高中数学直线和圆知识点总结
【高中数学】直线与圆、圆与圆的位置关系
12＋22
5
弦长为 2 r2－d2＝2 55. 5
答案：2 55 5
8．若 P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为________．
－1 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于1－0＝－1，由
2－1
点斜式得直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0.
2 1－ 4 2＝ 14.
2
[解题技法] 几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|； (3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[课时跟踪检测]
A级
1．若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则 a 的值为( )
高中数学学科
＝0 的距离 d＞2，即 |k＋2| ＞2，解得 0＜k＜4.
k2＋1
3
答案：
0，4 3
3．设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋2x－my＝0 相交于 A，B 两点，若点 A，B 关于直线 l：
x＋y＝0 对称，则|AB|＝________.
解析：因为点 A，B 关于直线 l：x＋y＝0 对称，所以直线 y＝kx＋1 的斜率 k＝1，即 y
(2)直线被圆截得的弦长
Байду номын сангаас
弦心距
d、弦长
l
的一半
1l
及圆的半径 r
构成一直角三角形，且有
r2＝d2＋
1l 2
2.
2
考点一 直线与圆的位置关系
高二数学直线与圆知识点
高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。
掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。
本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。
一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。
2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。
3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。
定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。
3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。
三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。
相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。
2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。
3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。
4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。
四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。
2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。
五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。
2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。
3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。
六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。
2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
【高中数学】高中数学知识点：直线与圆的位置关系
【高中数学】高中数学知识点：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系：由直线与圆的公共点的个数，得出结论以下直线和圆的三种边线关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）切线：直线和圆存有唯一公共点时，叫作直线和圆切线，这时直线叫作圆的切线，唯一的公共点叫作切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
其图像如下：直线和圆的位置关系的性质：（1）直线l和⊙o平行d＜r（2）直线l和⊙o切线d=r；（3）直线l和⊙o嗟乎d＞r。
直线与圆边线关系的认定方法：(1)代数法:判断直线ax+by+c=0和圆x2+y2+dx+ey+f=0的位置关系，可由面世mx2+nx+p=0，利用判别式△展开推论．△>0则直线与圆相交；△=0则直线与圆切线；△<0则直线与圆相离．(2)几何法:未知直线ax+by+c=0和圆，圆心到直线的距离d<r则直线和圆平行；d=r则直线和圆相切；d>r则直线和圆嗟乎．特别提醒:(1)上述两种方法，以利用圆心至直线的距离展开认定较为简便，而判别式法也适用于于直线与椭圆、双曲线、抛物线边线关系的推论．(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.直线与圆边线关系的认定方法列表如下：直线与圆相交的弦长公式：（1）几何法：如图所示，直线l与圆c平行于a、b两点，线段ab的长即为l与圆平行的弦长。
设弦心距为d，半径为r，弦为ab，则有|ab|=（2）代数法：直线l与圆处设直线l的斜率为k，则有当直线ab的倾斜角为直角，即为斜率不存有时，|ab|=。
高中数学直线和圆知识点总结+习题
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x y a b +=（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212k k b b ==相交：12k k ≠平行：1212 k k b b =≠垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A AB B +=相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d O O =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例题：例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为____________________．例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．例10(1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上.(1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
高中直线和圆数学知识点(详细)
高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。
而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
高中数学必修2直线与圆的位置关系知识题型总结
直线与圆的位置关系一、点与圆的位置关系设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；二、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a ，b)到直线L 的距离为d (1)d<r 相交； (2)d=r 相切；(3)d>r 相离。
利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
三、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔；4条公切线②两圆外切2121||r r O O +=⇔；3条公切线③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；2条公切线④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；1条公切线⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；没有公切线四、两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.五、圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=六、 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
