 + β 3 X t−3 + µt 给定递减权数：1/2， 1/4， 1/6， 1/8
令
W 1t=
1 2
Xt
+
1 4
X t−1
+
1 6
X t−2
+
1 8
X t−3
原模型变为：
Yt = α 0 + α1W1t + µt
s
∑ Yt = α + β i X t−i + µt i=0
假定其回归系数βi可用一个关于滞后期i的适当阶数的多
项式来表示，即:
m
∑ = βi αk (i − c )k
k =0
其中，m<s。阿尔蒙变换要求先验地确定适当阶数k，
例如取k=2，得
2
∑ βi = αk (i − c )k = α0 + α1 (i − c ) + α2 (i − c )2 k =0
1958 2031 2234 2566 2820 3006 3093 3277 3514 3770 4107
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
161.6 210.88 249.73 267.85 334.55 377.75 489.69 675.13 1033.42 1124.15
分布滞后模型
在时间序列模型中，从经济决策到政策变量的变化所造成 的影响,其间可能经过了若干个时段。如果决策--反应周期特别 长，则模型中就会包含滞后的解释变量。
用季度宏观经济数据估计总消费函数，我们可能会把消费Ct 看作是一个季度滞后的总可支配收入Yt-1的函数。如果用年度 数据估计同样的消费函数，因为度量周期比反应周期长很多， 我们有理由省略收入变量的滞后。
s
∑ Yt = α + β i X t−i + µt i=0
假设误差项服从正态分布，且与X独立，既不存在序列相关也没 有异方差现象。
如何估计模型？普通最小二乘法还适用吗？
当分布滞后的项数比较多时，会产生什么问题呢？
分布滞后模型相关概念
滞后变量(lagged variables)：过去时期的变量，如xt-1 ,xt-2… 分布滞后模型(Distributed Lag Models)：包含解释变量的 滞后变量的模型。
该模型可用OLS法估计。假如参数估计结果为
αˆ0 =0.5
αˆ1 =0.8
则原模型的估计结果为：
Yˆ t=
0.5 +
0.8 2
Xt
+
0.8 4
X t−1
+
0.8 6
X t−2
+
0.8 8
X t−3
=
0.5 +
0.4 X t
+
0.2 X t−1
+
0.133X t−2
+
0.1X t−3
2. Almon多项式滞后
定义新变量
s
∑ W0t = X t−i i=0
s
s
∑ ∑ = W1t
(i − c ) X t−i = W2t
(i − c )2 X t−i
i=0
i=0
将原模型转换为： Yt = α + α0W0t + α1W1t + α2W2t + µt
对变换后的模型进行OLS估计，从而得到原பைடு நூலகம்型估计
例题：电力产量函数
分布滞后模型的估计方法
一般思路是，对各种滞后变量加权组合，减少 滞后变量的数目，缓解多重共线性和自由度的 影响。
1. 经验加权法 2. 阿尔蒙(Almon)多项式分布滞后(PDLs) Polynomial Distributed Lags 3.夸克(Koyck)几何分布滞后(GDLs) Geometric Distributed Lag 4. 有理分布滞后(RDLs) Rational Distributed Lag
滞后分布：概括解释变量的临时变化对被解释变量的动态影 响。即滞后变量系数关于延迟期的分布。
分布滞后模型估计的困难
1. IDL模型无法直接估计，因为样本观察值有限
2. 对于FDL模型， OLS估计也会遇到困难： (1)滞后长度无法先验确定。 (2) 滞后期过长，t检验自由度不足 (3) 存在多重共线性影响
4495 4973 5452 5848 6212 6775 7539 8395 9218 10070
资料来源：电力固定资产固定资产投资来自《中国电力统计年鉴》，发电量 来自《中国统计年鉴》。
LS LOG(Y) C PDL(LOG(X), 7,2, 2)
3. Koyck几何滞后
对于无限分布滞后模型：
∞
∑ Yt = α + βi X t−i + µt i=0
假设
βi = β 0λi
长期乘数LRP=？
其中，0<λ<1，称为分布滞后衰减率，1-λ称为调整速率
（Speed of adjustment）。
整理得
Yt − λYt−1 = (1 − λ)α + β 0 X t + µt − λµt−1 yt =α0 + β0 xt + λ yt−1 + vt , v=t µt − λµt−1
有限分布滞后模型(FDL Models)：最大滞后阶数s为有限值。 阶数为s 的有限分布滞后模型，FDL of order s: FDL(s) .
无限分布滞后模型(IDL Models)：最大滞后阶数s为无限值。
β0, β1, …βs分别反映X对Y的即期效应(short-run effect)、延 迟1期,…延迟s期的延迟效应。各系数之和反映X对Y的长期 效应(long-run or cumulative effect)。