2018年苍南中学自主招生选拔数学试卷答案

2018年苍南中学自主招生选拔考试

数学答案

二、填空题（每小题6分，共42分）

9． 18

1 ； 10． 6：5 ； 11．

2 ；

12 ； 13． 6 ； 14． cm 4π ；

15． 4 .

三、解答题(本大题共4题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.（本题满分12分）

解：由方程①知：

∵120x x ⋅<，1x ＞2x ＞0 ∴1x ＞0，20x <

∴1220x x m +=+> 1220x x m ⋅=-<

∴－2＜m ＜2

由方程②知：

232m m

-= ∴2230m m --= ∴3m =（舍去），1m =-(△＞0) 代入②得：2(2)20x n x --+=

∵方程的两根为有理数

∴△＝()2228n k --=

∴△＝()2228n k --= ()()228n k n k -+--=

∴2422n k n k -+=⎧⎨--=⎩或2224

n k n k -+=-⎧⎨--=-⎩ ∴5n =或1n =-

17. （本题满分12分）

（1）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB =0

60，

∵∠BQD =0

30， ∴∠QPC =090，

设AP =x ，则PC =6−x ，QB =x ，

∴QC =QB +BC =6+x ，

∵在Rt △QCP 中,∠BQD =30∘，

∴PC =21QC ,即6−x =2

1(6+x )，解得x =2， ∴AP =2；

(2)当点P 、Q 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变。理由如下：

作QF ⊥AB ，交直线AB 于点F ，连接QE ，PF ，

又∵PE ⊥AB 于E ，

∴∠DFQ =∠AEP =090，

∵点P 、Q 速度相同，

∴AP =BQ ，

∵△ABC 是等边三角形,

∴∠A =∠ABC =∠FBQ =060，

在△APE 和△BQF 中，

∵∠AEP =∠BFQ =090，

∴∠APE =∠BQF ，

∠AEP =∠BFQ ，∠A =∠FBQ ，AP =BQ ，

∴△APE ≌△BQF (AAS )，

∴AE =BF ,PE =QF 且PE ∥QF ，

∴四边形PEQF 是平行四边形，

∴DE =2

1EF ， ∵EB +AE =BE +BF =AB ，

∴DE =2

1AB ， 又∵等边△ABC 的边长为6，

∴DE =3，

∴点P 、Q 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变。

18．（本题满分18分）

⑴由题意，1,1,2=+∴==++c b a c b a ，

抛物线顶点为A （2b -，4

2

b c -），设B （1x ，0），C （2x ，0），∵b x x -=+21，c x x =21，△＝042

>-ac b . ()()c b x x x x x x x x BC 4422122122121-=-+=-=-=∴

∵△ABC 为等边三角形，∴c b c b 42

3422-=-, 即c b c b 432422-⋅=-，∵,042>-c b ，∴3242=-c b

∵522,0164,12±-==-+∴-=b b b b c 所求b 值为522±-

⑵∵c b a ≥≥，若0a ∵a c b -=+2，a bc 4=

，∴c b ,是一元二次方程()0422=+--a x a x 的两实根． ∴△＝()04422≥⨯--a a ，∴0164422≥-+-a a a ， 即()

(),0442≥-+a a ， 故4≥a

∵a bc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．

①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾；

②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0，

则｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2，

∵ a ≥4，故2a －2≥6，当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜的最小值为6．

19．（本题满分18分）(1)设抛物线解析式为y =2ax +bx +c

将A (−2,2),B (6,6),O (0,0)三点坐标代入,得4a −2b +c =2，36a +6b +c =6，c =0，

解得a =41，b =2

1-，c =0， ∴y =x x 2

1412- (2)依题意，得直线OB 的解析式为y =x ，设过N 点且与直线OB 平行的直线解析式为y =x +m ， 联立y =x x 2

1412-，y =x +m ,得0462=--m x x ， 当△=36+16m =0时，过N 点与OB 平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N 到OB 的距离最大，所以△BON 面积最大，

解得m =49-,x =3,y =43,即N (3,4

3)； 此时△BON 面积=

21×6×6−21(43+6)×3−21×43×3=427； (3)过点A 作AS ⊥GQ 于S ，

∵A (−2,2),B (6,6),N (3,4

3)， ∵∠AOE =∠OAS =∠BOH =45∘，

OG =3,NG =43,NS =4

5，AS =5， 在Rt △SAN 和Rt △NOG 中，

∴tan ∠SAN =tan ∠NOG =4

1， ∴∠SAN =∠NOG ，

∴∠OAS −∠SAN =∠BOG −∠NOG ，