高中数学高二知识点直线与圆
高中数学高二知识点直线与圆数学是学习生涯的关键时期，为了能够使同学们在数学方面有所建树，小编特此整理了数学高二知识点直线与圆，以供大伙儿参考。
直线与圆：1、直线的倾斜角的范畴是在平面直角坐标系中，关于一条与轴相交的直线，假如把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0;2、斜率：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为,⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为4、，,①∥, ; ②.直线与直线的位置关系：(1)平行A1/A2=B1/B2 注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式;两条平行线与的距离是6、圆的标准方程：.⑵圆的一样方程：注意能将标准方程化为一样方程7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,假如只求出了一条,那么另外一条确实是与轴垂直的直线.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
高中数学直线与圆知识点
直线与圆一．直线的倾斜角：1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2．倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______二．直线的斜率：1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k≠--=；3．直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 4．应用：证明三点共线：AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy的最大值、最小值分别为______三．直线的方程：1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x轴的直线。
2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
直线与圆的基本知识点总结
人教A 版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识1. 两个基本量倾斜角：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时， 规定α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π)斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。
斜率常用小写字母k 表示，也就是 k = tanα =y 1-y 2x 1-x 2 = -AB= f’(x 0). 特别的，（1）当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = t an 0°=0；（2）当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.2. 几个常见角及其取值范围：（1）直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)； （2）两条直线的夹角α的取值范围是[0, π2]；（3）两个平面的夹角α的取值范围是[0, π2]；（4）两个半平面所成角（二面角）的平面角α的取值范围是[0,π] （5）直线与平面所成的角α的取值范围是[0, π2]（6）两个向量的夹角α的取值范围是[0,π] （7）两异面直线所成角α的取值范围是[0,π2) 3. 直线的五种方程（1）点斜式： 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．不能表示斜率不存在的直线. （2）斜截式： y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线.（3）两点式： 112121y y x x y y x x --=--(两定点坐标分别是：111(,)P x y 、222(,)P x y (其中12x x ≠且12y y ≠)).不能表示平行于坐标轴的直线. （4）截距式： 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)不能表示平行于坐标轴和过坐标原点的直线.（5）一般式： 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 4. 两条不同直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, 则：①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠或A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2≠A 2C 1；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 5. 夹角公式（现已不做要求） (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(其中1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).特别的，直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π，不适用以上公式. 6. 到角公式（现已不做要求）若直线1l 到直线2l 的角（有方向性）为α，则： (1)2121tan 1k k k k α-=+.(其中111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)，(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(其中1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).特别的，直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π，不适用上面结论. 7．四种常用的直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程也可写为：00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． 另外，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 8. 点到直线的距离：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).两条平行直线Ax +By +C 1=0与 Ax +By +C 2=0之间的距离是：2221B A C C d +-=9. 圆的四种方程（1）圆的标准方程： 222()()x a y b r -+-=.（r >0）（2）圆的一般方程： 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).更一般的，方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0②B =0③D 2+E 2－4AF >0； （3）圆的参数方程： cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径方程： 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).10. 圆系方程(1)过两点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中ax +by +c =0是直线AB 的方程,λ是待定系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定系数．特别的，如果圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .（两圆方程直接相减即得） 11. 点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 12. 直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:（其中22BA C Bb Aa d +++=）0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .13. 圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<≤21r r d 0.14. 圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是：0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 在圆外时, 该方程0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．则①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±. 15. 圆中的几个重要定理和结论（1）相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两条弦AB 和CD ，则P A ·PB =PC ·PD .（2）（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两条割(切)线P AB ，PCD ，则P A ·PB =PC ·PD . （3）圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 点重合），圆O 的半径为r ，则：P A ·PB =|PO 2-r 2|. 当P 点在圆内的时候，PO 2-r 2<0，此时圆幂定理即为相交弦定理；当P 点在圆上的时候，PO 2-r 2=0，此时圆幂定理即为直径所对圆周角为直角；当P 点在圆外的时候，PO 2-r 2>0，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理或切线长定理.（4）从平面上任一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为A 点对于这个圆周的幂。
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学直线与圆的方程知识点总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1>0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121yy x x ++ 靠近A 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
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直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (１)[0,)2πθ∈时,0k ≥;(2）2πθ=时,k 不存在；(3）(,)2πθπ∈时,0k <（4)当倾斜角从0︒增加到90︒时,斜率从0增加到+∞;当倾斜角从90︒增加到180︒时,斜率从-∞增加到0 2．直线方程（1）点斜式:)(00x x k y y -=- （2)斜截式:y kx b =+（3）两点式:121121x x x x y y y y --=--(４)截距式：1x ya b+= (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式（1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP =(2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =(３）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d =4．位置关系(1）截距式：y kx b =+形式重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=- （2）一般式:0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ ５.直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 １.圆的方程（1)标准形式:222()()x a y b R -+-=(0R >）（2)一般式:220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->）（3)参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系（１）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系:当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外(2)直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时,直线和圆相交(有两个交点)； 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点）; 当d R <时,直线和圆相离（无交点)； 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． （2）代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.（3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时,两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时,两圆外切，有3条公切线; 当1212R R d R R -<<+时,两圆相交,有2条公切线; 当12d R R =-时，两圆内切，有１条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线; 4.当两圆相交时,两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例１若圆x 2+ｙ２=1与直线y =kx +２没有公共点,则实数k 的取值范围是__＿＿＿＿＿_. 解析:由题意知错误! >１,解得-错误!<k ＜错误!. 答案:（-＼r （3), 错误!)例2已知两圆Ｃ1:x 2+y 2-2x +10ｙ－２4=０,Ｃ２:x ２＋y 2+２x +2ｙ－8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____＿_______．解析：两圆相减即得x －2y +4＝０． 答案：x －２y ＋4=0例3设直线x -my -１=0与圆（x －1)2＋（ｙ－2)２＝4相交于A 、B 两点,且弦A Ｂ的长为2３,则实数m 的值是___＿＿___．解析：由题意得，圆心（1,2)到直线x -ｍy －１=0的距离d ＝＼ｒ(4-3)＝1，即错误!=１，解得m =±错误!． 答案:±＼ｆ(＼r(3),3)例４若a ,b ,c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边),则圆Ｃ:x 2＋y ２＝4被直线l ：ax ＋by ＋c =0所截得的弦长为______＿_．解析：由题意可知圆C :ｘ2+y 2＝4被直线l ：ａx ＋by ＋c =0所截得的弦长为2 错误!,由于a ２+b 2=c 2，所以所求弦长为２3． 答案：2３例5已知⊙Ｍ:x ２+(ｙ-2）２＝1,Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ,B 两点. （1)若|AB |＝错误!，求|MQ ｜及直线ＭQ 的方程； (2）求证：直线A Ｂ恒过定点．解:(1)设直线ＭQ 交AB 于点Ｐ，则|AP |＝错误!，又｜ＡM |＝1，ＡP ⊥MQ ，A Ｍ⊥AQ ,得｜MP |= 错误!＝错误!,又∵｜M Ｑ|＝＼f （|MA ｜2,|M Ｐ｜),∴｜MQ |=３．设Q （x ，０)，而点Ｍ(0，２),由ｘ２+2２＝3,得x ＝±5, 则Q 点的坐标为（错误!，0)或(-错误!,0).从而直线MQ 的方程为2x +错误!y －2错误!=0或2x -错误!y ＋2错误!=0. （2)证明：设点Q (ｑ,０),由几何性质，可知Ａ,B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为ｘ(x －q )+y (y -2)=0，而线段ＡB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得ＡＢ的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线ＡB 恒过定点错误!．例６过点(-１,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-２x -２y +1＝0截得的弦长为 ＼ｒ(2）,则直线ｌ的斜率为_____＿_＿．解析：将圆的方程化成标准方程为（x -1)２＋(y -1)2＝１,其圆心为(1，1),半径r =1.由弦长为＼ｒ（２)得弦心距为错误!. 设直线方程为ｙ＋2=k （ｘ+1)，即ｋx －y ＋ｋ－2＝０，则错误!=错误!，化简得7k 2－24ｋ+17＝0，得k =1或k ＝177.答案:1或错误!例7圆x 2－２x +ｙ2-3=０的圆心到直线x +＼r(３)y -３＝0的距离为_______＿． 解析:圆心（1,0)，d =错误!＝1. 答案:１例8圆心在原点且与直线x +ｙ－2＝0相切的圆的方程为 ＿_＿____＿＿＿_________＿．解析:设圆的方程为x 2+y 2＝a ２（a ＞0) ∴错误!＝a ，∴a ＝错误!, ∴x 2＋ｙ2=２.答案:x 2+y 2＝2例9已知圆C 经过Ａ（５,１),B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆Ｃ的方程为__＿＿_____＿______.圆C 的方程为x ２+y 2+Dx ＋Ｆ＝０, 则错误! 解得错误!圆C 的方程为x 2＋ｙ2-4x -6=0.[答案] (1)Ｃ (2)ｘ2+y 2-4x －6=0例10 (1)与曲线C ：ｘ2+y 2+2x +2y ＝0相内切,同时又与直线l :ｙ=2-x 相切的半径最小的圆的半径是_______＿．(2)已知实数x ，y 满足(x －２）2+(ｙ＋1)2＝１则2x -y 的最大值为________,最小值为＿_______.解析:（１)依题意，曲线C 表示的是以点C (-1，－1)为圆心，2为半径的圆,圆心C （-１,－１）到直线y ＝2－x 即x +ｙ－2=0的距离等于错误!=２错误!，易知所求圆的半径等于错误!=错误!.(２）令b =２x －y ，则b 为直线2x -ｙ=b 在y 轴上的截距的相反数,当直线２x -ｙ=b 与圆相切时,b 取得最值.由错误!=1．解得ｂ＝5±错误!，所以2x -ｙ的最大值为5+错误!,最小值为5-错误!． 答案：(１)错误! （2）5＋错误! ５－错误!例11已知x ,y 满足x 2+ｙ2＝1,则＼ｆ(ｙ－２,x －１)的最小值为___＿____. 解析：错误!表示圆上的点P (x ，y )与点Ｑ（１,2)连线的斜率,所以错误!的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝ｋ(ｘ－1）即kx -y ＋2－ｋ＝0．由错误!＝1得k =错误!,结合图形可知，错误!≥错误!,故最小值为错误!.答案:34例１２已知两点A （－２,０),B (0,２)，点C 是圆x 2+y 2－2x ＝０上任意一点，则△ABC 面积的最小值是＿___＿＿__．解析:l AB ：x -y ＋２=0，圆心（1,0)到l 的距离d ＝错误!,则AB 边上的高的最小值为32－1．故△ABC 面积的最小值是错误!×2错误!×错误!＝３-错误!． 答案:３－２例１3平面直角坐标系x ｏｙ中，直线10x y -+=截以原点O (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ,Ｅ，当DE 长最小时,求直线l 的方程; (3）设M ，Ｐ是圆Ｏ上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为Ｎ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点(m ，0)和（n ,0),问ｍn 是否为定值?若是,请求出该定值；若不是，请说明理由.解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=,所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=.⑵设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>,即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O 相切,=221112a b +=，2222222112()()8DE a b a b a b =+=++≥,当且仅当2a b ==时取等号,此时直线l 的方程为20x y +-=． ⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -,22112x y +=,22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-, 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+,222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--， 故mn 为定值2．例１４圆ｘ2+y ２=8内一点P （-1,2),过点P 的直线l 的倾斜角为α,直线l 交圆于A 、B 两点． （1）当α=43π时,求AB 的长； (2）当弦AB 被点Ｐ平分时，求直线l 的方程．解:（1)当α=43π时,k AB =-１,直线ＡB 的方程为y-２=-（ｘ+1），即x ＋ｙ-１=０． 故圆心（0，0）到A Ｂ的距离ｄ=2100-+=22， 从而弦长|AB ｜＝2218-=30. （２）设A(x １,ｙ1)，B （x 2，y 2),则x 1+x 2＝－２，y １＋y 2=4．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（ｘ１+x 2)(x 1-ｘ2）+(y 1＋y 2)（ｙ1－y 2)＝0， 即－2（x 1－x 2）＋4（y 1－y ２）=0, ∴ｋAB ＝212121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y-2＝21（x+１）,即x －2y ＋５＝0.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上. （1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;（2）是否存在正实数ｒ,使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y ２=ｒ２相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来；若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －ａ）2+(ｙ－b ）2=2５,其中圆心(a ，ｂ）满足a-b+1０＝０.又∵动圆过点(－5,0),∴(-5-a)２+（０-b ）2=2５. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a ,可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a , 故所求圆C 的方程为（x+10)２+y 2=２5或(ｘ+５）2+(ｙ-５)2＝25. (2）圆O 的圆心(0,0)到直线ｌ的距离d=1110+=52.当r 满足ｒ+5＜ｄ时，动圆C 中不存在与圆Ｏ:ｘ2+y 2＝r 2相外切的圆；当r 满足r+5>d 时,r 每取一个数值,动圆Ｃ中存在两个圆与圆O ：x 2＋y 2=r 2相外切； 当r 满足r ＋5=d,即r=52－5时,动圆Ｃ中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r ２相外切.题目1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 .2．求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.３．若点P 在直线l 1：x +ｙ+3＝０上，过点P 的直线l 2与曲线Ｃ：(x －5)2+y 2＝16相切于点M ，则PM 的最小值 ．4．设O 为坐标原点,曲线ｘ２+y 2+2x -6y +1=０上有两点P 、Q ,满足关于直线x +m ｙ+4=0对称,又满足·OQ ＝０. （1）求m 的值;(２）求直线PQ 的方程.5．已知圆C ：x 2+y 2-2x ＋4ｙ－4＝0,问是否存在斜率是１的直线ｌ,使l 被圆C 截得的弦AB ,以A Ｂ为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程;若不存在，说明理由．6. 已知曲线C :x ２+ｙ2－4ax ＋２ａy -20＋２0a =0.(1）证明:不论a取何实数，曲线C必过定点;（２）当a≠2时，证明曲线Ｃ是一个圆，且圆心在一条直线上；（3)若曲线Ｃ与x轴相切，求ａ的值．。